Subiect Bac matematică tehnologic, rezervă iunie 2026 (varianta 7) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2026 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $3\cdot (2,9-1,7)+0,4=4$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-1$. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(0)+f(m)=0$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{3x+6}=6$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Prețul unui obiect este de $500$ de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu $30\%$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(0,4)$, $N(2,8)$ și $P(4,0)$. Determinați distanța dintre mijlocul segmentului $MP$ și punctul $N$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=10$ și $2BC=5AB$. Arătați că $AC=2\sqrt{21}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A(x)=\left(\begin{array}{cc}x& x-1\\ x+1& x+1\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=2$.

b) (5 puncte) Arătați că $2A(1)+A(7)=3A(3)$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $(A(x)-(2x+1)I_2)\cdot A(2)=y{I}_2$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=x+y-xy+1$.

a) (5 puncte) Arătați că $2\ast 3=0$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\ast 5=10$.

c) (5 puncte) Determinați numerele naturale nenule $n$ pentru care numărul $N=\frac{3}{n}\ast (3+n)$ este natural.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3}{x}-1+3\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{3(x-1)}{x^2}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=0$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\ln x\ge 1-\frac{1}{x}$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x+3-6\sqrt{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\left(f(x)-3+6\sqrt{x}\right)dx=6$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^4\frac{4x-f(x)}{\sqrt{x}}dx=12$.

c) (5 puncte) Demonstrați că orice primitivă $G:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$ a funcției $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)\cdot \sqrt{x}$ este convexă.

Barem și răspunsuri

Subiectul I (itemii 1–6, câte 5 p), Subiectul al II-lea (itemii 7 și 8) și Subiectul al III-lea (itemii 9 și 10) valorează câte 30 p; la cele 90 p se adaugă 10 p din oficiu, deci lucrarea are 100 p. La itemii 7–10, fiecare subpunct are 5 p, repartizate pe două rânduri de barem. Rândurile reproduc baremul oficial al subiectului de rezervă din sesiunea iunie-iulie 2026 (Varianta 7); explicațiile și probele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu zecimale.

Paranteza se calculează prima: $2,9-1,7=1,2$ (întregii dau $2-1=1$, zecimile $9-7=2$). Expresia devine $$3\cdot (2,9-1,7)+0,4=3\cdot 1,2+0,4\text{(2 p)}.$$ Produsul este $3\cdot 1,2=3,6$, iar suma $3,6+0,4=4$ (3 p).

(Altă cale: se înmulțește $3$ cu fiecare termen, $3\cdot 2,9-3\cdot 1,7+0,4=8,7-5,1+0,4=4$. Capcană: factorul $3$ ajunge doar la primul termen, $8,7-1,7+0,4=7,4$; sau paranteza se calculează numai pe zecimi, $2,9-1,7=0,2$, și iese $3\cdot 0,2+0,4=1$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcție de gradul întâi.

Din formulă, $f(0)=2\cdot 0-1=-1$, iar $f(m)=2m-1$ pentru orice număr real $m$. Condiția din enunț este $$-1+2m-1=0\text{(3 p)}.$$ De aici $2m=2$, deci $\mathbf{m}=1$ (2 p).

(Probă: $f(1)=1$ și $-1+1=0$. Capcană: $f(0)$ se ia egal cu $0$; atunci $2m-1=0$ dă $m=\frac{1}{2}$, dar $f(0)+f\left(\frac{1}{2}\right)=-1+0=-1\ne 0$. Altă greșeală: $f(0)=1$, care duce la $m=0$, deși $f(0)+f(0)=-2$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Radicalul este egal cu $6\ge 0$, deci subradicalul este egal cu $6^2=36$: $$3x+6=36\text{(3 p)}.$$ Rezultă $3x=30$, adică $\mathbf{x}=10$. Verificare: $\sqrt{3\cdot 10+6}=\sqrt{36}=6$, deci soluția convine (2 p).

(Capcană: se uită ridicarea la pătrat și se scrie $3x+6=6$; atunci $x=0$, dar $\sqrt{6}\ne 6$. Altă greșeală: $6$ se dublează în loc să se ridice la pătrat; ar rezulta $3x=6$, adică $x=2$, dar $\sqrt{12}\ne 6$.)

Exercițiul 4. (5 p) — procent.

Creșterea este $30\%$ din prețul de $500$ de lei: $$\frac{30}{100}\cdot 500=150\text{(3 p)}.$$ Adunată la prețul inițial, creșterea dă noul preț: $500+150=650$ de lei (2 p).

(Altă cale: prețul nou este $130\%$ din cel vechi, $1,3\cdot 500=650$. Capcană: $30\%$ se scrie $0,03$ în loc de $0,3$ și iese $0,03\cdot 500=15$; sau scumpirea se scade în loc să se adune, $500-150=350$.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment și distanța.

Mijlocul $Q$ al segmentului $MP$ are coordonatele semisumelor: $$Q\left(\frac{0+4}{2},\frac{4+0}{2}\right)=Q(2,2)\text{(2 p)}.$$ Punctele $Q(2,2)$ și $N(2,8)$ au aceeași abscisă, deci segmentul $QN$ este vertical și $QN=|8-2|=6$; același rezultat dă formula distanței, $QN=\sqrt{(2-2{)}^2+(8-2{)}^2}=\sqrt{36}=6$ (3 p).

(Capcană: se uită împărțirea la $2$ și se obține $Q(4,4)$, apoi $QN=\sqrt{(4-2{)}^2+(4-8{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$; sau se ia mijlocul altui segment, de exemplu al lui $NP$, care este $(3,4)$, iar distanța lui până la $N$ ar fi $\sqrt{17}$.)

Exercițiul 6. (5 p) — triunghi dreptunghic.

Din $2BC=5AB$ și $BC=10$ rezultă $20=5AB$, deci $AB=4$ (3 p).

Ipotenuza este $BC$, deci $A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2=100-16=84$, iar $84=4\cdot 21$: $$AC=\sqrt{84}=2\sqrt{21}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $A{B}^2+A{C}^2=16+84=100=B{C}^2$. Capcană: pătratele se adună, $A{C}^2=100+16=116$, dar pătratul unei catete nu poate depăși pe cel al ipotenuzei, $100$; sau lungimile se scad, $AC=10-4=6$, dar $4^2+6^2=52\ne 100$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$ cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=1$ avem $x-1=0$ și $x+1=2$: $$A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 2\end{array}\right),\det (A(1))=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 2\end{array}\right|=1\cdot 2-0\cdot 2\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(1))=2-0=2\text{(2 p)}.$$

(Pentru orice $x$ real, $\det A(x)=x(x+1)-(x-1)(x+1)=x+1$, deci la $x=1$ iese $2$. Capcană: determinantul se scrie în ordine inversă, $0\cdot 2-1\cdot 2=-2$, sau cu diagonalele amestecate, $1\cdot 0-2\cdot 2=-4$.)

b) (5 p) Se scriu $A(7)=\left(\begin{array}{cc}7& 6\\ 8& 8\end{array}\right)$ și $A(3)=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 4\end{array}\right)$. Cu $A(1)$ de la a), $$2A(1)+A(7)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 4& 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}7& 6\\ 8& 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9& 6\\ 12& 12\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Pe de altă parte $$3A(3)=\left(\begin{array}{cc}9& 6\\ 12& 12\end{array}\right)=2A(1)+A(7)\text{(2 p)}.$$

(De ce iese: $A(x)=xU+V$, cu $U=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ și $V=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$, deci $2A(1)+A(7)=9U+3V=3(3U+V)=3A(3)$; parametrii $1$ și $7$, cu ponderile $2$ și $1$, au media $3$. Capcană: factorul $2$ se aplică doar primei linii a lui $A(1)$; suma ar fi $\left(\begin{array}{cc}9& 6\\ 10& 10\end{array}\right)$, diferită de $3A(3)$.)

c) (5 p) Din $A(x)$ se scade matricea $(2x+1)I_2$, care are $2x+1$ doar pe diagonală: $$A(x)-(2x+1)I_2=\left(\begin{array}{cc}-x-1& x-1\\ x+1& -x\end{array}\right).$$ Cu $A(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 3\end{array}\right)$, produsul rând cu coloană este $$(A(x)-(2x+1)I_2)\cdot A(2)=\left(\begin{array}{cc}x-5& 2x-4\\ -x+2& -2x+1\end{array}\right),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ Matricea $y{I}_2$ are zero în afara diagonalei principale: din $2x-4=0$ obținem $x=2$ (la fel din $-x+2=0$); apoi $y=x-5=-3$, iar elementul $-2x+1=-3$ confirmă aceeași valoare: $$\mathbf{x}=2\text{ și }\mathbf{y}=-3\text{(2 p)}.$$

(Probă: pentru $x=2$, $A(2)-5I_2=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ 3& -2\end{array}\right)$, iar produsul cu $A(2)$ este $\left(\begin{array}{cc}-3& 0\\ 0& -3\end{array}\right)=-3I_2$. Capcană: $2x+1$ se scade din fiecare element al lui $A(x)$, nu doar de pe diagonală; produsul devine $\left(\begin{array}{cc}-5x-8& -4x-7\\ -5x& -4x\end{array}\right)$, iar condițiile $-4x-7=0$ și $-5x=0$ se contrazic.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește în formula legii: $$2\ast 3=2+3-2\cdot 3+1\text{(3 p)}.$$ $$2\ast 3=2+3-6+1=0\text{(2 p)}.$$

(Legea se rescrie $x\ast y=2-(x-1)(y-1)$, deci $2\ast 3=2-1\cdot 2=0$. Capcană: se adună produsul, $2+3+6+1=12$, sau se schimbă semnul ultimului termen, $2+3-6-1=-2$.)

b) (5 p) Se pune $y=5$ în formula legii; $x$ rămâne neschimbat și trebuie să apară în rezultat: $$x\ast 5=x+5-5x+1=-4x+6\text{(3 p)}.$$ Se rezolvă $-4x+6=10$: $-4x=4$, adică $\mathbf{x}=-1$ (2 p).

(Probă: $(-1)\ast 5=-1+5+5+1=10$. Capcană: în produs se scrie $5$ în loc de $5x$, $x+5-5+1=x+1$, și ecuația $x+1=10$ dă $x=9$; dar $9\ast 5=9+5-45+1=-30$.)

c) (5 p) Se iau $x=\frac{3}{n}$ și $y=3+n$: $$N=\frac{3}{n}+(3+n)-\frac{3}{n}(3+n)+1=\frac{3}{n}+3+n-\frac{9}{n}-3+1=-\frac{6}{n}+n+1\text{(2 p)},$$ pentru orice număr natural nenul $n$. Cum $n+1$ este întreg, $N$ este întreg exact când $\frac{6}{n}$ este întreg, adică $n$ este un divizor natural al lui $6$: $1$, $2$, $3$ sau $6$. Se calculează $N$ pe rând: $n=1$ dă $N=-4$ (nu este natural), $n=2$ dă $N=0$ (zero este număr natural), $n=3$ dă $N=2$, iar $n=6$ dă $N=6$. Deci $$\mathbf{n}\in \{2,3,6\}\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: $N=2-\left(\frac{3}{n}-1\right)(n+2)$, de unde același rezultat. Capcană: se păstrează și $n=1$, fără să se verifice semnul lui $N$; sau se elimină $n=2$, crezând că $N=0$ nu este natural.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, inegalitate.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen, cu ${\left(\frac{3}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{3}{x^2}$, $(-1{)}^{\prime }=0$ și $(3\ln x{)}^{\prime }=\frac{3}{x}$: $$f^{\prime }(x)=-\frac{3}{x^2}+\frac{3}{x}\text{(3 p)}.$$ Reducerea la numitorul $x^2$ dă $$f^{\prime }(x)=\frac{-3+3x}{x^2}=\frac{3(x-1)}{x^2},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Capcană: ${\left(\frac{3}{x}\right)}^{\prime }$ se scrie $+\frac{3}{x^2}$, sau derivata constantei $-1$ se lasă $-1$; ba chiar ${\left(\frac{3}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{3}{x}$ ar anula tot, $f^{\prime }=0$, deși $f$ nu este constantă.)

b) (5 p) Când $x\to +\infty$, $3\ln x\to +\infty$, iar $\frac{3}{x}-1\to -1$, deci $f(x)\to +\infty$; fracția $\frac{f(x)}{x}$ are forma $\frac{\infty }{\infty }$ și se poate aplica regula lui l'Hôpital: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{(x{)}^{\prime }}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3(x-1)}{x^2}\text{(3 p)}.$$ $$=\underset{x\to +\infty }{\lim }3\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)=0\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: $\frac{f(x)}{x}=\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x}+3\cdot \frac{\ln x}{x}$, iar $\frac{\ln x}{x}\to 0$. Probă numerică: pentru $x=10^6$, $\frac{f(x)}{x}\approx 4,04\cdot 10^{-5}$. Capcană: se aplică regula doar numitorului, $\frac{f(x)}{1}$, și iese $+\infty$; sau se scrie $\frac{\infty }{\infty }=1$.)

c) (5 p) Derivata se anulează doar în $x=1$; pe $(0,1]$, $x-1\le 0$, deci $f^{\prime }\le 0$, iar pe $[1,+\infty )$, $f^{\prime }\ge 0$: $$f\text{ descrește pe }(0,1]\text{ și crește pe }[1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Minimul lui $f$ pe $(0,+\infty )$ este $f(1)=3-1+3\ln 1=2$. Atunci $f(x)\ge 2$ pentru orice $x>0$, adică $\frac{3}{x}-1+3\ln x\ge 2$; trecem $\frac{3}{x}$ și $-1$ în dreapta și împărțim la $3$: $$3\ln x\ge 3-\frac{3}{x},\text{deci}\ln x\ge 1-\frac{1}{x}\text{(3 p)}.$$

(Inegalitatea este $\ln t\le t-1$ pentru $t=\frac{1}{x}$, cu egalitate doar în $x=1$. Capcană: $\ln 1$ se ia egal cu $1$; atunci $f(1)=5$, iar rezultatul $\ln x\ge 2-\frac{1}{x}$ este fals, de exemplu în $x=1$: $0\ge 1$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu radical, convexitate.

a) (5 p) Termenii cu radical se reduc: $f(x)-3+6\sqrt{x}=4x+3-6\sqrt{x}-3+6\sqrt{x}=4x$. Atunci $${\int }_1^2\left(f(x)-3+6\sqrt{x}\right)dx={\int }_1^{2}4xdx=2x^2{|}_1^2\text{(3 p)}.$$ $$=8-2=6\text{(2 p)}.$$

(Capcană: paranteza se desface greșit, $f(x)-(3+6\sqrt{x})=4x-12\sqrt{x}$, iar integrala devine $14-16\sqrt{2}$, un număr negativ; sau se ia $f(x)=4x$ și se integrează $4x-3+6\sqrt{x}$.)

b) (5 p) Numărătorul este $4x-f(x)=4x-4x-3+6\sqrt{x}=6\sqrt{x}-3$, deci $$\frac{4x-f(x)}{\sqrt{x}}=6-\frac{3}{\sqrt{x}}.$$ Cum $\int x^{-1/2}dx=2\sqrt{x}$, o primitivă a acestei funcții este $6x-6\sqrt{x}$: $${\int }_1^4\frac{4x-f(x)}{\sqrt{x}}dx=\left(6x-6\sqrt{x}\right){|}_1^4\text{(3 p)}.$$ $$=(24-12)-(6-6)=12\text{(2 p)}.$$

(Capcană: semnul numărătorului se inversează, $3-6\sqrt{x}$, și integrala iese $-12$; sau primitiva lui $\frac{1}{\sqrt{x}}$ se ia $\ln \sqrt{x}$, ceea ce dă $18-3\ln 2$.)

c) (5 p) Orice primitivă $G$ are $G^{\prime }=g$, deci $G^{\prime \prime }=g^{\prime }$. Se desface $g(x)=\left(4x+3-6\sqrt{x}\right)\sqrt{x}=4x\sqrt{x}+3\sqrt{x}-6x$ și se derivează, cu ${\left(x\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{3}{2}\sqrt{x}$ și ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$: $$G^{\prime \prime }(x)=g^{\prime }(x)=6\sqrt{x}+\frac{3}{2\sqrt{x}}-6\text{(3 p)}.$$ Aducând la numitorul $2\sqrt{x}$, $$g^{\prime }(x)=\frac{12x-12\sqrt{x}+3}{2\sqrt{x}}=\frac{3{\left(2\sqrt{x}-1\right)}^2}{2\sqrt{x}}\ge 0,x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Deci $G^{\prime \prime }\ge 0$ pe $(0,+\infty )$, adică orice primitivă $G$ este convexă.

(Derivata $g^{\prime }$ se anulează doar în $x=\frac{1}{4}$, unde $2\sqrt{x}=1$. Capcană: derivata produsului se ia ca produsul derivatelor, $f^{\prime }(x)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$, care nu este $g^{\prime }$; sau se afirmă că $G$ e convexă pentru că $g\ge 0$, deși $g\ge 0$ spune doar că $G$ crește.)

Pentru părinți și profesori

Despre pagină. Este subiectul de rezervă al sesiunii iunie-iulie 2026 la matematică M_tehnologic (în școli, „M3"), Varianta 7, însoțit de baremul oficial și de rezolvarea fiecărei cerințe. Documentele oficiale îl atribuie filierei tehnologice, cu profilurile servicii, resurse și tehnic și cu toate calificările lor profesionale; antetul lor are două rânduri: Ministerul Educației și Cercetării și, dedesubt, Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare (CNCE). Textul cerințelor nu a fost atins; rezolvările, probele de control, observațiile și ghidajul sunt ale noastre, iar împărțirea punctelor pe rânduri este cea din barem.

Lucrarea are aceeași alcătuire ca toate cele 83 de probe de matematică tehnologică din arhiva noastră, 2013–2026: șase cerințe scurte, urmate de patru probleme a câte trei subpuncte.

Ce cere fiecare cerință și unde o plasează programa de examen:

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Cerința 1 este un calcul cu numere reale scrise cu zecimale, pe care programa de examen îl pune în clasa a IX-a. Programa școlară nouă (aplicată din 2026–2027 doar la clasa a IX-a) nu mai are un capitol pentru el. Promoțiile care dau Bacalaureatul în 2027, 2028 sau 2029 au parcurs ori parcurg clasele a IX-a și a X-a după programa veche, așa că materia lor se află în „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. Ecuațiile cu radicali (cerința 3: ridici la pătrat, apoi verifici) sunt în programa de examen la clasa a X-a, dar programa școlară nouă rezolvă ecuațiile numai pe grafic sau cu mijloace digitale. Pentru promoțiile 2027–2029 metoda e adunată în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Cerința 4 aparține matematicilor financiare, capitol plasat la clasa a X-a de programa de examen. Programa nouă nu mai are acest capitol sub forma lui; procentul se întâlnește acolo numai în exemple din alte teme. Pentru promoțiile 2027–2029, pagina de referință este „Supliment Bac M3 2027–2029: matematici financiare".
• Nota 4. Cerințele 5 și 6 sunt așezate diferit în cele două programe. Distanța dintre două puncte este în clasa a X-a la examen, dar se predă în clasa a IX-a după programa nouă, unde apare și formula coordonatelor mijlocului unui segment; mijlocul unui segment nu este numit în lista conținuturilor de examen, deși subiectul îl folosește. Triunghiul dreptunghic este în clasa a IX-a la examen, iar programa nouă îl are abia în clasa a X-a.
• Nota 5. Cerința 10.c) cere ca o primitivă $G$ să fie convexă; pentru asta se studiază semnul derivatei a doua, $G^{\prime \prime }=g^{\prime }$. Programa de examen are derivata a doua și convexitatea la clasa a XI-a, iar primitivele la clasa a XII-a; subpunctul le leagă pe amândouă.

Ce are special această variantă. La cerința 5, mijlocul $Q$ al segmentului $MP$ și punctul $N$ au aceeași abscisă, deci distanța dintre ele se citește direct, fără radical. În Subiectul al II-lea, matricea $A(x)$ are determinantul $x+1$ pentru orice $x$ real, iar scrierea $A(x)=xU+V$, cu $U$ și $V$ matrice constante, explică egalitatea de la b). Legea de compoziție se poate rescrie $x\ast y=2-(x-1)(y-1)$; la c), numărul $N=n+1-\frac{6}{n}$ este natural pentru $n\in \{2,3,6\}$, iar $n=2$ dă $N=0$, care este număr natural. În Subiectul al III-lea, funcția din prima problemă are minimul $2$ în $x=1$, iar inegalitatea de la c) este exact $f(x)\ge 2$. La ultima problemă, radicalul din $f$ dispare prin reducere la a) și prin simplificare cu $\sqrt{x}$ la b).

Cum lucrezi varianta ca pe o probă întreagă:

• Împărțirea timpului. Lucrarea durează trei ore, fără calculator. Dacă Subiectul I se încheie în $40$ de minute, rămân $140$ de minute pentru cele $60$ de puncte din Subiectele II și III, adică $2$ minute și $20$ de secunde pe punct.
• Scrierea soluției. Un subpunct de $5$ puncte are două rânduri de barem, $3+2$ sau $2+3$; pune pe foaie relația sau formula înainte de calcul, ca rândul acela să se vadă.
• Notarea, după barem. Baremul precizează că o soluție corectă, deosebită de cea din barem, primește punctajul cuvenit și că fracțiuni de punct nu există. Nota este totalul împărțit la zece, iar în total intră și cele zece puncte din oficiu; de aceea, pentru nota $5$ trebuie $50$ de puncte, adică $40$ din cele $90$ ale cerințelor.
• Pe foaie, atenție la: cerința 3, unde soluția nu se oprește la ridicarea la pătrat, ci cuprinde și verificarea; 8.c), unde $n=1$ dă $N=-4$ și nu rămâne; 9.b), unde regula lui l'Hôpital cere să scrii întâi că numărătorul și numitorul tind la $+\infty$; 10.c), unde concluzia „convexă" se sprijină pe $g^{\prime }(x)\ge 0$ pentru orice $x>0$.
• După corectare. Marchează fiecare subpunct ratat în tabelul cerințelor și scrie lângă el motivul: formulă uitată, calcul greșit sau idee nepornită.

Puncte și din rezolvări neterminate. Fiecare rând de barem are punctajul lui, iar baremul admite punctaje intermediare pentru rezolvările parțiale, în limitele punctajului indicat. De aceea merită scris pe foaie tot ce știi, în ordinea baremului, chiar dacă subpunctul rămâne neterminat.

Formulele variantei 7, pe subiecte:

• Subiectul I. Pentru zecimale, $2,9-1,7$ se calculează ca $\frac{29-17}{10}$; $\sqrt{u}=c$ cu $c\ge 0$ înseamnă $u=c^2$; prețul după o scumpire cu $p\%$ este $S+\frac{p}{100}S$; mijlocul lui $[AB]$ are coordonatele $\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$; într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza $i$ și catetele $c_1$, $c_2$ verifică $i^2=c_1^2+c_2^2$.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; $I_2$ este neutră la înmulțirea matricelor; $A\cdot B$ se face „rând cu coloană"; la o lege de compoziție, $a\ast b$ se obține înlocuind $a$ și $b$ în formula legii.
• Subiectul al III-lea. $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ și ${\left(\frac{c}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{c}{x^2}$; regula lui l'Hôpital: dacă $\frac{f}{g}$ are forma $\frac{\infty }{\infty }$, atunci $\lim \frac{f}{g}=\lim \frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$ (dacă ultima limită există); $f^{\prime }\le 0$ pe un interval înseamnă $f$ descrescătoare, $f^{\prime }\ge 0$ înseamnă crescătoare; $G^{\prime \prime }\ge 0$ pe un interval înseamnă $G$ convexă; ${\int }_a^b{x}^{k}dx=\frac{x^{k+1}}{k+1}{|}_a^b$ pentru $k\ne -1$, iar $\sqrt{x}=x^{1/2}$.

Litere cu mai multe sensuri. În această lucrare, $f$ este funcția $2x-1$ la cerința 2, funcția $\frac{3}{x}-1+3\ln x$ la cerința 9 și funcția $4x+3-6\sqrt{x}$ la cerința 10, deci fiecare problemă se citește separat. Litera $x$ este numărul real din $A(x)$ la cerința 7, dar apare și ca variabilă a legii de la 8; litera $n$ este numărul natural nenul din 8.c). Litera $N$ este numărul din 8.c), iar $G$ și $g$ sunt, la 10.c), o primitivă și funcția ei derivată.

Titlurile „Itemul n" urmează numerotarea baremului; în cuprinsul paginii, „item" și „cerință" au același sens.