Subiect Bac matematică tehnologic, august 2013 (varianta 9) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2013 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $3\left(4-\sqrt{3}\right)+3\sqrt{3}=12$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculați $f(-4)+f(4)$ pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-16$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $(x-2{)}^2-x^2+8=0$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Prețul unui obiect este $100$ de lei. Determinați prețul obiectului după o ieftinire cu $30\%$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,4)$ și $B(2,1)$. Calculați distanța de la punctul $A$ la punctul $B$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați $\cos A$, știind că $\sin A=\frac{1}{2}$ și unghiul $A$ este ascuțit.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 0& 2\end{array}\right)$, $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}b& 1\\ 0& b\end{array}\right)$, unde $b$ este număr real.

a) (5 puncte) Calculați $\det A$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $b$ pentru care $A\cdot B=2I_2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $b$ pentru care $\det (A+B)=0$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-3X^2+2X$.

a) (5 puncte) Calculați $f(1)$.

b) (5 puncte) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la $X-2$.

c) (5 puncte) Calculați $x_1^2+x_2^2+x_3^2$, unde $x_1,x_2,x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x+2{)}^3$.

a) (5 puncte) Verificați dacă $f^{\prime }(x)=3x^2+12x+12$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că funcția $f$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{x^2}$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+1$.

a) (5 puncte) Verificați dacă funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=\frac{x^3}{3}+x$ este o primitivă a funcției $f$.

b) (5 puncte) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuație $x=0$ și $x=1$.

c) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\frac{f(x)}{x}dx=\frac{3}{2}+\ln 2$.

Barem și răspunsuri

Cerințele totalizează 90 p; oficiul adaugă 10 p, deci lucrarea are 100 p. Subiectul I conține cerințele 1–6, Subiectul al II-lea cerințele 7–8, Subiectul al III-lea cerințele 9–10, fiecare subiect fiind de 30 p. Cifrele din marcajele „(2 p)” și „(3 p)” sunt cele de pe rândurile documentului oficial al variantei 9 din august 2013, în aceeași ordine: două rânduri la fiecare cerință. Rezolvările, verificările și capcanele ne aparțin.

Exercițiul 1. (5 p) — o paranteză cu radical.

Factorul $3$ înmulțește pe rând termenii parantezei: $3\cdot 4=12$ și $3\cdot \left(-\sqrt{3}\right)=-3\sqrt{3}$, deci $3\left(4-\sqrt{3}\right)=12-3\sqrt{3}$ (2 p). Apoi $-3\sqrt{3}$ și $+3\sqrt{3}$ se anulează: $$3\left(4-\sqrt{3}\right)+3\sqrt{3}=12-3\sqrt{3}+3\sqrt{3}=12\text{(3 p)}.$$

(Probă: $3\left(4-\sqrt{3}+\sqrt{3}\right)=3\cdot 4$. Capcană: semnul minus din paranteză se pierde și se scrie $12+3\sqrt{3}+3\sqrt{3}=12+6\sqrt{3}$, număr diferit de $12$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcția $x^2-16$ în numere opuse.

Pătratul unui număr real nu depinde de semn: $(-4{)}^2=16$, deci $f(-4)=16-16=0$ (2 p). La fel, $f(4)=4^2-16=0$, iar suma este $$f(-4)+f(4)=0+0=0\text{(3 p)}.$$

(Probă: $4$ și $-4$ sunt cele două rădăcini ale ecuației $x^2-16=0$, deci ambele valori sunt $0$. Capcană: $(-4{)}^2$ se scrie $-16$; pentru $f(-4)$ ar rezulta $-16-16=-32$, număr negativ, deși un pătrat nu este negativ.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație care se reduce la gradul întâi.

Se aplică formula pătratului unei diferențe: $(x-2{)}^2=x^2-4x+4$ (2 p). Ecuația devine $x^2-4x+4-x^2+8=0$. Termenii $x^2$ și $-x^2$ se anulează, iar rămâne $-4x+12=0$, adică $\mathbf{x}=3$ (3 p).

(Probă: pentru $x=3$, $(3-2{)}^2-3^2+8=1-9+8=0$. Capcană: termenul din mijloc al pătratului unei diferențe se uită și se scrie $x^2+4$; atunci, după reducerea lui $x^2$ cu $-x^2$, membrul stâng s-ar reduce la numărul $4+8=12$, diferit de $0$, iar ecuația nu ar avea nicio soluție.)

Exercițiul 4. (5 p) — ieftinire în procente.

Ieftinirea este $30\%$ din prețul inițial: $\frac{30}{100}\cdot 100=30$ de lei (2 p). Prețul nou se obține scăzând-o din cel vechi: $100-30=70$ de lei (3 p).

(Probă: $70=100\cdot \left(1-\frac{30}{100}\right)=100\cdot \frac{7}{10}$. Capcană: ieftinirea se adaugă, $100+30=130$ de lei, preț mai mare decât cel inițial, deși obiectul s-a ieftinit.)

Exercițiul 5. (5 p) — distanța dintre două puncte.

Punctele $A(2,4)$ și $B(2,1)$ au aceeași abscisă. Formula distanței dă $$AB=\sqrt{(2-2{)}^2+(1-4{)}^2}\text{(3 p)}.$$ Diferența ordonatelor este $-3$, iar $(-3{)}^2=9$, deci $AB=\sqrt{9}=3$ (2 p).

(Probă: segmentul este vertical, iar lungimea lui este $4-1=3$. Capcană: se scad coordonate de feluri diferite, $\sqrt{(2-4{)}^2+(2-1{)}^2}=\sqrt{5}$; abscisa se scade din abscisă, iar ordonata din ordonată.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Din ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ cu $\sin A=\frac{1}{2}$ rezultă ${\cos }^{2}A=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ (3 p). Pentru un unghi ascuțit, cosinusul este pozitiv, deci $$\cos A=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $\sin A=\frac{1}{2}$ înseamnă $A=30^{\circ }$, iar $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Capcană: din $1$ se scade $\sin A$ în loc de ${\sin }^{2}A$; atunci ${\cos }^{2}A=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ și $\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$, valoare care corespunde lui $A=45^{\circ }$, nu lui $30^{\circ }$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice cu zero sub diagonală.

a) (5 p) Determinantul se obține scăzând produsul de pe diagonala secundară din produsul de pe diagonala principală: $$\det A=2\cdot 2-(-2)\cdot 0\text{(3 p)}.$$ Al doilea produs este $0$, deci $\det A=4-0=4$ (2 p).

(Probă: o matrice cu zero sub diagonală are determinantul egal cu produsul elementelor de pe diagonală, $2\cdot 2$. Capcană: se ia $2$ în loc de $0$ pe poziția $(2,1)$; atunci $2\cdot 2-(-2)\cdot 2=8$.)

b) (5 p) Produsul se face linie $\cdot$ coloană: $$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2b& 2\cdot 1+(-2)\cdot b\\ 0& 2b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2b& 2-2b\\ 0& 2b\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Matricea $2I_2$ are $2$ pe diagonală și $0$ în rest, deci $2b=2$ și $2-2b=0$. Ambele ecuații dau $\mathbf{b}=1$ (2 p).

(Probă: pentru $b=1$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$, iar $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$. Capcană: matricele se înmulțesc element cu element; atunci în colț ar apărea $-2\cdot 1=-2$, care nu poate fi $0$, și nicio valoare a lui $b$ nu ar merge.)

c) (5 p) Matricele se adună element cu element, iar $-2+1=-1$: $$A+B=\left(\begin{array}{cc}2+b& -1\\ 0& 2+b\end{array}\right),\det (A+B)=(2+b)(2+b)-(-1)\cdot 0=(2+b{)}^2\text{(3 p)}.$$ Ecuația $(2+b{)}^2=0$ are rădăcina dublă $\mathbf{b}=-2$ (2 p).

(Probă: pentru $b=-2$, $A+B=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 0\end{array}\right)$, iar determinantul ei este $0\cdot 0-(-1)\cdot 0=0$. Capcană: $b=2$ se ia ca a doua soluție; dar pentru $b=2$ determinantul este $(2+2{)}^2=16$, nu $0$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul $3$.

a) (5 p) Se înlocuiește $X$ cu $1$ în fiecare termen: $f(1)=1^3-3\cdot 1^2+2\cdot 1$ (2 p). Rămâne $1-3+2=0$ (3 p).

(Probă: $f=X(X-1)(X-2)$, iar factorul $X-1$ se anulează în $1$. Capcană: $3\cdot 1^2$ se citește $(3\cdot 1{)}^2=9$; atunci $1-9+2=-6$, nu $0$.)

b) (5 p) Se folosește schema lui Horner pentru împărțirea la $X-2$. Coeficienții lui $f$ sunt $1,-3,2,0$. Primul coeficient rămâne $1$; apoi $-3+2\cdot 1=-1$; apoi $2+2\cdot (-1)=0$. Aceștia sunt coeficienții câtului: ${\mathbf{X}}^2-\mathbf{X}$ (2 p). Ultima etapă, $0+2\cdot 0=0$, este restul, deci restul este $0$; verificarea $(X-2)\left(X^2-X\right)=X^3-3X^2+2X=f$ confirmă (3 p).

(Probă: restul împărțirii la $X-2$ este $f(2)=8-12+4=0$. Capcană: se folosește $-2$ în loc de $2$ în schema lui Horner; atunci se obține câtul $X^2-5X+12$ și restul $-24$, adică împărțirea la $X+2$.)

c) (5 p) Din coeficienții polinomului $X^3-3X^2+2X+0$, formulele lui Viète dau $x_1+x_2+x_3=3$ și $x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=2$ (2 p). Dezvoltarea pătratului sumei rădăcinilor conține suma pătratelor și dublul sumei produselor, deci $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=3^2-2\cdot 2=5\text{(3 p)}.$$

(Probă: rădăcinile sunt $0$, $1$ și $2$, deoarece $f=X(X-1)(X-2)$; pătratele lor, $0$, $1$ și $4$, au suma $5$. Capcană: în locul coeficientului lui $X$ se ia termenul liber $0$; atunci rezultatul ar fi $3^2-2\cdot 0=9$.)

Exercițiul 9. (15 p) — funcția $(x+2{)}^3$.

a) (5 p) Cubul binomului este $(x+2{)}^3=x^3+6x^2+12x+8$, deci $f^{\prime }(x)={\left(x^3+6x^2+12x+8\right)}^{\prime }$ (2 p). Se derivează termen cu termen: $$f^{\prime }(x)=3x^2+12x+12,\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Probă: derivata unei puteri compuse dă $3(x+2{)}^2\cdot 1=3x^2+12x+12$, același rezultat; în $x=0$ valoarea este $12$. Capcană: se scrie $(x+2{)}^3=x^3+8$, fără termenii mixți; atunci $f^{\prime }(x)=3x^2$, care nu coincide cu expresia din enunț.)

b) (5 p) Expresia derivatei se grupează: $3x^2+12x+12=3\left(x^2+4x+4\right)=3(x+2{)}^2$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$ (2 p). Un pătrat este nenegativ, deci $f^{\prime }(x)\ge 0$ pe $\mathbb{R}$, iar $f$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$ (3 p).

(Probă: $f(-3)=-1$, $f(-2)=0$, $f(0)=8$; valorile cresc. Capcană: din $f^{\prime }\ge 0$ se deduce $f\ge 0$; dar $f(-3)=(-1{)}^3=-1$, negativ, iar $f$ este totuși crescătoare.)

c) (5 p) Se scoate $x^2$ factor comun la numărător: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2+12x+12}{x^2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2\left(3+\frac{12}{x}+\frac{12}{x^2}\right)}{x^2}\text{(3 p)}.$$ Fracțiile $\frac{12}{x}$ și $\frac{12}{x^2}$ tind la $0$, deci limita este $3+0+0=3$ (2 p).

(Probă: gradul numărătorului este egal cu cel al numitorului, iar limita este câtul coeficienților de rang maxim, $3:1=3$. Capcană: se declară că forma $\infty /\infty$ valorează $1$; ea nu are valoare în sine, iar aici limita este $3$.)

Exercițiul 10. (15 p) — primitivă, arie, integrală de raport.

a) (5 p) Derivata lui $\frac{x^3}{3}$ este $\frac{3x^2}{3}=x^2$, iar derivata lui $x$ este $1$; prin urmare $$F^{\prime }(x)=x^2+1\text{(3 p)}.$$ Aceasta este $f(x)$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$, deci $F$ este o primitivă a lui $f$ (2 p).

(Probă: $F(1)-F(0)=\frac{4}{3}$, iar acest număr este aria de la b). Capcană: se compară $F$ cu $f$ în loc de $F^{\prime }$ cu $f$; $F(1)=\frac{4}{3}$, iar $f(1)=2$, deci egalitatea $F=f$ nu ține, deși $F$ este primitivă.)

b) (5 p) Pe $[0,1]$ avem $f(x)=x^2+1\ge 1>0$, deci aria este integrala funcției, $\mathcal{A}={\int }_0^1\left(x^2+1\right)dx$, calculată cu primitiva $F$ de la a): $$\left(\frac{x^3}{3}+x\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Valorile sunt $\frac{1}{3}+1$ în $1$ și $0$ în $0$, deci $\mathcal{A}=\frac{4}{3}$ (2 p).

(Probă: graficul trece prin $(0,1)$ și $(1,2)$, deci aria este mai mare decât $1$, aria dreptunghiului $[0,1]\times [0,1]$, și mai mică decât $2$; iar $1<\frac{4}{3}<2$. Capcană: $x^2$ se integrează ca $x^3$, fără împărțirea la $3$; atunci aria ar fi $(1+1)-0=2$.)

c) (5 p) Fracția se desparte: $\frac{f(x)}{x}=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}$, deci integrala este ${\int }_1^2\left(x+\frac{1}{x}\right)dx$ (2 p). Primitivele sunt $\frac{x^2}{2}$ pentru $x$ și $\ln x$ pentru $\frac{1}{x}$: $$\left(\frac{x^2}{2}+\ln x\right){|}_1^2=(2+\ln 2)-\left(\frac{1}{2}+\ln 1\right)=\frac{3}{2}+\ln 2\text{(3 p)},$$ fiindcă $\ln 1=0$.

(Probă: $2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, iar $\ln 2-\ln 1=\ln 2$. Capcană: regula puterilor se aplică și lui $\frac{1}{x}=x^{-1}$, adică $\frac{x^0}{0}$; regula cere $n\ne -1$, iar primitiva lui $\frac{1}{x}$ este $\ln x$.)

Pentru părinți și profesori

Prezentare. Pagina prezintă Varianta 9 din proba „E. c)” de matematică M_tehnologic, cunoscută pe site și ca M3; sesiunea este august 2013. Antetul foii aduce laolaltă Ministerul Educației Naționale și Centrul Național de Evaluare și Examinare, iar sub ele stă „Examenul de bacalaureat național 2013”. Era lucrarea elevilor din filiera tehnologică: profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic. Cerințele sunt cele din PDF, fără modificări. Explicațiile, verificările și ghidajul ne aparțin; documentul oficial de evaluare ne-a dat numai numerele de puncte de pe rânduri.

Punctajul pe scurt. Trei subiecte, fiecare de 30 de puncte: șase cerințe de câte 5 puncte la primul, două probleme de câte 15 puncte la al doilea și două la al treilea. Cele $18$ cerințe de câte $5$ puncte alcătuiesc $90$ de puncte; se adaugă încă $10$ puncte din oficiu. Cele 3 ore de lucru sunt $180$ de minute, adică $10$ minute pentru fiecare cerință.

Cum sunt scrise rândurile oficiale. Fiecare cerință și fiecare subpunct are în document exact două rânduri punctate: unul de $2$ puncte și unul de $3$, într-o ordine sau alta. În total sunt $36$ de rânduri, iar pe pagina de față marcajul „(2 p)” sau „(3 p)” încheie rândul oficial pe care îl reprezintă.

Harta foii

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

În această programă, calculul algebric, ecuațiile de gradul întâi și trigonometria apar la clasa a IX-a; procentele și distanța dintre puncte, la a X-a; matricele, derivatele și limitele, la a XI-a; polinoamele și integralele, la a XII-a. Ordinul, din 29.08.2014, poartă o dată mai târzie decât foaia, așa că tabelul arată locul temelor în acea programă, nu programa pe care o aveau elevii în 2013.

Ce merită observat. La 3, ecuația pare de gradul al doilea, dar $x^2$ se reduce și rămâne una de gradul întâi. La 6, semnul cosinusului se alege după faptul că unghiul este ascuțit. La 7.b) egalitatea $A\cdot B=2I_2$ înseamnă două ecuații în $b$, iar ele sunt compatibile. La 8.b) împărțirea la $X-2$ se face cu schema lui Horner, iar restul iese $0$, fiindcă $2$ este rădăcină a lui $f$. La 9.c) numărătorul și numitorul sunt polinoame de același grad. La 10.c) fracția $\frac{f(x)}{x}$ se desparte în doi termeni, iar unul dintre ei are ca primitivă un logaritm.

Formulele foii

• Subiectul I. $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$; $p\%$ din $S$ este $\frac{p}{100}\cdot S$; suma pătratelor sinusului și cosinusului aceluiași unghi este $1$, iar $\cos A>0$ pentru $A$ ascuțit; distanța dintre punctele $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$ este $\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ al produsului este linia $i$ a primei matrice înmulțită cu coloana $j$ a celei de-a doua; împărțirea la $X-a$ are restul $f(a)$; pentru $X^3+b{X}^2+cX+d$ avem $x_1+x_2+x_3=-b$ și $x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=c$.
• Subiectul al III-lea. $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$; dacă $f^{\prime }\ge 0$ pe $\mathbb{R}$, atunci $f$ este crescătoare; o primitivă a lui $x^n$ cu $n\ne -1$ se obține mărind exponentul cu $1$ și împărțind la noul exponent, iar o primitivă a lui $\frac{1}{x}$ pe $(0,+\infty )$ este $\ln x$.

Despre litere. În lucrare, $f$ apare în patru feluri: funcție pătratică la 2, polinom la 8, funcția $(x+2{)}^3$ la 9 și funcția $x^2+1$ la 10. $A$ este punct la 5, unghi la 6 și matrice la 7; $b$ este parametrul din $B$. La 10.b), $\mathcal{A}$ notează aria, iar $F$ este primitiva din enunț.