Subiect Bac matematică tehnologic, model 2025 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2025 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(3+3\sqrt{2}\right)\cdot \sqrt{2}-3\sqrt{2}+4=10$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+6$. Arătați că $f(0)+f(2)=f(4)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x-1}-3=0$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Prețul unui obiect este de $400$ de lei. Determinați prețul obiectului după o ieftinire cu $25\%$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,3)$, $B(5,6)$ și $C(6,2)$. Arătați că triunghiul $ABC$ este isoscel.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC=4$ și măsura unghiului $C$ egală cu $60^{\circ }$. Arătați că $BC=8$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& x\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(3))=1$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(2)+A(6)=2A(4)$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $A(x)\cdot A(x)=3I_2$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=x+y+6$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\circ (-3)=4$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\circ 2=3x$.

c) (5 puncte) Arătați că $\left(x^2+2\right)\circ (1-6x)\ge 0$, pentru orice număr real $x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{5x-2}{x-1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=-\frac{3}{(x-1{)}^2}$, $x\in (1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=2$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este convexă.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+3$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(f(x)-3\right)dx=1$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1{e}^{x}f(x)dx=3e-1$.

c) (5 puncte) Determinați $a\in (0,+\infty )$ pentru care ${\int }_1^2\frac{f(x)}{x(x+3)}dx=\ln \frac{a}{2}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, un subpunct are 5 p, repartizate în baremul modelului din 2025 pe două rânduri, reproduse ca atare mai jos; formulările rezolvărilor, explicațiile și probele sunt ale noastre.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu radicali.

Se desface paranteza: $\sqrt{2}$ înmulțește pe rând pe $3$ și pe $3\sqrt{2}$, iar $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$: $$\left(3+3\sqrt{2}\right)\sqrt{2}=3\sqrt{2}+3\cdot 2=3\sqrt{2}+6\text{(2 p)}.$$ Expresia devine $3\sqrt{2}+6-3\sqrt{2}+4$, iar termenii cu radical se anulează între ei: $$3\sqrt{2}+6-3\sqrt{2}+4=6+4=10\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: în tot calculul, radicalul rămâne doar în perechea $3\sqrt{2}-3\sqrt{2}=0$; restul sunt numere întregi, $3\cdot 2+4$. Capcană: $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}$ se scrie $\sqrt{2}$ în loc de $2$; atunci $3\sqrt{2}+3\sqrt{2}-3\sqrt{2}+4=3\sqrt{2}+4$, care nu este $10$. O altă greșeală: $\sqrt{2}$ se înmulțește doar cu al doilea termen al parantezei, deci $3+3\cdot 2-3\sqrt{2}+4=13-3\sqrt{2}$, tot diferit de $10$.)

Exercițiul 2. (5 p) — valorile unei funcții de gradul întâi.

Se înlocuiește argumentul în $f(x)=3x+6$: $$f(0)=6,f(2)=3\cdot 2+6=12\text{(2 p)}.$$ În membrul drept, $f(4)=3\cdot 4+6=18$, iar suma din stânga este $$f(0)+f(2)=6+12=18=f(4)\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: $f(x)=3(x+2)$, deci $f(0)=3\cdot 2$, $f(2)=3\cdot 4$ și $f(4)=3\cdot 6$; egalitatea cere $2+4=6$. Capcană: funcția nu este aditivă. Dacă se crede că $f(0)+f(2)=f(0+2)$, se ajunge la $f(2)=12$, dar suma este $18$, fiindcă termenul liber $6$ se adună de două ori.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Radicalul se izolează într-un membru: $\sqrt{2x-1}=3$. Ambii membri sunt nenegativi, deci se pot ridica la pătrat: $$2x-1=3^2=9\text{(3 p)}.$$ Rezultă $2x=10$, adică $\mathbf{x}=5$. Soluția convine: $x=5$ face expresia de sub radical $2\cdot 5-1=9\ge 0$ (2 p).

(Probă: $\sqrt{2\cdot 5-1}-3=\sqrt{9}-3=0$. De ce contează verificarea: ecuația $\sqrt{2x-1}=-3$ ar duce tot la $2x-1=9$ și la $x=5$, dar $\sqrt{9}=3$, nu $-3$; ridicarea la pătrat poate aduce soluții care nu aparțin ecuației inițiale. Capcană: radicalul se „șterge" fără pătrat și iese $2x-1=3$, adică $x=2$; dar $\sqrt{2\cdot 2-1}-3=\sqrt{3}-3\ne 0$.)

Exercițiul 4. (5 p) — procente.

O ieftinire cu $25\%$ înseamnă că se scade din preț $25\%$ din el: $$\frac{25}{100}\cdot 400=100\text{ lei}\text{(2 p)}.$$ Din prețul inițial se scade reducerea și rămân $400-100=300$ de lei (3 p).

(Altă cale: după ieftinire rămân $100\%-25\%=75\%$ din preț, iar $\frac{75}{100}\cdot 400=300$. Capcană: se răspunde $100$, care este reducerea, nu prețul. Alta: o scumpire cu $25\%$ nu readuce prețul la $400$, fiindcă se calculează din $300$: $300\cdot \frac{125}{100}=375$.)

Exercițiul 5. (5 p) — triunghi isoscel în reperul cartezian.

Distanța dintre două puncte este radicalul din suma pătratelor diferențelor coordonatelor lor. Pentru $A(2,3)$ și $C(6,2)$: $$AC=\sqrt{(6-2{)}^2+(2-3{)}^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}\text{(2 p)}.$$ Pentru $B(5,6)$ și $C(6,2)$: $$BC=\sqrt{(6-5{)}^2+(2-6{)}^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}.$$ Deci $AC=BC$, iar triunghiul $ABC$ are două laturi egale: este isoscel, cu vârful în $C$ (3 p).

(Observație: a treia latură este diferită, $AB=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$, iar $\sqrt{18}\ne \sqrt{17}$, deci triunghiul nu este echilateral. Capcană: se calculează $AB$ și $AC$ și, din $\sqrt{18}\ne \sqrt{17}$, se trage concluzia greșită că triunghiul nu e isoscel; trebuie căutată perechea de laturi egale, nu doar cele care pornesc din $A$.)

Exercițiul 6. (5 p) — triunghi dreptunghic.

În triunghiul dreptunghic în $A$, cateta $AC$ este alăturată unghiului $C$, iar $BC$ este ipotenuza. Raportul dintre cateta alăturată unghiului și ipotenuză este cosinusul acelui unghi, cu $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$: $$\frac{AC}{BC}=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$ Cu $AC=4$, relația devine $\frac{4}{BC}=\frac{1}{2}$, de unde $BC=2\cdot 4=8$ (2 p).

(Altă cale: unghiul $B$ are $90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$, iar cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză: $AC=\frac{BC}{2}$. Probă: $AB=4\sqrt{3}$ și $A{B}^2+A{C}^2=48+16=64=B{C}^2$. Capcană: raportul se scrie invers, $\cos C=\frac{BC}{AC}$, și iese $BC=2$ — o ipotenuză mai scurtă decât cateta $AC=4$, deci imposibilă.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$ cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=3$ se obține $A(3)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$, deci $$\det (A(3))=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right|=1\cdot 3-1\cdot 2\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(3))=3-2=1\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: pentru orice $x$, $\det A(x)=1\cdot x-1\cdot 2=x-2$, iar la $x=3$ iese $1$. Capcană: elementul din stânga jos, $2$, nu depinde de $x$; dacă se scrie $3$, matricea devine $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 3\end{array}\right)$, cu determinantul $0$. O altă greșeală: produsele se adună, $3+2=5$.)

b) (5 p) Pentru $x=2$ și $x=6$ se obține $A(2)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right)$ și $A(6)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 6\end{array}\right)$. Matricele se adună element cu element: $1+1=2$, $2+2=4$, $2+6=8$, deci suma lor este matricea $$\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 4& 8\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Pe de altă parte, $A(4)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 4\end{array}\right)$, deci $$2A(4)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 4& 8\end{array}\right)=A(2)+A(6)\text{(2 p)}.$$

(De ce iese: doar colțul din dreapta jos depinde de $x$, iar $2+6=2\cdot 4$; celelalte trei elemente sunt constante și se dublează. Capcană: se crede că parametrii se adună, $A(2)+A(6)=A(8)$; dar $A(8)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 8\end{array}\right)$ nu este $\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 4& 8\end{array}\right)$.)

c) (5 p) Produsul se face rând cu coloană: $$A(x)\cdot A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& x\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 1+x\\ 2+2x& 2+x^2\end{array}\right),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ Egalitatea cu $3I_2=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$ cere $1+x=0$, $2+2x=0$ și $2+x^2=3$. Prima dă $x=-1$, iar valoarea verifică și celelalte două: $2+2\cdot (-1)=0$ și $2+(-1{)}^2=3$. Deci $$\mathbf{x}=-1\text{(2 p)}.$$

(Probă: $A(-1)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right)$, iar $A(-1)\cdot A(-1)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$. Capcană: se ridică la pătrat fiecare element, $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& x^2\end{array}\right)$; matricea aceasta nu poate fi $3I_2$, fiindcă primul ei element este $1$, nu $3$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește în definiția legii: $$1\circ (-3)=1+(-3)+6\text{(3 p)}.$$ $$1\circ (-3)=1-3+6=4\text{(2 p)}.$$

(Capcană: numărul $-3$ se ia fără semn și iese $1+3+6=10$; sau se înmulțesc, în loc să se adune, primele două numere și rămâne $1\cdot (-3)+6=3$.)

b) (5 p) Oricare ar fi $x$ real, legea dă $$x\circ 2=x+2+6=x+8\text{(3 p)}.$$ Ecuația $x+8=3x$ dă $2x=8$, deci $\mathbf{x}=4$ (2 p).

(Probă: $4\circ 2=4+2+6=12=3\cdot 4$. Capcană: $x\circ 2$ se citește ca produs, $2x$; atunci $2x=3x$ dă $x=0$, dar $0\circ 2=8$, iar $3\cdot 0=0$.)

c) (5 p) Se înlocuiesc $x\to x^2+2$ și $y\to 1-6x$: $$\left(x^2+2\right)\circ (1-6x)=x^2+2+1-6x+6=x^2-6x+9\text{(2 p)}.$$ Ultima expresie este pătratul unei diferențe: $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$. Un pătrat de număr real nu este negativ, deci expresia $\left(x^2+2\right)\circ (1-6x)$ este mai mare sau egală cu zero pentru orice număr real $x$ (3 p).

(Altă cale: legea se scrie $x\circ y=(x+3)+(y+3)$, deci $\left(x^2+2\right)\circ (1-6x)=\left(x^2+5\right)+(4-6x)=x^2-6x+9$. Egalitatea se atinge pentru $x=3$: $11\circ (-17)=11-17+6=0$. Capcană: $(x-3{)}^2$ se confundă cu $x^2-9$; la $x=0$ valorile sunt $9$ și $-9$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, convexitate.

a) (5 p) Derivăm câtul $\frac{u}{v}$, cu $u=5x-2$ și $v=x-1$: $$f^{\prime }(x)=\frac{(5x-2{)}^{\prime }(x-1)-(5x-2)(x-1{)}^{\prime }}{(x-1{)}^2}=\frac{5(x-1)-(5x-2)}{(x-1{)}^2}\text{(3 p)}.$$ La numărător, $5x-5-5x+2=-3$: $$f^{\prime }(x)=-\frac{3}{(x-1{)}^2},x\in (1,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: $5x-2=5(x-1)+3$, deci $f(x)=5+\frac{3}{x-1}$, iar derivata este $-\frac{3}{(x-1{)}^2}$. Capcană: derivata câtului nu este câtul derivatelor; $\frac{(5x-2{)}^{\prime }}{(x-1{)}^{\prime }}=5$, o constantă, pe când $f^{\prime }$ depinde de $x$.)

b) (5 p) La $x=2$ graficul trece prin punctul de ordonată $f(2)=\frac{5\cdot 2-2}{2-1}=8$, iar tangenta are panta $f^{\prime }(2)=-\frac{3}{1^2}=-3$: $$f(2)=8,f^{\prime }(2)=-3\text{(2 p)}.$$ Cu formula tangentei, $y-f(2)=f^{\prime }(2)(x-2)$, punctul $(2,8)$ și panta $-3$ dau $y-8=-3(x-2)$: $$\mathbf{y}=-3x+14\text{(3 p)}.$$

(Probă: dreapta trece prin $(2,8)$, fiindcă $-3\cdot 2+14=8$. Capcană: ecuația se scrie $y=f^{\prime }(2)\cdot x+f(2)=-3x+8$, dar atunci dreapta n-ar mai trece prin $(2,8)$: $-3\cdot 2+8=2$.)

c) (5 p) Se derivează încă o dată. Scrisă ca $f^{\prime }(x)=-3(x-1{)}^{-2}$, prima derivată are exponentul $-2$: acesta coboară și înmulțește coeficientul $-3$ (iar $-3\cdot (-2)=6$), apoi scade cu $1$. Rezultă $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{6}{(x-1{)}^3},x\in (1,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Pentru $x>1$, numărul $x-1$ este pozitiv, deci și cubul lui; atunci $f^{\prime \prime }(x)>0$ pe tot intervalul $(1,+\infty )$, iar funcția $f$ este convexă (2 p).

(Probă: $f^{\prime \prime }(2)=6$ și $f^{\prime \prime }(3)=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$, ambele pozitive. Capcană: se confundă semnul lui $f^{\prime }$ cu al lui $f^{\prime \prime }$; $f^{\prime }(x)<0$ spune că $f$ este descrescătoare, nu că este concavă; funcția este deodată descrescătoare și convexă.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale: primitivă imediată, prin părți, logaritm.

a) (5 p) Se înlocuiește $f(x)=2x+3$; diferența rămâne $2x$: $${\int }_0^1\left(f(x)-3\right)dx={\int }_0^{1}2xdx=x^2{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=1-0=1\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: ${\int }_0^{1}f(x)dx=\left(x^2+3x\right){|}_0^1=4$, iar ${\int }_0^{1}3dx=3$; diferența este $1$. Capcană: o primitivă a lui $2x$ se scrie $2x^2$ și iese $2$, în loc de $1$.)

b) (5 p) Se integrează prin părți, cu $f(x)=2x+3$ și $e^x={\left(e^x\right)}^{\prime }$: $${\int }_0^1{e}^{x}f(x)dx=e^x(2x+3){|}_0^1-{\int }_0^{1}2e^{x}dx=5e-3-2e^x{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=5e-3-(2e-2)=3e-1\text{(2 p)}.$$

(Verificare de ordin de mărime: pe $[0,1]$ avem $e^x\ge 1$ și $2x+3\ge 3$, deci integrandul este cel puțin $3$ și integrala este cel puțin $3$; iar $3e-1>3$, fiindcă $e>2$. Capcană: integrala produsului nu este produsul primitivelor; $e^x\left(x^2+3x\right){|}_0^1=4e$, nu $3e-1$.)

c) (5 p) Numitorul este $x(x+3)=x^2+3x$, iar derivata lui este $2x+3=f(x)$; funcția de integrat este deci un raport $\frac{u^{\prime }}{u}$, cu $u=x^2+3x$. O primitivă a lui este $\ln u$, iar integrala devine $${\int }_1^2\frac{f(x)}{x(x+3)}dx=\ln \left(x^2+3x\right){|}_1^2=\ln 10-\ln 4=\ln \frac{5}{2}\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $\ln \frac{5}{2}=\ln \frac{a}{2}$ dă $\frac{5}{2}=\frac{a}{2}$, deci $\mathbf{a}=5$; valoarea aparține lui $(0,+\infty )$, deci convine (2 p).

(Altă cale: $\frac{2x+3}{x(x+3)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}$, iar $\left(\ln x+\ln (x+3)\right){|}_1^2=\ln 2+\ln 5-\ln 4=\ln \frac{5}{2}$. Capcană: diferența logaritmilor se scrie ca logaritm al diferenței, $\ln (10-4)=\ln 6$, dar diferența logaritmilor este logaritmul câtului. Altă greșeală: se ia logaritmul numărătorului ca primitivă, deși derivata lui este $\frac{2}{2x+3}$, nu funcția dată.)

Pentru părinți și profesori

Ce este pagina. Aici e modelul oficial al probei de matematică tehnologic pentru Bacalaureatul 2025 (proba E. c); ministerul îl numește Matematică M_tehnologic, iar între profesori i se spune „M3". Un model este o lucrare-exemplu publicată de minister, nu un subiect dat la examen. Pe foaie apar Ministerul Educației și Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, iar destinatarii sunt elevii filierei tehnologice — profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic, cu toate calificările lor profesionale. Cele zece enunțuri sunt luate fără nicio schimbare. Rezolvările, observațiile și întrebările ghidajului sunt scrise de noi; punctele pe rânduri sunt cele din baremul oficial.

Proba tehnologicului. Elevii filierei tehnologice dau la matematică proba M_tehnologic, cu subiect propriu de la examenul din 2013; modelul de aici se numără printre lucrările acestei probe.

Cum e făcută lucrarea. Forma e cea din 2013 încoace: șase cerințe scurte, apoi patru probleme cu câte trei subpuncte. În model, calculele din Subiectul I se reduc în mare parte singure, iar o singură funcție ține toate subpunctele ultimei probleme.

Cerințele pe scurt, cu clasa din programa de examen:

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1 (cerința 1). Programa de examen pune operațiile cu numere reale la clasa a IX-a, iar radicalii (valoare, proprietăți) la clasa a X-a. Programa școlară nouă are funcția radical de ordinul $2$, dar nu insistă pe calculul numeric cu radicali. Cine dă Bacalaureatul în 2027, 2028 sau 2029 a făcut sau face clasele a IX-a și a X-a după programa veche; tehnica o află pe site în „Supliment Bac M3 2027–2029: puteri, radicali, logaritmi" și în „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2 (cerința 3). La examen, ecuațiile cu radicali sunt în clasa a X-a. În programa nouă, ecuațiile se rezolvă pe grafic sau digital, așa că izolarea radicalului, ridicarea la pătrat și verificarea nu au o unitate proprie; le găsești în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3 (cerința 4). Procentele aparțin, la examen, matematicilor financiare din clasa a X-a. Programa nouă le folosește doar ca exemple în alte teme, deci capitolul stă în „Supliment Bac M3 2027–2029: matematici financiare".
• Nota 4 (cerințele 5 și 6). Reperul cartezian și distanța dintre puncte sunt la examen în clasa a X-a, dar programa nouă le așază în a IX-a; cu triunghiul dreptunghic e invers: clasa a IX-a la examen, clasa a X-a în programa nouă. Așa sunt croite cele două programe, nu e vreo greșeală.
• Nota 5 (cerința 8.c). Finalul se sprijină pe semnul unui trinom de gradul al doilea, aici un pătrat perfect. Programa nouă citește semnul pe grafic; calculul lui algebric, cu discriminant și rădăcini, este în „Supliment Bac M3 2027–2029: gradul II analitic".

Ce are special modelul. În Subiectul I, expresia de la cerința 1 se simplifică pe parcurs: termenii $3\sqrt{2}$ și $-3\sqrt{2}$ se anulează. La cerința 5, laturile egale sunt $AC$ și $BC$, iar $AB$ este cea diferită. Matricea din Subiectul al II-lea are numărul $x$ doar în colțul din dreapta jos, de unde multe verificări sunt aproape imediate. Legea de compoziție este o simplă sumă mărită cu $6$, iar la subpunctul c) rezultatul se dovedește un pătrat perfect. La Subiectul al III-lea, funcția rațională se derivează de două ori, fiindcă ultimul subpunct cere convexitatea; în ultima problemă, funcția $f(x)=2x+3$ este derivata numitorului de la subpunctul c).

Lucrarea, ca antrenament cronometrat:

• Ceasul. Trei ore, fără calculator. Un plan de împărțit: 45 de minute pentru Subiectul I, 55 pentru al II-lea, 60 pentru al III-lea și 20 de minute de recitire, adică 180 în total; dacă termini Subiectul I mai devreme, câștigul se duce la problemele de 15 puncte.
• Scrisul. Un subpunct de 5 puncte are pe barem două rânduri, 3 + 2 sau 2 + 3. Scrie pașii pe rând, ca fiecare să se poată recunoaște.
• Regulile de notare tipărite pe barem, pe scurt: soluțiile corecte care urmează un alt drum se notează cu rândurile pe care le parcurg; un punct nu se fracționează; nota este punctajul total împărțit la zece. Pentru nota 5 trebuie 50 de puncte: 40 din cele 90 ale cerințelor și 10 din oficiu.
• Greșeli de redactare de evitat: soluția de la cerința 3 lăsată fără verificare; la cerința 4 răspunsul scris ca $100$ (reducerea) în loc de $300$ (prețul); la cerința 5 compararea lui $AB$ cu $AC$, când egale sunt $AC$ și $BC$; la 9.c) concluzia scrisă după semnul lui $f^{\prime }$, nu al lui $f^{\prime \prime }$.
• Pe urmă. Ce n-a ieșit se caută în tabelul cerințelor, la rândul subpunctului respectiv.

Ce îți spune punctajul. Cu mai puțin de 40 de puncte din 90, începe din nou cu Subiectul I și cu subpunctele a) și b), care se lucrează din formule și calcul direct. Între 40 și 65 se vede o bază solidă; ce lipsește se caută mai întâi la subpunctele c), cele cu o idee în plus. Peste 65, ce mai rămâne de lucrat sunt viteza și rigoarea redactării.

Formule de care ai nevoie, pe subiecte:

• Subiectul I. $\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$ pentru $a\ge 0$; $\sqrt{u}=v$, cu $v\ge 0$, atrage $u=v^2$; $p\%$ dintr-o mărime $S$ este $\frac{p}{100}\cdot S$; distanța dintre două puncte din plan este radicalul sumei pătratelor diferențelor coordonatelor lor; în triunghiul dreptunghic, cosinusul unui unghi ascuțit este cateta alăturată supra ipotenuză.
• Subiectul al II-lea. Pentru $M=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$, $\det M=ps-qr$; în produsul $M\cdot N$, elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ vine din linia $i$ a lui $M$ și coloana $j$ a lui $N$; $(u-v{)}^2=u^2-2uv+v^2$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; tangenta în punctul de abscisă $a$ este $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$; dacă $f^{\prime \prime }\ge 0$ pe un interval, $f$ este convexă pe el; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+C$.

Litere care se repetă. În lucrare, $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=3x+6$ (cerința 2), $f(x)=\frac{5x-2}{x-1}$ (Subiectul al III-lea, problema 1) și $f(x)=2x+3$ (problema 2). Literele $A$, $B$ și $C$ sunt puncte la cerința 5 și vârfuri de triunghi la cerința 6, iar $A$ este matricea $A(x)$ la Subiectul al II-lea. Simbolul $\circ$ denumește legea de compoziție și nu are legătură cu compunerea funcțiilor.

Titlurile de mai jos spun „itemul", ca în barem; în explicațiile noastre, același lucru se numește „cerința".