Funcția liniară f(x) = ax + b — clasa a VIII-a

Funcția liniară are legea f(x) = ax + b, cu a și b numere reale, iar graficul ei este o dreaptă. Numărul a se numește pantă și arată cât de înclinată este dreapta, iar b este ordonata la origine, adică ordonata punctului (0, b) în care dreapta taie axa Oy. În clasa a VIII-a capitolul are șase lecții.

Actualizat: 5 septembrie 2026.

Este capitolul în care algebra și geometria se întâlnesc: o formulă cu litere devine un desen, iar un desen se citește înapoi ca formulă. La examen apare în amândouă sensurile — ți se dă legea și ceri graficul, sau ți se dă graficul și ceri legea. Pagina strânge lecțiile, formulele, exercițiile rezolvate și testele capitolului, gratuit și fără cont.

Ce se evaluează la Evaluarea Națională din funcția liniară

Cerințele vin în șase forme: trei calcule scurte, o reprezentare grafică, o citire de desen și o problemă cu context. Primele trei se rezolvă din formulă; ultimele trei cer și o redactare, așa că se lucrează pe foaie, nu în minte.

Ce ți se cere	Cum arată în cerință
Să calculezi o valoare	„Fie f(x) = 2x − 6. Calculați f(4)."
Să afli intersecția cu Oy	„Determinați punctul în care graficul taie axa Oy."
Să afli intersecția cu Ox	„Determinați punctul în care graficul taie axa Ox."
Să reprezinți grafic dreapta	„Reprezentați grafic funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 6."
Să determini funcția din două puncte	„Determinați a și b, știind că dreapta trece prin A(0, −2) și B(3, 7)."
Să folosești funcția într-un context	„Un abonament costă 20 de lei pe lună, plus 3 lei pentru fiecare oră suplimentară. Scrieți costul ca funcție."

Reprezentarea grafică se face cu două puncte, nu cu un tabel lung: o dreaptă este determinată de două puncte, iar cele comode sunt tocmai intersecțiile cu axele. Excepția e b = 0: atunci amândouă cad în origine, așa că al doilea punct se ia dând lui x o valoare oarecare.

Toate cerințele date la Evaluarea Națională din funcția liniară, an cu an, sunt la funcția liniară la EN.

Teorie: cele șase lecții ale capitolului

Ordinea este cea de predare și merge de la formulă la citirea desenului.

Funcția liniară f(x) = ax + b: definiție și formă generală — ce înseamnă a și b și de ce forma aceasta este specială. Punctul de plecare al capitolului.
Reprezentarea grafică a funcției liniare: graficul este o dreaptă — de ce iese o dreaptă și cum se desenează corect, cu două puncte alese bine.
Punctele de intersecție ale graficului cu axele Ox și Oy — cele două calcule scurte care apar des la examen: pui x = 0, apoi f(x) = 0.
Interpretarea geometrică: panta a și ordonata la origine b — ce se vede pe desen când a crește, când a este negativ și când b se schimbă. Lecția care transformă formula în intuiție.
Lecturi grafice și determinarea funcției din condiții date — drumul invers: din două puncte, sau dintr-un desen, se scriu a și b. Aici se câștigă cerințele lungi.
Aplicații ale funcției liniare în probleme din viața reală — cost fix plus cost variabil, distanță în funcție de timp, abonamente. Contextele din care se construiesc problemele de examen.

Formule

Sunt patru relații, toate scurte, și toate se verifică pe desen:

Valoarea funcției într-un punct — se folosește din prima lecție a capitolului și rămâne singurul calcul cerut la Subiectul I.
Graficul funcției liniare — intră la lecția a doua și este formula care leagă capitolul de geometrie: din ea încolo se lucrează pe desen.
Intersecția cu axa Oy — se învață la lecția a treia și e cea ușoară dintre cele două, fiindcă se citește direct din lege, fără calcul.
Intersecția cu axa Ox — tot lecția a treia; e singura din capitol care cere rezolvarea unei ecuații, deci și singura cu o condiție de pus.

Tema întreagă este la funcția liniară și reperul cartezian. Ecuația de gradul I pe care o rezolvi ca să afli intersecția cu Ox este la ecuația de gradul I — formula vine din clasa a VII-a și se folosește aici ca atare —, iar termenii, în glosar, la funcție și grafic.

Un exemplu complet: f(x) = 2x − 6. Cu Oy: pun x = 0 și obțin f(0) = −6, deci punctul (0, −6). Cu Ox: rezolv 2x − 6 = 0 și obțin x = 3, deci punctul (3, 0). Unesc cele două puncte și dreapta e gata.

Exerciții rezolvate

Exercițiile rezolvate ale capitolului sunt 12 exerciții-grilă cu variante de răspuns, iar sub „Vezi rezolvarea" stau răspunsul corect, explicația și legătura spre lecția din care face parte: se lucrează întâi singur, apoi se verifică. Acoperă cele două intersecții cu axele, panta și ordonata la origine, apartenența unui punct la grafic, cazul b = 0, dreptele paralele și două probleme cu context. Noțiunile de bază, dacă trebuie reluate, sunt la exercițiile rezolvate despre noțiunea de funcție.

Exerciții cu verificare

Când vrei să lucrezi tu, intră în testul ghidat al funcției liniare: rezolvi în pagină și primești pasul următor exact acolo unde te oprești. Ghidajul ajută mai ales la cerințele în care trebuie determinată legea din grafic, unde greșeala apare la citirea unui singur punct.

Teste cu barem

Capitolul are două teste, amândouă cu baremul și rezolvările pe aceeași pagină, sub exerciții:

Test: Funcția liniară și graficul ei — 16 cerințe, în trei părți: noțiuni de bază, raționament și grafice, probleme aplicate. Se dă primul.
Test recapitulativ: Funcția liniară f(x) = ax + b — 17 cerințe, în format apropiat de Evaluarea Națională.

Amândouă au 50 de minute și 100 de puncte, din care 10 din oficiu.

Cerințele de funcții apar și în testul recapitulativ de algebră, funcții și statistică.

Cum îți verifici singur rezultatul

Tot capitolul se verifică cu același gest, proba numerică: pui punctul găsit înapoi în lege și vezi dacă iese egalitate. Durează cinci secunde și merge la orice cerință din capitol, indiferent dacă ai pornit de la formulă sau de la desen. Iată cele patru locuri în care se plătește.

Intersecțiile schimbate între ele. Cu Oy pui x = 0; cu Ox rezolvi f(x) = 0. Proba: f(0) trebuie să dea exact ordonata punctului pe care l-ai scris pe Oy.
Semnul lui b. Proba pe f(x) = 2x − 6 dă f(0) = −6, nu 6, deci dreapta taie axa Oy sub origine. Semnul se citește o dată, la probă, nu de trei ori din memorie.
Graficul desenat cu un singur punct. O dreaptă are nevoie de două puncte, iar al treilea punct este proba: dacă nu cade pe dreaptă, unul dintre primele două e greșit.
Cazul a = 0. Legea devine f(x) = b, iar proba arată de ce nu ai ce intersecta cu Ox: ecuația 0 · x + b = 0 nu are soluție când b este diferit de zero.

Recapitulare și pregătire pentru examen

Recapitularea de final de an este recapitulare: funcția liniară f(x) = ax + b și graficul ei. Pentru repetat rapid înainte de test sunt mini-lecțiile intersecția graficului cu axele și panta și ordonata la origine.

Ce intră la examen, pe capitole, este în ce intră la Evaluarea Națională, iar cât cântărește funcția liniară în subiectele publicate se vede în analiza subiectelor de Evaluare Națională. Traseul pe luni este pe pagina Evaluării Naționale, iar antrenamentul, în cele 148 de teste de antrenament.

De aici încolo

Înaintea capitolului stau noțiunea de funcție și graficul, fără care notațiile de aici nu se leagă. În paralel merg ecuațiile de forma ax² + bx + c = 0 — rezolvarea unei ecuații de gradul I este exact pasul prin care se află intersecția cu Ox — și elementele de statistică, unde datele se citesc tot de pe grafice. Toate capitolele anului sunt pe hub-ul clasei a VIII-a, iar fișele tipăribile, la fișele de lucru de clasa a VIII-a.

Întrebări frecvente

De unde încep capitolul funcției liniare?

De la prima lecție, cea de definiție, dar fără să zăbovești în ea: capitolul se deschide cu adevărat la lecția a doua, când graficul devine dreaptă, și la a treia, unde intră cele două intersecții cu axele. Lecțiile a patra și a cincea, panta și lecturile grafice, nu se pot da înaintea lor. Ultima, cea cu aplicații, se lasă la final fiindcă folosește tot ce s-a strâns până acolo.

Cum reprezint grafic o funcție liniară?

Calculezi două puncte și le unești. Se aleg intersecțiile cu axele: pui x = 0 și obții punctul (0, b), apoi rezolvi f(x) = 0 și obții punctul (−b/a, 0). Pentru f(x) = 2x − 6 ies punctele calculate mai sus. Când b = 0, cele două intersecții coincid în origine, deci al doilea punct se ia dând lui x o valoare oarecare; în rest, al treilea punct se calculează doar ca verificare.

Ce trebuie să știe copilul la funcția liniară înainte de teză?

Patru lucruri, în ordinea asta: să calculeze o valoare a funcției, să afle cele două intersecții cu axele, să deseneze dreapta din două puncte și să citească panta de pe un grafic. Peste ele se pune proba numerică descrisă mai sus, care prinde aproape orice greșeală de semn. Cele două teste ale capitolului, legate mai sus, verifică exact lista aceasta și au baremul pe aceeași pagină.

Ce înseamnă panta unei drepte?

Panta este numărul a și arată cât urcă sau coboară dreapta când x crește cu o unitate. Dacă a este pozitiv, dreapta urcă de la stânga la dreapta; dacă a este negativ, coboară; dacă a este zero, dreapta este orizontală. Cu cât valoarea absolută a lui a este mai mare, cu atât dreapta este mai înclinată.

Ce leagă funcția liniară de restul materiei de clasa a VIII-a?

Vine imediat după capitolul de funcții, de unde ia notațiile și noțiunea de grafic. Folosește ecuația de gradul I, învățată în clasa a VII-a, la fiecare intersecție cu axa Ox. Se întâlnește cu statistica atunci când datele se citesc de pe un desen, și cu intervalele, fiindcă domeniul unei funcții se scrie ca interval. Practic, este capitolul în care se adună celelalte.

Unde se folosește funcția liniară în viața de zi cu zi?

La orice cost format dintr-o parte fixă și una care crește proporțional: taxa de pornire a unui taxi plus prețul pe kilometru, abonamentul plus consumul, prețul unui bilet plus comisionul. În toate, partea fixă este b, iar prețul pe unitate este a. Problemele de examen din Subiectul al III-lea folosesc exact aceste contexte.

Ce se întâmplă dacă a este zero?

Legea devine f(x) = b, adică funcția dă mereu aceeași valoare, iar graficul este o dreaptă orizontală, paralelă cu axa Ox când b este diferit de zero. În acest caz nu există punct de intersecție cu axa Ox, în afară de situația b = 0, când dreapta se suprapune peste axă. Formula (−b/a, 0) nu se poate folosi, fiindcă împărțirea la zero nu are sens.