Subiect Bac matematică tehnologic, sesiunea specială 2017 (varianta 4) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2017 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(2+\frac{1}{3}\right):\frac{7}{6}=2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Arătați că ${\left(x_1+x_2\right)}^2-6x_1{x}_2=1$, unde $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile ecuației $x^2-5x+4=0$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{3x-5}=2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o ieftinire cu $25\%$, prețul unui televizor este $600$ de lei. Determinați prețul televizorului înainte de ieftinire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $O(0,0)$ și $M(8,6)$. Calculați distanța dintre punctele $O$ și $M$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că ${\sin }^{2}135^{\circ }+{\sin }^{2}45^{\circ }=1$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 2& 0\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=2$.

b) (5 puncte) Arătați că $(A+B)(B-A)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& -12\end{array}\right)$.

c) (5 puncte) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, știind că $A\cdot X=B$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=x+y-3$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\ast 2=0$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\left(x^2\right)\ast x=-1$.

c) (5 puncte) Determinați numerele naturale nenule $n$ pentru care $n\ast n\ast n\ast n<3$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+2x^2+x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=(x+1)(3x+1)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x{f}^{\prime }(x)}=\frac{1}{3}$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f(x)\ge -\frac{4}{27}$, pentru orice $x\in [-1,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+x+1$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(f(x)-x^2-1\right)dx=\frac{1}{2}$.

b) (5 puncte) Demonstrați că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+x+2017$ este o primitivă a funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural $n$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=2$ are aria egală cu $n^2-\frac{7}{3}$.

Barem și răspunsuri

Cerințele însumează 90 p, iar oficiul adaugă 10 p: 100 p. Cerințele 1–6 valorează câte 5 p și, cu o singură excepție, fiecare subpunct de 5 p are două rânduri; la 9.c) rândurile sunt trei (1 p + 2 p + 2 p). Fiecare „(1 p)”, „(2 p)” sau „(3 p)” de mai jos reprezintă un rând din documentul oficial al sesiunii speciale 2017, varianta 4. Soluțiile, verificările și capcanele sunt ale noastre.

Exercițiul 1. (5 p) — expresie cu fracții.

Paranteza se aduce la numitorul $3$, deoarece $2=\frac{6}{3}$: $$2+\frac{1}{3}=\frac{6}{3}+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\text{(3 p)}.$$ Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțirea cu inversa ei, iar factorii $7$ se simplifică: $$\frac{7}{3}:\frac{7}{6}=\frac{7}{3}\cdot \frac{6}{7}=2\text{(2 p)}.$$

(Control: $2\cdot \frac{7}{6}=\frac{7}{3}$. Capcană: se înmulțește cu fracția dată, nu cu inversa ei, iar $\frac{7}{3}\cdot \frac{7}{6}=\frac{49}{18}$, ceea ce nu este $2$.)

Exercițiul 2. (5 p) — suma și produsul rădăcinilor.

Fără a afla rădăcinile, relațiile dintre rădăcini și coeficienți ale ecuației $x^2-5x+4=0$ dau suma $x_1+x_2=5$ și produsul $x_1{x}_2=4$ (2 p). Înlocuind în expresie: $${\left(x_1+x_2\right)}^2-6x_1{x}_2=5^2-6\cdot 4=25-24=1\text{(3 p)}.$$

(Control: ecuația se descompune $(x-1)(x-4)=0$, deci rădăcinile sunt $1$ și $4$, iar $(1+4{)}^2-6\cdot 1\cdot 4=1$. Capcană: produsul se ia $-4$, cu semnul termenului liber schimbat; atunci iese $25+24=49$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Prin ridicarea la pătrat a ambilor membri, radicalul dispare, iar radicandul $3x-5$ devine egal cu $2^2$, adică $4$ (3 p). Rezultă $x=3$, iar valoarea convine, fiindcă $\sqrt{3\cdot 3-5}=\sqrt{4}=2$: $\mathbf{x}=3$ (2 p).

(Control: radicandul $3x-5$ trebuie să fie nenegativ, iar pentru $x=3$ este $4$. Capcană: se egalează $3x-5$ cu $2$, adică se uită ridicarea la pătrat a membrului drept; atunci $x=\frac{7}{3}$, dar $\sqrt{3\cdot \frac{7}{3}-5}=\sqrt{2}$, nu $2$.)

Exercițiul 4. (5 p) — procente.

Fie $p$ prețul de dinainte. Ieftinirea ia $25\%$ din $p$, iar ce rămâne este $600$: $$p-\frac{25}{100}\cdot p=600\text{(3 p)}.$$ Membrul stâng este $\frac{3}{4}p$, deci $p=600\cdot \frac{4}{3}$, adică $\mathbf{p}=800$ de lei (2 p).

(Control: $25\%$ din $800$ este $200$, iar $800-200=600$. Capcană: se adaugă $25\%$ din $600$, adică $150$, și iese $750$; procentul se raportează la prețul de dinainte.)

Exercițiul 5. (5 p) — distanța dintre două puncte.

Pentru $O(0,0)$ și $M(8,6)$, formula distanței dintre două puncte dă $$OM=\sqrt{(8-0{)}^2+(6-0{)}^2}\text{(3 p)}.$$ Sub radical este $64+36=100$, deci $$OM=\sqrt{100}=10\text{(2 p)}.$$

(Control: triunghiul cu catetele $8$ și $6$ are ipotenuza $10$, fiindcă $8^2+6^2=10^2$. Capcană: se adună coordonatele sub radical, $\sqrt{8+6}=\sqrt{14}$, în loc de pătratele lor.)

Exercițiul 6. (5 p) — sinusuri.

Unghiurile de $135^{\circ }$ și $45^{\circ }$ sunt suplementare, iar sinusul este același pentru unghiuri suplementare: $$\sin 135^{\circ }=\sin \left(180^{\circ }-45^{\circ }\right)=\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{(2 p)}.$$ Pătratul lui $\frac{\sqrt{2}}{2}$ este $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, deci suma pătratelor este $$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\text{(3 p)}.$$

(Control: $135^{\circ }=90^{\circ }+45^{\circ }$, iar $\sin \left(90^{\circ }+45^{\circ }\right)=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Capcană: se ridică la pătrat suma sinusurilor, nu fiecare sinus; ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=2$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matricele $A$ și $B$.

a) (5 p) Determinantul se obține scăzând produsul de pe diagonala secundară din cel de pe diagonala principală: $$\det A=1\cdot 2-0\cdot 2\text{(3 p)}.$$ $$=2-0=2\text{(2 p)}.$$

(Control: matricea $A$ este triunghiulară, deci determinantul este produsul elementelor diagonale, $1\cdot 2$. Capcană: pe diagonala secundară se iau elementele $2$ și $2$ din coloana a doua, și iese $1\cdot 2-2\cdot 2=-2$.)

b) (5 p) Suma are în prima linie $-1+1=0$ și $-2+2=0$, iar în a doua $0+2=2$ și $2+0=2$: $$A+B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 2& 2\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Diferența este $B-A=\left(\begin{array}{cc}-2& -4\\ 2& -2\end{array}\right)$. În produs, prima linie a lui $A+B$ este nulă, deci prima linie a produsului este nulă; a doua linie este $\left(2\cdot (-2)+2\cdot 2,2\cdot (-4)+2\cdot (-2)\right)$: $$(A+B)(B-A)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& -8-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& -12\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

(Control: produsul $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 2& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-2& -4\\ 2& -2\end{array}\right)$ are pe poziția $(2,1)$ valoarea $-4+4=0$. Capcană: se înmulțesc factorii în ordine inversă; $(B-A)(A+B)=\left(\begin{array}{cc}-8& -8\\ -4& -4\end{array}\right)$ nu este matricea cerută.)

c) (5 p) Deoarece $\det A=2\ne 0$, matricea $A$ are inversă. Schimbând între ele elementele diagonalei principale și schimbând semnul celorlalte două, se obține $\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 0& 1\end{array}\right)$, iar împărțirea la $\det A$ dă $$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Din $A\cdot X=B$, prin înmulțire la stânga cu $A^{-1}$, rezultă $X=A^{-1}B$: $$X=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& -2\\ 1& 0\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$

(Control: $A\cdot X=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-3& -2\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 2& 0\end{array}\right)=B$. Capcană: se înmulțește la dreapta, $B{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 2& -2\end{array}\right)$, care nu verifică $A\cdot X=B$.)

Exercițiul 8. (15 p) — legea $x\ast y=x+y-3$.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=1$ și $y=2$ în lege: $$1\ast 2=1+2-3\text{(3 p)}.$$ $$=3-3=0\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se adună $3$ în loc să se scadă, $1+2+3=6$.)

b) (5 p) Cu $x^2$ în locul primului argument și $x$ în locul celui de-al doilea, ecuația este $$x^2+x-3=-1,\text{adica˘}{x}^2+x-2=0\text{(3 p)}.$$ Trinomul se descompune $(x+2)(x-1)$, deci $\mathbf{x}=-2$ și $\mathbf{x}=1$ (2 p).

(Control: $(-2{)}^2\ast (-2)=4\ast (-2)=4-2-3=-1$ și $1^2\ast 1=1\ast 1=1+1-3=-1$. Capcană: se uită semnul din $-1$ și se scrie $x^2+x-3=1$, adică $x^2+x-4=0$, o ecuație cu alte soluții.)

c) (5 p) Legea fiind asociativă, se grupează pe rând, câte doi termeni: $n\ast n=2n-3$; adăugând al treilea $n$, rezultatul este $(2n-3)+n-3=3n-6$, iar adăugând al patrulea $n$, rezultatul este $3n-6+n-3$: $$n\ast n\ast n\ast n=4n-9\text{(2 p)}.$$ Inegalitatea $4n-9<3$ dă $4n<12$, adică $n<3$. Numerele naturale nenule mai mici decât $3$ sunt $\mathbf{n}=1$ și $\mathbf{n}=2$ (3 p).

(Control: $n=1$ dă $4-9=-5<3$, $n=2$ dă $8-9=-1<3$, iar $n=3$ dă $12-9=3$, nu mai mic decât $3$. Capcană: se scade $3$ o singură dată, $4n-3$; atunci inegalitatea $4n-3<3$ ar da $n<\frac{3}{2}$, adică doar $n=1$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, valoare minimă.

a) (5 p) Derivata unei sume este suma derivatelor: $$f^{\prime }(x)={\left(x^3\right)}^{\prime }+{\left(2x^2\right)}^{\prime }+(x{)}^{\prime }\text{(2 p)}.$$ Termenii sunt $3x^2$, $4x$ și $1$, iar trinomul obținut se descompune: $$f^{\prime }(x)=3x^2+4x+1=(x+1)(3x+1),x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Control: $(x+1)(3x+1)=3x^2+x+3x+1=3x^2+4x+1$. Capcană: derivata lui $2x^2$ se ia $2x$, fără factorul $2$ al exponentului; atunci în locul termenului $4x$ ar apărea $2x$.)

b) (5 p) Din a), $x{f}^{\prime }(x)=x(x+1)(3x+1)$, iar $f(x)=x^3+2x^2+x$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x{f}^{\prime }(x)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3+2x^2+x}{x(x+1)(3x+1)}\text{(2 p)}.$$ Împărțind numărătorul la $x^3$ și fiecare factor al numitorului la $x$, apar fracții care tind la $0$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}{\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(3+\frac{1}{x}\right)}=\frac{1}{1\cdot 3}=\frac{1}{3}\text{(3 p)}.$$

(Control: $f(x)=x(x+1{)}^2$, deci raportul este $\frac{x+1}{3x+1}$, iar la $x=1000$ el valorează $\frac{1001}{3001}$, aproape $\frac{1}{3}$. Capcană: se compară doar gradele, trei și trei, și se conchide că limita este $0$; la grade egale limita este raportul coeficienților dominanți.)

c) (5 p) Derivata $f^{\prime }(x)=(x+1)(3x+1)$ se anulează pentru $$x=-1\text{sau}x=-\frac{1}{3}\text{(1 p)}.$$ Pe $\left[-1,-\frac{1}{3}\right]$ factorul $x+1$ este nenegativ, iar $3x+1$ este nepozitiv, deci $f^{\prime }\le 0$ și $f$ scade pe acest interval. Pe $\left[-\frac{1}{3},+\infty \right)$ ambii factori sunt nenegativi, deci $f^{\prime }\ge 0$ și $f$ crește (2 p). Rezultă că pe $[-1,+\infty )$ valoarea cea mai mică este atinsă în $-\frac{1}{3}$: $$f(x)\ge f\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{27}+\frac{2}{9}-\frac{1}{3}=-\frac{4}{27}\text{(2 p)}.$$

(Control: $f(-1)=-1+2-1=0>-\frac{4}{27}$ și $f(0)=0>-\frac{4}{27}$. Capcană: se ia drept minim valoarea de la capătul $-1$, adică $f(-1)=0$, și se scrie $f(x)\ge 0$; dar $f\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{4}{27}$ este negativ.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale și primitivă.

a) (5 p) Diferența $f(x)-x^2-1=x^2+x+1-x^2-1=x$, deci $${\int }_0^1\left(f(x)-x^2-1\right)dx={\int }_0^{1}xdx\text{(2 p)}.$$ O primitivă a lui $x$ este $\frac{x^2}{2}$: $${\frac{x^2}{2}|}_0^1=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$

(Control: integrala lui $x$ pe $[0,1]$ este aria unui triunghi cu baza $1$ și înălțimea $1$, adică $\frac{1}{2}$. Capcană: primitiva lui $x$ se ia $x^2$, fără împărțirea la $2$, și iese $1$.)

b) (5 p) Funcția $F$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$, iar exponentul fiecărui termen coboară ca factor: $$F^{\prime }(x)=\frac{1}{3}\cdot 3x^2+\frac{1}{2}\cdot 2x+1\text{(3 p)}.$$ Constanta $2017$ are derivata $0$, deci $$F^{\prime }(x)=x^2+x+1=f(x),x\in \mathbb{R},\text{iar }F\text{ este primitiva˘ a lui }f\text{(2 p)}.$$

(Control: $F^{\prime }(0)=1=f(0)$ și $F^{\prime }(1)=3=f(1)$. Capcană: se derivează și constanta ca $2017$; atunci s-ar obține $f(x)+2017$, nu $f(x)$.)

c) (5 p) Discriminantul trinomului $x^2+x+1$ este $1-4=-3<0$, iar coeficientul lui $x^2$ este pozitiv, deci $f(x)>0$ pe $\mathbb{R}$ și $\left|f(x)\right|=f(x)$. Cu primitiva $F$ de la b), aria este $$\mathcal{A}={\int }_0^{2}f(x)dx=F(2)-F(0)=\frac{8}{3}+2+2=\frac{20}{3}\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $n^2-\frac{7}{3}=\frac{20}{3}$ dă $n^2=\frac{27}{3}=9$, deci $n=3$ sau $n=-3$; fiind număr natural, $\mathbf{n}=3$ (2 p).

(Control: constanta $2017$ din $F$ se reduce în diferența $F(2)-F(0)$, deci rezultatul nu depinde de ea. Capcană: se păstrează și soluția $n=-3$, deși enunțul cere un număr natural.)

Pentru părinți și profesori

Pagina cuprinde enunțurile și rezolvările tuturor cerințelor din varianta 4 a lucrării de matematică M_tehnologic din sesiunea specială 2017 a Bacalaureatului. Antetul foii spune „Examenul de bacalaureat național 2017, Proba E. c)” și îi menționează pe Ministerul Educației Naționale și pe Centrul Național de Evaluare și Examinare. Lucrarea vizează filiera tehnologică: profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic, la toate calificările profesionale. Enunțurile apar exact ca în foaie. Soluțiile, verificările și capcanele sunt scrise de noi; din documentul oficial de evaluare am păstrat numai felul în care sunt grupate punctele pe rânduri.

Foaia declară obligatorii toate subiectele, trece 10 puncte din oficiu și stabilește timpul efectiv la 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte are 30 de puncte. La primul subiect, cerințele sunt șase și independente, iar la celelalte două subiecte sunt câte două probleme cu trei subpuncte fiecare. Orice cerință sau subpunct de 5 puncte este despărțit în documentul oficial în rânduri, pe care pagina le marchează la capăt cu „(1 p)”, „(2 p)” sau „(3 p)”.

O abatere de la tiparul obișnuit. La subpunctul 9.c) documentul oficial are trei rânduri, de 1 p, 2 p și 2 p, și nu două: primul rând cuprinde doar rădăcinile derivatei, al doilea semnul derivatei și monotonia, al treilea valoarea minimă. Pagina păstrează aceste trei rânduri, iar ghidajul are pentru cerința 9 șapte pași. Lucrarea are astfel 37 de rânduri punctate, cu suma 90.

Harta variantei 4

În programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), clasa a XI-a conține calculul determinanților și ecuațiile matriceale, iar clasa a XII-a conține legea de compoziție internă și aria unei suprafețe plane.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

Ce are varianta 4. La 2 nu se calculează rădăcinile ecuației din enunț, ci suma și produsul lor. La 3 răspunsul trebuie verificat în radical. La 7.c) ecuația $A\cdot X=B$ cere ordinea corectă a factorilor: inversa lui $A$ stă în stânga lui $B$. La 8.c) legea este asociativă, deci paranteza dintre cei patru termeni nu contează. La 9.c) valoarea $-\frac{4}{27}$ se atinge în $-\frac{1}{3}$, care nu este capătul intervalului. La 10.c) numărul natural $n$ se obține dintr-o ecuație de gradul al II-lea cu o soluție negativă, pe care enunțul o exclude.

Cifre pentru ritm. Patru cerințe de câte 5 puncte valorează 20 de puncte. Cu patru cerințe rezolvate din primul subiect și cu cele 10 puncte din oficiu, un elev ajunge la 30 de puncte, adică nota 3.

Cum parcurgi pagina. Citește enunțul, rezolvă pe ciornă, apoi confruntă fiecare rând al soluției cu ceea ce ai scris. Dacă te oprești la 7.c), refă inversa unei matrice $2\times 2$; dacă te oprești la 9.c), desenează semnul produsului $(x+1)(3x+1)$ pe axă.

Formulele variantei 4

• Subiectul I. pentru $x^2+bx+c=0$ cu rădăcinile $x_1,x_2$: $x_1+x_2=-b$ și $x_1{x}_2=c$; $\sqrt{u}=v$ implică $u=v^2$ și se verifică $v\ge 0$; distanța de la $O(0,0)$ la $M(a,b)$ este $\sqrt{a^2+b^2}$; două unghiuri suplementare au același sinus.
• Subiectul al II-lea. $A\cdot X=B$ cu $\det A\ne 0$ dă $X=A^{-1}B$, iar $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$; la o lege asociativă, $x\ast y\ast z$ are același rezultat oricum s-ar pune parantezele.
• Subiectul al III-lea. pe un interval unde $f^{\prime }\le 0$ funcția scade, iar unde $f^{\prime }\ge 0$ crește; o primitivă a lui $x^n$ se obține mărind exponentul cu $1$ și împărțind la noul exponent; $F$ este primitivă a lui $f$ dacă $F^{\prime }=f$; aria dintre graficul lui $f$ și axa $Ox$ este $\int \left|f\right|$.

Despre litere. Litera $f$ denumește două funcții polinomiale diferite, cea de gradul $3$ de la 9 și cea de gradul $2$ de la 10. Litera $F$ de la 10.b) este o primitivă. La 2, literele $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile ecuației $x^2-5x+4=0$. Litera $n$ de la 8.c) și de la 10.c) este un număr natural.