Subiect Bac matematică tehnologic, model 2020 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2020 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $(10-2\cdot 3)(10+2\cdot 3)=64$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră $x_1$ și $x_2$ soluțiile ecuației $x^2-7x+10=0$. Arătați că $2(x_1+x_2)-x_1{x}_2=4$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2(x-2020)=2{\log }_{2}3$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Un obiect costă $200$ de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu $10\%$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,4)$ și $B(4,4)$. Calculați distanța de la punctul $O(0,0)$ la mijlocul segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin 60^{\circ }+\cos 150^{\circ }=0$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}-2& 9\\ 0& -2\end{array}\right)$ și $B(x)=\left(\begin{array}{cc}x& -3x\\ 0& x\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=4$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $B(x)\cdot B(-x)+B(x)=A$.

c) (5 puncte) Rezolvați în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ ecuația $B(1)\cdot X=A$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $M=(0,+\infty )$ se definește legea de compoziție $x\circ y=\frac{x^2+y^2}{xy}$.

a) (5 puncte) Arătați că $3\circ \frac{1}{3}=\frac{82}{9}$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $x\circ y\ge 2$, pentru orice $x,y\in M$.

c) (5 puncte) Determinați $a\in M$, pentru care $a^2\circ \frac{1}{a^2}=2$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\left(x^2-12\right)+3$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=3(x-2)(x+2)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f(x)+6}{x-3}=15$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $-13\le f(x)\le 19$, pentru orice $x\in [-2,2]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^5+x+1$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-1}^1\left(f(x)-x^5-1\right)dx=0$.

b) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^1{x}^{2020}\left(f(x)-x-1\right)dx$.

c) (5 puncte) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[1,2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{1}{x}\left(f(x)-x^5\right)$ este egal cu $\pi \left(2\ln 2+\frac{3}{2}\right)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I: 30 p (cerințele 1–6, câte 5 p). Subiectul al II-lea: 30 p (cerințele 7 și 8). Subiectul al III-lea: 30 p (cerințele 9 și 10). La cerințele 7–10, fiecare subpunct are 5 p, în două rânduri. Punctele fiecărui rând marcat sunt cele din documentul oficial al modelului 2020; rezolvările, explicațiile și probele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu paranteze.

Înmulțirea se face înaintea scăderii și a adunării. Prima paranteză: $$10-2\cdot 3=10-6=4\text{(2 p)}.$$ A doua paranteză este $10+2\cdot 3=10+6=16$, iar produsul lor este $4\cdot 16=64$ (3 p).

(Altă cale: diferență de pătrate, $(10-6)(10+6)=10^2-6^2=100-36=64$. Capcană: scăderea se face înaintea înmulțirii, $(10-2)\cdot 3=24$, iar cu al doilea factor $16$ s-ar obține $24\cdot 16=384$, nu $64$.)

Exercițiul 2. (5 p) — relațiile lui Viète.

La o ecuație $x^2+bx+c=0$, suma soluțiilor este $-b$ și produsul lor este $c$. Aici $b=-7$ și $c=10$, deci $$x_1+x_2=7\text{(2 p)}.$$ Produsul este $x_1{x}_2=10$, iar expresia cerută este $2\cdot 7-10=14-10=4$ (3 p).

(Altă cale: $x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$, deci soluțiile sunt $2$ și $5$, iar $2\cdot (2+5)-2\cdot 5=4$. Capcană: suma se ia cu semnul coeficientului, $x_1+x_2=-7$; atunci expresia ar fi $2\cdot (-7)-10=-24$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Factorul $2$ din fața logaritmului trece exponent al argumentului: $2{\log }_{2}3={\log }_2{3}^2={\log }_{2}9$. Doi logaritmi în baza $2$ sunt egali numai când argumentele coincid: $$x-2020=9\text{(3 p)}.$$ Rezultă $x=2029$; pentru această valoare, $x-2020=9>0$, deci argumentul logaritmului din stânga este pozitiv și valoarea convine: $\mathbf{x}=2029$ (2 p).

(Probă: ${\log }_2(2029-2020)={\log }_{2}9=2{\log }_{2}3$. Capcană: factorul $2$ se înmulțește cu argumentul, $2\cdot 3=6$; atunci ecuația ar da $x=2026$, dar $2{\log }_{2}3$ nu este ${\log }_{2}6$, fiindcă ${\log }_{2}6=1+{\log }_{2}3$.)

Exercițiul 4. (5 p) — scumpire în procente.

Scumpirea reprezintă $10\%$ din prețul de $200$ de lei: $$\frac{10}{100}\cdot 200=20\text{lei}\text{(3 p)}.$$ După scumpire, obiectul costă prețul inițial plus scumpirea: $200+20=220$ de lei (2 p).

(Altă cale: după o scumpire cu $10\%$ prețul devine $110\%$ din cel inițial, iar $\frac{110}{100}\cdot 200=220$. Capcană: scumpirea se citește ca o ieftinire și se scade, $200-20=180$; sau $10\%$ se ia drept $10$ lei, iar prețul ar fi $200+10=210$.)

Exercițiul 5. (5 p) — distanța până la mijlocul unui segment.

Mijlocul $M$ al lui $AB$ are drept coordonate semisumele coordonatelor capetelor: $$M\left(\frac{2+4}{2},\frac{4+4}{2}\right)=M(3,4)\text{(2 p)}.$$ Distanța de la $O(0,0)$ la $M$ este $OM=\sqrt{(3-0{)}^2+(4-0{)}^2}=\sqrt{25}=5$ (3 p).

(Probă: $3$, $4$ și $5$ sunt laturile unui triunghi dreptunghic, deoarece $3^2+4^2=5^2$. Capcană: distanța se calculează până la un capăt, nu până la mijloc; până la $B$ ar fi $OB=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}$.)

Exercițiul 6. (5 p) — valori trigonometrice.

Sinusul unghiului de $60^{\circ }$ este $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (2 p). Unghiul de $150^{\circ }$ se reduce la primul cadran: $150^{\circ }=180^{\circ }-30^{\circ }$, deci $$\cos 150^{\circ }=\cos \left(180^{\circ }-30^{\circ }\right)=-\cos 30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2},$$ iar suma este $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=0$ (3 p).

(Altă cale: $150^{\circ }=90^{\circ }+60^{\circ }$, iar $\cos \left(90^{\circ }+60^{\circ }\right)=-\sin 60^{\circ }$, deci cei doi termeni sunt opuși. Capcană: semnul se pierde și se scrie $\cos 150^{\circ }=\cos 30^{\circ }$; suma ar fi $\sqrt{3}\approx 1,73$, nu $0$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice cu parametru.

a) (5 p) Determinantul este produsul elementelor diagonalei principale minus produsul elementelor celeilalte diagonale: $$\det A=(-2)\cdot (-2)-0\cdot 9\text{(3 p)}.$$ $$\det A=4-0=4\text{(2 p)}.$$

(Capcană: produsul $(-2)\cdot (-2)$ este pozitiv; cu minus s-ar scrie $-4-0=-4$.)

b) (5 p) Se înmulțesc matricele, linie cu coloană, cu $B(-x)=\left(\begin{array}{cc}-x& 3x\\ 0& -x\end{array}\right)$: $$B(x)\cdot B(-x)=\left(\begin{array}{cc}-x^2& 6x^2\\ 0& -x^2\end{array}\right),B(x)\cdot B(-x)+B(x)=\left(\begin{array}{cc}-x^2+x& 6x^2-3x\\ 0& -x^2+x\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Egalitatea cu $A=\left(\begin{array}{cc}-2& 9\\ 0& -2\end{array}\right)$ cere $-x^2+x=-2$, adică $x^2-x-2=0$ cu soluțiile $-1$ și $2$, și totodată $6x^2-3x=9$, adică $2x^2-x=3$, cu soluțiile $-1$ și $\frac{3}{2}$. Singura valoare comună este $\mathbf{x}=-1$ (2 p).

(Probă: $B(-1)\cdot B(1)=\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 6\\ 0& -1\end{array}\right)$, iar adunat cu $B(-1)$ dă $A$. Capcană: se rezolvă numai prima ecuație și se rețin ambele soluții; la $x=2$, elementul din dreapta sus este $6\cdot 4-3\cdot 2=18$, nu $9$.)

c) (5 p) Determinantul lui $B(1)=\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ 0& 1\end{array}\right)$ este $1$, nenul, deci matricea se poate inversa; inversa este $$B(1{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Se înmulțește ecuația cu inversa, la stânga: $X=B(1{)}^{-1}\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-2& 9\\ 0& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ 0& -2\end{array}\right)$, adică $\mathbf{X}=\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ 0& -2\end{array}\right)$ (2 p).

(Probă: $B(1)\cdot X=\left(\begin{array}{cc}1\cdot (-2)+(-3)\cdot 0& 1\cdot 3+(-3)(-2)\\ 0& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 9\\ 0& -2\end{array}\right)=A$. Capcană: inversa nu se află inversând elementele una câte una; matricea $\left(\begin{array}{cc}1& -\frac{1}{3}\\ 0& 1\end{array}\right)$, înmulțită cu $B(1)$, are în dreapta sus $-\frac{10}{3}$, nu $0$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție pe $(0,+\infty )$.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=3$ și $y=\frac{1}{3}$ în definiția legii; produsul $3\cdot \frac{1}{3}$ de la numitor este $1$: $$3\circ \frac{1}{3}=\frac{3^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}{3\cdot \frac{1}{3}}\text{(3 p)}.$$ $$3\circ \frac{1}{3}=9+\frac{1}{9}=\frac{82}{9}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: numărătorul se scrie $(x+y{)}^2$ în loc de $x^2+y^2$; atunci ${\left(3+\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{100}{9}$, nu $\frac{82}{9}$.)

b) (5 p) Se scade $2$ și se aduce totul la numitorul $xy$: $$x\circ y-2=\frac{x^2+y^2}{xy}-2=\frac{x^2+y^2-2xy}{xy}=\frac{(x-y{)}^2}{xy}\text{(3 p)}.$$ Pe $M$, $x>0$ și $y>0$, deci $xy>0$, iar $(x-y{)}^2\ge 0$; fracția este nenegativă, deci $x\circ y-2\ge 0$, adică $x\circ y\ge 2$ pentru orice $x,y\in M$ (2 p).

(Observație: egalitatea are loc exact când $x=y$. Capcană: condiția $x,y>0$ nu se poate omite; pentru $x=1$ și $y=-1$, în afara lui $M$, $1\circ (-1)=\frac{2}{-1}=-2<2$.)

c) (5 p) Produsul argumentelor este $a^2\cdot \frac{1}{a^2}=1$, așa că $a^2\circ \frac{1}{a^2}=a^4+\frac{1}{a^4}$. Ecuația devine $$a^4+\frac{1}{a^4}-2=0⟺{\left(a^2-\frac{1}{a^2}\right)}^2=0,\text{deci }{a}^2=\frac{1}{a^2},\text{adica˘ }{a}^4=1\text{(3 p)}.$$ Din $a^4=1$ rezultă $a=-1$ sau $a=1$; numărul $-1$ nu aparține lui $M=(0,+\infty )$, deci $\mathbf{a}=1$ (2 p).

(Probă: $1^2\circ \frac{1}{1^2}=1\circ 1=\frac{1+1}{1}=2$. Altă cale: după subpunctul b), $x\circ y=2$ numai când $x=y$, adică $a^2=\frac{1}{a^2}$. Capcană: se păstrează și $a=-1$, deși nu aparține lui $M$.)

Exercițiul 9. (15 p) — polinom de gradul 3.

a) (5 p) Se scrie $f$ fără paranteză, apoi se derivează termen cu termen: $$f(x)=x^3-12x+3,f^{\prime }(x)=3x^2-12\text{(3 p)}.$$ Se scoate $3$ factor comun și se descompune diferența de pătrate: $f^{\prime }(x)=3\left(x^2-4\right)=3(\mathbf{x}-2)(\mathbf{x}+2)$, pentru $x\in \mathbb{R}$ (2 p).

(Altă cale: regula produsului pentru $x\cdot \left(x^2-12\right)$ dă $\left(x^2-12\right)+x\cdot 2x=3x^2-12$. Capcană: derivata produsului se ia drept produsul derivatelor, $1\cdot 2x=2x$, și se pierde termenul $-12$.)

b) (5 p) Valoarea în $3$ este $f(3)=27-36+3=-6$, deci $f(x)+6=f(x)-f(3)$. Numărătorul este variația lui $f$ între $x$ și $3$, iar numitorul este variația argumentului; raportul lor, la $x\to 3$, definește derivata lui $f$ în $3$. Prin urmare, limita cerută este $f^{\prime }(3)$ (3 p). Din subpunctul a), $f^{\prime }(3)=3\cdot (3-2)\cdot (3+2)=15$ (2 p).

(Altă cale: $f(x)+6=x^3-12x+9=(x-3)\left(x^2+3x-3\right)$, iar după simplificare cu $x-3$ rămâne $x^2+3x-3$, care în $3$ este $9+9-3=15$. Capcană: $x=3$ se înlocuiește direct, ceea ce dă $\frac{0}{0}$, o nedeterminare, nu un număr.)

c) (5 p) Pe $[-2,2]$ avem $x^2\le 4$, deci $f^{\prime }(x)=3\left(x^2-4\right)\le 0$ și $f$ este descrescătoare pe $[-2,2]$ (2 p). O funcție descrescătoare ia pe interval valoarea cea mai mare la capătul stâng și cea mai mică la capătul drept. Cum $f(-2)=-8+24+3=19$ și $f(2)=8-24+3=-13$, rezultă $f(2)\le f(x)\le f(-2)$, adică $-13\le f(x)\le 19$ pentru orice $x\in [-2,2]$ (3 p).

(Probă: $f(0)=3$, număr cuprins între $-13$ și $19$. Capcană: marginile se scriu în ordinea în care apar capetele intervalului, $19\le f(x)\le -13$, o dublă inegalitate care nu poate fi adevărată.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale și volum.

a) (5 p) Din $f(x)=x^5+x+1$ rezultă $f(x)-x^5-1=x$, deci integrala este $${\int }_{-1}^1\left(f(x)-x^5-1\right)dx={\int }_{-1}^{1}xdx\text{(2 p)}.$$ $${\int }_{-1}^{1}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_{-1}^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: pe $[-1,0]$ funcția $x$ ia valori opuse celor de pe $[0,1]$, deci cele două jumătăți ale integralei se anulează. Capcană: $x$ se integrează ca $1$; atunci ${\int }_{-1}^{1}1dx=2$, nu $0$.)

b) (5 p) Se observă că $f(x)-x-1=x^5$, iar produsul cu $x^{2020}$ are exponenții adunați: $${\int }_0^1{x}^{2020}\left(f(x)-x-1\right)dx={\int }_0^1{x}^{2025}dx=\frac{x^{2026}}{2026}{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$\frac{x^{2026}}{2026}{|}_0^1=\frac{1}{2026}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: exponenții se înmulțesc în loc să se adune, $2020\cdot 5=10100$, deci s-ar integra $x^{10100}$; la înmulțirea puterilor cu aceeași bază exponenții se adună: $2020+5=2025$.)

c) (5 p) Din $f(x)-x^5=x+1$ se obține $g(x)=\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}$. Volumul corpului de rotație este $V=\pi {\int }_1^2{g}^2(x)dx$, iar pătratul se dezvoltă: $$V=\pi {\int }_1^2{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{2}dx=\pi {\int }_1^2\left(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)dx\text{(2 p)}.$$ O primitivă a integrandului este $x+2\ln x-\frac{1}{x}$, iar valorile ei sunt $2+2\ln 2-\frac{1}{2}$ în $2$ și $1+0-1=0$ în $1$: $$V=\pi \left(x+2\ln x-\frac{1}{x}\right){|}_1^2=\pi \left(2\ln 2+\frac{3}{2}\right)\text{(3 p)}.$$

(Probă numerică: $\pi \left(2\ln 2+\frac{3}{2}\right)\approx 9,07$, iar integrala ${\int }_1^2{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{2}dx\approx 2,89$, înmulțită cu $\pi$, dă același număr. Capcană: se integrează $g$, nu $g^2$; atunci $\pi {\int }_1^2\left(1+\frac{1}{x}\right)dx=\pi (1+\ln 2)\approx 5,32$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta este foaia-model pentru Bacalaureatul 2020 la matematică M_tehnologic, proba filierei tehnologice: în locul numărului unei variante, pe ea scrie cuvântul „Model". Ea cuprinde o lucrare completă, cu cele trei subiecte, și se poate rezolva ca simulare, în timp măsurat. Antetul modelului poartă denumirile Ministerului Educației Naționale și ale Centrului Național de Evaluare și Examinare. Enunțurile de mai jos sunt cele oficiale, nemodificate. Rezolvările, probele, observațiile și ghidajul ne aparțin; din documentul oficial de evaluare a rămas numai împărțirea punctelor pe rânduri.

Structura, pe scurt. Lucrarea însumează 90 de puncte pentru cerințe și 10 din oficiu. Subiectul I (30 de puncte) are șase cerințe de câte 5 puncte. Subiectele al II-lea și al III-lea (câte 30 de puncte) au fiecare două probleme, iar fiecare problemă are trei subpuncte de câte 5 puncte. La Subiectul al II-lea, matricele (clasa a XI-a) preced legea de compoziție (a XII-a); la Subiectul al III-lea, derivatele (a XI-a) preced integralele (a XII-a).

Materia fiecărei cerințe (clasa la care o cere programa de examen)

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

Trei remarci despre program. Reducerea la primul cadran (cerința 6) face parte din capitolul de trigonometrie al clasei a IX-a. Limita de la 9.b) este o derivată: raportul de variație al lui $f$ între $x$ și $3$ definește derivata în $3$, noțiune din programa clasei a XI-a. Volumul corpului de rotație (10.c) apare în programa clasei a XII-a, la „Aplicații ale integralei definite", alături de aria unei suprafețe plane.

Ce urmărește fiecare problemă. Modelul leagă subpunctele între ele: la 7.b) sunt de găsit două ecuații pentru același $x$, iar numai o valoare le verifică pe amândouă; la 8.c), inegalitatea de la subpunctul b) oferă o cale scurtă, fiindcă egalitatea cere ca cele două argumente ale legii să coincidă; la 9.c) monotonia lui $f$ dă marginile valorilor; la 10.c) aceeași reducere ca la a) dă forma lui $g$, fiindcă $f(x)-x^5=x+1$.

Timpul. Timpul efectiv de lucru este de trei ore. Ca simulare, păstrează 40 de minute pentru recitire; rămân 140 de minute pe cele 90 de puncte, adică puțin peste un minut și jumătate pe punct. Orice rezolvare corectă este admisă de documentul oficial, chiar dacă diferă de cea tipărită acolo, iar punctele nu se împart în fracțiuni. Totalul lucrării, împărțit la 10, dă nota; ținând seama de oficiu, nota 7 cere 60 de puncte din cele 90 ale cerințelor.

Greșeli de redactare de evitat: la cerința 1, scăderea făcută înaintea înmulțirii; la cerința 2, semn greșit la suma rădăcinilor; la 7.b), o singură ecuație rezolvată din cele două; la 8.b), uitarea faptului că $x$ și $y$ sunt pozitivi; la 9.c), marginile valorilor scrise în ordine inversată; la 10.b), exponenții înmulțiți în loc să se adune.

Cum lucrezi cu modelul. Rezolvă lucrarea întreagă, într-o singură ședință, fără să deschizi soluțiile. Apoi parcurge pagina cerință cu cerință și marchează rândurile pe care nu le-ai avut: două rânduri pierdute la același tip de calcul (procente, determinant, derivata unui cât, integrala unei puteri) arată ce lecție să reiei. Pentru a doua trecere, reia doar cerințele pe care le-ai marcat.

Formule folosite în model

• Subiectul I. $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$; la o ecuație $x^2+bx+c=0$, suma rădăcinilor este $-b$, iar produsul lor este $c$; $n{\log }_{a}u={\log }_a{u}^n$; cosinusul unui unghi obtuz este opusul cosinusului unghiului care îl completează până la $180^{\circ }$; distanța de la origine la punctul $(p,q)$ este $\sqrt{p^2+q^2}$.
• Subiectul al II-lea. inversa lui $\left(\begin{array}{cc}1& q\\ 0& 1\end{array}\right)$ este $\left(\begin{array}{cc}1& -q\\ 0& 1\end{array}\right)$; $x^2+y^2-2xy=(x-y{)}^2$; într-un produs de puteri cu aceeași bază, exponenții se adună.
• Subiectul al III-lea. $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime }(a)$; dacă $f^{\prime }\le 0$ pe un interval, $f$ descrește pe el; o primitivă a lui $x^n$ se obține mărind exponentul cu $1$ și împărțind la exponentul nou, dacă $n\ne -1$; volumul corpului de rotație este $\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$.

Cuvântul „itemul" din titlurile următoare vine din documentele oficiale și înseamnă „cerința"; la clasă se folosește al doilea. Litera $f$ are două sensuri: la 9 este polinomul de gradul $3$, iar la 10 funcția $x^5+x+1$; litera $x$ este când un număr real, când argumentul unei funcții; $A$ și $B$ sunt puncte la cerința 5 și matrice la 7, iar $M$ este mijlocul segmentului în rezolvarea cerinței 5 și mulțimea numerelor pozitive la 8.