Subiect Bac matematică tehnologic, model 2014 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2014 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că numărul $3\left(4+\sqrt{3}\right)-\sqrt{27}$ este natural.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculați $f(1)+f(2)+\dots +f(10)$ pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+3$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_7\left(x^2+8\right)={\log }_7(6x)$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o scumpire cu $30\%$, prețul unui obiect este $325$ de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $P(1,3)$ și $R(3,3)$. Determinați coordonatele punctului $Q$, știind că $R$ este mijlocul segmentului $PQ$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin 10^{\circ }+\sin 30^{\circ }-\sin 170^{\circ }=\frac{1}{2}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ 2& -2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Calculați $\det A$.

b) (5 puncte) Arătați că $B\cdot A-A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\right)$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det (A+xB)=0$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y=xy-3(x+y)+12$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\circ 3=3\circ x=3$, pentru orice număr real $x$.

b) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x\circ x=x$.

c) (5 puncte) Calculați $1\circ 2\circ \dots \circ 2014$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x-x$.

a) (5 puncte) Calculați $f^{\prime }(x)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $e^x\ge x+1$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=3-\frac{1}{x}$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_1^2\left(3-f(x)\right)dx$.

b) (5 puncte) Determinați primitiva $F:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$ a funcției $f$ pentru care $F(1)=3$.

c) (5 puncte) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[1,2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=xf(x)$.

Barem și răspunsuri

Suma celor 18 cerințe este 90 p; oficiul mai adaugă 10 p, deci 100 p. Cerințele 1–6 valorează câte 5 p, iar fiecare subpunct din 7–10 valorează tot 5 p. Marcajele „(1 p)”, „(2 p)”, „(3 p)” copiază rândurile documentului pentru model: două pe cerință, iar cerința 5 și subpunctul 8.b) au câte trei ($1$ p, $2$ p, $2$ p). Textul calculelor, al verificărilor și al observațiilor ne aparține.

Exercițiul 1. (5 p) — număr cu radicali.

Factorul $3$ înmulțește ambii termeni din paranteză: $$3\left(4+\sqrt{3}\right)=12+3\sqrt{3}\text{(2 p)}.$$ Radicalul din scădere se extrage parțial, $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$, deci termenii cu radical se reduc: $$12+3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=12\in \mathbb{N}\text{(3 p)}.$$

(Verificare: $27=9\cdot 3$ și $\sqrt{9}=3$. Greșeală posibilă: din $27=9\cdot 3$ se scoate de sub radical factorul $9$ în loc de $3$; atunci ar apărea termenul $9\sqrt{3}$, iar diferența ar fi $12-6\sqrt{3}$, un număr irațional, nu natural.)

Exercițiul 2. (5 p) — suma valorilor unei funcții afine.

Fiecare termen este $f(k)=2k+3$ pentru $k=1,2,\dots ,10$, deci suma se desparte în două: $$f(1)+\dots +f(10)=2(1+2+\dots +10)+10\cdot 3\text{(2 p)}.$$ Suma primelor zece numere naturale nenule este $\frac{10\cdot 11}{2}=55$, de unde $$2\cdot 55+30=140\text{(3 p)}.$$

(Verificare: valorile $5,7,\dots ,23$ formează o progresie aritmetică cu zece termeni, iar suma ei este $\frac{10(5+23)}{2}=140$. Greșeală posibilă: se calculează numai $10\cdot f(10)=230$, adică zece termeni egali cu ultimul.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Cei doi logaritmi au aceeași bază, $7$, deci argumentele lor sunt egale, $x^2+8=6x$; după trecerea lui $6x$ în membrul stâng, ecuația devine $$x^2-6x+8=0\text{(2 p)}.$$ Discriminantul este $36-32=4$, iar rădăcinile sunt $\mathbf{x}=2$ și $\mathbf{x}=4$; pentru amândouă, $6x$ este pozitiv, deci logaritmii au sens (3 p).

(Verificare: $2^2+8=12=6\cdot 2$ și $4^2+8=24=6\cdot 4$. Greșeală posibilă: la mutarea lui $6x$ în stânga se păstrează semnul plus, deci coeficienții ar fi $1$, $6$ și $8$, cu rădăcinile $-2$ și $-4$; atunci $6x$ ar fi negativ și logaritmul din dreapta nu ar exista.)

Exercițiul 4. (5 p) — procente.

Fie $x$ prețul de dinainte de scumpire. Scumpirea adaugă $30\%$ din $x$: $$x+\frac{30}{100}x=325\text{(2 p)}.$$ Membrul stâng este $\frac{13}{10}x$, deci $x=325\cdot \frac{10}{13}$, adică $$\mathbf{x}=250\text{ de lei}\text{(3 p)}.$$

(Verificare: $30\%$ din $250$ este $75$, iar $250+75=325$. Greșeală posibilă: se scad $30\%$ din $325$, adică $97,5$, și se obține $227,5$; procentul se aplică însă prețului de dinainte, nu celui de după.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment.

Mijlocul $R$ al segmentului $PQ$ are drept coordonate semisumele coordonatelor capetelor: abscisa lui $R$ este jumătate din $x_P+x_Q$, iar ordonata lui $R$ este jumătate din $y_P+y_Q$ (1 p). Pentru abscisă, $3=\frac{1+x_Q}{2}$, deci $1+x_Q=6$ și $x_Q=5$ (2 p). Pentru ordonată, $3=\frac{3+y_Q}{2}$, deci $3+y_Q=6$ și $y_Q=3$. Punctul căutat este $\mathbf{Q}(5,3)$ (2 p).

(Verificare: mijlocul segmentului cu capetele $(1,3)$ și $(5,3)$ este $\left(\frac{1+5}{2},\frac{3+3}{2}\right)=(3,3)$. Greșeală posibilă: se ia $x_Q=x_R-x_P=2$; atunci mijlocul lui $PQ$ ar avea abscisa $\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$, nu $3$.)

Exercițiul 6. (5 p) — sinusuri de unghiuri suplementare.

Unghiurile $10^{\circ }$ și $170^{\circ }$ au suma $180^{\circ }$, iar sinusurile unghiurilor suplementare sunt egale: $$\sin 170^{\circ }=\sin \left(180^{\circ }-10^{\circ }\right)=\sin 10^{\circ }\text{(2 p)}.$$ În expresie, $\sin 10^{\circ }$ se reduce cu $\sin 170^{\circ }$ și rămâne $$\sin 10^{\circ }+\sin 30^{\circ }-\sin 170^{\circ }=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$

(Verificare: pe cercul trigonometric, punctele de la $10^{\circ }$ și $170^{\circ }$ au aceeași ordonată. Greșeală posibilă: se scrie $\sin 170^{\circ }=-\sin 10^{\circ }$; atunci suma ar fi $2\sin 10^{\circ }+\frac{1}{2}$, mai mare decât $\frac{1}{2}$, fiindcă $\sin 10^{\circ }>0$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matricele $A$ și $B$.

a) (5 p) Se scade produsul diagonalei secundare din cel al diagonalei principale: $$\det A=(-3)(-2)-1\cdot 2=6-2\text{(3 p)}.$$ $$=4\text{(2 p)}.$$

(Verificare: produsul a două numere negative, $(-3)(-2)$, este pozitiv. Greșeală posibilă: se uită că doi factori negativi dau produs pozitiv și se ia $-6$ pentru produs; atunci $-6-2=-8$, nu $4$.)

b) (5 p) Înmulțirea cu $B$ la stânga schimbă între ele liniile lui $A$: $$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -3& 1\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Înmulțirea cu $B$ la dreapta schimbă între ele coloanele lui $A$, deci $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ -2& 2\end{array}\right)$, iar diferența este $$B\cdot A-A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2-1& -2+3\\ -3+2& 1-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

(Observație: produsele $B\cdot A$ și $A\cdot B$ sunt diferite, de aceea diferența nu este nulă. Greșeală posibilă: se presupune $A\cdot B=B\cdot A$; atunci diferența ar fi $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$.)

c) (5 p) Matricea $A+xB$ are pe diagonala secundară elementele $1+x$ și $2+x$: $$\det (A+xB)=\left|\begin{array}{cc}-3& 1+x\\ 2+x& -2\end{array}\right|=6-(1+x)(2+x)=-x^2-3x+4\text{(3 p)}.$$ Scoțând factorul $-1$ și descompunând, $-x^2-3x+4=-(x+4)(x-1)$, deci determinantul se anulează pentru $\mathbf{x}=-4$ sau $\mathbf{x}=1$ (2 p).

(Verificare: pentru $x=1$, determinantul $\left|\begin{array}{cc}-3& 2\\ 3& -2\end{array}\right|=6-6=0$; pentru $x=-4$, $\left|\begin{array}{cc}-3& -3\\ -2& -2\end{array}\right|=6-6=0$. Greșeală posibilă: se uită termenul $6$; atunci $-(1+x)(2+x)=0$ are rădăcinile $-1$ și $-2$.)

Exercițiul 8. (15 p) — legea de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește $y=3$ în definiție: $$x\circ 3=3x-3(x+3)+12=3x-3x-9+12=3\text{(2 p)}.$$ Pentru ordinea inversă, $x=3$ în prima poziție, expresia este simetrică în $x$ și $y$: $$3\circ x=3x-3(3+x)+12=3,\text{deci}x\circ 3=3\circ x=3\text{(3 p)}.$$

(Verificare: pentru $x=0$, $0\circ 3=0-9+12=3$. Greșeală posibilă: se distribuie $-3(x+3)$ ca $-3x+9$; atunci rezultatul ar fi $3x-3x+9+12=21$, nu $3$.)

b) (5 p) Se pune $y=x$ în definiție: produsul $xy$ devine $x^2$, iar $-3(x+y)$ devine $-6x$, deci $$x\circ x=x^2-6x+12\text{(1 p)}.$$ Egalitatea cerută, $x\circ x=x$, se scrie $x^2-6x+12=x$; după trecerea lui $x$ în membrul stâng, $$x^2-7x+12=0\text{(2 p)}.$$ Discriminantul este $49-48=1$, iar soluțiile sunt $\mathbf{x}=3$ și $\mathbf{x}=4$ (2 p).

(Verificare: $3\circ 3=9-18+12=3$ și $4\circ 4=16-24+12=4$. Greșeală posibilă: trinomul de la $x\circ x$ se egalează cu $0$ în loc de $x$; discriminantul $36-48$ este negativ, deci nu ar exista nicio soluție reală.)

c) (5 p) Legea este asociativă, deci produsul cu $2014$ factori se poate grupa: $$1\circ 2\circ \dots \circ 2014=(1\circ 2)\circ 3\circ (4\circ 5\circ \dots \circ 2014)\text{(2 p)}.$$ Din a), rezultatul compunerii oricărui număr cu $3$ este $3$, deci $(1\circ 2)\circ 3=3$, iar apoi $3\circ (4\circ \dots \circ 2014)=3$ (3 p).

(Verificare: $1\circ 2=2-9+12=5$, iar $5\circ 3=15-24+12=3$. Greșeală posibilă: se oprește calculul după $1\circ 2=5$; următorul factor este $3$, care readuce rezultatul la $3$.)

Exercițiul 9. (15 p) — funcția $f(x)=e^x-x$.

a) (5 p) Derivata unei diferențe este diferența derivatelor: $$f^{\prime }(x)={\left(e^x\right)}^{\prime }-(x{)}^{\prime }\text{(3 p)}.$$ Derivata lui $e^x$ este $e^x$, iar cea a lui $x$ este $1$: $$f^{\prime }(x)=e^x-1,x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $f^{\prime }(0)=e^0-1=0$. Greșeală posibilă: se derivează $x$ ca $x$; atunci $f^{\prime }$ ar fi $e^x-x=f(x)$, ceea ce ar face funcția egală cu propria derivată.)

b) (5 p) Tangenta în $x_0=0$ are ecuația $$y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)\text{(2 p)}.$$ Valorile sunt $f(0)=e^0-0=1$ și $f^{\prime }(0)=e^0-1=0$, deci $$\mathbf{y}=1\text{(3 p)}.$$

(Verificare: tangenta este orizontală, iar punctul $(0,1)$ aparține graficului. Greșeală posibilă: se confundă $e^0=1$ cu $0$; atunci ordonata punctului ar fi $0$, iar tangenta ar fi $y=0$.)

c) (5 p) Derivata $f^{\prime }(x)=e^x-1$ se anulează în $0$. Pentru $x<0$, $e^x<1$, deci $f^{\prime }(x)<0$; pentru $x>0$, $e^x>1$, deci $f^{\prime }(x)>0$ (3 p). Funcția scade pe $(-\infty ,0]$ și crește pe $[0,+\infty )$, deci are minimul $f(0)=1$: $$f(x)\ge f(0),\text{adica˘}{e}^x-x\ge 1\Rightarrow e^x\ge x+1\text{(2 p)}.$$

(Verificare: pentru $x=1$, $e\ge 2$; pentru $x=-1$, $\frac{1}{e}\ge 0$. Greșeală posibilă: se constată numai $f^{\prime }(0)=0$; fără semnul lui $f^{\prime }$ de o parte și de alta, nu se poate hotărî dacă $0$ este un punct de minim.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale și volum de rotație.

a) (5 p) Diferența $3-f(x)$ se simplifică: $$3-f(x)=3-3+\frac{1}{x}=\frac{1}{x},\text{deci}{\int }_1^2\left(3-f(x)\right)dx={\int }_1^2\frac{1}{x}dx\text{(2 p)}.$$ O primitivă a lui $\frac{1}{x}$ pe $(0,+\infty )$ este $\ln x$: $$\ln x{|}_1^2=\ln 2-\ln 1=\ln 2\text{(3 p)}.$$

(Verificare: pe $[1,2]$, $\frac{1}{x}$ ia valori între $\frac{1}{2}$ și $1$, iar lungimea intervalului este $1$; $\ln 2$ este între $\frac{1}{2}$ și $1$. Greșeală posibilă: se integrează $f$ în loc de $3-f$; atunci ${\int }_1^2\left(3-\frac{1}{x}\right)dx=3-\ln 2$, nu $\ln 2$.)

b) (5 p) Primitivele funcției $f(x)=3-\frac{1}{x}$ pe $(0,+\infty )$ au forma $$F(x)=3x-\ln x+c,c\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ Condiția $F(1)=3$ dă $3-\ln 1+c=3$, adică $c=0$: $$F(x)=3x-\ln \mathbf{x}\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $F^{\prime }(x)=3-\frac{1}{x}=f(x)$ și $F(1)=3\cdot 1-0=3$. Greșeală posibilă: primitiva lui $-\frac{1}{x}$ se ia $+\ln x$; atunci $F^{\prime }(x)=3+\frac{1}{x}$, care nu este $f$.)

c) (5 p) Funcția $g$ se simplifică: $g(x)=x\left(3-\frac{1}{x}\right)=3x-1$. Volumul este $$V=\pi {\int }_1^2{g}^2(x)dx=\pi {\int }_1^2{\left(3x-1\right)}^{2}dx=\pi {\int }_1^2\left(9x^2-6x+1\right)dx\text{(2 p)}.$$ Primitiva integrandului este $3x^3-3x^2+x$, cu valorile $14$ în $2$ și $1$ în $1$: $$V=\pi (14-1)=13\pi \text{(3 p)}.$$

(Verificare: ${\int }_1^2(3x-1{)}^{2}dx=\frac{(3x-1{)}^3}{9}{|}_1^2=\frac{125-8}{9}=13$. Greșeală posibilă: se integrează $g$ în loc de $g^2$; atunci $\pi {\int }_1^2(3x-1)dx=\frac{7\pi }{2}$, nu $13\pi$.)

Pentru părinți și profesori

Despre model. Documentul de față este modelul de lucrare scos pentru Bacalaureatul din 2014 la matematică M_tehnologic; pe site îi spunem și M3. Colțul din dreapta al antetului poartă cuvântul „Model”, în locul numărului de variantă, și lipsește orice dată. Deasupra stau emitentul, adică ministerul împreună cu Centrul Național de Evaluare și Examinare, și titlul probei, „Proba E. c)”. Modelul se adresa filierei tehnologice, cu profilurile servicii, resurse și tehnic. Textul cerințelor din „Itemi” reproduce PDF-ul; tot restul paginii, adică soluțiile, contraprobele și ghidajul, este lucrat de noi, iar din documentul de evaluare am preluat doar tiparul de punctare pe rânduri.

Cum se împart punctele. Trei subiecte egale, de câte 30 de puncte, cu 10 puncte din oficiu și 3 ore de lucru efectiv. Primul subiect are șase cerințe scurte; al doilea și al treilea au câte două probleme, fiecare cu trei subpuncte. Toate cele $18$ cerințe valorează câte $5$ puncte. În document, șaisprezece cerințe au două rânduri, iar două au trei rânduri: cerința 5, cu $1$ p, $2$ p și $2$ p, și subpunctul 8.b), tot cu $1$ p, $2$ p și $2$ p. Rezultă $38$ de rânduri; pe pagina de față, fiecare se încheie cu „(1 p)”, „(2 p)” sau „(3 p)”.

Harta modelului

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

Ordinul 4430 e datat 29.08.2014, iar titlul lui arată că privește bacalaureatul din 2015; coloana „Clasa” indică deci locul temei în acea programă, nu ce se preda în 2014.

Ce observi în lucrare. La 1, numărul $\sqrt{27}$ se scrie $3\sqrt{3}$, iar radicalii se reduc. La 3, ambele rădăcini ale ecuației de gradul al doilea sunt pozitive, deci argumentul $6x$ este pozitiv. La 4, scumpirea mărește prețul, deci prețul inițial este mai mic decât $325$. La 5, mijlocul $R$ are aceeași ordonată ca $P$, așa că și $Q$ are ordonata $3$. La 7.b) produsele $B\cdot A$ și $A\cdot B$ nu coincid. La 8, enunțul spune că legea este asociativă; fără această proprietate, produsul cu $2014$ termeni de la 8.c) nu s-ar putea grupa. Numărul $3$ de la 8.a) absoarbe orice alt număr: rezultatul compunerii cu $3$ este tot $3$. La 9.c) se studiază semnul derivatei de o parte și de alta a lui $0$. La 10.c) funcția $g$ se simplifică la o expresie de gradul întâi, iar volumul se calculează din pătratul ei.

Formulele modelului

• Subiectul I. $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$; ${\log }_{a}u={\log }_{a}v$ cu $u,v>0$ implică $u=v$; după o scumpire cu $p\%$, prețul inițial $x$ devine $x+\frac{p}{100}x$; mijlocul $M$ al lui $[AB]$ are coordonatele semisumelor; două unghiuri cu suma $180^{\circ }$ au sinusuri egale.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; $x\circ y=(x-3)(y-3)+3$ este o altă scriere a legii din enunț.
• Subiectul al III-lea. ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$; tangenta în $x_0$ are ecuația $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; $\int \frac{1}{x}dx=\ln x$ pe $(0,+\infty )$; $V=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$.

Despre litere. Litera $f$ denumește funcții diferite: $2x+3$ la 2, $e^x-x$ la 9 și $3-\frac{1}{x}$ la 10. Litera $F$ de la 10.b) este primitiva cerută. Simbolul $\circ$ este legea de compoziție de la 8. Literele $P$, $Q$, $R$ de la 5 sunt puncte; $x$ de la 7.c) este un număr real.