Subiect Bac matematică tehnologic, iunie 2019 (varianta 6) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2019 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\sqrt{7}\left(\sqrt{7}+1\right)-\sqrt{7}=7$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+8$. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Oy$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_5\left(x^2+9\right)=2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o ieftinire cu $40\%$, prețul unui obiect este $300$ de lei. Calculați prețul obiectului înainte de ieftinire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,2)$, $B(-3,2)$ și $C(0,6)$. Determinați, în triunghiul $ABC$, lungimea medianei din vârful $C$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sin 60^{\circ }-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin 45^{\circ }=\frac{1}{4}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}6& -10\\ 3& -5\end{array}\right)$, $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $M(a)=I_2+aA$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=0$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $M(a)\cdot M(b)=M(a+b+ab)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $M(1)+M(2)+\dots +M(2019)=2019M(a)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=m{X}^3+2X^2-mX-2$, unde $m$ este număr real nenul.

a) (5 puncte) Arătați că $f(1)=0$, pentru orice număr real nenul $m$.

b) (5 puncte) Pentru $m=3$, determinați rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real nenul $m$ pentru care $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=-4$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x+5$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x+1)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este convexă pe $[0,+\infty )$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f(x)\le 7$, pentru orice $x\in (-\infty ,1]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{3x^2+6x+7}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1{f}^2(x)dx=11$.

b) (5 puncte) Calculați ${\int }_{-1}^1\frac{x+1}{f(x)}dx$.

c) (5 puncte) Demonstrați că, pentru orice $a\in (0,+\infty )$, suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=a$ are aria mai mare sau egală cu $a\sqrt{7}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Cerințele 1–6 (Subiectul I) au câte 5 p; cerințele 7 și 8 (Subiectul al II-lea), ca și 9 și 10 (Subiectul al III-lea), au câte 15 p, împărțite în subpuncte de 5 p, fiecare pe două rânduri. Împărțirea punctelor pe rânduri este cea din documentul oficial al sesiunii iunie-iulie 2019 (Varianta 6); textul soluțiilor, al explicațiilor și al probelor ne aparține.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu radicali.

Factorul $\sqrt{7}$ se înmulțește cu fiecare termen din paranteză, iar produsul $\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}$ este $7$: $$\sqrt{7}\left(\sqrt{7}+1\right)-\sqrt{7}=7+\sqrt{7}-\sqrt{7}\text{(2 p)}.$$ Termenii $\sqrt{7}$ și $-\sqrt{7}$ sunt opuși și se reduc, deci $$7+\sqrt{7}-\sqrt{7}=7\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: se scrie $\sqrt{7}=\sqrt{7}\cdot 1$ și se dă factor comun $\sqrt{7}$: $\sqrt{7}\left(\sqrt{7}+1\right)-\sqrt{7}\cdot 1=\sqrt{7}\left(\sqrt{7}+1-1\right)=\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}=7$. Capcană: produsul $\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}$ se citește $2\sqrt{7}$, ca o adunare de radicali; atunci expresia ar fi $2\sqrt{7}\approx 5,29$, nu $7$.)

Exercițiul 2. (5 p) — intersecția cu axa $Oy$.

Punctele de pe axa $Oy$ au abscisa $0$, deci ordonata punctului căutat este $f(0)$: $$f(0)=0^2-6\cdot 0+8=8\text{(3 p)}.$$ Intersecția cu axa $Oy$ este punctul $(0,8)$ (2 p).

(Probă: la o funcție de gradul al II-lea, ordonata la origine este termenul liber, adică $8$. Capcană: se rezolvă $f(x)=0$, care dă intersecțiile cu axa $Ox$; soluțiile ei sunt $2$ și $4$, deci punctele $(2,0)$ și $(4,0)$, iar cerința a pus altă întrebare.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Egalitatea ${\log }_{5}u=2$ înseamnă $u=5^2$; aici $u=x^2+9$, deci $$x^2+9=25⟺x^2-16=0\text{(2 p)}.$$ Din $x^2=16$ rezultă $x=-4$ sau $x=4$. Argumentul $x^2+9$ nu coboară sub $9$ pentru nicio valoare reală a lui $x$, deci ambele soluții sunt valabile: $\mathbf{x}\in \{-4,4\}$ (3 p).

(Probă: pentru $x=\pm 4$, ${\log }_5(16+9)={\log }_{5}25=2$. Capcană: baza se înmulțește cu rezultatul, $x^2+9=5\cdot 2=10$, de unde $x=\pm 1$; dar pentru $x=1$ argumentul este $10$, iar $5^2=25\ne 10$.)

Exercițiul 4. (5 p) — preț înainte de ieftinire.

Fie $x$ prețul inițial, în lei. Ieftinirea este $\frac{40}{100}x$, iar ce rămâne este prețul de $300$ de lei: $$x-\frac{40}{100}x=300\text{(3 p)}.$$ Cum $x-\frac{40}{100}x=\frac{60}{100}x$, ecuația devine $\frac{60}{100}x=300$, adică $x=300\cdot \frac{100}{60}$, deci $x=500$ de lei (2 p).

(Probă: $40\%$ din $500$ este $200$, iar $500-200=300$. Capcană: ieftinirea se calculează din prețul final și se adaugă la el, $300+\frac{40}{100}\cdot 300=420$; dar un obiect de $420$ de lei, redus cu $40\%$, ajunge la $252$ de lei, nu la $300$.)

Exercițiul 5. (5 p) — mediana dintr-un vârf.

Mediana cerută pornește din $C$ și ajunge în $N$, mijlocul lui $AB$; coordonatele lui $N$ sunt semisumele coordonatelor capetelor: $$N\left(\frac{3+(-3)}{2},\frac{2+2}{2}\right)=N(0,2)\text{(2 p)}.$$ Punctele $C(0,6)$ și $N(0,2)$ stau pe aceeași verticală, așa că $$CN=\sqrt{(0-0{)}^2+(6-2{)}^2}=4\text{(3 p)}.$$

(Probă: $A$ și $B$ se află la aceeași înălțime, $2$, deci latura $AB$ este orizontală; mediana din $C$ este verticală, iar lungimea ei este diferența ordonatelor, $6-2=4$. Capcană: se măsoară segmentul $CA$ în loc de mediană; $CA=\sqrt{3^2+4^2}=5\ne 4$.)

Exercițiul 6. (5 p) — valori trigonometrice.

Se folosesc valorile unghiurilor uzuale: $$\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{(2 p)}.$$ Fiecare produs devine pătratul unei fracții: $$\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=\frac{1}{4}\text{(3 p)}.$$

(Probă: ${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}$ și ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. Capcană: se scrie $\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, valoarea lui $\sin 30^{\circ }$; primul produs ar fi atunci $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$, număr irațional, și diferența nu ar mai fi $\frac{1}{4}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — familia de matrice $M(a)=I_2+aA$.

a) (5 p) La o matrice $2\times 2$, determinantul se obține scăzând din produsul diagonalei principale produsul celeilalte diagonale: $$\det A=6\cdot (-5)-(-10)\cdot 3\text{(3 p)}.$$ $$\det A=-30+30=0\text{(2 p)}.$$

(Probă: a doua linie, $(3,-5)$, este jumătate din prima, $(6,-10)$; liniile fiind proporționale, determinantul se anulează. Capcană: cele două produse se adună în loc să se scadă, $-30-30=-60$.)

b) (5 p) Se calculează mai întâi $A\cdot A$, linie cu coloană: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}6\cdot 6-10\cdot 3& 6\cdot (-10)-10\cdot (-5)\\ 3\cdot 6-5\cdot 3& 3\cdot (-10)-5\cdot (-5)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& -10\\ 3& -5\end{array}\right)=A.$$ Produsul $\left(I_2+aA\right)\left(I_2+bA\right)$ se desface ca la numere, cu ordinea factorilor matriceali păstrată: $$I_2\cdot I_2+I_2\cdot bA+aA\cdot I_2+abA\cdot A\text{(2 p)}.$$ Matricea $I_2$ nu schimbă ce înmulțește, iar $A\cdot A=A$; termenii cu $A$ se strâng: $$I_2+aA+bA+abA=I_2+(a+b+ab)A\text{(3 p)}.$$ Membrul drept este chiar $M(a+b+ab)$, deci $M(a)\cdot M(b)=M(a+b+ab)$ pentru orice $a$ și $b$ reale.

(Probă pentru $a=b=1$: $M(1)=\left(\begin{array}{cc}7& -10\\ 3& -4\end{array}\right)$ și $M(1)\cdot M(1)=\left(\begin{array}{cc}19& -30\\ 9& -14\end{array}\right)$, care este $M(3)=I_2+3A$, iar $1+1+1\cdot 1=3$. Capcană: $A\cdot A$ se face ridicând fiecare element la pătrat, $\left(\begin{array}{cc}36& 100\\ 9& 25\end{array}\right)$, și atunci nu mai iese $A$.)

c) (5 p) Fiecare matrice $M(k)$ are forma $I_2+kA$; la adunare, cele $2019$ de matrice $I_2$ se strâng, iar multiplii lui $A$ se strâng și ei: $$M(1)+M(2)+\dots +M(2019)=2019I_2+(1+2+\dots +2019)A\text{(3 p)}.$$ Suma $1+2+\dots +2019$ este $\frac{2019\cdot 2020}{2}=2019\cdot 1010$, așadar partea stângă devine $2019\left(I_2+1010A\right)=2019M(1010)$. Din egalitatea cu $2019M(a)$ rezultă $\mathbf{a}=1010$ (2 p).

(Capcană: suma $1+2+\dots +2019$ se ia egală cu $2019\cdot 2020$, fără împărțirea la $2$; atunci s-ar obține $a=2020$, dar $2019M(2020)$ nu este suma cerută.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom cu parametru $m$.

a) (5 p) Se înlocuiește $X$ cu $1$ în $f=m{X}^3+2X^2-mX-2$: $$f(1)=m\cdot 1^3+2\cdot 1^2-m\cdot 1-2\text{(3 p)}.$$ $$f(1)=m+2-m-2=0,\text{ pentru orice }m\text{ real nenul}\text{(2 p)}.$$

(Probă pentru $m=3$: $3+2-3-2=0$. Capcană: semnul lui $-mX$ se citește $+mX$; atunci $f(1)$ ar fi $m+2+m-2=2m$, nenul.)

b) (5 p) Pentru $m=3$, polinomul este $f=3X^3+2X^2-3X-2$. Termenii se grupează doi câte doi și se pune în evidență factorul $3X+2$: $$f=X^2(3X+2)-(3X+2)=(3X+2)\left(X^2-1\right)=(X-1)(X+1)(3X+2)\text{(2 p)}.$$ Fiecare factor se egalează cu $0$; rădăcinile sunt $x_1=-1$, $x_2=-\frac{2}{3}$ și ${\mathbf{x}}_3=1$ (3 p).

(Probă: $f\left(-\frac{2}{3}\right)=3\cdot \left(-\frac{8}{27}\right)+2\cdot \frac{4}{9}+2-2=-\frac{8}{9}+\frac{8}{9}=0$. Capcană: se păstrează doar rădăcinile întregi $\pm 1$, cele care se văd din $X^2-1$, și se uită factorul $3X+2$.)

c) (5 p) Relațiile lui Viète pentru gradul $3$ dau suma produselor rădăcinilor luate două câte două, $\frac{-m}{m}$, și produsul rădăcinilor, $-\frac{-2}{m}$: $$x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=-1,x_1{x}_2{x}_3=\frac{2}{m}\text{(2 p)}.$$ Se aduc fracțiile la numitorul comun $x_1{x}_2{x}_3$ (nenul, fiindcă $\frac{2}{m}\ne 0$): $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3}{x_1{x}_2{x}_3}=\frac{-1}{\frac{2}{m}}=-\frac{m}{2}.$$ Din $-\frac{m}{2}=-4$ rezultă $\mathbf{m}=8$ (3 p).

(Probă pentru $m=8$: $f=8X^3+2X^2-8X-2=2(4X+1)\left(X^2-1\right)$ are rădăcinile $-\frac{1}{4}$, $-1$ și $1$, iar $-4-1+1=-4$. Capcană: se folosește suma rădăcinilor, $-\frac{2}{m}$, în locul sumei produselor; raportul ar fi atunci $\frac{-2/m}{2/m}=-1$ pentru orice $m$, iar valoarea lui $m$ nu s-ar mai putea determina.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivate, convexitate, maxim local.

a) (5 p) Fiecare termen se derivează separat: ${\left(x^3\right)}^{\prime }=3x^2$, $(-3x{)}^{\prime }=-3$, iar constanta $5$ are derivata $0$: $$f^{\prime }(x)=3x^2-3\text{(3 p)}.$$ Se scoate factor comun $3$ și se folosește diferența de pătrate: $$f^{\prime }(x)=3\left(x^2-1\right)=3(x-1)(x+1),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f^{\prime }(1)=0$ și $f^{\prime }(-1)=0$, iar $f^{\prime }(0)=-3$ coincide cu $3\cdot (-1)\cdot 1$. Capcană: derivata lui $-3x$ se scrie $-3x$, cu $x$ rămas din termen; atunci nu mai iese produsul $3(x-1)(x+1)$.)

b) (5 p) Se derivează încă o dată: $$f^{\prime \prime }(x)={\left(3x^2-3\right)}^{\prime }=6x,x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Pentru orice $x\in [0,+\infty )$ avem $6x\ge 0$, adică $f^{\prime \prime }\ge 0$ pe tot intervalul; prin urmare $f$ este convexă pe $[0,+\infty )$ (3 p).

(Capcană: se confundă convexitatea cu creșterea; dar $f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}-3=-\frac{9}{4}<0$, deci $f$ scade pe porțiunea $\left[0,1\right]$ și, totuși, este convexă pe tot $[0,+\infty )$.)

c) (5 p) Derivata $f^{\prime }$ are semnul produsului $(x-1)(x+1)$: pe $(-\infty ,-1]$ produsul este $\ge 0$, deci $f$ crește; pe $[-1,1]$ este $\le 0$, deci $f$ scade (2 p).

Prin urmare $f$ atinge pe $(-\infty ,1]$ valoarea maximă în $x=-1$, iar $$f(-1)=(-1{)}^3-3\cdot (-1)+5=7,\text{deci }f(x)\le f(-1)=7\text{pentru }x\in (-\infty ,1]\text{(3 p)}.$$

(Probă: $f(-2)=3$, $f(0)=5$ și $f(1)=3$ sunt toate cel mult $7$. Capcană: se compară cu $f(1)=3$, valoarea de la marginea dreaptă a intervalului; dar $-1\in (-\infty ,1]$ și $f(-1)=7>3$, deci $f(x)\le 3$ nu e adevărat pe tot intervalul.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu radical.

a) (5 p) Radicandul este pozitiv: forma lui canonică arată un minim egal cu $4$, atins în $x=-1$. Prin urmare $f^2(x)=3x^2+6x+7$, iar integrala se calculează termen cu termen, cu primitivele $x^3$, $3x^2$ și $7x$ ale celor trei termeni: $${\int }_0^1{f}^2(x)dx={\int }_0^1\left(3x^2+6x+7\right)dx=\left(x^3+3x^2+7x\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=(1+3+7)-0=11\text{(2 p)}.$$

(Probă: pe $[0,1]$, $f^2$ urcă de la $f^2(0)=7$ la $f^2(1)=16$, așa că integrala se încadrează între $7$ și $16$, iar $11$ respectă încadrarea. Capcană: în loc să se integreze, se derivează, ${\left(3x^2+6x+7\right)}^{\prime }=6x+6$; valoarea între $0$ și $1$ ar fi $12-6=6\ne 11$.)

b) (5 p) Derivata unui radical este ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$. Pentru $u=3x^2+6x+7$, $u^{\prime }=6x+6$, deci $${\left(\sqrt{3x^2+6x+7}\right)}^{\prime }=\frac{3(x+1)}{\sqrt{3x^2+6x+7}}.$$ Integrandul $\frac{x+1}{f(x)}$ este o treime din această derivată, așadar $\frac{1}{3}\sqrt{3x^2+6x+7}$ este o primitivă a lui (3 p): $${\int }_{-1}^1\frac{x+1}{f(x)}dx=\frac{1}{3}\sqrt{3x^2+6x+7}{|}_{-1}^1=\frac{1}{3}\left(\sqrt{16}-\sqrt{4}\right)=\frac{1}{3}(4-2)=\frac{2}{3}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: factorul $\frac{1}{3}$ se uită, pentru că derivata radicalului are $3(x+1)$ la numărător, nu $x+1$; rezultatul ar fi atunci $\sqrt{16}-\sqrt{4}=2$, nu $\frac{2}{3}$.)

c) (5 p) Pentru $x\ge 0$ avem $3x^2\ge 0$ și $6x\ge 0$, deci $3x^2+6x+7\ge 7$ și, cum radicalul crește odată cu argumentul, $f(x)\ge \sqrt{7}$ (2 p).

Funcția $f$ are valori pozitive, deci aria este ${\int }_0^{a}f(x)dx$, iar inegalitatea $f(x)\ge \sqrt{7}$ se integrează pe $[0,a]$: $$\mathcal{A}={\int }_0^{a}f(x)dx\ge {\int }_0^a\sqrt{7}dx=\mathbf{a}\sqrt{7},\text{pentru orice }a\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Probă: $f(0)=\sqrt{7}$ și $f(1)=4>\sqrt{7}$; pe $[0,a]$ graficul lui $f$ nu coboară sub dreapta $y=\sqrt{7}$, deci aria nu e mai mică decât a dreptunghiului de lățime $a$ și înălțime $\sqrt{7}$. Capcană: ${\int }_0^a\sqrt{7}dx$ se scrie $\sqrt{7}$, cu lățimea $a$ pierdută; dar integrala unei constante pe $[0,a]$ este constanta înmulțită cu $a$.)

Pentru părinți și profesori

Pagina reunește lucrarea de matematică M_tehnologic din sesiunea iunie-iulie 2019 a Bacalaureatului, Varianta 6, cu toate cele zece cerințe rezolvate. Documentul oficial poartă antetul Ministerului Educației Naționale și al Centrului Național de Evaluare și Examinare și se adresează filierei tehnologice, la proba E.c) (profilurile servicii, resurse și tehnic, oricare ar fi calificarea). Textul cerințelor, mai jos, este cel tipărit în document, fără nicio schimbare. Soluțiile, probele, observațiile și ghidajul sunt ale noastre; din document am reținut doar felul în care sunt împărțite punctele pe rânduri.

Ce conține lucrarea (așa cum e tipărită pe document):

• Subiectul I are 30 de puncte: cerințele 1–6 nu depind una de alta, iar fiecare valorează 5 puncte.
• Subiectul al II-lea (30 de puncte) pune întâi o familie de matrice, apoi un polinom; la fiecare problemă, subpunctele a), b), c) valorează câte 5 puncte.
• Subiectul al III-lea (30 de puncte) cere derivate pentru o funcție polinomială, apoi integrale pentru o funcție cu radical, cu aceeași despărțire în a), b), c).
• Din oficiu se adaugă 10 puncte, iar timpul efectiv de lucru este de 3 ore.

Pe cerințe: tema și clasa în care o găsești în programa de examen

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. În programa de examen, radicalii și proprietățile lor sunt tema clasei a X-a („radical … proprietăți ale radicalilor”). Anexa 3 la OMEC 6930/2025 (programa nouă pentru clasele a IX-a și a X-a) are doar „Funcția radical de ordin 2” și trece sub tăcere proprietățile radicalilor.
• Nota 2. Programa de examen așază logaritmul și ecuațiile logaritmice în clasa a X-a. În Anexa 3, funcția logaritmică vine mai devreme, în clasa a IX-a, iar valorile se iau de la calculator; proprietățile algebrice ale logaritmilor sunt excluse, iar ecuațiile logaritmice lipsesc.
• Nota 3. Procentele sunt trecute în clasa a X-a a programei de examen, sub titlul „Matematici financiare”. Anexa 3 pomenește procentul doar ca exemplu pentru progresii; calculul procentual nu are acolo un loc al lui.
• Nota 4. Programa de examen trece în clasa a X-a distanța dintre două puncte și „linii importante în triunghi”, dar nu numește mijlocul unui segment, pe care cerința 5 se sprijină. Anexa 3 introduce mijlocul segmentului în clasa a IX-a și nu pomenește mediana triunghiului.
• Nota 5. Trigonometria apare în programa de examen la clasa a IX-a (cercul trigonometric, formule), iar valorile unghiurilor uzuale nu sunt enumerate; $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ se învață ca valori de reținut.
• Nota 6. Pentru $1+2+\dots +2019$ e nevoie de suma primilor $n$ termeni dintr-o progresie aritmetică, temă a clasei a IX-a în programa de examen; Anexa 3 o are tot în clasa a IX-a.

Ce are în plus varianta 6. Matricea $A$ are determinantul $0$ și îndeplinește $A\cdot A=A$; de aceea $M(a)\cdot M(b)$ rămâne în familia $M(\cdot )$. Polinomul de la cerința 8 are parametrul $m$ înmulțind atât $X^3$, cât și $X$; $X=1$ îi este rădăcină pentru orice $m$ nenul, iar subpunctele b) și c) se rezolvă fără o formulă de rezolvare pentru gradul 3: b) prin grupare, c) cu relațiile lui Viète. La cerința 10, pătratul funcției cu radical este polinom, iar integrandul de la b) este, până la un factor, derivata unui radical.

Organizarea timpului. Din cele 180 de minute poți păstra 25 pentru recitire; rămân 155 de minute pentru 90 de puncte, adică un ritm sub două minute pe punct. Subiectul I se poate rezolva mai repede, iar timpul câștigat merge la subpunctele c).

De unde vine nota. Totalul se împarte la zece: 40 de puncte din cerințe plus cele 10 din oficiu fac 50, adică nota 5.

Greșeli de redactare de evitat: la 1, produsul $\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}$ scris $2\sqrt{7}$; la 3, soluția $x=-4$ pierdută, deși ecuația are două soluții; la 7.b), produsul $A\cdot A$ calculat element cu element; la 8.c), suma rădăcinilor folosită în loc de suma produselor lor două câte două; la 9.c), compararea cu $f(1)$ în loc de $f(-1)$; la 10.b), factorul $\frac{1}{3}$ uitat.

Cum folosești pagina. Rezolvă mai întâi pe hârtie, apoi confruntă rând cu rând. Dacă ți-a lipsit un rând, caută în tabel clasa în care se învață metoda și reia acolo exemplele. Sub 40 de puncte, reia cerințele 1–6 și subpunctele a). Între 40 și 65, lucrează subpunctele b) și c). Peste 65, pune accentul pe redactare.

Formule folosite în varianta 6

• Subiectul I. $\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$ pentru $a\ge 0$; ${\log }_{a}u=b⟺u=a^b$; $p\%$ din $S$ înseamnă $\frac{p}{100}\cdot S$; mijlocul unui segment are drept coordonate semisumele coordonatelor capetelor; lungimea unui segment este rădăcina pătrată din suma pătratelor diferențelor de abscise și de ordonate.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; matricele se înmulțesc linie cu coloană; suma $S_n=1+2+\dots +n$ se calculează cu $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$; la un polinom de gradul $3$ cu coeficienții $a$ (dominant), $b$, $c$ și termenul liber $d$, suma produselor rădăcinilor luate două câte două este $\frac{c}{a}$, iar produsul rădăcinilor este $-\frac{d}{a}$.
• Subiectul al III-lea. $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$; convexitatea pe un interval se citește din $f^{\prime \prime }\ge 0$; ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$; dacă $f\ge g$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}f\ge {\int }_a^{b}g$.

Titlurile „Itemul n” de mai jos numără cerințele de la 1 la 10 pentru navigare; documentul nu folosește cuvântul „item”, iar la clasă spunem „cerința n”. Atenție la litere: $f$ înseamnă patru lucruri diferite (funcția de gradul al II-lea de la 2, polinomul de la 8, funcția cubică de la 9, funcția cu radical de la 10), iar $A$ este un punct la 5 și o matrice la 7; $a$ este numărul real din $M(a)$ la 7 și capătul intervalului $[0,a]$ la 10.c), iar $N$, mijlocul lui $AB$ din rezolvarea cerinței 5, nu apare în enunț.