Subiect Bac matematică tehnologic, sesiunea specială 2016 (varianta 1) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2016 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $1-\frac{1}{4}:0,25=0$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculați $f(-1)\cdot f(1)$, unde $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x-3}=5$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Un obiect costă $100$ de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu $20\%$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,4)$ și $B(5,4)$. Calculați distanța de la punctul $A$ la punctul $B$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați lungimea laturii $AB$ a triunghiului $ABC$, dreptunghic în $A$, știind că $AC=6$ și $B=\frac{\pi }{4}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& -2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}x& 1\\ y& -1\end{array}\right)$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=-4$.

b) (5 puncte) Arătați că $\det (A-2B)=0$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ și $y$, pentru care $A\cdot B=B\cdot A$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=xy+2x+2y+2$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\circ (-2)=-2$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $x\circ y=(x+2)(y+2)-2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale nenule $x$, pentru care $x\circ \frac{1}{x}=x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+x^2-x+1$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=3x^2+2x-1$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}=3$.

c) (5 puncte) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $f$ în care tangenta la graficul funcției $f$ este paralelă cu dreapta $y=4x+1$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^5+x^3+2x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-1}^1\left(f(x)-x^3-2x\right)dx=0$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^2{e}^x\left(f(x)-x^5-x^3+1\right)dx=3e^2+1$.

c) (5 puncte) Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este convexă pe $\mathbb{R}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 100 p, din care 90 p la cerințe și 10 p din oficiu. Cerințele 1–6 valorează câte 5 p, iar fiecare are două rânduri în barem. Itemii 7–8 formează Subiectul al II-lea, iar 9–10 Subiectul al III-lea; într-un item de 15 p intră trei subpuncte de câte 5 p, fiecare cu două rânduri de punctaj. Punctajul pe rânduri este cel al variantei 01 din sesiunea specială 2016; demonstrațiile, probele și explicațiile sunt ale noastre.

Exercițiul 1. (5 p) — fracție împărțită la o zecimală.

Se scrie zecimala ca fracție: $0,25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$. A împărți la $\frac{1}{4}$ revine la a înmulți cu $4$: $$\frac{1}{4}:0,25=\frac{1}{4}\cdot 4=1\text{(3 p)}.$$ Expresia devine $1-1=0$ (2 p).

(Capcană: dacă scăderea ar fi făcută înaintea împărțirii, ar rezulta $\left(1-\frac{1}{4}\right):0,25=\frac{3}{4}\cdot 4=3$; în enunț nu există paranteze, deci împărțirea se face prima.)

Exercițiul 2. (5 p) — valorile unei funcții.

Prima valoare este $f(-1)=-1+1=0$ (3 p).

Un factor este nul, deci produsul este nul: $$f(-1)\cdot f(1)=0\cdot 2=0\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f(1)=1+1=2$. Capcană: $f(-1)$ se confundă cu $-f(1)=-2$; produsul ar ieși $-2\cdot 2=-4$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Cum $5>0$, egalitatea $\sqrt{u}=5$ spune același lucru ca $u=5^2$; aici $u=2x-3$, deci: $$2x-3=5^2=25\text{(3 p)}.$$ De aici $2x=28$ și $\mathbf{x}=14$ (2 p).

(Probă: $2\cdot 14-3=25>0$, iar $\sqrt{25}=5$, deci soluția convine. Capcană: pătratul se aplică doar radicalului, iar în dreapta rămâne $5$ în loc de $25$; ar ieși $x=4$, dar $\sqrt{2\cdot 4-3}=\sqrt{5}\ne 5$.)

Exercițiul 4. (5 p) — scumpire cu procente.

Creșterea de preț este $20\%$ din $100$ de lei: $$\frac{20}{100}\cdot 100=20\text{ lei}\text{(3 p)}.$$ Prețul nou este $100+20=120$ de lei (2 p).

(Altă cale: prețul nou este $120\%$ din cel vechi, $1,2\cdot 100=120$. Capcană: scumpirea se tratează ca o ieftinire, iar prețul ar ieși $100-20=80$.)

Exercițiul 5. (5 p) — distanța dintre două puncte.

Se aplică formula distanței pentru $A(2,4)$ și $B(5,4)$: $$AB=\sqrt{(5-2{)}^2+(4-4{)}^2}\text{(3 p)}.$$ $$AB=\sqrt{9+0}=3\text{(2 p)}.$$

(Probă: ordonatele sunt egale, deci segmentul $AB$ e orizontal și are lungimea $5-2=3$. Capcană: coordonatele se adună în loc să se scadă, $\sqrt{(5+2{)}^2+(4+4{)}^2}=\sqrt{113}$, o valoare mult mai mare decât $3$.)

Exercițiul 6. (5 p) — triunghi dreptunghic.

Unghiul $A$ are $\frac{\pi }{2}$, iar $B=\frac{\pi }{4}$, deci $C=\pi -\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$. Două unghiuri egale înseamnă triunghi isoscel, cu laturile opuse lor egale: $$AB=AC\text{(3 p)}.$$ Atunci $AB=AC=6$ (2 p).

(Altă cale: $\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}=1$, deci $AB=AC$. Capcană: $AB$ se ia egală cu ipotenuza; dar $B{C}^2=6^2+6^2=72$, deci $BC=6\sqrt{2}\ne 6$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Determinantul este produsul elementelor de pe prima diagonală, din care se scade produsul celor de pe a doua: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& -2\end{array}\right|=1\cdot (-2)-2\cdot 1\text{(3 p)}.$$ $$\det A=-2-2=-4\text{(2 p)}.$$

(Capcană: produsul diagonalei secundare se adună în loc să se scadă; atunci $1\cdot (-2)+2\cdot 1=0$, nu $-4$.)

b) (5 p) Numărul $2$ înmulțește fiecare element al lui $B$: $$A-2B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& -2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2x& 2\\ 2y& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1-2x& 0\\ 1-2y& 0\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Coloana a doua are numai zerouri; prin urmare, pentru toate valorile reale ale lui $x$ și $y$, $$\det (A-2B)=(1-2x)\cdot 0-0\cdot (1-2y)=0\text{(3 p)}.$$

(Probă: pentru $x=y=0$, matricea este $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$, cu determinantul $0$. Capcană: $2$ înmulțește doar prima coloană a lui $B$; atunci a doua coloană ar fi $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$, iar determinantul ar fi $2x+2y-2$, care pentru $x=y=1$ este $2$, nu $0$.)

c) (5 p) Se efectuează ambele înmulțiri: $$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}x+2y& -1\\ x-2y& 3\end{array}\right),B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}x+1& 2x-2\\ y-1& 2y+2\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Din egalitatea elementelor aflate pe prima poziție, $x+2y=x+1$, rezultă $y=\frac{1}{2}$; din poziția a doua, $-1=2x-2$, rezultă $x=\frac{1}{2}$: $$\mathbf{x}=\frac{1}{2},\mathbf{y}=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$

(Probă: pentru $x=y=\frac{1}{2}$, $x-2y=-\frac{1}{2}=y-1$ și $3=2y+2$, deci și celelalte două poziții coincid. Capcană: produsul de matrice nu comută de la sine; $B\cdot A$ nu se poate înlocui cu $A\cdot B$ fără a calcula ambele.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=1$ și $y=-2$: $$1\circ (-2)=1\cdot (-2)+2\cdot 1+2\cdot (-2)+2\text{(3 p)}.$$ $$1\circ (-2)=-2+2-4+2=-2\text{(2 p)}.$$

(Capcană: produsul $2\cdot (-2)$ se scrie $+4$; atunci suma ar fi $-2+2+4+2=6$.)

b) (5 p) Constanta $2$ se scrie $4-2$, ca să se poată forma produsul din enunț: $$x\circ y=xy+2x+2y+4-2\text{(3 p)}.$$ În primii doi termeni se scoate factor comun $x$, în ceilalți doi factorul $2$: $$x(y+2)+2(y+2)-2=(x+2)(y+2)-2\text{(2 p)}.$$

(Probă prin dezvoltare: $(x+2)(y+2)-2=xy+2x+2y+4-2$. Capcană: constanta $4$ se adaugă fără a fi scăzută; atunci rezultatul ar fi cu $2$ mai mare decât $x\circ y$.)

c) (5 p) Pentru $x\ne 0$ se folosește forma de la b): $$(x+2)\left(\frac{1}{x}+2\right)-2=x⟺(x+2)\left(\frac{1}{x}+2\right)=x+2⟺(x+2)\left(\frac{1}{x}+1\right)=0\text{(3 p)}.$$ Produsul se anulează dacă unul dintre factori e zero: $x+2=0$ dă $x=-2$, iar $\frac{1}{x}+1=0$ dă $\frac{1}{x}=-1$, adică $x=-1$. Ambele numere sunt nenule: $$\mathbf{x}\in \{-2,-1\}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $(-1)\circ (-1)=1-2-2+2=-1$ și $(-2)\circ \left(-\frac{1}{2}\right)=1-4-1+2=-2$. Capcană: ecuația se simplifică prin $x+2$ fără să se observe că factorul poate fi nul; s-ar pierde $x=-2$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, tangentă.

a) (5 p) Se derivează fiecare termen în parte: $$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }+(x^2{)}^{\prime }-(x{)}^{\prime }+(1{)}^{\prime }\text{(2 p)}.$$ Derivata constantei este $0$, deci $$f^{\prime }(x)=3x^2+2x-1+0=3x^2+2x-1,x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Capcană: derivata constantei $1$ se ia egală cu $1$; atunci $f^{\prime }(x)$ ar avea un termen în plus.)

b) (5 p) Se înmulțește $f^{\prime }(x)$ cu $x$ și se scrie raportul: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^3+2x^2-x}{x^3+x^2-x+1}\text{(2 p)}.$$ Se împarte fiecare termen la $x^3$, cea mai mare putere; fracțiile cu $x$ la numitor tind la $0$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}=\frac{3+0-0}{1+0-0+0}=3\text{(3 p)}.$$

(Probă: la numărător și la numitor gradul este $3$, deci limita este câtul coeficienților dominanți, $\frac{3}{1}$. Capcană: $x$ se uită în numărător; raportul $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$ are gradele $2$ și $3$, deci limita lui este $0$.)

c) (5 p) Tangenta în punctul de abscisă $x$ are panta $f^{\prime }(x)$, iar două drepte paralele au pante egale; dreapta $y=4x+1$ are panta $4$: $$f^{\prime }(x)=4\text{(2 p)}.$$ Din $f^{\prime }(x)=4$ se ajunge la $3x^2+2x-5=0$, cu $\Delta =4+60=64$, deci $x=\frac{-2\pm 8}{6}$: $$\mathbf{x}=1\text{ sau }\mathbf{x}=-\frac{5}{3}\text{(3 p)}.$$

(Probă: $f(1)=2$, iar tangenta în $x=1$ este $y=4x-2$; paralelă cu $y=4x+1$, dar nu identică. Capcană: se pune condiția $f^{\prime }(x)=1$, adică termenul liber al dreptei; dar panta este coeficientul lui $x$, adică $4$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale.

a) (5 p) În diferență rămâne doar termenul de gradul $5$: $f(x)-x^3-2x=x^5$. Atunci $${\int }_{-1}^1{x}^{5}dx\text{(2 p)}.$$ $$=\frac{x^6}{6}{|}_{-1}^1=\frac{1}{6}-\frac{1}{6}=0\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: $x^5$ este impară, iar pe un interval centrat în origine integrala unei funcții impare dă $0$. Capcană: ca primitivă a lui $x^5$ se scrie $5x^4$; dar $5x^4$ este derivata lui $x^5$.)

b) (5 p) Din $f(x)-x^5-x^3+1=2x+1$ rezultă integrala ${\int }_0^2{e}^x(2x+1)dx$. Integrarea prin părți, cu $u=2x+1$ și $v^{\prime }=e^x$, dă: $${\int }_0^2{e}^x(2x+1)dx=e^x(2x+1){|}_0^2-{\int }_0^{2}2e^{x}dx\text{(3 p)}.$$ $$=\left(5e^2-1\right)-2\left(e^2-1\right)=3{\mathbf{e}}^2+1\text{(2 p)}.$$

(Probă: derivata lui $(2x-1)e^x$ este $e^x(2x+1)$, iar $(2x-1)e^x{|}_0^2=3e^2+1$. Capcană: în integrala ${\int }_0^{2}2e^{x}dx=2\left(e^2-1\right)$ se uită valoarea din $0$ și se scade doar $2e^2$; rezultatul ar fi $5e^2-1-2e^2=3e^2-1$, nu $3e^2+1$.)

c) (5 p) Fie $F$ o primitivă a lui $f$; ea este derivabilă și $$F^{\prime }(x)=f(x),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Prin încă o derivare, $F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)=5x^4+3x^2+2$. Puterile pare nu sunt negative, deci $F^{\prime \prime }(x)\ge 2>0$ pe tot $\mathbb{R}$, iar $$F\text{ este convexa˘ pe }\mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Probă: $F^{\prime \prime }(0)=2>0$. Capcană: se studiază semnul lui $f(x)=x^5+x^3+2x$, care este negativ pentru $x<0$; dar convexitatea lui $F$ depinde de semnul lui $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$, nu al lui $f$.)

Pentru părinți și profesori

Pe scurt. Lucrarea de matematică tehnologic (M_tehnologic, iar în limbajul școlilor „M3") din sesiunea specială 2016, Varianta 01. Foaia are ca emitenți Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice, împreună cu Centrul Național de Evaluare și Examinare, și se adresează filierei tehnologice, cu profilurile servicii, resurse și tehnic. Enunțurile sunt aduse din PDF fără modificări; rezolvările, probele de verificare și ghidajul sunt ale noastre. Baremul oficial a fost folosit numai la împărțirea punctelor pe rânduri.

Despre anul 2016. Subiecte proprii are matematica M_tehnologic din 2013 încoace, deci lucrarea de față aparține celui de-al patrulea an al probei. Prima pagină a foii trece durata de trei ore, obligativitatea tuturor subiectelor și cele zece puncte din oficiu.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Fracțiile ordinare și cele zecimale intră, la examen, în calculul cu numere reale de la clasa a IX-a. Clasa a IX-a din programa școlară nouă nu are un capitol de numere reale; subiectul se regăsește în „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. După ridicarea la pătrat, ecuația cu radical cere verificarea soluției. Ecuațiile cu radicali sunt, la examen, din clasa a X-a, iar programa școlară nouă nu le tratează prin calcul: ele sunt lăsate graficului sau instrumentelor digitale. Metoda e rezumată în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Calculul cu procente aparține, la examen, blocului de calcul financiar din clasa a X-a. Programa școlară nouă amintește procentele numai ca exemplu la progresii; tehnica din exercițiul 4 este în „Supliment Bac M3 2027–2029: matematici financiare".
• Nota 4. Cele două programe așază diferit două teme din Subiectul I. Reperul cartezian și distanța dintre puncte: clasa a X-a la examen, clasa a IX-a în programa școlară nouă. Triunghiul dreptunghic: clasa a IX-a la examen, clasa a X-a în programa nouă. Pagina urmează clasele din programa de examen.
• Nota 5. La 10.c) se cere convexitatea unei primitive $F$, adică semnul lui $F^{\prime \prime }$. Convexitatea și derivata a doua sunt la examen în clasa a XI-a, primitivele în clasa a XII-a; subpunctul se sprijină pe ambele.

Ce iese din comun în această lucrare:

• la exercițiul 1 câtul $\frac{1}{4}:0,25$ este exact $1$;
• la exercițiul 2, $f(-1)=0$, deci valoarea lui $f(1)$ nu mai contează;
• la exercițiul 6 unghiul se dă în radiani, $\frac{\pi }{4}$, nu în grade;
• la 7.b) a doua coloană a matricei $A-2B$ are numai zerouri, de aceea determinantul e nul;
• ecuația de la 8.c) are două soluții, iar una dispare dacă se simplifică în grabă;
• la 9.c) ambele tangente sunt paralele cu $y=4x+1$, dar niciuna nu se confundă cu ea;
• polinomul de la 10.a) are numai puteri impare, de aceea integrala pe $[-1,1]$ se anulează.

Cum se poate lucra pagina ca o probă:

• Cronometru. Dacă rezervi 38 de minute pentru recitire, rămân 142 de minute pentru 90 de puncte, adică $\frac{142}{90}\approx 1,6$ minute pe punct.
• Rândurile baremului. Fiecare cerință din Subiectul I și fiecare subpunct din II și III are două rânduri de punctaj.
• Ce spune baremul oficial. Orice soluție corectă este recunoscută, chiar dacă urmează altă cale decât cea din document. Fracțiunile de punct nu se folosesc, iar nota se calculează împărțind totalul la zece.
• După corectare. Notează, la fiecare subpunct pierdut, piesa care a lipsit: o formulă, un calcul sau o justificare.

Pragurile de notă. Pentru nota 6 sunt necesare 60 de puncte în total, adică 50 din cele 90 ale cerințelor; pentru nota 9, 90 în total, deci 80 din 90. Cine strânge mai puțin de 50 de puncte reia Subiectul I și subpunctele a); între 50 și 80 de puncte rămân de lucrat subpunctele b) și c).

Formule folosite, pe subiecte:

• Subiectul I. $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$; ecuația $\sqrt{u}=v$ cu $v\ge 0$ revine la $u=v^2$; $p\%$ din $S$ înseamnă $\frac{p}{100}\cdot S$; distanța dintre două puncte este rădăcina pătrată din suma pătratelor a două diferențe, una de abscise și una de ordonate; într-un triunghi dreptunghic, unghiurile ascuțite însumează $\frac{\pi }{2}$.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; două matrice sunt egale când au aceleași elemente pe aceleași poziții; valoarea lui $x\circ y$ se află punând $x$ și $y$ în formulă.
• Subiectul al III-lea. $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$; panta tangentei în punctul de abscisă $x_0$ este $f^{\prime }(x_0)$; la integrare, o putere a lui $x$ trece în puterea următoare, împărțită la exponentul nou; $\int u{v}^{\prime }dx=uv-\int u^{\prime }vdx$; dacă $F^{\prime }=f$, atunci $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$, iar $F^{\prime \prime }\ge 0$ pe un interval înseamnă $F$ convexă pe el.

Despre litere. Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=x+1$ la exercițiul 2, $f(x)=x^3+x^2-x+1$ la exercițiul 9 și $f(x)=x^5+x^3+2x$ la exercițiul 10. Perechea $A$, $B$ înseamnă puncte la exercițiul 5, vârfuri ale unui triunghi la exercițiul 6 și matrice la exercițiul 7. Simbolul $\circ$ de la exercițiul 8 notează legea de compoziție, nu compunerea funcțiilor. În paginile următoare, „Itemul n" este eticheta din barem, iar la clasă vorbim despre „exercițiul n".