Subiect Bac matematică tehnologic, sesiunea specială 2022 (varianta 3) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2022 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(1,5-0,5\right)\cdot 3-2\cdot 0,5=2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-3$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=9$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_4(3x-1)={\log }_{4}5$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, acesta să verifice inegalitatea $5n\le 22$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-2,1)$ și $B(6,3)$. Determinați coordonatele mijlocului segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC=4$ și $BC=5$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $6$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$ și $B(x)=\left(\begin{array}{cc}2-x& x\\ x& 2\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=5$.

b) (5 puncte) Arătați că $2A-B(2)=2B(0)$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det \left(B(x)\cdot B(1)-(x+1)A\right)=1$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=x+y-6xy$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\circ 1=-4$.

b) (5 puncte) Arătați că $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$".

c) (5 puncte) Determinați numerele întregi $m$ pentru care $m\circ (3-m)<3$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-3x^4+2$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=6x^2\left(1-2x\right)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)+3x^4}{x^3+4}=2$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $-32\le 2x^3-3x^4\le \frac{1}{16}$, pentru orice $x\in [0,2]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+3e^x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_2^3\left(f(x)-3e^x\right)dx=5$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}x\left(f(x)-2x\right)dx=3$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, știind că ${\int }_0^1\frac{f^{\prime }(x)-x}{2f(x)-x^2}dx=a\ln \left(e+\frac{1}{2}\right)$.

Barem și răspunsuri

Lucrarea valorează în total 100 p (90 p cerințe, 10 p oficiu). Cerințele 1–6 au câte 5 p; la problemele 7–10 fiecare subpunct are 5 p, repartizate pe două rânduri. Numerele din parantezele de la capătul rândurilor sunt cele din baremul oficial al sesiunii speciale 2022 (varianta 3). Restul (modul de rezolvare, probele, capcanele) ține de pagină.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu zecimale.

Paranteza se calculează prima: $1,5-0,5=1$; produsul $2\cdot 0,5$ este tot $1$. Expresia devine $1\cdot 3-1$ (3 p).

Rămâne $$1\cdot 3-1=3-1=2\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: cu $1,5=\frac{3}{2}$ și $0,5=\frac{1}{2}$, expresia este $\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\right)\cdot 3-2\cdot \frac{1}{2}=3-1=2$. Capcană: se ignoră paranteza, ca în $1,5-0,5\cdot 3-2\cdot 0,5=-1$; altă greșeală este diferența $1,5-0,5$ scrisă $0,1$, caz în care ar ieși $0,1\cdot 3-1=-0,7$.)

Exercițiul 2. (5 p) — argumentul unei funcții.

Pentru un argument oarecare $a$, formula dă $f(a)=2a-3$ (2 p).

Cerința $f(a)=9$ cere ca expresia $2a-3$ să fie egală cu $9$; atunci $2a=12$ și $$\mathbf{a}=6\text{(3 p)}.$$

(Probă: $f(6)=2\cdot 6-3=9$. Altă cale: valoarea crește cu $2$ la fiecare unitate a lui $x$, iar de la $f(0)=-3$ la $9$ sunt $12$ unități de valoare, adică $6$ unități de argument. Capcană: se calculează $f(9)=2\cdot 9-3=15$, deși valoarea cerută este $9$, nu argumentul; sau se scrie $2a=9-3=6$, de unde $a=3$, dar $f(3)=3\ne 9$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Doi logaritmi în baza $4$ sunt egali numai dacă argumentele lor sunt egale, așa că $$3x-1=5\text{(3 p)}.$$ Rezultă $3x=6$, deci $\mathbf{x}=2$. Argumentul trebuie să fie pozitiv, iar $3\cdot 2-1=5>0$: valoarea convine (2 p).

(Probă: pentru $x=2$ ambii membri sunt ${\log }_{4}5$. Capcană: argumentul se egalează cu baza, $3x-1=4$, de unde $x=\frac{5}{3}$; dar atunci membrul stâng este ${\log }_{4}4=1$, mai mic decât ${\log }_{4}5$. Altă greșeală: se ridică la puterea $4$, $3x-1=5^4=625$, deși egalarea argumentelor nu cere nicio putere.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate cu inegalitate.

Mulțimea $A$ cuprinde cifrele de la $0$ la $9$: zece numere, deci zece cazuri posibile (2 p).

Inegalitatea $5n\le 22$ înseamnă $n\le \frac{22}{5}=4,4$. O verifică numerele $0,1,2,3,4$, adică cinci cazuri favorabile, și $$\mathbf{p}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: $5\cdot 4=20\le 22<25=5\cdot 5$, deci favorabile sunt exact numerele până la $4$. Capcană: pragul $4,4$ se rotunjește în sus la $5$, de unde $\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$; altă greșeală este citirea inegalității ca $5+n\le 22$, adică $n\le 17$, care ar fi verificată de toate cele zece numere.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment.

Coordonatele mijlocului $M$ sunt semisumele coordonatelor capetelor: $$x_M=\frac{-2+6}{2},y_M=\frac{1+3}{2}\text{(3 p)}.$$ Atunci $x_M=\frac{4}{2}=2$ și $y_M=\frac{4}{2}=2$, adică $\mathbf{M}(2,2)$ (2 p).

(Altă cale: $MA=\sqrt{(2+2{)}^2+(2-1{)}^2}=\sqrt{17}$ și $MB=\sqrt{(6-2{)}^2+(3-2{)}^2}=\sqrt{17}$, iar panta lui $AM$, $\frac{2-1}{2+2}=\frac{1}{4}$, este egală cu cea a lui $MB$, $\frac{3-2}{6-2}=\frac{1}{4}$. Capcană: se iau semidiferențele, $\frac{6-(-2)}{2}=4$ și $\frac{3-1}{2}=1$; punctul $(4,1)$ este la distanța $\sqrt{(4+2{)}^2+(1-1{)}^2}=6$ de $A$ și la $\sqrt{(6-4{)}^2+(3-1{)}^2}=\sqrt{8}$ de $B$, deci nu este mijlocul.)

Exercițiul 6. (5 p) — aria unui triunghi dreptunghic.

Unghiul drept este în $A$, deci $BC=5$ este ipotenuza, iar $AB$ și $AC$ sunt catete. Din teorema lui Pitagora, $$A{B}^2=B{C}^2-A{C}^2=25-16=9,\text{deci}AB=3\text{(2 p)}.$$ Aria este jumătate din produsul catetelor: $$\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{3\cdot 4}{2}=6\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: $(3,4,5)$ este tripletul pitagoric clasic. Capcană: ipotenuza se ia drept catetă, $AB=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}$, iar aria $\frac{\sqrt{41}\cdot 4}{2}=2\sqrt{41}$ nu este $6$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice cu parametru.

a) (5 p) Determinantul este produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare: $$\det A=2\cdot 3-1\cdot 1\text{(3 p)}.$$ $$\det A=6-1=5\text{(2 p)}.$$

(Capcană: diagonalele se amestecă, $2\cdot 1-1\cdot 3=-1$.)

b) (5 p) Se calculează $2A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 6\end{array}\right)$ și $B(2)=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$, deci $$2A-B(2)=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 4\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Cum $B(0)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$, matricea de mai sus este $$\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 4\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=2B(0)\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se adună în loc să se scadă, $2A+B(2)=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 4& 8\end{array}\right)$, matrice care nu este un multiplu al lui $B(0)$.)

c) (5 p) Pentru $x=1$, $B(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$. Produsul, rând cu coloană, și multiplul lui $A$ sunt $$B(x)\cdot B(1)=\left(\begin{array}{cc}2& x+2\\ x+2& x+4\end{array}\right),(x+1)A=\left(\begin{array}{cc}2x+2& x+1\\ x+1& 3x+3\end{array}\right).$$ Diferența lor este $\left(\begin{array}{cc}-2x& 1\\ 1& 1-2x\end{array}\right)$, cu determinantul $$-2x\left(1-2x\right)-1\cdot 1=4x^2-2x-1\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $4x^2-2x-1=1$ dă $2x^2-x-1=0$, cu $\Delta =1+8=9$ și soluțiile $\mathbf{x}=-\frac{1}{2}$, respectiv $\mathbf{x}=1$ (2 p).

(Probă: pentru $x=1$, $4-2-1=1$; pentru $x=-\frac{1}{2}$, $1+1-1=1$. Capcană: se uită scăderea lui $(x+1)A$ și se ia determinantul produsului, $2(x+4)-(x+2{)}^2=-x^2-2x+4$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc ambele argumente cu $1$ în $x\circ y=x+y-6xy$: $$1\circ 1=1+1-6\cdot 1\cdot 1\text{(3 p)}.$$ $$1\circ 1=2-6=-4\text{(2 p)}.$$

(Capcană: termenul $-6xy$ se adună, nu se scade: $1+1+6=8$.)

b) (5 p) Un element $e$ este neutru dacă $x\circ e=e\circ x=x$ pentru orice $x$. Pentru $e=0$, produsul $6\cdot 0\cdot x$ este nul, deci $$0\circ x=0+x-6\cdot 0\cdot x=x,\text{pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ La fel, $x\circ 0=x+0-6\cdot x\cdot 0=x$, pentru orice $x$. Numărul $0$ lasă pe loc orice $x$, la stânga și la dreapta, deci $e=0$ joacă rolul de element neutru (3 p).

(Legea este comutativă, fiindcă adunarea și înmulțirea numerelor reale sunt comutative; de aceea cele două verificări coincid. Capcană: se verifică numai $0\circ 0=0$, o singură valoare, când egalitatea trebuie să fie adevărată pentru orice $x$.)

c) (5 p) Cu $x=m$ și $y=3-m$, suma $x+y$ este $3$: $$m\circ (3-m)=m+(3-m)-6m(3-m)=3-6m(3-m)\text{(2 p)}.$$ Inegalitatea $3-6m(3-m)<3$ dă $-6m(3-m)<0$, adică $m(3-m)>0$, ceea ce înseamnă $m(m-3)<0$ și $0<m<3$. Numerele întregi din intervalul $(0,3)$ sunt $\mathbf{m}\in \{1,2\}$ (3 p).

(Probă: $1\circ 2=3-12=-9<3$ și $2\circ 1=-9<3$, iar pentru $m=0$ și $m=3$ valoarea este chiar $3$, nu mai mică. Capcană: la trecerea de la $-6m(3-m)<0$ la $m(3-m)>0$ semnul inegalității nu se schimbă, ceea ce ar duce la $m(3-m)<0$ și la numere întregi din afara intervalului $[0,3]$.)

Exercițiul 9. (15 p) — polinom de gradul $4$.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen: derivata lui $2x^3$ este $6x^2$, a lui $3x^4$ este $12x^3$, iar constanta $2$ are derivata $0$: $$f^{\prime }(x)=2\cdot 3x^2-3\cdot 4x^3\text{(3 p)}.$$ Scoțând factorul comun $6x^2$: $$f^{\prime }(x)=6x^2-12x^3=6x^2\left(1-2x\right),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: derivata constantei $2$ se ia egală cu $2$; atunci expresia $6x^2-12x^3+2$ ar avea în $x=0$ valoarea $2$, deși formula din enunț dă $0$ în $x=0$.)

b) (5 p) La numărător, $f(x)+3x^4=2x^3-3x^4+2+3x^4=2x^3+2$, așa că raportul este $\frac{2x^3+2}{x^3+4}$. Se scoate $x^3$ factor comun, la numărător și la numitor: $$\frac{2x^3+2}{x^3+4}=\frac{x^3\left(2+\frac{2}{x^3}\right)}{x^3\left(1+\frac{4}{x^3}\right)}\text{(2 p)}.$$ Factorul $x^3$ se simplifică, iar fracțiile cu $x^3$ la numitor tind la $0$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{2}{x^3}}{1+\frac{4}{x^3}}=\frac{2+0}{1+0}=2\text{(3 p)}.$$

(Capcană: se păstrează numai termenii liberi, $\frac{2}{4}$; dar la $+\infty$ contează termenii de grad maxim, $\frac{2x^3}{x^3}=2$.)

c) (5 p) Ecuația $f^{\prime }(x)=0$ înseamnă $6x^2=0$ sau $1-2x=0$, adică $x=0$ sau $x=\frac{1}{2}$. Pe $\left[0,\frac{1}{2}\right]$, $1-2x\ge 0$, deci $f^{\prime }\ge 0$ și $f$ crește; pe $\left[\frac{1}{2},2\right]$, $1-2x\le 0$, deci $f^{\prime }\le 0$ și $f$ descrește (2 p).

Valorile în punctele importante sunt $f(0)=2$, $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{33}{16}$ și $f(2)=16-48+2=-30$. Funcția urcă de la $2$ la $\frac{33}{16}$, apoi coboară până la $-30$, deci pe $[0,2]$ avem $-30\le f(x)\le \frac{33}{16}$. Scăzând $2$ din fiecare membru: $$-32\le 2x^3-3x^4\le \frac{33}{16}-2=\frac{1}{16}\text{(3 p)}.$$

(Capcană: se compară numai capetele, $f(0)=2$ și $f(2)=-30$, iar maximul din interior, $\frac{33}{16}>2$, rămâne neobservat; altă greșeală este $3\cdot 2^4$ calculat ca $24$, de unde $16-24+2=-6$, în loc de $-30$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu exponențială.

a) (5 p) Din $f(x)-3e^x=2x$ rămâne ${\int }_2^{3}2xdx$, cu primitiva $x^2$: $${\int }_2^3\left(f(x)-3e^x\right)dx=x^2{|}_2^3\text{(3 p)}.$$ $$=3^2-2^2=9-4=5\text{(2 p)}.$$

(Capcană: primitiva lui $2x$ se ia $2x^2$, a cărei derivată este $4x$; între $2$ și $3$ ar ieși $10$. Altă greșeală: se uită scăderea lui $3e^x$ și se integrează toată funcția $f$.)

b) (5 p) Avem $x\left(f(x)-2x\right)=x\cdot 3e^x=3x{e}^x$. Funcția $3x{e}^x-3e^x$ este o primitivă a ei, căci ${\left(3x{e}^x-3e^x\right)}^{\prime }=3e^x+3x{e}^x-3e^x=3x{e}^x$: $${\int }_0^{1}3x{e}^{x}dx=\left(3x{e}^x-3e^x\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=\left(3e-3e\right)-\left(0-3\right)=3\text{(2 p)}.$$

(Capcană: $3x{e}^x$ se ia chiar primitivă; derivata ei este $3e^x+3x{e}^x$, iar valoarea ar fi $3e$.)

c) (5 p) Pentru numitor, ${\left(2f(x)-x^2\right)}^{\prime }=2f^{\prime }(x)-2x=2\left(f^{\prime }(x)-x\right)$, deci integrandul este $\frac{1}{2}\cdot \frac{{\left(2f(x)-x^2\right)}^{\prime }}{2f(x)-x^2}$, cu primitiva $\frac{1}{2}\ln \left(2f(x)-x^2\right)$; numitorul este pozitiv pe $[0,1]$, fiindcă $2f(x)-x^2=4x+6e^x-x^2>0$. Cum $2f(1)-1=3+6e$ și $2f(0)=6$, $${\int }_0^1\frac{f^{\prime }(x)-x}{2f(x)-x^2}dx=\frac{1}{2}\ln \left(2f(x)-x^2\right){|}_0^1=\frac{1}{2}\ln \frac{3+6e}{6}=\frac{1}{2}\ln \left(e+\frac{1}{2}\right)\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $\frac{1}{2}\ln \left(e+\frac{1}{2}\right)=a\ln \left(e+\frac{1}{2}\right)$ are logaritmul nenul (căci $e+\frac{1}{2}>1$), deci $\mathbf{a}=\frac{1}{2}$ (2 p).

(Capcană: factorul $\frac{1}{2}$ se pierde și primitiva se scrie $\ln \left(2f(x)-x^2\right)$; atunci ar ieși $a=1$, deși derivata acelei funcții este de două ori integrandul.)

Pentru părinți și profesori

Despre ce e vorba. Această pagină rezolvă varianta 3 a probei E. c) de matematică M_tehnologic din sesiunea specială 2022 și reproduce baremul oficial, rând cu rând. Subiectul a fost dat în filiera tehnologică (profilurile servicii, resurse, tehnic; orice calificare profesională), iar documentele sunt ale Ministerului Educației și au fost publicate prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Secțiunea „Itemi" copiază PDF-ul; rezolvările, probele, capcanele și ghidajul sunt ale noastre, iar din barem rămâne doar valoarea în puncte a fiecărui rând.

Pe scurt, lucrarea.

• 10 cerințe: Subiectul I are șase, iar fiecare dintre ultimele două subiecte cuprinde două probleme, împărțite fiecare în trei subpuncte;
• 90 de puncte vin din cerințe, 10 din oficiu;
• fiecare cerință din Subiectul I și fiecare subpunct valorează 5 puncte, iar baremul împarte aceste 5 puncte în două rânduri (2 + 3 sau 3 + 2);
• timp de lucru: 3 ore.

Cerințele variantei 3, în ordine.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Zecimalele cu paranteză din prima cerință țin de operațiile cu numere reale din clasa a IX-a (programa de examen). Programa școlară nouă nu are o unitate pe această temă, așa că ea e acoperită de „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. În programa de examen, ecuațiile logaritmice sunt din clasa a X-a. Programa școlară nouă prezintă logaritmul doar intuitiv, fără regulile de calcul, și rezolvă ecuațiile pe grafic; metoda algebrică este la noi în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Termenul „mijlocul unui segment" lipsește din programa de examen, deși cerința 5 îl cere; programa școlară nouă îl așază în clasa a IX-a, la geometria analitică.

Ce a avut special varianta 3. La Subiectul I, numai cerințele 1 și 6 cer să se arate o egalitate; la 2, 3, 4 și 5 se cer o valoare, soluția unei ecuații, o probabilitate, respectiv coordonate. La cerința 4, pragul $\frac{22}{5}=4,4$ cade între $4$ și $5$. Matricea $B(x)$ de la Subiectul al II-lea este simetrică față de diagonala principală, iar la 7.c) determinantul ajunge la o ecuație de gradul al doilea cu două soluții. Legea $x\circ y=x+y-6xy$ este comutativă, are elementul neutru $0$, iar la 8.c) se rezolvă o inegalitate în numere întregi. La Subiectul al III-lea, adunând $3x^4$ la $f(x)$ rămâne un raport de polinoame de același grad; la 9.c) maximul funcției pe $[0,2]$ este în $x=\frac{1}{2}$, nu într-un capăt al intervalului, iar la 10.c) numărătorul fracției este jumătate din derivata numitorului.

Timp. Din cele 180 de minute, 27 pot merge la recitire, iar 153 rămân pentru cele 90 de puncte, adică 102 secunde pentru fiecare punct.

Nota. Se admite orice rezolvare corectă; punctele sunt întregi, iar totalul se împarte la 10 pentru a obține nota. Nota 7 înseamnă 70 de puncte în total: 10 din oficiu și 60 din cerințe.

Unde se alunecă. La 1, paranteza se calculează înaintea înmulțirii; la 2, valoarea $9$ este valoarea funcției, nu argumentul; la 3, argumentul logaritmului se egalează cu $5$, nu cu baza; la 5, se împarte la $2$ suma coordonatelor, nu diferența; la 7.c), din produs se scade matricea $(x+1)A$, fără să fie omisă; la 8.c), se păstrează condiția $m(m-3)<0$ și se rețin doar numerele întregi dintre rădăcini; la 9.c), se compară și maximul din interiorul intervalului; la 10.c), factorul $\frac{1}{2}$ din fața logaritmului nu se pierde.

Lucru recomandat. Rezolvă întâi pe hârtie, apoi confruntă-ți pașii cu rândurile din barem. În ghidaj, fiecare cerință are câteva întrebări cu răspuns scurt sau cu variante, iar o alegere greșită primește explicația îndată. Sub 40 de puncte din 90, Subiectul I cere reluare; între 40 și 65, subpunctele de la capătul problemelor; peste 65, ritmul.

Formule folosite în varianta 3

• La cerințele 1–6. ${\log }_{a}u={\log }_{a}v$ cu $u,v>0$ atrage $u=v$; mijlocul segmentului cu capetele $A(x_1,y_1)$ și $B(x_2,y_2)$ are coordonatele $\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$; aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor, iar pătratul ipotenuzei este suma pătratelor lor.
• La problemele 7 și 8. Determinantul matricei $\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$ este $ps-qr$; elementul neutru $e$ al unei legi cere $x\circ e=e\circ x=x$ pentru orice $x$; produsul $m(m-3)$ este negativ doar între rădăcinile $0$ și $3$.
• La problemele 9 și 10. ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$; limita la $+\infty$ a unei fracții cu numărătorul și numitorul polinoame de același grad este câtul coeficienților lor de grad maxim; o funcție continuă pe un interval închis, crescătoare apoi descrescătoare, își are maximul în punctul de schimbare; ${\int }_a^b\frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln u{|}_a^b$ pentru $u>0$; $\int F^{\prime }g=Fg-\int F{g}^{\prime }$.

Despre litere. În titlurile de mai jos, „itemul" este cuvântul din barem pentru „cerință". Cu $f$ se notează trei funcții diferite (2, 9, 10). $A$ este o mulțime (4), un punct (5), un vârf de triunghi (6) și o matrice (7); $B$ este un punct (5), un vârf (6) și o matrice cu parametru (7). La 8.b), $e$ înseamnă elementul neutru, dar la Subiectul al III-lea $e\approx 2,718$ este numărul lui Euler. Litera $a$ este argumentul de la 2 și constanta de la 10.c); $m$ este un număr întreg la 8.c).