Subiect Bac matematică tehnologic, model 2023 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2023 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați termenul $a_1$ al progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $a_2=7$ și $a_6=23$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=8x-5$. Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $A(a,3a)$ aparține graficului funcției $f$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_{4}x+{\log }_4(3x)={\log }_{4}12$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de două cifre, $\sqrt{n}$ să fie număr natural par.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-3,2)$, $B(1,4)$ și $C(6,0)$. Determinați distanța dintre mijloacele segmentelor $AB$ și $OC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=16$ și măsura unghiului $B$ egală cu $30^{\circ }$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $32\sqrt{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}-3& 3\\ -2& -1\end{array}\right)$ și $B(x)=\left(\begin{array}{cc}x+1& -3\\ 2& x-1\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=9$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $B(3)\cdot B(4)=xB(1)$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care matricea $B(a)$ este inversa matricei $C=\frac{1}{9}A$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+X^2+mX-4$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Pentru $m=1$, arătați că $f(2)=10$.

b) (5 puncte) Pentru $m=-4$, determinați rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $m$, polinomul $f$ nu are toate rădăcinile reale.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-2x+1}{x+2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x^2+4x-5}{(x+2{)}^2}$, $x\in (-2,+\infty )$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{e^x}=0$.

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este convexă.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1+\frac{1}{\sqrt{x+1}}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^3\left(f(x)-\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)dx=6$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^8\left(f(x)-x-1\right)dx=4$.

c) (5 puncte) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[0,3]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)$, este egal cu $\pi \left(\frac{91}{3}+\ln 4\right)$.

Barem și răspunsuri

Cerințele aduc 90 p, la care se adaugă 10 p din oficiu, în total 100 p. La cerințele 1–6 revin câte 5 p; cerințele 7–10 au câte 15 p, în trei subpuncte de 5 p cu două rânduri de punctaj. Semnele „(2 p)" și „(3 p)" din rezolvări copiază împărțirea pe rânduri a documentului oficial al modelului 2023; soluțiile, controalele și comentariile sunt ale paginii.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

De la $a_2$ la $a_6$ sunt $6-2=4$ pași, fiecare cu rația $r$, deci $a_6=a_2+4r$: $$23=7+4r,4r=16,r=4\text{(3 p)}.$$ Termenul de dinaintea lui $a_2$ se obține scăzând rația: $$a_1=a_2-r=7-4=3\text{(2 p)}.$$

(Control: $a_2=3+4=7$ și $a_6=3+5\cdot 4=23$. Cale greșită: se scrie $a_6=a_2+6r$; atunci $r=\frac{8}{3}$ și $a_1=7-\frac{8}{3}=\frac{13}{3}$, dar $\frac{13}{3}+5\cdot \frac{8}{3}=\frac{53}{3}\ne 23$.)

Exercițiul 2. (5 p) — punct pe graficul unei funcții.

Punctul $A(a,3a)$ se află pe grafic dacă ordonata $3a$ coincide cu $f$ calculată în abscisa $a$: $$f(a)=3a,\text{adica˘}8a-5=3a\text{(3 p)}.$$ Rezultă $5a=5$, deci $\mathbf{a}=1$ (2 p).

(Control: pentru $a=1$, $A(1,3)$ și $f(1)=8-5=3$. Cale greșită: se scrie $f(a)=a$, adică $7a=5$ și $a=\frac{5}{7}$; ordonata punctului ar fi atunci $3a=\frac{15}{7}$, iar $f\left(\frac{5}{7}\right)=\frac{40}{7}-5=\frac{5}{7}$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmii există dacă $x>0$ și $3x>0$, adică $x>0$. Suma a doi logaritmi în aceeași bază este logaritmul produsului: $${\log }_{4}x+{\log }_4(3x)={\log }_4\left(3x^2\right),\text{deci}3x^2=12\text{(3 p)}.$$ De aici $x^2=4$, iar $x=-2$ nu convine, fiindcă $-2<0$; rămâne $\mathbf{x}=2$ (2 p).

(Control: ${\log }_{4}2+{\log }_{4}6={\log }_{4}12$. Cale greșită: se adună argumentele, ${\log }_4(x+3x)={\log }_{4}12$, adică $4x=12$ și $x=3$; dar ${\log }_{4}3+{\log }_{4}9={\log }_{4}27\ne {\log }_{4}12$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Mulțimea numerelor de două cifre este $\{10,11,\dots ,99\}$, deci $$99-10+1=90\text{cazuri posibile}\text{(2 p)}.$$ Dacă $\sqrt{n}$ este natural, atunci $n=k^2$ cu $k$ natural, iar $n$ are două cifre exact când $4\le k\le 9$. Rădăcina $k$ este pară pentru $k\in \{4,6,8\}$, deci favorabile sunt $n=16,36,64$, adică $3$ cazuri: $$p=\frac{3}{90}=\frac{1}{30}\text{(3 p)}.$$

(Control: $4^2=16$, $6^2=36$, $8^2=64$, iar $3^2=9$ are o cifră și $10^2=100$ are trei. Cale greșită: se numără și valorile impare $k=5,7,9$; atunci sunt $6$ cazuri favorabile și $p=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — distanța dintre două mijloace.

Mijlocul lui $AB$ are coordonatele semisumelor, iar $O(0,0)$ este originea: $$M\left(\frac{-3+1}{2},\frac{2+4}{2}\right)=M(-1,3),N\left(\frac{0+6}{2},\frac{0+0}{2}\right)=N(3,0)\text{(2 p)}.$$ Distanța dintre ele este $$MN=\sqrt{(3-(-1){)}^2+(0-3{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\text{(3 p)}.$$

(Control: diferențele coordonatelor sunt $4$ și $-3$, iar $4^2+(-3{)}^2=5^2$. Cale greșită: se calculează distanța dintre capetele $A$ și $C$ în loc de cea dintre mijloace; atunci $AC=\sqrt{9^2+2^2}=\sqrt{85}$.)

Exercițiul 6. (5 p) — aria unui triunghi dreptunghic.

Cateta $AC$ este opusă unghiului $B$, deci $AC=BC\cdot \sin 30^{\circ }$: $$AC=16\cdot \frac{1}{2}=8\text{(2 p)}.$$ Cealaltă catetă rezultă din teorema lui Pitagora: $AB=\sqrt{B{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{256-64}=\sqrt{192}=8\sqrt{3}$. Aria este $$\mathcal{A}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{8\sqrt{3}\cdot 8}{2}=32\sqrt{3}\text{(3 p)}.$$

(Control: $A{B}^2+A{C}^2=192+64=256=16^2$. Cale greșită: se înmulțește ipotenuza cu o catetă, $\frac{BC\cdot AC}{2}=\frac{16\cdot 8}{2}=64$; dar ipotenuza nu este înălțime a triunghiului dreptunghic față de cateta $AC$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Determinantul este diferența dintre produsul elementelor diagonalei principale și produsul elementelor celeilalte diagonale: $$\det A=(-3)(-1)-3\cdot (-2)\text{(3 p)}.$$ $$\det A=3+6=9\text{(2 p)}.$$

(Cale greșită: semnul lui $-2$ se uită și iese $(-3)(-1)-3\cdot 2=3-6=-3$.)

b) (5 p) Pentru $x=3$ și $x=4$ se obțin $B(3)=\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 2& 2\end{array}\right)$ și $B(4)=\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ 2& 3\end{array}\right)$, iar produsul lor, linie cu coloană, este $$B(3)\cdot B(4)=\left(\begin{array}{cc}14& -21\\ 14& 0\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Cum $B(1)=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 2& 0\end{array}\right)$, avem $\left(\begin{array}{cc}14& -21\\ 14& 0\end{array}\right)=7\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 2& 0\end{array}\right)=7B(1)$, deci $\mathbf{x}=7$ (2 p).

(Cale greșită: se înmulțesc elementele de pe aceleași poziții și iese $\left(\begin{array}{cc}20& 9\\ 4& 6\end{array}\right)$, pe care $B(1)$ nu o poate produce prin înmulțirea cu un număr.)

c) (5 p) Matricea $B(a)$ este inversa lui $C$ dacă $C\cdot B(a)=I_2$; pentru matrice pătratice, aceasta o implică și pe $B(a)\cdot C=I_2$. Produsul este $$C\cdot B(a)=\frac{1}{9}\left(\begin{array}{cc}-3a+3& 3a+6\\ -2a-4& -a+7\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Egalitatea cu $I_2$ cere $-3a+3=9$, $3a+6=0$, $-2a-4=0$ și $-a+7=9$; toate patru dau $\mathbf{a}=-2$ (3 p).

(Altă cale: $C^{-1}=9A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-1& -3\\ 2& -3\end{array}\right)=B(-2)$. Cale greșită: se ia $C^{-1}=\frac{1}{9}{A}^{-1}$, adică $\frac{1}{81}\left(\begin{array}{cc}-1& -3\\ 2& -3\end{array}\right)$, matrice a cărei poziție $(1,2)$ nu este $-3$, ca în orice $B(a)$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul $3$.

a) (5 p) Pentru $m=1$, coeficientul lui $X$ este $1$, iar valoarea polinomului în $2$ este $$f(2)=2^3+2^2+2-4\text{(3 p)}.$$ $$f(2)=8+4+2-4=10\text{(2 p)}.$$

(Cale greșită: $2^3$ se ia $3\cdot 2=6$ și iese $6+4+2-4=8$, nu $10$.)

b) (5 p) Pentru $m=-4$, polinomul se descompune prin gruparea termenilor câte doi: din primii doi se scoate $X^2$, din ceilalți doi se scoate $-4$, iar $X+1$ rămâne factor comun. Diferența de pătrate $X^2-4$ este $(X-2)(X+2)$, deci $f$ are factorii $X+1$, $X-2$ și $X+2$ (2 p). Rădăcinile sunt valorile care anulează câte un factor: $\mathbf{x}\in \{-2,-1,2\}$ (3 p).

(Control: rădăcinile $-2$, $-1$ și $2$ au suma $-1$, opusul coeficientului lui $X^2$, și produsul $4$, opusul termenului liber. Cale greșită: la grupare se scrie $X^2+4$ în loc de $X^2-4$; factorul $X^2+4$ nu are rădăcini reale, deci s-ar pierde $2$ și $-2$.)

c) (5 p) Coeficienții polinomului dau două relații între rădăcini: suma lor este $-1$, adică opusul coeficientului lui $X^2$, iar suma produselor lor câte două este $m$, coeficientul lui $X$. Ridicând la pătrat suma rădăcinilor se obține suma pătratelor lor plus de două ori suma produselor câte două; de aici, suma pătratelor este $$(-1{)}^2-2m=1-2m\text{(3 p)}.$$ Pentru $m$ natural nenul, $m\ge 1$, deci $1-2m\le -1<0$. Dar numerele reale ridicate la pătrat dau o sumă mai mare sau egală cu $0$, deci rădăcinile nu sunt toate reale (2 p).

(Control: pentru $m=1$ polinomul are o singură rădăcină reală, iar celelalte două sunt complexe; suma pătratelor rădăcinilor este $1-2=-1$. Cale greșită: se confundă pătratul sumei cu suma pătratelor, $(-1{)}^2=1>0$, și nu rezultă nimic.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, convexitate.

a) (5 p) Se aplică formula câtului, cu $u=x^2-2x+1$ și $v=x+2$, deci $u^{\prime }=2x-2$ și $v^{\prime }=1$: $$f^{\prime }(x)=\frac{(2x-2)(x+2)-\left(x^2-2x+1\right)\cdot 1}{(x+2{)}^2}\text{(3 p)}.$$ Numărătorul este $2x^2+2x-4-x^2+2x-1=x^2+4x-5$, deci $$f^{\prime }(x)=\frac{x^2+4x-5}{(x+2{)}^2},x\in (-2,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Control: $f(x)=x-4+\frac{9}{x+2}$, deci $f^{\prime }(x)=1-\frac{9}{(x+2{)}^2}=\frac{(x+2{)}^2-9}{(x+2{)}^2}$, iar $(x+2{)}^2-9=x^2+4x-5$. Cale greșită: se scrie $u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ la numărător; atunci numărătorul ar fi $3x^2-3$.)

b) (5 p) Limita $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-2x+1}{e^x(x+2)}$ are forma $\frac{\infty }{\infty }$, deoarece numărătorul și numitorul tind la $+\infty$. Numărătorul are derivata $2x-2$. Numitorul este un produs, iar derivata lui are doi termeni, $e^x(x+2)+e^x=e^x(x+3)$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{e^x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-2}{e^x(x+3)}\text{(3 p)}.$$ Forma rămâne $\frac{\infty }{\infty }$, deci se derivează încă o dată; derivata numitorului este $e^x(x+3)+e^x=e^x(x+4)$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{e^x(x+4)}=0\text{(2 p)},$$ fiindcă numitorul tinde la $+\infty$.

(Control: numeric, pentru $x=20$, $\frac{f(x)}{e^x}=\frac{361}{22e^{20}}\approx 3\cdot 10^{-8}$. Cale greșită: calculul se oprește după prima derivare, la $\lim \frac{2x-2}{e^x(x+3)}$, deși această limită mai are forma $\frac{\infty }{\infty }$.)

c) (5 p) Se derivează $f^{\prime }(x)=\frac{x^2+4x-5}{(x+2{)}^2}$ cu formula câtului: $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{(2x+4)(x+2{)}^2-\left(x^2+4x-5\right)\cdot 2(x+2)}{(x+2{)}^4}=\frac{(2x+4)(x+2)-2\left(x^2+4x-5\right)}{(x+2{)}^3}=\frac{18}{(x+2{)}^3}\text{(3 p)}.$$ Pe $(-2,+\infty )$ avem $x+2>0$, deci cubul lui este pozitiv, iar $f^{\prime \prime }(x)>0$: funcția $f$ este convexă (2 p).

(Control: din $f^{\prime }(x)=1-\frac{9}{(x+2{)}^2}$ se obține direct $f^{\prime \prime }(x)=\frac{18}{(x+2{)}^3}$, iar $f^{\prime \prime }(0)=\frac{18}{8}=\frac{9}{4}$. Cale greșită: se derivează separat numărătorul și numitorul, iar câtul derivatelor iese constant; dar $f^{\prime \prime }$ nu este constantă.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale și volum de rotație.

a) (5 p) Sub integrală, fracția se reduce: $f(x)-\frac{1}{\sqrt{x+1}}=x+1$. O primitivă a lui $x+1$ este $\frac{x^2}{2}+x$, iar integrala este diferența valorilor ei în $3$ și în $1$ (3 p): $$\left(\frac{9}{2}+3\right)-\left(\frac{1}{2}+1\right)=6\text{(2 p)}.$$

(Control: ${\int }_1^3(x+1)dx=\frac{(x+1{)}^2}{2}{|}_1^3=8-2=6$. Cale greșită: primitiva lui $x$ se ia $x^2$, fără împărțirea la $2$, și iese $(9+3)-(1+1)=10$.)

b) (5 p) Acum diferența este fracția: $f(x)-x-1=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$. Fracția este derivata lui $2\sqrt{x+1}$, deci: $${\int }_0^8\frac{1}{\sqrt{x+1}}dx=2\sqrt{x+1}{|}_0^8\text{(3 p)}.$$ $$=2\cdot 3-2\cdot 1=4\text{(2 p)}.$$

(Control: derivata lui $2\sqrt{x+1}$ este $2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$, adică fracția din integrand. Cale greșită: se ia primitiva $\sqrt{x+1}$, fără factorul $2$, și iese $3-1=2$.)

c) (5 p) Volumul corpului de rotație este $V=\pi {\int }_0^3{g}^2(x)dx$, iar pătratul lui $f$ are trei termeni: $$f(x{)}^2=(x+1{)}^2+2(x+1)\cdot \frac{1}{\sqrt{x+1}}+\frac{1}{x+1}=(x+1{)}^2+2\sqrt{x+1}+\frac{1}{x+1}\text{(2 p)}.$$ O primitivă este $\frac{(x+1{)}^3}{3}+\frac{4}{3}(x+1)\sqrt{x+1}+\ln (x+1)$. În $x=3$ valoarea este $\frac{64}{3}+\frac{32}{3}+\ln 4$, iar în $x=0$ este $\frac{1}{3}+\frac{4}{3}$: $$V=\pi \left(\frac{64}{3}+\frac{32}{3}+\ln 4-\frac{1}{3}-\frac{4}{3}\right)=\pi \left(\frac{91}{3}+\ln 4\right)\text{(3 p)}.$$

(Control: numeric, $\frac{91}{3}+\ln 4\approx 31,72$ este valoarea lui ${\int }_0^{3}f(x{)}^{2}dx$, calculată direct. Cale greșită: dublul produsului se omite și se integrează doar $(x+1{)}^2+\frac{1}{x+1}$; atunci rezultatul ar fi $\pi (21+\ln 4)$, fără termenul $\frac{28}{3}$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta este varianta-model a probei de matematică M_tehnologic pentru Bacalaureatul din 2023. În antet, în locul numărului unei variante, apare cuvântul „Model". Pagina rezolvă toate cele zece cerințe. Modelul se adresează elevilor filierei tehnologice, indiferent dacă urmează profilul tehnic, cel de servicii sau cel de resurse naturale și protecția mediului. Antetul oficial alătură Ministerul Educației și Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, iar sub el urmează titlul probei. Enunțurile sunt cele din foaie, cu punctuația lor. Rezolvările, controalele și comentariile aparțin paginii; din documentul de evaluare s-a păstrat doar cum se împarte punctajul pe rânduri.

Foaia are trei subiecte de câte 30 de puncte și 10 puncte din oficiu, iar durata efectivă a lucrării este de trei ore; nota se află împărțind totalul la zece. Primul subiect adună șase cerințe de câte 5 puncte. Cele două probleme ale fiecăruia dintre subiectele următoare au trei subpuncte de câte 5 puncte. Rândurile de punctaj ale unui subpunct sunt notate, mai jos, „(2 p)" sau „(3 p)".

Tabelul cerințelor

Regula lui l'Hospital pentru cazurile $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty }{\infty }$, convexitatea și volumul unui corp de rotație figurează în programa de examen M_tehnologic din OMEN 4430/2014, Anexa 2, la clasele a XI-a, respectiv a XII-a.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

Ce are modelul acesta. La cerința 4 trebuie numărate două mulțimi finite: numerele de două cifre și, dintre ele, pătratele perfecte care au rădăcina pară. La 8.b) descompunerea se face prin grupare, fără formule pentru polinoame de gradul $3$. La 8.c) concluzia nu cere rădăcinile, ci semnul sumei pătratelor lor. La 9.b) limita se rezolvă prin două aplicări succesive ale regulii lui l'Hospital. La 9.c) a doua derivată se simplifică la o fracție cu numărătorul constant. La 10.c) integrandul volumului are trei termeni, dintre care unul conține o rădăcină pătrată.

Ritm de lucru. Cele 180 de minute înseamnă două minute pe punct. Dacă primul subiect se rezolvă în 40 de minute, rămân 140 de minute pentru celelalte două subiecte, adică peste două minute pe punct. Un exemplu de notare: 62 de puncte din cerințe și 10 din oficiu fac 72 de puncte în total, deci nota 7,2.

Pe hârtie, apoi pe pagină. Rezolvă subiectul pe foaie, fără soluții în față. Apoi citește rezolvarea fiecărui subpunct și compară rândurile cu foaia ta: fiecare rând punctat este un pas distinct, iar primul rând care îți lipsește arată pasul de reluat. Dacă îți cad cerințele 9.b) și 9.c), reia regula lui l'Hospital și semnul derivatei a doua.

Formulele modelului

• Subiectul I. $a_n=a_1+(n-1)r$; suma a doi logaritmi în aceeași bază este logaritmul produsului argumentelor, dacă ele sunt pozitive; probabilitatea se obține împărțind numărul cazurilor favorabile la cel al cazurilor posibile; mijlocul unui segment are coordonatele semisumelor coordonatelor capetelor; într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unui unghi este produsul dintre ipotenuză și sinusul unghiului.
• Subiectul al II-lea. matricea $B$ este inversa lui $C$ dacă $C\cdot B=I_2$ (la matrice pătratice, o egalitate o implică pe cealaltă); pentru un polinom $X^3+b{X}^2+cX+d$ suma rădăcinilor este $-b$, iar suma produselor lor câte două este $c$; numerele reale ridicate la pătrat au suma mai mare sau egală cu $0$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; când un cât are forma $\frac{\infty }{\infty }$, limita lui este limita câtului derivatelor, dacă aceasta există; $f^{\prime \prime }>0$ pe un interval înseamnă funcție convexă acolo; $\int \frac{1}{\sqrt{u}}du=2\sqrt{u}$; volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $g$ în jurul axei $Ox$ este $V=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$.

Nume folosite de mai multe ori. Cuvântul „itemul" din titlurile de mai jos este numele pe care documentul oficial îl dă unei cerințe. Litera $f$ este folosită pentru patru obiecte diferite: o funcție afină (cerința 2), un polinom (8), o funcție rațională (9) și o funcție cu radical (10). Litera $A$ înseamnă punct la cerințele 2 și 5, vârf al triunghiului la 6 și matrice la 7; $B$ este punct la cerința 5, vârf la 6 și familie de matrice la 7, iar $C$ este punct la 5, vârf la 6 și matrice la 7.