Subiect Bac matematică tehnologic, rezervă august 2016 (varianta 9) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2016 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(1-\frac{3}{4}\right):\frac{1}{4}=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-1$. Calculați $f(-1)+f(1)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{3x+4}=4$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, acesta să fie multiplu de $3$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $O(0,0)$, $A(0,5)$ și $B(5,0)$. Arătați că triunghiul $AOB$ este isoscel.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați aria triunghiului $ABC$, dreptunghic în $A$ cu $AB=4$ și $AC=3$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$ și $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=-1$.

b) (5 puncte) Arătați că $A\cdot A-2A=I_2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$, pentru care $A\cdot B=I_2$, unde $B=\left(\begin{array}{cc}-1& x\\ x-1& -1\end{array}\right)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+5X^2-4$.

a) (5 puncte) Arătați că $f(1)=2$.

b) (5 puncte) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X+1$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\frac{x_2+x_3}{x_1}+\frac{x_3+x_1}{x_2}+\frac{x_1+x_2}{x_3}=-3$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-x^3$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=3\left(1-x^2\right)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{f(x)}=0$.

c) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-x^2+x-1$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-1}^1\left(f(x)+x^2-x+1\right)dx=0$.

b) (5 puncte) Arătați că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-x$ este o primitivă a funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[1,2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{f(x)}{x^2+1}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: cerințele aduc 90 p, la care se adaugă 10 p din oficiu, în total 100 p. Cerința 4 are în documentul oficial trei rânduri punctate (1 p, 2 p, 2 p); fiecare dintre celelalte cinci cerințe ale Subiectului I are două. Problemele 7–10, de câte 15 p, se împart în subpuncte de 5 p, iar fiecare subpunct are două rânduri. Rândurile sunt cele ale variantei 9 din august 2016; justificările, probele și observațiile sunt ale noastre.

Exercițiul 1. (5 p) — expresie cu fracții.

Paranteza se scrie cu numitor comun: $1-\frac{3}{4}=\frac{4}{4}-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$ (3 p).

Rămâne câtul $\frac{1}{4}:\frac{1}{4}$, în care deîmpărțitul și împărțitorul coincid. Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei: $\frac{1}{4}\cdot 4=1$ (2 p).

(Capcană: împărțirea aplicată numai lui $\frac{3}{4}$, ca în $1-\frac{3}{4}:\frac{1}{4}$; atunci $\frac{3}{4}:\frac{1}{4}=3$ și rezultatul ar fi $1-3=-2$. În enunț, împărțirea privește întreaga paranteză.)

Exercițiul 2. (5 p) — valorile unei funcții.

Se înlocuiește $x$ cu $-1$: $f(-1)=(-1{)}^2-1=1-1=0$ (2 p).

Apoi $f(1)=1^2-1=0$, deci $$f(-1)+f(1)=0+0=0\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: $f(-x)=(-x{)}^2-1=x^2-1=f(x)$, deci valorile din $-1$ și din $1$ sunt egale. Capcană: pătratul lui $-1$ este $1$, nu $-1$; cu $-1$, valoarea ar fi $-1-1=-2$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Membrul drept este pozitiv, deci ecuația se poate ridica la pătrat: $$3x+4=4^2=16\text{(3 p)}.$$ De aici $3x=12$, adică $\mathbf{x}=4$. Verificare: $\sqrt{3\cdot 4+4}=\sqrt{16}=4$, iar $x=4$ convine (2 p).

(Capcană: ridicarea la pătrat uitată; din $3x+4=4$ ar ieși $x=0$, dar $\sqrt{4}=2$, nu $4$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Oricare dintre cele zece numere din $A$ poate fi ales, așa că numărul cazurilor posibile este $10$ (1 p).

Dintre ele, se împart exact la $3$ numerele $3$, $6$ și $9$; numărul $10$ nu se împarte, fiindcă $10=3\cdot 3+1$ lasă restul $1$. Rezultă $3$ cazuri favorabile (2 p).

Probabilitatea este raportul $$p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\frac{3}{10}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: divizorii în loc de multipli; divizorii lui $3$ din $A$ sunt doar $1$ și $3$, iar raportul $\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$ nu răspunde întrebării.)

Exercițiul 5. (5 p) — triunghi isoscel în coordonate.

Punctul $A(0,5)$ stă pe axa $Oy$, deci distanța de la $O$ la $A$ se citește pe ordonată: $AO=5$ (2 p).

Punctul $B(5,0)$ stă pe axa $Ox$, deci $BO=5$. Laturile $OA$ și $OB$ sunt egale, așadar triunghiul $AOB$ este isoscel, cu vârful în $O$ (3 p).

(Probă: $AB=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, diferită de $5$; laturile egale sunt cele care pornesc din $O$. Capcană: se caută egalitatea cu $AB$, care nu există.)

Exercițiul 6. (5 p) — aria unui triunghi dreptunghic.

Unghiul drept este în $A$, deci $AB$ și $AC$ sunt catetele, iar una este înălțime pentru cealaltă. Aria este $${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{4\cdot 3}{2}\text{(3 p)}.$$ Se obține $\frac{12}{2}=6$ (2 p).

(Probă: ipotenuza este $BC=\sqrt{16+9}=5$, iar înălțimea dusă pe ea este $h=\frac{2\cdot 6}{5}=\frac{12}{5}$. Capcană: $BC$ luată bază și $AB$ înălțime; $\frac{5\cdot 4}{2}=10$, dar $AB$ nu e perpendiculară pe $BC$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Determinantul este produsul elementelor diagonalei principale minus produsul celor de pe diagonala secundară: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right|=1\cdot 1-2\cdot 1\text{(3 p)}.$$ $$\det A=1-2=-1\text{(2 p)}.$$

(Capcană: produsele se adună în loc să se scadă; $1+2=3$ nu este determinantul.)

b) (5 p) Produsul $A\cdot A$ se face rând cu coloană: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+2\cdot 1& 1\cdot 2+2\cdot 1\\ 1\cdot 1+1\cdot 1& 1\cdot 2+1\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 2& 3\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Scalarul $2$ înmulțește fiecare element al lui $A$, iar scăderea se face pe poziții: $$A\cdot A-2A=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 2& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 2& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2\text{(2 p)}.$$

(Probă: relația se scrie $A\cdot (A-2I_2)=I_2$, deci $A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& -1\end{array}\right)$ este inversa lui $A$; la c) ea apare din nou, ca matricea $B$ pentru $x=2$. Capcană: $A\cdot A$ calculată element cu element, ca $\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 1& 1\end{array}\right)$; produsul de matrice nu înseamnă pătratul fiecărui element.)

c) (5 p) Se înmulțesc $A$ și $B$, rând cu coloană: $$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1\cdot (-1)+2(x-1)& 1\cdot x+2\cdot (-1)\\ 1\cdot (-1)+1\cdot (x-1)& 1\cdot x+1\cdot (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2x-3& x-2\\ x-2& x-1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Egalitatea cu $I_2$ cere ca elementele din afara diagonalei să fie $0$: $x-2=0$, adică $\mathbf{x}=2$. Pe diagonală, $2\cdot 2-3=1$ și $2-1=1$, deci și acolo se obține $1$ (2 p).

(Probă: $A^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& -1\end{array}\right)$, adică exact $B$ pentru $x=2$. Capcană: din $2x-3=1$ iese tot $x=2$, dar egalitatea trebuie verificată pe toate patru poziții.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul $3$.

a) (5 p) Se înlocuiește $X$ cu $1$: $$f(1)=1^3+5\cdot 1^2-4\text{(3 p)}.$$ $$f(1)=1+5-4=2\text{(2 p)}.$$

(Capcană: semnul termenului liber uitat; cu $+4$ în loc de $-4$ s-ar obține $1+5+4=10$, nu $2$.)

b) (5 p) Împărțirea la $X+1$ se face cu schema lui Horner, cu rădăcina $-1$ și coeficienții $1,5,0,-4$ (lipsește termenul în $X$, deci apare coeficientul $0$): primul coeficient se copiază, $1$; apoi $5+(-1)\cdot 1=4$; apoi $0+(-1)\cdot 4=-4$. Câtul are coeficienții $1,4,-4$: $$\text{caˆtul este }{\mathbf{X}}^2+4X-4\text{(3 p)}.$$ Ultimul pas dă restul: $-4+(-1)\cdot (-4)=0$, deci $$\text{restul este }0\text{(2 p)}.$$

(Probă: $(X+1)\left(X^2+4X-4\right)=X^3+4X^2-4X+X^2+4X-4=X^3+5X^2-4$. Rest nul este firesc: $f(-1)=-1+5-4=0$. Capcană: coeficientul $0$ al lui $X$ sărit; cu coeficienții $1,5,-4$ s-ar împărți alt polinom.)

c) (5 p) Polinomul este $X^3+5X^2+0\cdot X-4$, așa că produsele rădăcinilor sunt $$x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=0,x_1{x}_2{x}_3=4\text{(2 p)}.$$ Suma rădăcinilor este $x_1+x_2+x_3=-5$, deci $x_2+x_3=-5-x_1$ și analoagele. Fiecare fracție devine $\frac{-5-x_i}{x_i}=-\frac{5}{x_i}-1$, iar suma lor este $$-5\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)-3=-5\cdot \frac{x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3}{x_1{x}_2{x}_3}-3=-5\cdot \frac{0}{4}-3=-3\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: la numitor comun $x_1{x}_2{x}_3$, numărătorul este $(x_1+x_2+x_3)(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)-3x_1{x}_2{x}_3=-5\cdot 0-3\cdot 4=-12$, iar $\frac{-12}{4}=-3$. Capcană: semnul sumei; $x_1+x_2+x_3=-5$, nu $5$, fiindcă $x_1+x_2+x_3=-a$ pentru coeficientul $a=5$ al lui $X^2$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, tangentă.

a) (5 p) Derivata unei diferențe este diferența derivatelor: $$f^{\prime }(x)=(3x{)}^{\prime }-{\left(x^3\right)}^{\prime }\text{(2 p)}.$$ Cu $(3x{)}^{\prime }=3$ și ${\left(x^3\right)}^{\prime }=3x^2$, se obține $f^{\prime }(x)=3-3x^2$, iar scoaterea factorului comun dă $$f^{\prime }(x)=3\left(1-x^2\right),x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Capcană: derivata lui $3x$ este $3$, nu $3x$; atunci s-ar obține $3x-3x^2$, expresie care nu se scrie $3(1-x^2)$.)

b) (5 p) La $x\to +\infty$ numărătorul $\ln x$ tinde la $+\infty$, iar $f(x)=3x-x^3$ tinde la $-\infty$ (termenul $x^3$ domină), deci limita are forma $\frac{\infty }{\infty }$ și se poate aplica regula lui l'Hospital: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{f(x)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{(\ln x{)}^{\prime }}{f^{\prime }(x)}\text{(3 p)}.$$ Cu $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ și $f^{\prime }(x)=3-3x^2$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{3-3x^2}=0,$$ fiindcă numărătorul tinde la $0$, iar numitorul la $-\infty$ (2 p).

(Altă cale, fără regula lui l'Hospital: pentru $x>3$ avem $0<\ln x<x$ și $x^3-3x>x$, deci $\left|\frac{\ln x}{f(x)}\right|<\frac{x}{x^3-3x}=\frac{1}{x^2-3}\to 0$. Capcană: regula se aplică doar la forma $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$; aici forma a fost verificată înainte.)

c) (5 p) Punctul de tangență are abscisa $1$. Valoarea funcției este $f(1)=3\cdot 1-1^3=2$, iar panta este $f^{\prime }(1)=3\left(1-1^2\right)=0$ (2 p).

Ecuația tangentei este $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$, adică $y-2=0\cdot (x-1)$: $$\mathbf{y}=2\text{(3 p)}.$$

(Probă: $x=1$ este punct de extrem local, fiindcă $f^{\prime }$ își schimbă semnul în $1$, iar tangenta într-un extrem este orizontală. Capcană: ecuația scrisă $y=f^{\prime }(1)(x-1)$, fără $f(1)$; ar ieși $y=0$, dreaptă care nu trece prin punctul $(1,2)$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale.

a) (5 p) Termenii $x^2$, $-x$ și $1$ se reduc cu cei din $f$: $f(x)+x^2-x+1=x^3$. Atunci $${\int }_{-1}^1{x}^{3}dx=\frac{x^4}{4}{|}_{-1}^1\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: valorile lui $x^3$ în $x$ și în $-x$ sunt opuse, deci pe $[-1,1]$ contribuțiile celor două jumătăți ale intervalului se anulează. Capcană: la $x=-1$ puterea a patra a lui $-1$ este $1$; cu $-1$ s-ar obține $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$.)

b) (5 p) Se derivează $F$ termen cu termen: $$F^{\prime }(x)=\frac{4x^3}{4}-\frac{3x^2}{3}+\frac{2x}{2}-1\text{(3 p)}.$$ $$F^{\prime }(x)=x^3-x^2+x-1=f(x),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Derivata lui $F$ este $f$ pe $\mathbb{R}$, deci $F$ este o primitivă a lui $f$.

(Capcană: o primitivă se verifică prin derivare, nu prin integrare; derivata lui $x$ este $1$, de aceea termenul $-x$ din $F$ produce $-1$ în $f$.)

c) (5 p) Numărătorul se descompune prin grupare: $f(x)=x^2(x-1)+(x-1)=(x-1)\left(x^2+1\right)$. Prin simplificare cu $x^2+1>0$, $g(x)=x-1$. Volumul corpului de rotație este $$V=\pi {\int }_1^2{g}^2(x)dx=\pi {\int }_1^2(x-1{)}^{2}dx=\pi \cdot \frac{(x-1{)}^3}{3}{|}_1^2\text{(3 p)}.$$ $$=\pi \left(\frac{1}{3}-0\right)=\frac{\pi }{3}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $g(1)=0$ și $g(2)=1$, deci graficul este segmentul de dreaptă de la $(1,0)$ la $(2,1)$, iar corpul este un con cu raza bazei $1$ și înălțimea $1$, cu volumul $\frac{1}{3}\pi \cdot 1^2\cdot 1=\frac{\pi }{3}$. Capcană: formula volumului fără pătratul lui $g$; $\pi {\int }_1^2(x-1)dx=\frac{\pi }{2}$ nu e volumul.)

Pentru părinți și profesori

Pe scurt. Pagina cuprinde Varianta 9, subiectul de rezervă din august 2016 la matematică M_tehnologic, cu baremul oficial și cu rezolvările noastre. Sus, foaia poartă ministerul și Centrul Național de Evaluare și Examinare, iar titlul ei oficial este Examenul de bacalaureat național 2016, Proba E. c), Matematică M_tehnologic. Lucrarea s-a dat în filiera tehnologică (profilurile servicii, resurse și tehnic); în școli, proba se mai numește M3. Enunțurile din „Itemi" reproduc PDF-ul fără nicio schimbare. Rezolvările, probele și ghidajul sunt ale noastre; din documentul oficial am folosit numai împărțirea punctelor pe rânduri.

Structura foii. Antetul cere trei ore de lucru, subiecte obligatorii și zece puncte din oficiu. Subiectul I înseamnă șase cerințe de câte 5 puncte; Subiectele II și III au fiecare câte două probleme, iar fiecare problemă are trei subpuncte de câte 5 puncte.

Cerințele și clasele lor, după programa de examen:

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Calculul cu fracții face parte, în programa de examen, din numerele reale ale clasei a IX-a. Noua programă a clasei a IX-a nu cuprinde numerele reale ca unitate, motiv pentru care tema stă în „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. La examen, ecuațiile cu radicali sunt materie de clasa a X-a. Programa nouă rezolvă ecuațiile pe grafic sau cu mijloace digitale, așa că ridicarea la pătrat de la cerința 3 apare în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Programa de examen așază distanța dintre două puncte la clasa a X-a, iar programa nouă la clasa a IX-a; cerința 5 e trecută mai sus la clasa din programa de examen.

Ce are special această variantă. La cerința 1, paranteza dă chiar împărțitorul, așa că rezultatul e $1$ fără alt calcul. La cerința 5, punctele $A$ și $B$ stau pe axe, deci două distanțe se citesc direct, fără formula distanței. La 7.b), relația $A\cdot A-2A=I_2$ spune că $A\cdot A$ se exprimă prin $A$ și $I_2$, iar la 7.c) toate cele patru egalități cu $I_2$ duc la aceeași valoare, $x=2$. La 8.c), fiecare numărător se scrie cu suma rădăcinilor, iar suma inverselor rădăcinilor iese zero. La 9.b), numitorul $f(x)$ tinde la $-\infty$, dar limita e tot $0$. La 10.c), funcția $g$ pare un raport, însă se simplifică: $f(x)=(x-1)(x^2+1)$.

Cum se lucrează cu pagina:

• Timpul. Cele 180 de minute se pot împărți astfel: 30 pentru Subiectul I, câte 60 pentru fiecare dintre Subiectele II și III, iar 30 la sfârșit, pentru a doua citire a lucrării. Cerințele din Subiectul I sunt scurte și cer cam 5 minute fiecare.
• Redactarea. Se scriu toți pașii. Documentul oficial împarte cerințele și subpunctele de 5 puncte în câte două rânduri (3 + 2 sau 2 + 3); cerința 4 face excepție, cu trei rânduri (1 + 2 + 2 puncte).
• Regulile foii de barem. Foaia primește și soluțiile corecte care diferă de cea tipărită, nu fracționează punctele (dar admite punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limita rândului) și calculează nota ca total împărțit la 10.
• Greșeli de evitat: la 1, împărțirea făcută doar pe $\frac{3}{4}$; la 3, lipsa verificării; la 4, divizori în loc de multipli; la 6, ipotenuza luată drept catetă; la 8.c), semnul sumei $x_1+x_2+x_3$; la 10.c), un volum scris fără $\pi$.
• La final. Fiecare subpunct pierdut primește o notiță: ce a lipsit, formula, calculul sau argumentul.

Totalul și nota. Pentru nota 5 sunt necesare 50 de puncte în total, adică 40 din cele 90 ale cerințelor; pentru nota 9, 80 din 90. Sub 40 de puncte merită reluat Subiectul I și subpunctele a) și b); între 40 și 80 apar subpunctele c); peste 80 contează atenția la semne.

Formulele folosite, pe subiecte:

• Subiectul I. $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$; $\sqrt{u}=c⟹u=c^2$, cu verificare; probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și cel al cazurilor posibile; un triunghi este isoscel dacă are două laturi egale; aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; înmulțirea matricelor „rând cu coloană"; dacă $f=X^3+a{X}^2+bX+c$ are rădăcinile $x_1,x_2,x_3$, atunci $x_1+x_2+x_3=-a$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=b$, $x_1{x}_2{x}_3=-c$; restul împărțirii lui $f$ la $X-t$ este $f(t)$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(x^k\right)}^{\prime }=k{x}^{k-1}$; regula lui l'Hospital pentru raportul a două funcții cu limita $\pm \infty$; ecuația tangentei $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$; o primitivă a lui $x^k$ se obține mărind exponentul cu $1$ și împărțind la noul exponent; volumul corpului obținut prin rotirea graficului lui $g$ în jurul axei $Ox$: $V=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$.

Despre litere. Litera $f$ are patru sensuri: funcția $x^2-1$ (cerința 2), polinomul $X^3+5X^2-4$ (cerința 8), funcția $3x-x^3$ (cerința 9) și funcția $x^3-x^2+x-1$ (cerința 10). Litera $A$ denumește mulțimea cu zece elemente (cerința 4), un punct (cerința 5), un vârf de triunghi (cerința 6) și matricea de la cerința 7; $B$ e punct la cerința 5, vârf la cerința 6 și matrice la 7.c). Litera $O$ este originea reperului la cerința 5. Etichetele „Itemul n" de mai jos urmează numerotarea 1–10 din documentul oficial; în text, cuvântul obișnuit este „cerința".