Subiect Bac matematică tehnologic, august 2023 (varianta 7) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2023 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $1, 5 + 3 \cdot (1 - 0, 5) = 3$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 5 - x$ . Arătați că $f (0) - f (1) = 1$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3 x - 8 = 1$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A = {1, 3, 5, 7, 9}$ , acesta să verifice inegalitatea $2 n \geq 9$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, 0)$ , $B (1, 2)$ și $C (4, 1)$ . Arătați că triunghiul $A B C$ este isoscel.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$ , cu aria egală cu $50$ și $A C = 5$ . Arătați că lungimea laturii $A B$ este egală cu $20$ .

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A (x) = (x - x 1 2 - x)$ , unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $det (A (1)) = 2$ .

b) (5 puncte) Arătați că $3 A (2) + A (6) = 4 A (3)$ .

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $A (x) \cdot A (x) = 2 A (x)$ .

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = x y + 2 x - y - 1$ .

a) (5 puncte) Arătați că $1 * 1 = 1$ .

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $x * 2 = x$ .

c) (5 puncte) Arătați că $(1 - x) * x \leq 2$ , pentru orice număr real $x$ .

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x + \frac{2}{e ^{x}} - 1$ .

a) (5 puncte) Arătați că $f^{'} (x) = \frac{2 ( e ^{x} - 1 )}{e ^{x}}$ , $x \in R$ .

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 0$ , situat pe graficul funcției $f$ .

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $m$ și $n$ , știind că dreapta $d$ de ecuație $y = m x + n$ este asimptota oblică spre $+ \infty$ la graficul funcției $f$ .

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 4 x^{3} + 3 x$ .

a) (5 puncte) Arătați că $\int_{1}^{2} (f (x) - 3 x) d x = 15$ .

b) (5 puncte) Arătați că $\int_{2}^{5} \frac{1}{f ( x ) - 4 x ^{3} + 3} d x = \frac{1}{3} ln 2$ .

c) (5 puncte) Demonstrați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $O x$ a graficului funcției $g : [1, 2] \to R$ , $g (x) = \frac{x ^{3} + f ( x )}{x}$ este egal cu $2 π f (3)$ .

Barem și răspunsuri

Lucrarea valorează 100 p, din care 90 p provin din cerințe și 10 p din oficiu. Cerințele 1–6 au câte 5 p, iar problemele 7–10 au subpuncte de câte 5 p, fiecare cu două rânduri. Numerele din paranteze, la capătul rândurilor de mai jos, vin din baremul oficial din august 2023 (varianta 7); calea de rezolvare, probele și capcanele aparțin paginii.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu zecimale.

Paranteza se rezolvă prima: $1 - 0, 5 = 0, 5$ , iar expresia devine $1, 5 + 3 \cdot 0, 5$ (3 p).

Înmulțirea se face înaintea adunării: $3 \cdot 0, 5 = 1, 5$ , de unde $1, 5 + 1, 5 = 3 (2 p) .$

(Altă cale: cu $0, 5 = \frac{1}{2}$ , expresia este $\frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3$ . Capcană: adunarea se face înaintea înmulțirii, ca în $(1, 5 + 3) \cdot 0, 5 = 2, 25$ ; altă greșeală este scrierea rezultatului parantezei ca $0, 05$ , în loc de $0, 5$ .)

Exercițiul 2. (5 p) — două valori ale unei funcții.

În $x = 0$ se scade din $5$ valoarea $0$ : $f (0) = 5 - 0 = 5$ (2 p).

Apoi $f (1) = 5 - 1 = 4$ , deci diferența cerută este $f (0) - f (1) = 5 - 4 = 1 (3 p) .$

(Altă cale: panta lui $f$ este $- 1$ , deci valoarea scade cu $1$ când $x$ crește cu $1$ și $f (0) - f (1) = 1$ . Capcană: diferența se scrie în ordine inversă, $f (1) - f (0) = 4 - 5 = - 1$ ; altă greșeală este citirea funcției ca $x - 5$ , caz în care diferența valorilor din $0$ și din $1$ ar fi $- 5 - (- 4) = - 1$ .)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Dacă un radical este egal cu $1$ , expresia de sub el este egală cu $1^{2} = 1$ : $3 x - 8 = 1 (3 p) .$ De aici $3 x = 9$ , deci $x = 3$ . Verificarea: $3 \cdot 3 - 8 = 1 \geq 0$ și $1 = 1$ , deci valoarea convine (2 p).

(Altă cale: expresia de sub radical trebuie să fie nenegativă, adică $x \geq \frac{8}{3}$ , iar $3 \geq \frac{8}{3}$ . Capcană: $- 8$ trece în dreapta fără schimbare de semn, $3 x = 1 - 8 = - 7$ , de unde $x = - \frac{7}{3}$ ; dar atunci $3 x - 8 = - 15 < 0$ , iar radicalul nu există.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate cu inegalitate.

Mulțimea $A$ are cinci elemente, deci există cinci cazuri posibile (2 p).

Inegalitatea $2 n \geq 9$ înseamnă $n \geq \frac{9}{2} = 4, 5$ . Din $A$ o îndeplinesc $5$ , $7$ și $9$ , adică trei cazuri favorabile, așa că $p = \frac{3}{5} (3 p) .$

(Altă cale: nu o îndeplinesc $1$ și $3$ , fiindcă $2 \cdot 1 = 2 < 9$ și $2 \cdot 3 = 6 < 9$ ; probabilitatea este $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ . Capcană: se include $n = 3$ , deși $2 \cdot 3 = 6 < 9$ , de unde $\frac{4}{5}$ ; sau se numără numai $7$ și $9$ , deși $2 \cdot 5 = 10 \geq 9$ , de unde $\frac{2}{5}$ .)

Exercițiul 5. (5 p) — triunghi isoscel în reper.

Din formula distanței, latura $A C$ are lungimea $A C = (4 - 1)^{2} + (1 - 0)^{2} = 10 (2 p) .$ Analog, $B C = (4 - 1)^{2} + (1 - 2)^{2} = 10$ . Cum $A C = B C$ , triunghiul $A B C$ este isoscel, cu vârful în $C$ (3 p).

(Altă cale: punctele $A$ și $B$ au aceeași abscisă, deci $A B$ este vertical, iar mijlocul lui este $(1, 1)$ ; dreapta $y = 1$ este mediatoarea lui $A B$ și conține punctul $C (4, 1)$ , deci $C A = C B$ . Observație: a treia latură este $A B = 2$ , diferită de $10$ . Capcană: coordonatele se adună în loc să se scadă, $A C = (4 + 1)^{2} + (1 + 0)^{2} = 26$ și $B C = (4 + 1)^{2} + (1 + 2)^{2} = 34$ , iar laturile ar părea inegale.)

Exercițiul 6. (5 p) — latura unui triunghi dreptunghic.

Unghiul drept este în $A$ , deci catetele sunt $A B$ și $A C$ , iar aria este jumătate din produsul lor: $50 = \frac{A B \cdot 5}{2} (3 p) .$ Rezultă $A B \cdot 5 = 100$ , adică $AB = 20$ (2 p).

(Probă: $\frac{20 \cdot 5}{2} = 50$ . Capcană: se uită împărțirea la $2$ , $50 = A B \cdot 5$ , de unde $A B = 10$ ; atunci aria ar fi $\frac{10 \cdot 5}{2} = 25$ .)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x = 1$ , elementele sunt $x = 1$ , $- x = - 1$ și $2 - x = 1$ : $A (1) = (1 - 1 11), det (A (1)) = 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1) (3 p) .$ $det (A (1)) = 1 + 1 = 2 (2 p) .$

(Capcană: elementul $- x$ se citește ca $x$ , iar determinantul ar fi $1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 0$ .)

b) (5 p) Se calculează $A (2) = (2 - 2 10)$ și $A (6) = (6 - 6 1 - 4)$ ; atunci $3 A (2) + A (6) = (6 - 6 30) + (6 - 6 1 - 4) = (12 - 12 4 - 4) (3 p) .$ Scoțând factorul $4$ și cunoscând $A (3) = (3 - 3 1 - 1)$ : $(12 - 12 4 - 4) = 4 (3 - 3 1 - 1) = 4 A (3) (2 p) .$

(Altă cale: $A (x) = x P + Q$ , cu $P = (1 - 1 0 - 1)$ și $Q = (0012)$ , deci $3 A (2) + A (6) = (3 \cdot 2 + 6) P + 4 Q = 12 P + 4 Q = 4 A (3)$ . Capcană: scalarul $3$ nu înmulțește elementul $1$ din dreapta sus, iar suma ar avea acolo $1 + 1 = 2$ , nu $4$ .)

c) (5 p) Produsul, rând cu coloană, este $A (x) \cdot A (x) = (x - x 1 2 - x) (x - x 1 2 - x) = (x^{2} - x - 2 x 2 x^{2} - 5 x + 4) (2 p) .$ Dublul lui $A (x)$ este $(2 x - 2 x 2 4 - 2 x)$ . Egalitatea pe prima coloană dă $x^{2} - x = 2 x$ , adică $x (x - 3) = 0$ ; pe a doua, $x^{2} - 5 x + 4 = 4 - 2 x$ duce la aceeași ecuație. Soluțiile sunt $x \in {0, 3}$ (3 p).

(Probă: $A (3)^{2} = (6 - 6 2 - 2) = 2 A (3)$ și $A (0)^{2} = (0024) = 2 A (0)$ . Capcană: fiecare element se ridică la pătrat separat, ca în $(x^{2} x^{2} 1 (2 - x)^{2})$ , dar produsul de matrice combină liniile cu coloanele.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc ambele argumente cu $1$ în $x * y = x y + 2 x - y - 1$ : $1 * 1 = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 1 - 1 (3 p) .$ $1 * 1 = 1 + 2 - 1 - 1 = 1 (2 p) .$

(Capcană: ultimii doi termeni se adună, nu se scad, ca în $1 + 2 + 1 + 1 = 5$ .)

b) (5 p) Al doilea argument este $y = 2$ , deci $x * 2 = 2 x + 2 x - 2 - 1 = 4 x - 3$ , pentru orice $x$ real (3 p).

Ecuația $4 x - 3 = x$ dă $3 x = 3$ , deci $x = 1$ (2 p).

(Probă: $1 * 2 = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 - 2 - 1 = 1$ . Capcană: argumentele se inversează, iar $2 * x = 2 x + 4 - x - 1 = x + 3$ ; ecuația $x + 3 = x$ nu are soluții, fiindcă după scăderea lui $x$ ar rămâne $3$ în stânga și $0$ în dreapta. Ordinea argumentelor contează aici, pentru că legea nu este comutativă: $x * 2 \neq = 2 * x$ în general.)

c) (5 p) Cu $x$ pe primul loc, ca $1 - x$ , și $x$ pe al doilea: $(1 - x) * x = (1 - x) x + 2 (1 - x) - x - 1 = - x^{2} - 2 x + 1 (3 p) .$ Completând pătratul, $- x^{2} - 2 x + 1 = - (x + 1)^{2} + 2$ . Cum $(x + 1)^{2} \geq 0$ , rezultă $- (x + 1)^{2} + 2 \leq 2$ pentru orice $x$ real (2 p).

(Maximul $2$ se atinge în $x = - 1$ . Capcană: se scrie $(1 - x) x = x^{2} - x$ , cu semn greșit; atunci rezultatul ar fi $x^{2} - 4 x + 1$ , o parabolă cu ramurile în sus, care nu este mărginită superior.)

Exercițiul 9. (15 p) — funcție cu exponențială.

a) (5 p) Se scrie $\frac{2}{e ^{x}} = 2 e^{- x}$ și se derivează, folosind $(e^{- x})^{'} = - e^{- x}$ : $f^{'} (x) = 2 - 2 e^{- x} = 2 - \frac{2}{e ^{x}} (3 p) .$ Cu numitorul comun $e^{x}$ : $f^{'} (x) = \frac{2 e ^{x} - 2}{e ^{x}} = \frac{2 ( e ^{x} - 1 )}{e ^{x}}, x \in R (2 p) .$

(Capcană: se uită minusul din $(e^{- x})^{'} = - e^{- x}$ și derivata devine $2 + \frac{2}{e ^{x}}$ , care la $x = 0$ ar da $4$ , deși formula din enunț dă $0$ .)

b) (5 p) În $x = 0$ avem $f (0) = 2 \cdot 0 + \frac{2}{e ^{0}} - 1 = 1$ și $f^{'} (0) = \frac{2 ( e ^{0} - 1 )}{e ^{0}} = 0$ (2 p).

Tangenta are ecuația $y - f (0) = f^{'} (0) (x - 0)$ , adică $y - 1 = 0$ : $y = 1 (3 p) .$

(Panta nulă arată că tangenta este orizontală; în $0$ , derivata își schimbă semnul din minus în plus, deci $f$ are acolo un minim, de valoare $1$ . Capcană: se scrie $y = 0$ , valoarea derivatei, în loc de $y = f (0) = 1$ .)

c) (5 p) Panta asimptotei oblice este limita raportului $\frac{f ( x )}{x}$ : $m = x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = x \to + \infty lim (2 + \frac{2}{x e ^{x}} - \frac{1}{x}) = 2 (3 p) .$ Termenul liber este limita diferenței $f (x) - m x$ : $n = x \to + \infty lim (f (x) - 2 x) = x \to + \infty lim (\frac{2}{e ^{x}} - 1) = - 1 (2 p) .$

(Asimptota este deci $y = 2 x - 1$ . Capcană: $n$ se calculează cu o pantă greșită, de pildă $m = 1$ ; atunci $f (x) - x = x + \frac{2}{e ^{x}} - 1$ tinde la $+ \infty$ , iar limita nu există ca număr real.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu polinom și cu logaritm.

a) (5 p) Integrandul se simplifică la $4 x^{3}$ , o putere cu primitiva $x^{4}$ ; formula Leibniz–Newton cere diferența valorilor primitivei în $2$ și în $1$ : $x^{4}_{1}^{2} (3 p) .$ $= 2^{4} - 1^{4} = 16 - 1 = 15 (2 p) .$

(Capcană: se uită scăderea lui $3 x$ și se integrează $4 x^{3} + 3 x$ ; între $1$ și $2$ ar ieși $15 + \frac{9}{2} = \frac{39}{2}$ . Altă greșeală: primitiva lui $4 x^{3}$ se ia $12 x^{2}$ , adică derivata, iar valoarea ar fi $36$ .)

b) (5 p) Numitorul este $f (x) - 4 x^{3} + 3 = 3 x + 3 = 3 (x + 1)$ , iar $\frac{1}{x + 1}$ are primitiva $ln (x + 1)$ : $\int_{2}^{5} \frac{1}{f ( x ) - 4 x ^{3} + 3} d x = \frac{1}{3} \int_{2}^{5} \frac{1}{x + 1} d x = \frac{1}{3} ln (x + 1)_{2}^{5} (3 p) .$ $= \frac{1}{3} (ln 6 - ln 3) = \frac{1}{3} ln \frac{6}{3} = \frac{1}{3} ln 2 (2 p) .$

(Capcană: primitiva lui $\frac{1}{3 x + 3}$ se ia $ln (3 x + 3)$ , a cărei derivată este $\frac{1}{x + 1}$ , de trei ori mai mare; între $2$ și $5$ ar ieși $ln 18 - ln 9 = ln 2$ , în loc de $\frac{1}{3} ln 2$ .)

c) (5 p) Pentru $x \in [1, 2]$ , $g (x) = \frac{x ^{3} + 4 x ^{3} + 3 x}{x} = \frac{5 x ^{3} + 3 x}{x} = 5 x^{2} + 3$ . Volumul corpului de rotație este $π$ ori integrala pătratului funcției: $V = π \int_{1}^{2} (5 x^{2} + 3)^{2} d x = π \int_{1}^{2} (25 x^{4} + 30 x^{2} + 9) d x = π (5 x^{5} + 10 x^{3} + 9 x)_{1}^{2} = 234 π (3 p) .$ Pe de altă parte, $f (3) = 4 \cdot 27 + 3 \cdot 3 = 117$ , deci $2 π f (3) = 2 π \cdot 117 = 234 π$ . Cele două valori coincid: $V = 2 π f (3)$ (2 p).

(Capcană: pătratul sumei se dezvoltă fără dublul produs, $(5 x^{2} + 3)^{2} = 25 x^{4} + 9$ ; atunci volumul ar fi $π (5 x^{5} + 9 x)_{1}^{2} = 164 π$ . Altă greșeală: se omite factorul $π$ din formulă.)

Pentru părinți și profesori

Despre ce e vorba. Varianta 7 a probei E. c) de matematică M_tehnologic, dată în sesiunea din august 2023, este rezolvată mai jos împreună cu baremul ei. Documentele oficiale (subiectul și baremul) provin de la Ministerul Educației, prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, iar candidații au fost cei din filiera tehnologică: profilurile servicii, resurse și tehnic, la toate calificările profesionale. În „Itemi" enunțurile sunt copiate din PDF; restul paginii (rezolvări, probe, capcane, ghidaj) este scris de noi, iar din barem se păstrează doar valoarea în puncte a rândurilor.

Structura lucrării.

10 cerințe în total: 6 la Subiectul I, apoi două probleme cu câte 3 subpuncte în Subiectul al II-lea și alte două în al III-lea;
cerințele dau 90 de puncte, iar oficiul adaugă 10;
fiecare cerință a Subiectului I și fiecare subpunct valorează 5 puncte; baremul le rupe în două rânduri, 2 + 3 sau 3 + 2;
durata efectivă a lucrării este de trei ore.

Cerințele variantei 7, în ordine.

Nr.	Pe scurt	Clasa la examen	Notă
1	zecimale și o paranteză într-o egalitate de arătat	a IX-a	nota 1
2	$f (0) - f (1)$ pentru $f (x) = 5 - x$	a IX-a	—
3	ecuația $3 x - 8 = 1$	a X-a	nota 2
4	probabilitate: câte elemente impare verifică $2 n \geq 9$	a X-a	—
5	dovedirea unui triunghi isoscel din coordonatele vârfurilor	a X-a	nota 3
6	latura unui triunghi dreptunghic, din arie și cealaltă catetă	a IX-a	—
7	matricea $A (x)$ : determinant, combinație, ecuația $A (x)^{2} = 2 A (x)$	a XI-a	—
8	legea $x * y = x y + 2 x - y - 1$ : valoare, ecuație, mărginire	a XII-a	—
9	$f (x) = 2 x + \frac{2}{e ^{x}} - 1$ : derivată, tangentă, asimptotă oblică	a XI-a	—
10	integrale din $4 x^{3} + 3 x$ și volumul unui corp de rotație	a XII-a	—

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

Nota 1. În cerința 1, zecimalele și paranteza țin de numerele reale, materie a clasei a IX-a în programa de examen. Programa școlară nouă nu mai are pentru acea clasă o unitate despre numere reale; ele sunt preluate în „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
Nota 2. Ecuațiile cu radicali aparțin, la examen, clasei a X-a. Programa școlară nouă nu le numește și rezolvă ecuațiile doar pe grafic, de aceea metoda stă la noi în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
Nota 3. Distanța dintre două puncte se cere la examen în clasa a X-a; programa școlară nouă o așază în clasa a IX-a, în unitatea de geometrie analitică.

Ce are special varianta 7. Cerința 4 lucrează numai cu numere impare, iar inegalitatea $2 n \geq 9$ lasă pe dinafară exact două dintre ele. La cerința 5 nu se dau laturile: se calculează două dintre ele și se compară. Subiectul al II-lea începe cu o matrice care are pe $x$ în trei elemente din patru, iar ecuația de la 7.c) are două soluții, ambele valabile pe toate cele patru poziții. Legea de la a doua problemă are, la 8.c), un maxim egal cu $2$ , atins în $x = - 1$ . La Subiectul al III-lea, funcția $2 x + \frac{2}{e ^{x}} - 1$ are derivata nulă în $0$ , deci tangenta de la b) este orizontală; termenul $\frac{2}{e ^{x}}$ dispare la $+ \infty$ și lasă asimptota oblică $y = 2 x - 1$ . La 10.c), funcția $g$ se simplifică la $5 x^{2} + 3$ , iar volumul iese $234 π$ .

Timp. Dacă din cele 180 de minute se păstrează 33 de minute pentru recitire, rămân 147 de minute pentru cele 90 de puncte, adică 98 de secunde pentru fiecare.

Nota. Se admite orice rezolvare corectă, nu doar cea din barem; punctele sunt numere întregi, iar nota se află împărțind totalul la 10. Nota 8 corespunde la 80 de puncte în total: 10 din oficiu și 70 din cele 90 ale cerințelor.

Ce se pierde ușor. La 3, soluția se verifică în ecuația inițială; la 4, se compară $2 n$ cu $9$ , iar numărul $5$ intră printre cazurile favorabile; la 5, diferențele de coordonate se scad, nu se adună; la 7.a), semnul minus din colțul stânga jos; la 8.b), în $x * 2$ numărul $2$ ocupă locul celui de-al doilea termen; la 9.a), derivata lui $e^{- x}$ este $- e^{- x}$ ; la 10.c), pătratul unei sume are și dublul produsului.

Cum poți lucra. Începe de la enunț și caută singur rezultatul; compară apoi cu rândurile din barem. La fiecare cerință, ghidajul oferă întrebări scurte, iar o variantă greșită primește imediat explicația. Un scor sub 40 din 90 arată că merită reluat Subiectul I; între 40 și 65, că trebuie întărite ultimele subpuncte ale problemelor; peste 65, că rămâne de câștigat viteză.

Formule folosite în varianta 7

La cerințele 1–6. Din $u = c$ cu $c \geq 0$ rezultă $u = c^{2}$ , cu verificare; aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul catetelor; un segment dat prin coordonatele capetelor este ipotenuza unui triunghi dreptunghic ale cărui catete sunt diferența abscizelor și diferența ordonatelor; un triunghi cu două laturi egale este isoscel.
La problemele 7 și 8. Produsul a două matrice se calculează combinând liniile primului factor cu coloanele celui de-al doilea; la o lege de compoziție, $x * y$ se calculează înlocuind pe $x$ și pe $y$ cu argumentele date, în ordinea lor; pătratul unui număr real este pozitiv sau nul.
La problemele 9 și 10. $(e^{- x})^{'} = - e^{- x}$ ; ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_{0}$ este $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ ; asimptota oblică spre $+ \infty$ are panta $m = x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ și termenul liber $n = x \to + \infty lim (f (x) - m x)$ ; volumul corpului de rotație este $V = π \int_{a}^{b} g^{2} (x) d x$ .

Despre litere. În titluri, „itemul" este numele baremului pentru „cerință". Litera $f$ numește trei funcții, la 2, la 9 și la 10. $A$ este o mulțime (4), un vârf de triunghi (5 și 6, în două triunghiuri diferite) și o matrice cu parametru (7). La 4, $n$ este un element al lui $A$ ; la 9.c), $n$ este termenul liber al asimptotei, iar $m$ este panta ei.