Subiect Bac matematică tehnologic, august 2016 (varianta 2) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2016 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $1 - \frac{1}{2} : 0, 5 = 0$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Arătați că $2 (x_{1} + x_{2}) - x_{1} x_{2} = 1$ , unde $x_{1}$ și $x_{2}$ sunt soluțiile ecuației $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5 x + 1 = 6$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$ , acesta să fie divizibil cu $2$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (6, 0)$ și $B (0, 8)$ . Calculați lungimea segmentului $A B$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați lungimea laturii $A B$ a triunghiului $A B C$ , dreptunghic în $A$ , știind că $B C = 32$ și $m (∢ B) = 4 5^{\circ}$ .

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A = (1 - 2 01)$ și $I_{2} = (1001)$ .

a) (5 puncte) Arătați că $det A = 1$ .

b) (5 puncte) Arătați că $A \cdot A + I_{2} = 2 A$ .

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ , $b$ și $c$ , pentru care $A \cdot (a - 2 c + 1 b 1) = I_{2}$ .

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = x y + 3 x + 3 y + 6$ .

a) (5 puncte) Arătați că $1 \circ (- 3) = - 3$ .

b) (5 puncte) Demonstrați că $x \circ y = (x + 3) (y + 3) - 3$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

c) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $x$ , pentru care $x \circ x \leq x$ .

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 7$ .

a) (5 puncte) Arătați că $f^{'} (x) = 6 x (x - 1)$ , $x \in R$ .

b) (5 puncte) Arătați că $x \to 2 lim \frac{f ( x ) - 11}{x - 2} = 12$ .

c) (5 puncte) Demonstrați că $f (x) \geq 6$ , pentru orice $x \in [0, + \infty)$ .

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + 3 x$ .

a) (5 puncte) Arătați că $\int_{- 1}^{1} (f (x) - 3 x) d x = \frac{2}{3}$ .

b) (5 puncte) Arătați că $\int_{0}^{1} (f (x) - x^{2}) e^{x} d x = 3$ .

c) (5 puncte) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $O x$ a graficului funcției $g : [1, 2] \to R$ , $g (x) = \frac{3 f ( x )}{x}$ .

Barem și răspunsuri

Cele zece cerințe dau 90 p, la care se adaugă 10 p din oficiu. Cerințele 1–6 sunt de câte 5 p, iar la cerințele 7–10 fiecare subpunct are tot 5 p, împărțit pe două rânduri, cu excepțiile de mai jos. În documentul variantei 2 sunt 39 de rânduri (cerința 4 are trei, subpunctul III.1.c) are patru); marcajele „(1 p)”, „(2 p)” și „(3 p)” le reproduc în ordine. Soluțiile, contraprobele și comentariile aparțin paginii.

Exercițiul 1. (5 p) — expresie cu fracție și zecimală.

Zecimala $0, 5$ este chiar jumătatea, $\frac{1}{2}$ , deci împărțirea este între două numere egale: $\frac{1}{2} : 0, 5 = \frac{1}{2} : \frac{1}{2} = 1 (3 p) .$ Rămâne scăderea $1 - 1 = 0$ (2 p).

(Contraproba: $1 \cdot 0, 5 = \frac{1}{2}$ , deci câtul este într-adevăr $1$ . O greșeală apare dacă împărțirea se înlocuiește cu înmulțirea: $\frac{1}{2} \cdot 0, 5 = \frac{1}{4}$ , iar $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ .)

Exercițiul 2. (5 p) — rădăcinile unei ecuații de gradul al doilea.

Coeficienții ecuației $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ sunt $1$ , $- 8$ și $15$ ; pentru coeficientul dominant $1$ , suma rădăcinilor este $- (- 8)$ , iar produsul este termenul liber: $x_{1} + x_{2} = 8, x_{1} x_{2} = 15 (2 p) .$ Se înlocuiesc în expresie: $2 (x_{1} + x_{2}) - x_{1} x_{2} = 2 \cdot 8 - 15 = 16 - 15 = 1$ (3 p).

(Contraproba: rădăcinile sunt $3$ și $5$ , cu suma $8$ și produsul $15$ , iar $2 \cdot (3 + 5) - 3 \cdot 5 = 1$ . O greșeală apare dacă suma se ia cu semnul coeficientului, $- 8$ : ar rezulta $2 \cdot (- 8) - 15 = - 31$ .)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Radicalul dispare dacă fiecare parte a egalității se ridică la pătrat; în dreapta, $6^{2} = 36$ : $5 x + 1 = 36 (3 p) .$ Rezultă $5 x = 35$ , adică $x = 7$ ; înlocuit în ecuația dată, $5 \cdot 7 + 1 = 36 = 6$ , deci $x = 7$ convine (2 p).

(Contraproba: pentru $x = 7$ radicandul este $36 > 0$ . O greșeală apare dacă membrul drept rămâne $6$ : din $5 x + 1 = 6$ ar urma $x = 1$ , dar $5 \cdot 1 + 1 = 6 \neq = 6$ .)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Mulțimea $A$ are elementele $1, 2, \dots, 8$ : $8 cazuri posibile (1 p) .$ Se împart exact la $2$ numerele pare ale lui $A$ , adică $2$ , $4$ , $6$ și $8$ : $4 cazuri favorabile (2 p) .$ Probabilitatea este $p = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} (2 p) .$

(Contraproba: nemultiplii lui $2$ sunt $1$ , $3$ , $5$ și $7$ , tot patru, iar $4 + 4 = 8$ . O greșeală apare dacă se uită $8$ ca multiplu al lui $2$ : cu $3$ cazuri favorabile s-ar obține $\frac{3}{8}$ .)

Exercițiul 5. (5 p) — lungimea unui segment.

Se calculează diferențele coordonatelor, se ridică la pătrat și se adună sub radical: $A B = (0 - 6)^{2} + (8 - 0)^{2} = 36 + 64 (3 p) .$ Rezultă $A B = 100 = 10$ (2 p).

(Contraproba: punctele $A$ și $B$ se află pe axele de coordonate, la distanțele $6$ și $8$ de origine, deci $A B$ este ipotenuza unui triunghi cu catetele $6$ și $8$ , iar $6, 8, 10$ este un triplet pitagoreic. O greșeală apare dacă radicalul se pune pe fiecare termen: $36 + 64 = 14$ .)

Exercițiul 6. (5 p) — o catetă într-un triunghi dreptunghic.

Cateta $A B$ este vecină cu unghiul $B$ , iar $B C$ este ipotenuza, deci cosinusul lui $B$ este $\frac{A B}{B C}$ ; știm că $cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , așa că $cos B = \frac{A B}{B C} ⟹ \frac{2}{2} = \frac{A B}{3 2} (3 p) .$ Rezultă $A B = 32 \cdot \frac{2}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ (2 p).

(Contraproba: unghiul $B$ de $4 5^{\circ}$ face triunghiul isoscel, $A B = A C$ , iar $A B^{2} + A C^{2} = 2 \cdot 3^{2} = 18 = (32)^{2} = B C^{2}$ . O greșeală apare dacă raportul se răstoarnă: $\frac{B C}{A B} = \frac{2}{2}$ ar da $A B = 6$ , număr mai mare decât ipotenuza $32$ , deoarece $6^{2} = 36$ depășește $18 = (32)^{2}$ .)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2 \times 2$ .

a) (5 p) Determinantul este produsul elementelor diagonalei principale, $1$ și $1$ , minus produsul celor de pe diagonala secundară, $0$ și $- 2$ : $det A = 1 \cdot 1 - 0 \cdot (- 2) (3 p) .$ $det A = 1 - 0 = 1 (2 p) .$

(O greșeală apare dacă elementele se încrucișează greșit: $1 \cdot 0 - 1 \cdot (- 2) = 2$ .)

b) (5 p) Fiecare poziție a lui $A \cdot A$ rezultă din linia ei înmulțită cu coloana ei, iar apoi se adună $I_{2}$ : $A \cdot A = (1 \cdot 1 + 0 \cdot (- 2) - 2 \cdot 1 + 1 \cdot (- 2) 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 - 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1) = (1 - 4 01), deci A \cdot A + I_{2} = (1 - 4 01) + (1001) (3 p) .$ Suma are toate elementele de două ori cele ale lui $A$ : $(2 - 4 02) = 2 (1 - 2 01) = 2 A (2 p) .$

(Contraproba: egalitatea cere ca $A \cdot A = 2 A - I_{2} = (1 - 4 01)$ , ceea ce coincide cu produsul calculat. O greșeală apare dacă pătratul se face element cu element: $(- 2)^{2} = 4$ ar da pe poziția $(2, 1)$ valoarea $4$ , nu $- 4$ .)

c) (5 p) Se calculează produsul dintre $A$ și matricea cu necunoscute: $A \cdot (a - 2 c + 1 b 1) = (a - 2 - 2 (a - 2) + c + 1 b - 2 b + 1) = (1001) (2 p) .$ Elementele egale dau patru ecuații: $a - 2 = 1$ , $b = 0$ , $- 2 (a - 2) + c + 1 = 0$ și $- 2 b + 1 = 1$ . Din prima, $a = 3$ ; din a doua, $b = 0$ (iar a patra este atunci adevărată); din a treia, $- 2 \cdot 1 + c + 1 = 0$ , adică $c = 1$ : $a = 3, b = 0, c = 1 (3 p) .$

(Contraproba: pentru $a = 3$ , $b = 0$ , $c = 1$ , a doua matrice este $(1201)$ , iar $(1 - 2 01) (1201) = (1001)$ . O greșeală apare dacă se confundă $a - 2 = 1$ cu $a = 1$ : atunci $a - 2 = - 1 \neq = 1$ .)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x = 1$ și $y = - 3$ în $x y + 3 x + 3 y + 6$ : $1 \circ (- 3) = 1 \cdot (- 3) + 3 \cdot 1 + 3 \cdot (- 3) + 6 (3 p) .$ $= - 3 + 3 - 9 + 6 = - 3 (2 p) .$

(Contraproba: din forma de la b), $1 \circ (- 3) = (1 + 3) (- 3 + 3) - 3 = - 3$ . O greșeală apare dacă se pierde semnul minus al lui $y$ : $1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 6 = 21$ .)

b) (5 p) Constanta $6$ se scrie $9 - 3$ , ca să apară un termen care completează produsul: $x \circ y = x y + 3 x + 3 y + 9 - 3 (2 p) .$ Grupăm perechile $x y + 3 x = x (y + 3)$ și $3 y + 9 = 3 (y + 3)$ ; factorul $y + 3$ apare în ambele, iar suma devine $(x + 3) (y + 3)$ , deci $x \circ y = (x + 3) (y + 3) - 3, pentru orice x, y \in R (3 p) .$

(Contraproba: dezvoltând $(x + 3) (y + 3) - 3$ se obține $x y + 3 x + 3 y + 9 - 3 = x y + 3 x + 3 y + 6$ . O greșeală apare dacă se adaugă $3$ în loc să se scadă, adică $9 + 3$ : constanta ar deveni $12$ , nu $6$ .)

c) (5 p) Cu forma de la b), $x \circ x = (x + 3) (x + 3) - 3$ , iar inegalitatea devine $(x + 3)^{2} - 3 \leq x ⟺ x^{2} + 5 x + 6 \leq 0 ⟺ (x + 3) (x + 2) \leq 0 (3 p) .$ Între rădăcinile $- 3$ și $- 2$ cei doi factori au semne opuse, în rădăcini produsul lor este nul, iar în afara acestui interval factorii au același semn; deci $x \in [- 3, - 2] (2 p) .$

(Contraproba: pentru $x = - \frac{5}{2}$ , $x \circ x = \frac{1}{4} - 3 = - \frac{11}{4} \leq - \frac{5}{2}$ ; pentru $x = 0$ , $x \circ x = 6 > 0$ . O greșeală apare dacă se alege exteriorul rădăcinilor: $x = 0$ nu verifică $x \circ x \leq x$ .)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, minim.

a) (5 p) Derivata unei diferențe sau sume se obține derivând pe rând fiecare termen: $f^{'} (x) = (2 x^{3})^{'} - (3 x^{2})^{'} + 7^{'} (2 p) .$ Din $2 x^{3}$ rezultă $6 x^{2}$ , din $3 x^{2}$ rezultă $6 x$ , iar constanta $7$ dă $0$ ; după aceea se scoate factorul comun $6 x$ : $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 x = 6 x (x - 1), x \in R (3 p) .$

(Contraproba: $f^{'} (1) = 6 - 6 = 0$ și $f^{'} (0) = 0$ , iar zerourile corespund celor doi factori, $x$ și $x - 1$ . O greșeală apare dacă $(3 x^{2})^{'}$ se ia $3 x$ : din $6 x^{2} - 3 x$ nu rezultă factorul $x - 1$ .)

b) (5 p) Valoarea $f (2) = 16 - 12 + 7 = 11$ este numărul scăzut din $f (x)$ la numărător, deci $f (x) - 11 = f (x) - f (2)$ , iar fracția este câtul de creștere al lui $f$ între $2$ și $x$ . Limita lui când $x \to 2$ este, prin definiție, derivata în $2$ , adică $f^{'} (2)$ (3 p). Din a), $f^{'} (2) = 6 \cdot 2 \cdot (2 - 1) = 12$ (2 p).

(Contraproba: $\frac{f ( x ) - 11}{x - 2} = 2 x^{2} + x + 2$ pentru $x \neq = 2$ , fiindcă $f (x) - 11 = (x - 2) (2 x^{2} + x + 2)$ ; în $x = 2$ expresia $2 x^{2} + x + 2$ are valoarea $12$ . O greșeală apare dacă forma $\frac{0}{0}$ se declară egală cu $0$ : ea este o nedeterminare, nu un rezultat.)

c) (5 p) Derivata $f^{'} (x) = 6 x (x - 1)$ se anulează în $x = 0$ și în $x = 1$ : $f^{'} (x) = 0 ⟺ x = 0 sau x = 1 (2 p) .$ Pe $[0, 1]$ , $x \geq 0$ și $x - 1 \leq 0$ , deci $f^{'} (x) \leq 0$ : $f descre ș te pe [0, 1] (1 p) .$ Pe $[1, + \infty)$ ambii factori sunt nenegativi, deci $f^{'} (x) \geq 0$ : $f cre ș te pe [1, + \infty) (1 p) .$ Până în $1$ valorile scad, după $1$ ele cresc; prin urmare $f (1) = 2 - 3 + 7 = 6$ este cea mai mică valoare pe $[0, + \infty)$ : $f (x) \geq f (1) = 6, x \in [0, + \infty) (1 p) .$

(Contraproba: $f (0) = 7 \geq 6$ , $f (2) = 11 \geq 6$ și $f (3) = 54 - 27 + 7 = 34 \geq 6$ . O greșeală apare dacă se ia drept minim valoarea din $x = 0$ : $f (0) = 7$ este mai mare decât $f (1) = 6$ , iar funcția scade între $0$ și $1$ .)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale și volum.

a) (5 p) Prin scădere dispare $3 x$ : $f (x) - 3 x = x^{2}$ , iar o primitivă a lui $x^{2}$ este $\frac{x ^{3}}{3}$ : $\int_{- 1}^{1} (f (x) - 3 x) d x = \int_{- 1}^{1} x^{2} d x (2 p) .$ $= \frac{x ^{3}}{3}_{- 1}^{1} = \frac{1}{3} - (- \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} (3 p) .$

(Contraproba: $x^{2}$ este pară, deci integrala pe $[- 1, 1]$ este dublul celei pe $[0, 1]$ , adică $2 \cdot \frac{1}{3}$ . O greșeală apare dacă se ia limita de jos ca $+ 1$ , nu $- 1$ : s-ar obține $\frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0$ .)

b) (5 p) Prin scădere dispare $x^{2}$ : $f (x) - x^{2} = 3 x$ , deci integrandul este $3 x e^{x}$ . Integrare prin părți, cu $u = x$ și $v^{'} = e^{x}$ : $\int_{0}^{1} 3 x e^{x} d x = 3 (x e^{x}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x) (3 p) .$ Primitiva rezultată este $3 (x - 1) e^{x}$ : $= 3 (x - 1) e^{x}_{0}^{1} = 3 \cdot 0 - 3 \cdot (- 1) = 3 (2 p) .$

(Contraproba: derivata lui $3 (x - 1) e^{x}$ este $3 e^{x} + 3 (x - 1) e^{x} = 3 x e^{x}$ . O greșeală apare dacă integrala rămasă se adună: $3 (e + e - 1) = 6 e - 3$ , mai mare decât $3$ .)

c) (5 p) Se simplifică prin $x$ : $g (x) = \frac{3 ( x ^{2} + 3 x )}{x} = 3 (x + 3)$ . Volumul este $π$ ori integrala pătratului lui $g$ : $V = π \int_{1}^{2} g^{2} (x) d x = π \int_{1}^{2} 9 (x + 3)^{2} d x = 9 π \cdot \frac{( x + 3 ) ^{3}}{3}_{1}^{2} (3 p) .$ $V = 3 π (5^{3} - 4^{3}) = 3 π \cdot 61 = 183 π (2 p) .$

(Contraproba: pe $[1, 2]$ expresia $9 π (x + 3)^{2}$ variază între $9 π \cdot 16 = 144 π$ și $9 π \cdot 25 = 225 π$ ; cum intervalul măsoară $1$ , rezultatul $183 π$ trebuie să stea între aceste două valori. O greșeală apare dacă se uită pătratul din $g^{2}$ : $π \int_{1}^{2} 3 (x + 3) d x = \frac{27 π}{2}$ , volumul altui corp.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta este varianta 2 a probei de matematică M_tehnologic din sesiunea august 2016 a Bacalaureatului (foaia poartă mențiunea „Proba E. c)”). Antetul numește Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice și Centrul Național de Evaluare și Examinare. Lucrarea era pentru filiera tehnologică: profilul servicii, profilul resurse naturale și protecția mediului și profilul tehnic, la toate calificările profesionale. În conversațiile dintre elevi, disciplina apare și ca „M3”. Cele zece cerințe sunt rezolvate mai jos; enunțurile urmează foaia, iar rezolvările și comentariile sunt ale paginii; din documentul oficial de evaluare s-a preluat numai felul în care punctele se împart pe rânduri.

Pe scurt.

Lucrarea se întinde pe trei subiecte egale, de 30 de puncte fiecare, deci pe 90 de puncte de cerințe; mai vin 10 puncte din oficiu.
Candidații lucrează 3 ore.
Subiectul I adună șase cerințe mici, de 5 puncte fiecare. În celelalte două subiecte, câte două probleme de 15 puncte se rup în trei subpuncte de 5 puncte.
Rândurile documentului oficial sunt 39: cerința 4 are trei rânduri (1 p, 2 p, 2 p), subpunctul III.1.c) are patru (2 p, 1 p, 1 p, 1 p), iar celelalte au câte două.

Fiecare cerință și clasa ei, după programa de examen M_tehnologic (Anexa 2 la OMEN 4430/2014, reper pentru toată arhiva):

Cerința	Ce cere	Clasa
1	o expresie cu fracție și zecimală, scrisă cu „:”	a IX-a
2	o expresie simetrică în rădăcinile unei ecuații de gradul al doilea	a IX-a
3	ecuație cu radical, cu verificare	a X-a
4	probabilitatea ca un număr din $1, \dots, 8$ să fie divizibil cu $2$	a X-a
5	lungimea unui segment din coordonatele capetelor	a X-a
6	cateta unui triunghi dreptunghic cu un unghi de $4 5^{\circ}$	a IX-a
7	matrice $2 \times 2$ : determinant, un produs, o ecuație matriceală cu trei necunoscute	a XI-a
8	lege de compoziție: o valoare, o rescriere în factori, o inecuație	a XII-a
9	derivata unui polinom, o limită care este o derivată, un minim pe o semidreaptă	a XI-a
10	calcul integral: o diferență de funcții, o integrală prin părți, un volum de rotație	a XII-a

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

Ce are varianta 2. La 6, unghiul de $4 5^{\circ}$ face triunghiul isoscel, iar ipotenuza $32$ dă direct catetele. La 7.c) trei necunoscute, $a$ , $b$ și $c$ , se află dintr-o singură egalitate de matrice, prin compararea celor patru elemente. La 9.b) ambele părți ale fracției se apropie de $0$ , dar nu e nevoie de regula lui l'Hospital: limita este chiar definiția derivatei lui $f$ în $2$ . La 9.c) inegalitatea pe o semidreaptă se rezolvă din variația funcției; cele trei rânduri de câte 1 p cuprind două intervale de monotonie și concluzia. La 10.c) funcția $g$ se simplifică la una afină, iar volumul cere integrala unui pătrat.

Cifre pentru ritm. Pentru nota 9 sunt de adunat 80 de puncte din cerințe: $80 + 10 = 90$ , iar nota este totalul împărțit la zece. Cu 180 de minute la dispoziție, un subiect de 30 de puncte poate primi 60 de minute dacă timpul se împarte proporțional.

Cum o folosești. Fă mai întâi cerința pe ciornă, apoi citește rezolvarea de sus în jos și oprește-te la fiecare rând punctat: întreabă-te ce calcul stă în el și de ce el are 2 p, 3 p sau 1 p. Dacă 7.c) pare încâlcit, scrie întâi produsul $A \cdot (p r q s)$ și abia apoi înlocuiește $p = a - 2$ , $q = b$ , $r = c + 1$ , $s = 1$ . Dacă 10.c) nu pornește, simplifică mai întâi fracția care definește pe $g$ .

Reguli folosite.

Subiectul I. Dacă $α x^{2} + β x + γ = 0$ are rădăcinile $x_{1}$ și $x_{2}$ , atunci $x_{1} + x_{2} = - \frac{β}{α}$ și $x_{1} x_{2} = \frac{γ}{α}$ . Distanța dintre două puncte se află adunând pătratul diferenței absciselor cu pătratul diferenței ordonatelor, apoi extrăgând rădăcina pătrată din sumă. În triunghiul dreptunghic, cosinusul unui unghi ascuțit $B$ este raportul dintre lungimea catetei vecine cu $B$ și lungimea ipotenuzei.
Subiectul al II-lea. La produsul a două matrice, poziția $(i, j)$ se completează adunând produsele dintre elementele liniei $i$ din stânga și cele ale coloanei $j$ din dreapta. Două matrice coincid dacă au aceleași elemente pe aceleași poziții.
Subiectul al III-lea. Dacă $f$ este derivabilă în $x_{0}$ , derivata $f^{'} (x_{0})$ este limita câtului de creștere al lui $f$ între $x_{0}$ și $x$ , când $x$ se apropie de $x_{0}$ . Semnul derivatei arată unde funcția descrește și unde crește; din această variație se citește aici valoarea cea mai mică pe semidreaptă. Pentru graficul lui $g$ rotit în jurul axei $O x$ deasupra intervalului $[α, β]$ , volumul este $π \int_{α}^{β} g^{2} (x) d x$ .

Despre litere. Litera $f$ numește două funcții: polinomul de gradul $3$ de la 9 și funcția de gradul al doilea de la 10. Litera $A$ are patru roluri: mulțimea de la 4, un capăt de segment la 5, un vârf de triunghi la 6 și matricea de la 7. Litera $B$ este celălalt capăt al segmentului de la 5 și un vârf al triunghiului de la 6; nicio matrice nu se numește $B$ . Rădăcinile ecuației de la 2 sunt $x_{1}$ și $x_{2}$ , iar $a$ , $b$ , $c$ sunt necunoscutele de la 7.c).