Subiect Bac matematică tehnologic, iunie 2013 (varianta 2) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2013 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $3\left(2-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}=6$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculați $f(0)\cdot f(2)$ pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-1$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{x-2}=25$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Prețul unui obiect este $100$ de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu $10\%$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$ și $B(1,3)$. Calculați distanța de la punctul $A$ la punctul $B$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați $\cos 45^{\circ }+\cos 135^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Pentru fiecare număr real $a$ se consideră matricea $M(a)=\left(\begin{array}{cc}2a& 0\\ 0& 2a\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $M\left(\frac{1}{2}\right)+M\left(-\frac{1}{2}\right)=M(0)$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $\det (M(a))=0$.

c) (5 puncte) Determinați matricea $M(-2)+M(-1)+M(0)+M(1)+M(2)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-2X^2+1$.

a) (5 puncte) Arătați că $f(1)=0$.

b) (5 puncte) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g=X^2-2X+1$.

c) (5 puncte) Calculați $x_1^2+x_2^2+x_3^2$, unde $x_1,x_2,x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}-1$.

a) (5 puncte) Arătați că $2\sqrt{x}{f}^{\prime }(x)=1$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Verificați dacă dreapta de ecuație $y=\frac{1}{4}x$ este tangentă la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=4$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că funcția $f$ este concavă pe intervalul $(0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1+\frac{1}{x}$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_1^2\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx$.

b) (5 puncte) Arătați că funcția $F:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $F(x)=x^2+x+\ln x$ este o primitivă a funcției $f$.

c) (5 puncte) Calculați aria suprafeței delimitate de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuație $x=1$ și $x=2$.

Barem și răspunsuri

Cele 90 de puncte ale cerințelor, adunate cu cele 10 din oficiu, dau 100. Subiectul I are 30 p (cerințele 1–6), Subiectul al II-lea are 30 p (cerințele 7 și 8), Subiectul al III-lea are 30 p (cerințele 9 și 10). Marcajele „(1 p)”, „(2 p)” și „(3 p)” de mai jos sunt cele ale documentului oficial din iunie 2013 (Varianta 2), rând cu rând: la cerințele 2 și 6 și la 7.a) sunt trei rânduri, la celelalte două. Textul rezolvărilor, probele și capcanele sunt ale noastre.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu radicali.

Paranteza se înmulțește cu $3$ termen cu termen: $3\left(2-\sqrt{2}\right)=6-3\sqrt{2}$ (2 p). În suma $6-3\sqrt{2}+3\sqrt{2}$ ultimii doi termeni sunt opuși și se reduc: $$3\left(2-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}=6\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: $3$ se scoate factor comun, $3\left(2-\sqrt{2}+\sqrt{2}\right)=3\cdot 2=6$. Capcană: $3$ se înmulțește doar cu primul termen din paranteză, $3\cdot 2-\sqrt{2}+3\sqrt{2}=6+2\sqrt{2}$, număr diferit de $6$.)

Exercițiul 2. (5 p) — valorile unei funcții afine.

Funcția scade o unitate din argument. Pentru argumentul $0$: $f(0)=0-1=-1$ (2 p). Pentru argumentul $2$: $f(2)=2-1=1$ (2 p). Produsul celor două valori este $$f(0)\cdot f(2)=(-1)\cdot 1=-1\text{(1 p)}.$$

(Probă: graficul lui $f$ este o dreaptă care trece prin punctele $(0,-1)$ și $(2,1)$. Capcană: $f(0)$ se ia egal cu $0$, adică argumentul însuși, iar produsul ar ieși $0\cdot 1=0$; dar $f(0)=0-1=-1$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Numărul $25$ este $5^2$, deci ecuația devine $5^{x-2}=5^2$ (2 p). Două puteri ale aceleiași baze $5$ sunt egale numai dacă exponenții coincid: $x-2=2$, adică $\mathbf{x}=4$ (3 p).

(Probă: $5^{4-2}=5^2=25$. Capcană: exponentul se egalează cu $25$, $x-2=25$, de unde $x=27$; dar $5^{27-2}=5^{25}$, iar $5^{25}\ne 25$.)

Exercițiul 4. (5 p) — procente.

Scumpirea este $10\%$ din prețul inițial: $\frac{10}{100}\cdot 100=10$ lei (2 p). Prețul nou este prețul vechi la care se adaugă scumpirea: $100+10=110$ lei (3 p).

(Probă: $110=100\cdot \left(1+\frac{10}{100}\right)$. Capcană: scumpirea se scade în loc să se adune, $100-10=90$ de lei, deși un obiect scumpit costă mai mult decât înainte.)

Exercițiul 5. (5 p) — distanța dintre două puncte.

Ambele puncte au abscisa $1$. Formula distanței, pentru $A(1,1)$ și $B(1,3)$, dă $$AB=\sqrt{(1-1{)}^2+(3-1{)}^2}\text{(3 p)}.$$ Sub radical rămâne $0+4$, deci $AB=\sqrt{4}=2$ (2 p).

(Probă: un segment vertical are lungimea egală cu diferența ordonatelor, $3-1=2$. Capcană: coordonatele se adună în loc să se scadă, $\sqrt{(1+1{)}^2+(3+1{)}^2}=\sqrt{20}$, iar $\sqrt{20}\ne 2$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Pentru unghiul ascuțit: $\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (2 p). Unghiul $135^{\circ }=180^{\circ }-45^{\circ }$ este obtuz, iar cosinusul lui este opusul lui $\cos 45^{\circ }$: $\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (2 p). Suma celor două valori este $$\cos 45^{\circ }+\cos 135^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=0\text{(1 p)}.$$

(Probă: cosinusurile a două unghiuri care se completează la $180^{\circ }$ sunt opuse, deci suma lor este $0$. Capcană: $\cos 135^{\circ }$ se ia egal cu $\cos 45^{\circ }$; suma ar fi $\sqrt{2}$, deși un unghi obtuz are cosinusul negativ.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice diagonală cu un parametru.

a) (5 p) Matricea $M(a)$ are $2a$ pe diagonală și $0$ în rest. Pentru $a=\frac{1}{2}$ avem $2a=1$, deci $M\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ (2 p). Pentru $a=-\frac{1}{2}$ avem $2a=-1$, deci $M\left(-\frac{1}{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ (2 p). Matricele se adună element cu element: $$M\left(\frac{1}{2}\right)+M\left(-\frac{1}{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=M(0)\text{(1 p)},$$ ultima egalitate fiind adevărată pentru că $2\cdot 0=0$.

(Probă: $M(a)+M(-a)$ are pe diagonală $2a+(-2a)=0$, deci egalitatea ține pentru orice $a$, nu doar pentru $\frac{1}{2}$; altă cale: $M(a)+M(b)=M(a+b)$, fiindcă $2a+2b=2(a+b)$. Capcană: pe diagonală se pune $a$ în loc de $2a$; atunci $M\left(\frac{1}{2}\right)$ ar avea $\frac{1}{2}$ pe diagonală, nu $1$.)

b) (5 p) Determinantul matricei diagonale este produsul diagonalei minus produsul elementelor secundare: $$\det (M(a))=2a\cdot 2a-0\cdot 0=4a^2\text{(3 p)}.$$ Ecuația $4a^2=0$ are o singură soluție, $\mathbf{a}=0$ (2 p).

(Probă: $M(0)$ este matricea nulă, iar determinantul ei este $0$. Atenție la metodă, nu la rezultat: cine ia determinantul drept suma elementelor diagonale, $2a+2a=4a$, ajunge aici întâmplător tot la $a=0$, dar drumul e greșit; pentru $a=2$, determinantul este $4\cdot 2^2=16$, iar suma este $8$.)

c) (5 p) Argumentele $-2,-1,0,1,2$ se grupează în perechi opuse: $$M(-2)+M(-1)+M(0)+M(1)+M(2)=(M(-2)+M(2))+(M(-1)+M(1))+M(0)\text{(2 p)}.$$ Elementele de pe diagonală ale lui $M(-t)$ și $M(t)$ sunt $-2t$ și $2t$, deci fiecare pereche dă matricea nulă, adică $M(0)$. Cele trei grupuri sunt toate $M(0)$: $$\dots =3M(0)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

(Probă: diagonala sumei este $2(-2)+2(-1)+2\cdot 0+2\cdot 1+2\cdot 2=0$. Capcană: se iau doar termenii cu argument pozitiv, $M(1)+M(2)=\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 0& 6\end{array}\right)$, și se uită cei negativi, care anulează această sumă.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul $3$.

a) (5 p) Se înlocuiește $X$ cu $1$ în fiecare termen al polinomului: $f(1)=1^3-2\cdot 1^2+1$ (3 p). Rămâne $1-2+1=0$ (2 p).

(Consecință: $1$ este rădăcină a lui $f$, deci $X-1$ îl divide pe $f$. Capcană: exponentul $2$ se aplică și coeficientului, $-(2\cdot 1{)}^2=-4$, iar valoarea ar ieși $1-4+1=-2$.)

b) (5 p) Împărțitorul $g$ are gradul $2$, iar $f$ are gradul $3$; câtul are gradul $1$, iar restul cel mult $1$. Termenul de grad maxim al câtului este $X^3:X^2=X$, iar împărțirea se oprește după un singur pas, deci câtul este $\mathbf{X}$ (2 p). Se înmulțește câtul cu împărțitorul, $X\cdot g=X^3-2X^2+X$, și se scade din $f$: $$f-X\cdot g=\left(X^3-2X^2+1\right)-\left(X^3-2X^2+X\right)=-X+1.$$ Gradul rezultatului, $1$, e mai mic decât gradul lui $g$, deci restul este $-\mathbf{X}+1$ (3 p).

(Probă: $X\cdot g+(-X+1)=X^3-2X^2+X-X+1=f$. Capcană: se împarte la $X$ în loc de $g$; atunci câtul ar fi $X^2-2X$, cu restul $1$, deoarece $X\left(X^2-2X\right)+1=f$.)

c) (5 p) Polinomul se scrie $f=X^3-2X^2+0\cdot X+1$. Relațiile lui Viète dau suma rădăcinilor, $x_1+x_2+x_3=2$, și suma produselor lor două câte două, $x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=0$ (2 p). Ridicată la pătrat, suma rădăcinilor devine suma pătratelor lor la care se adaugă de două ori suma produselor; prin urmare $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=2^2-2\cdot 0=4\text{(3 p)}.$$

(Probă: din a), $f=(X-1)\left(X^2-X-1\right)$, deci rădăcinile sunt $1$ și $\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$; pătratele lor sunt $1$, $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ și $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$, cu suma $1+3=4$. Capcană: polinomul nu are termen în $X$, iar coeficientul $0$ trebuie scris; dacă se citește în locul lui termenul liber $1$, suma produselor ar fi $1$ și rezultatul ar ieși $2^2-2\cdot 1=2$.)

Exercițiul 9. (15 p) — funcție cu radical.

a) (5 p) Derivata lui $\sqrt{x}$ este $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, iar derivata constantei $-1$ este $0$: $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Atunci $2\sqrt{x}{f}^{\prime }(x)=2\sqrt{x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=1$ (2 p).

(Probă: pentru $x=4$, $2\sqrt{4}\cdot f^{\prime }(4)=4\cdot \frac{1}{4}=1$. Capcană: derivata constantei se ia $-1$, nu $0$; atunci $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1$, iar produsul $2\sqrt{x}{f}^{\prime }(x)$ ar fi $1-2\sqrt{x}$, care nu e egal cu $1$ pentru $x>0$.)

b) (5 p) Tangenta în punctul de abscisă $x_0=4$ are ecuația $$y-f(4)=f^{\prime }(4)(x-4)\text{(2 p)}.$$ Valorile necesare sunt $f(4)=\sqrt{4}-1=1$ și $f^{\prime }(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}$. Atunci $y-1=\frac{1}{4}(x-4)=\frac{1}{4}x-1$, adică $y=\frac{1}{4}x$. Aceasta este exact dreapta din enunț, deci dreapta dată este tangentă la grafic în punctul de abscisă $4$ (3 p).

(Probă: punctul $(4,1)$ verifică $y=\frac{1}{4}x$, fiindcă $\frac{1}{4}\cdot 4=1$. Capcană: se uită scăderea lui $4\cdot \frac{1}{4}$ și iese $y=\frac{1}{4}x+1$, dreaptă paralelă cu cea dată, dar care trece prin $(4,2)$, nu prin punctul graficului.)

c) (5 p) Se derivează încă o dată $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}$: $$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{4}{x}^{-3/2},\text{ adica˘ }{f}^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}},\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Pentru $x>0$, numitorul $4x\sqrt{x}$ este pozitiv, deci $f^{\prime \prime }(x)<0$ pe tot intervalul, iar o funcție cu derivata a doua negativă este concavă pe el (2 p).

(Probă: $f^{\prime }$ scade, fiindcă $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ este mai mic pentru $x$ mai mare; panta tangentelor scade, ceea ce înseamnă concavitate. Capcană: se confundă concavitatea cu convexitatea; semnul $f^{\prime \prime }>0$ ar da funcție convexă, dar aici $f^{\prime \prime }<0$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrală, primitivă, arie.

a) (5 p) Din $f(x)=2x+1+\frac{1}{x}$ rămâne, după scădere, $f(x)-\frac{1}{x}=2x+1$. Integrala devine ${\int }_1^2(2x+1)dx$ (2 p). O primitivă a lui $2x+1$ este $x^2+x$, iar formula Leibniz–Newton dă $$\left(x^2+x\right){|}_1^2=(4+2)-(1+1)=4\text{(3 p)}.$$

(Probă: $2x+1$ este o funcție afină, iar aria trapezului de sub dreapta, între $1$ și $2$, are bazele $3$ și $5$ și înălțimea $1$, deci $\frac{3+5}{2}\cdot 1=4$. Capcană: $\frac{1}{x}$ se adună în loc să se scadă, $f(x)+\frac{1}{x}=2x+1+\frac{2}{x}$; atunci integrala ar conține un logaritm, $4+2\ln 2$, pe când rezultatul corect este întreg.)

b) (5 p) Derivata sumei este suma derivatelor: ${\left(x^2\right)}^{\prime }=2x$, $(x{)}^{\prime }=1$ și $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, deci $$F^{\prime }(x)=2x+1+\frac{1}{x}\text{(3 p)}.$$ Aceasta este $f(x)$ pentru orice $x\in (0,+\infty )$; derivata lui $F$ este $f$, prin urmare $F$ este o primitivă a lui $f$ pe $(0,+\infty )$ (2 p).

(Probă: $F(1)=2$ și $F(2)=6+\ln 2$; creșterea $F(2)-F(1)=4+\ln 2$ este chiar integrala lui $f$ pe $[1,2]$. Capcană: se compară $F$ cu $f$ în loc de $F^{\prime }$ cu $f$; $F(1)=2$, dar $f(1)=4$, așa că egalitatea $F=f$ nu ține, deși $F$ este totuși primitivă.)

c) (5 p) Pe $[1,2]$ toți termenii $2x$, $1$ și $\frac{1}{x}$ sunt pozitivi, deci $f(x)>0$, iar graficul stă deasupra axei $Ox$. Aria este integrala funcției: $$\mathcal{A}={\int }_1^{2}f(x)dx={\int }_1^2\left(2x+1+\frac{1}{x}\right)dx\text{(2 p)}.$$ Primitiva $F$ de la b) dă $$\mathcal{A}=\left(x^2+x+\ln x\right){|}_1^2=(4+2+\ln 2)-(1+1+\ln 1)=4+\ln 2\text{(3 p)}.$$

(Probă: aria este mai mare decât $4$, valoarea integralei de la a), fiindcă $f$ depășește pe $[1,2]$ funcția $2x+1$ cu termenul $\frac{1}{x}>0$. Capcană: se uită că $\ln 1=0$ și se scade $1$ în plus, $4+\ln 2-1=3+\ln 2$.)

Pentru părinți și profesori

Despre foaie. Aceasta este Varianta 2 a probei „E. c)” de matematică M_tehnologic (pe site apare și sub numele M3), din sesiunea iunie 2013. Antetul oficial numește Ministerul Educației Naționale și Centrul Național de Evaluare și Examinare, apoi „Examenul de bacalaureat național 2013”. Lucrarea era scrisă de elevii filierei tehnologice: profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic. Enunțurile din „Itemi” sunt cele din PDF. Rezolvările, probele și ghidajul sunt ale noastre; din documentul oficial de evaluare preluăm doar numărul de puncte al fiecărui rând.

Cum e alcătuită. Trei subiecte egale, de câte 30 de puncte. Primul are șase cerințe scurte, de câte 5 puncte. Al doilea și al treilea au câte două probleme, iar fiecare problemă are trei subpuncte de câte 5 puncte. Rezultă $18$ cerințe de câte $5$ puncte, adică $90$ de puncte, la care se adaugă $10$ puncte din oficiu. Lucrarea durează 3 ore, adică $180$ de minute, deci revin $10$ minute pe cerință.

Rândurile documentului oficial. Documentul împarte fiecare cerință în rânduri punctate. Cerințele 2 și 6 și subpunctul 7.a) au câte trei rânduri, de $2$, $2$ și $1$ puncte; toate celelalte au două rânduri, de $2$ și $3$ puncte sau de $3$ și $2$ puncte. În total sunt $39$ de rânduri, iar pe pagina de față fiecare se încheie cu marcajul „(1 p)”, „(2 p)” sau „(3 p)”. Rândul de $1$ punct încheie, de fiecare dată, un rezultat obținut prin combinarea a două valori deja calculate: un produs la 2, o sumă de numere la 6 și o sumă de matrice la 7.a).

Harta foii

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

În această programă, operațiile cu numere reale și trigonometria stau la clasa a IX-a, ecuațiile exponențiale, procentele și distanța dintre două puncte la clasa a X-a, matricele, tangenta și concavitatea la clasa a XI-a, polinoamele, legile de compoziție și integralele la clasa a XII-a. Ordinul, din 29.08.2014, este mai nou decât lucrarea, deci tabelul spune unde stă fiecare temă în acea programă, nu ce programă aveau elevii din 2013.

Ce are foaia. Scumpirea se calculează din prețul inițial și se adaugă la el. La cerința cu distanța, cele două puncte au aceeași abscisă, deci segmentul dintre ele este vertical. Unghiurile de $45^{\circ }$ și $135^{\circ }$ se completează la un unghi alungit. Matricea cu parametrul $a$ are zerouri în afara diagonalei, iar cele cinci matrice din ultimul subpunct se adună în perechi opuse. La polinom, $g$ are gradul $2$, așa că restul poate avea cel mult gradul $1$; se observă și că $g=(X-1{)}^2$. La funcția cu radical, dreapta dată se verifică: ea coincide cu tangenta calculată, iar concavitatea se citește din semnul derivatei a doua. La integrale, scăderea lui $\frac{1}{x}$ din $f(x)$ lasă un polinom de gradul întâi, iar funcția este pozitivă pe intervalul de integrare, deci aria este chiar integrala ei.

Formulele foii

• Subiectul I. cosinusurile a două unghiuri care se completează la $180^{\circ }$ sunt opuse; distanța dintre $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$ este $\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$; $\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$; dacă $a^m=a^n$ cu $a>0$ și $a\ne 1$, atunci $m=n$.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; matricele se adună element cu element; pentru $f=X^3+b{X}^2+cX+d$, relațiile lui Viète sunt $x_1+x_2+x_3=-b$ și $x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=c$; $x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1)$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$; tangenta în $x_0$ are ecuația $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; dacă $f^{\prime \prime }<0$ pe un interval, $f$ este concavă pe el; $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; dacă $F^{\prime }=f$, atunci ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

Despre litere. Litera $f$ denumește patru obiecte diferite: funcția afină de la 2, polinomul de la 8, funcția cu radical de la 9 și funcția cu fracție de la 10; fiecare cerință se citește cu definiția ei. Litera $a$ este argumentul matricei $M(a)$ la 7. Litera $A$ este un punct la 5, iar în rezolvarea de la 10.c) $\mathcal{A}$ este aria. Litera $g$ de la 8.b) este un polinom, iar $F$ de la 10 este o primitivă.