Evaluare sumativă tehnologic — clasa a X-a

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Evaluări generale

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Exercițiile 1–6 valorează câte 5 puncte fiecare.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Un instalator are într-o ladă 9 robineți: 5 cu bilă și 4 cu ventil. El ia la întâmplare 4 robineți din ladă. Calculează probabilitatea ca, printre cei 4, să fie exact 2 cu bilă.

Exercițiul 2 (5 puncte)

La o tipografie s-au controlat 40 de coli tipărite și s-au numărat petele de cerneală de pe fiecare. Rezultatele sunt în tabel.

Calculează numărul mediu de pete pe coală și mediana numărului de pete.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Un atelier de gravură are patru șabloane triunghiulare din plexiglas, cu laturile, în centimetri, date în variante. Care dintre șabloane are un unghi obtuz?

Variantele: a) „6, 9 și 10”; b) „8, 10 și 12”; c) „7, 9 și 13”; d) „10, 12 și 15”.

Exercițiul 4 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se dă mulțimea $A=\{0,1,2,\dots ,17\}$. Se alege la întâmplare un număr $n$ din $A$. Determinați probabilitatea ca numărul $n^2-6n$ să fie element al mulțimii $A$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) În triunghiul $ABC$ se cunosc $AC=5$, $BC=17$ și $m(\angle A)=150^{\circ }$. Arătați că $\sin B=\frac{5}{34}$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

O firmă de instalații are de montat 5 centrale termice, numerotate C1, C2, C3, C4 și C5, într-o ordine aleasă la întâmplare; toate ordinile posibile au aceeași șansă. Centralele C1 și C2 sunt ale unor clienți cu avarie. Calculează probabilitatea ca C1 și C2 să fie montate primele două, în orice ordine.

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

O firmă de construcții a împărțit un teren în 6 loturi triunghiulare $ABC$ pentru case, iar pe fiecare lot va turna o fundație. Tabelul dă, pentru fiecare lot, laturile $AB$ și $AC$, unghiul $A$ dintre ele și dacă lotul are branșament la rețeaua de apă. Se dau $\sin 30^{\circ }=\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\sin 90^{\circ }=1$.

a) (5 puncte) Calculează aria fiecărui lot, în metri pătrați.

b) (5 puncte) Se alege la întâmplare un lot. Fie $S$ evenimentul „lotul are aria de cel puțin 500 m²” și $T$ evenimentul „lotul are branșament la apă”. Calculează $P(S\cap T)$ și probabilitatea ca lotul ales să aibă aria de cel puțin 500 m² sau branșament la apă.

Exercițiul 8 (10 puncte)

O cooperativă agricolă vinde pachete pentru floarea-soarelui, fiecare cu un hibrid de sămânță și un erbicid. Hibrizii F1, F2 și F3 costă 640, 740 și 860 de lei pe hectar, iar erbicidele E1, E2 și E3 costă 130, 150 și 210 de lei pe hectar. Hibridul F1 se tratează cu E1 sau cu E2, hibridul F2 cu oricare dintre cele trei erbicide, iar hibridul F3 numai cu E3. Un pachet este o pereche permisă (hibrid, erbicid), iar costul lui pe hectar este suma celor două costuri.

a) (5 puncte) Câte pachete oferă cooperativa? Scrie costul pe hectar al fiecăruia.

b) (5 puncte) Calculează costul mediu al unui pachet și mediana costurilor, apoi spune câte pachete costă mai puțin decât costul mediu.

Exercițiul 9 (10 puncte)

Un topograf de pe un șantier verifică două aparate de măsurat distanțe, ale echipelor 1 și 2, pe distanța $AB$ dintre două puncte de pe malurile unui lac. Distanța reală dintre ele se poate calcula din triunghiul $AOB$, în care $O$ este un punct de pe mal, $OA=80$ m, $OB=150$ m și $m(\angle AOB)=60^{\circ }$. Se dă $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$. Fiecare echipă a măsurat distanța $AB$ de câte șase ori. Rezultatele, în metri, sunt: echipa 1 — 127, 128, 130, 131, 131 și 133; echipa 2 — 131, 131, 132, 132, 132 și 134.

a) (5 puncte) Calculează distanța reală $AB$.

b) (5 puncte) Calculează media și abaterea standard a măsurătorilor fiecărei echipe. Care echipă a măsurat în medie mai aproape de distanța reală și care a măsurat mai constant?

Partea a III-a – Sinteze cu mai multe unități (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Sinteză.) Un atelier de construcții metalice are cinci profile de aluminiu, cu lungimile de 4 dm, 7 dm, 8 dm, 14 dm și 15 dm. Un meșter ia la întâmplare trei profile dintre ele, ca să încerce să asambleze un cadru triunghiular. Trei lungimi formează un triunghi dacă fiecare este mai mică decât suma celorlalte două.

a) (5 puncte) În câte moduri poate alege cele trei profile?

b) (5 puncte) Câte dintre alegeri pot forma un triunghi?

c) (5 puncte) Calculează probabilitatea ca cele trei profile alese să formeze un triunghi obtuzunghic.

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) O rețea de stații de încărcare pentru autoturisme electrice are 6 pachete de încărcare, la prețurile lunare (în lei) 30, 55, 60, 75, 80 și 90. Administratorul unei flote alege la întâmplare două pachete diferite, ca să le compare.

a) (5 puncte) În câte moduri poate alege cele două pachete?

b) (5 puncte) Calculează prețul mediu al celor 6 pachete și mediana prețurilor.

c) (5 puncte) Calculează probabilitatea ca media prețurilor celor două pachete alese să fie mai mică decât prețul mediu al celor 6 pachete.

Barem și răspunsuri

Fiecare rezolvare de mai jos e împărțită în pași, iar între paranteze stă câte puncte valorează pasul. Metoda nu e obligatorie: o soluție corectă, scrisă altfel, are același punctaj. Răspunsurile finale sunt îngroșate. La Partea a III-a nu ajunge să scrii numai rezultatul, pentru că nu ia tot punctajul subpunctului.

Exercițiul 1.

Alegerea nu are ordine, deci cazurile posibile sunt grupurile de 4 robineți luate din 9: $C_9^4=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4!}=126$ (2 p). Cazurile favorabile se aleg în două etape, 2 robineți cu bilă din 5 și 2 cu ventil din 4, iar alegerile se înmulțesc: $C_5^2\cdot C_4^2=10\cdot 6=60$ (2 p). Probabilitatea este $\frac{60}{126}=\frac{10}{21}$ (1 p). Verificare pe alt drum, cu extrageri pe rând: într-o ordine anume, de pildă bilă, bilă, ventil, ventil, probabilitatea este $\frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}\cdot \frac{4}{7}\cdot \frac{3}{6}=\frac{5}{63}$, iar cei 2 robineți cu bilă pot ocupa $C_4^2=6$ locuri dintre cele 4, deci $6\cdot \frac{5}{63}=\frac{10}{21}$. Cine adună în loc să înmulțească, $10+6=16$, obține prea puține grupuri: fiecare alegere de 2 robineți cu bilă se combină cu fiecare alegere de 2 robineți cu ventil.

Exercițiul 2.

Suma petelor de pe toate colile este $0\cdot 11+1\cdot 15+2\cdot 8+3\cdot 3+4\cdot 3=52$ (1 p), deci media este $\frac{52}{40}=1,3$ pete pe coală (2 p). Datele sunt 40, un număr par, deci mediana se obține din valorile de pe locurile 20 și 21. Primele 11 coli nu au nicio pată, iar următoarele 15 au câte una, deci locurile de la 12 la 26 au valoarea 1; ambele valori din mijloc sunt 1, iar mediana este $1$ (2 p). Verificare: $11+15+8+3+3=40$ de coli, iar media 1,3 stă între 0 și 4. Cine face media celor cinci valori, fără să țină seama de numărul de coli, obține $\frac{0+1+2+3+4}{5}=2$, mai mult decât media reală.

Exercițiul 3.

Unghiul cel mai mare stă în fața laturii celei mai lungi, $c$, iar cosinusul lui are semnul numărului $a^2+b^2-c^2$, unde $a$ și $b$ sunt celelalte două laturi (2 p). La varianta a), $6^2+9^2=117>100=10^2$; la b), $8^2+10^2=164>144=12^2$; la d), $10^2+12^2=244>225=15^2$; în toate trei, cosinusul este pozitiv și unghiul este ascuțit (2 p). La c), $7^2+9^2=130<169=13^2$, cosinusul este negativ, iar unghiul din fața laturii de 13 cm este obtuz, deci răspunsul este $\mathbf{c})$ (1 p). Verificare: $\cos C=\frac{7^2+9^2-13^2}{2\cdot 7\cdot 9}=-\frac{39}{126}<0$. Cine verifică doar dacă $7+9>13$ vede că și această sumă este mai mare, dar inegalitatea triunghiului arată că triunghiul există, nu ce fel de unghiuri are.

Exercițiul 4.

Mulțimea $A$ conține $17-0+1=18$ numere, adică 18 cazuri posibile (2 p). Numărul $n^2-6n=n(n-6)$ este element al lui $A$ dacă $0\le n^2-6n\le 17$. Pentru $n=1,2,3,4,5$ expresia ia valorile $-5,-8,-9,-8,-5$, deci negative; pentru $n=0$ și $n=6$ ia valoarea 0, pentru $n=7$ ia valoarea $7$, pentru $n=8$ ia valoarea $16$, iar pentru $n=9$ ia valoarea $27$, peste 17, și de acolo valorile cresc. Cazurile favorabile sunt $n\in \{0,6,7,8\}$, în număr de 4 (2 p). Probabilitatea este $\frac{4}{18}=\frac{2}{9}$ (1 p). Verificare: $0^2-6\cdot 0=0$, $6^2-6\cdot 6=0$, $7^2-6\cdot 7=7$ și $8^2-6\cdot 8=16$ sunt în $A$, iar $9^2-6\cdot 9=27$ nu este. Cine rezolvă numai $n^2-6n\le 17$, fără limita de jos, numără și valorile negative: obține 9 cazuri favorabile, $n\in \{0,1,\dots ,8\}$, și scrie $\frac{9}{18}$.

Exercițiul 5.

Latura $AC$ stă în fața unghiului $B$, iar latura $BC$ în fața unghiului $A$, deci teorema sinusurilor dă $\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$, adică $\frac{5}{\sin B}=\frac{17}{\sin 150^{\circ }}$ (3 p). Cum $\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, fiindcă $150^{\circ }=180^{\circ }-30^{\circ }$, rezultă $\sin B=\frac{5\cdot \frac{1}{2}}{17}=\frac{5}{34}$ (2 p). Verificare: înmulțind în cruce, $5\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{2}$ și $17\cdot \frac{5}{34}=\frac{5}{2}$; unghiul $A$ este obtuz, deci $B$ este ascuțit, iar $\frac{5}{34}$ este între 0 și 1. Cine ia pentru $\sin 150^{\circ }$ valoarea $-\frac{1}{2}$, cu semnul cosinusului din cadranul al II-lea, obține $\sin B=-\frac{5}{34}$, dar sinusul unui unghi al unui triunghi este pozitiv.

Exercițiul 6.

Cele 5 centrale se montează într-o ordine, deci cazurile posibile sunt permutările lor: $P_5=5!=120$ (2 p). La cazurile favorabile, C1 și C2 ocupă primele două locuri în $2!=2$ ordini, iar celelalte trei centrale se așază pe ultimele trei locuri în $3!=6$ ordini; ordinile se înmulțesc: $2\cdot 6=12$ (2 p). Probabilitatea este $\frac{12}{120}=\frac{1}{10}$ (1 p). Verificare pe alt drum: prima centrală montată este C1 sau C2 cu probabilitatea $\frac{2}{5}$, iar a doua este cealaltă dintre ele cu probabilitatea $\frac{1}{4}$, deci $\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10}$. Cine uită că C1 și C2 pot sta în două ordini numără 6 cazuri favorabile și obține $\frac{6}{120}$.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Aria unui triunghi din două laturi și unghiul dintre ele este $\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A$ (1 p). La loturile cu unghi drept, $\sin 90^{\circ }=1$: lotul 1 are $\frac{1}{2}\cdot 27\cdot 38=513$ m², iar lotul 5 are $\frac{1}{2}\cdot 44\cdot 31=682$ m² (1 p). La celelalte patru loturi, sinusul este $\frac{1}{2}$: lotul 2 are $\frac{1}{2}\cdot 46\cdot 34\cdot \frac{1}{2}=391$ m², lotul 3 are $\frac{1}{2}\cdot 52\cdot 45\cdot \frac{1}{2}=585$ m², lotul 4 are $\frac{1}{2}\cdot 38\cdot 26\cdot \frac{1}{2}=247$ m², iar lotul 6 are $\frac{1}{2}\cdot 56\cdot 33\cdot \frac{1}{2}=462$ m² (3 p). Verificare: lotul 3 are unghiul $A$ obtuz, dar aria folosește tot $\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}$; fără sinus, jumătatea produsului laturilor ar da $1170$ m², dublul rezultatului corect.

b) (5 p) Aria este de cel puțin 500 m² la loturile 1, 3 și 5, deci $P(S)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ (1 p). Au branșament loturile 3 și 4, deci $P(T)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ (1 p). Ambele proprietăți le are numai lotul 3, deci $P(S\cap T)=\frac{1}{6}$ (1 p). Din formula reuniunii, $P(S\cup T)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{3+2-1}{6}=\frac{2}{3}$ (2 p). Verificare: loturile cu aria de cel puțin 500 m² sau cu branșament sunt 1, 3, 4 și 5, adică 4 din 6. Cine adună doar $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ obține $\frac{5}{6}$ și numără lotul 3 de două ori.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Diagrama arborescentă are trei ramuri la prima treaptă, câte una pentru F1, F2 și F3, iar sub ele pleacă 2, 3 și 1 ramuri. Numerele diferă, deci aduni pe ramuri: $2+3+1=6$ pachete (2 p). Costurile, pe hectar: F1 cu E1 costă $640+130=770$ de lei, iar F1 cu E2 costă $640+150=790$ de lei (1 p); F2 costă $740+130=870$, $740+150=890$ și $740+210=950$ de lei, cu E1, E2 și E3 (1 p); F3 cu E3 costă $860+210=1070$ de lei (1 p). Verificare: cine înmulțește $3\cdot 3=9$ numără și 3 perechi interzise: F1 cu E3, F3 cu E1 și F3 cu E2.

b) (5 p) Suma celor șase costuri este $770+790+870+890+950+1070=5340$, deci costul mediu este $\frac{5340}{6}=890$ de lei pe hectar (2 p). Costurile sunt deja scrise crescător; cum sunt șase, mediana este media costurilor al treilea și al patrulea: $\frac{870+890}{2}=880$ de lei (2 p). Mai puțin de 890 de lei costă pachetele de 770, 790 și 870 de lei, adică $3$ pachete; pachetul de exact 890 de lei nu costă mai puțin decât media (1 p). Verificare: media este mai mare decât mediana, fiindcă pachetul de 1070 de lei trage media în sus. Cine numără pachetele de cel mult 890 de lei obține 4.

Exercițiul 9.

a) (5 p) În triunghiul $AOB$ se cunosc două laturi și unghiul dintre ele, deci teorema cosinusului dă $A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos 60^{\circ }$ (2 p). Înlocuind, $A{B}^2=80^2+150^2-2\cdot 80\cdot 150\cdot \frac{1}{2}=6400+22500-12000=16900$ (2 p), deci $AB=\sqrt{16900}=130$ m (1 p). Verificare: $150-80=70<130<230=150+80$, iar unghiul de 60° este ascuțit, deci $AB$ este mai mic decât $\sqrt{80^2+150^2}=\sqrt{28900}=170$.

b) (5 p) Echipa 1: suma măsurătorilor este $127+128+130+131+131+133=780$, deci media este $\frac{780}{6}=130$ m (1 p). Abaterile față de 130 sunt $-3$, $-2$, $0$, $1$, $1$ și $3$, iar pătratele lor adună $9+4+0+1+1+9=24$; atunci $\sigma =\sqrt{\frac{24}{6}}=\sqrt{4}=2$ m (1 p). Echipa 2: suma este $131+131+132+132+132+134=792$, deci media este $\frac{792}{6}=132$ m (1 p); abaterile față de 132 sunt $-1$, $-1$, $0$, $0$, $0$ și $2$, pătratele adună $1+1+0+0+0+4=6$, iar $\sigma =\sqrt{\frac{6}{6}}=1$ m (1 p). Media echipei 1 este chiar distanța reală, 130 m, iar a echipei 2 o depășește cu 2 m, deci echipa 1 a măsurat în medie mai aproape; echipa 2 are abaterea standard mai mică, 1 m față de 2 m, deci a măsurat mai constant, dar în medie cu 2 m peste distanța reală (1 p). Verificare: intervalul medie $\pm$ abatere standard este de la 128 la 132 pentru echipa 1 și de la 131 la 133 pentru echipa 2, iar distanța reală, 130 m, se află numai în primul. Cine alege echipa cu abaterea mai mică drept echipa „mai bună” alege echipa care măsoară constant greșit.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Cele trei profile sunt diferite, iar ordinea în care le ia meșterul nu contează, deci alegerile sunt combinări (2 p): $C_5^3=\frac{5\cdot 4\cdot 3}{3!}=10$ moduri (2 p). Alegerile sunt 4-7-8, 4-7-14, 4-7-15, 4-8-14, 4-8-15, 4-14-15, 7-8-14, 7-8-15, 7-14-15 și 8-14-15 (1 p). Verificare: $C_5^3=C_5^2=10$, adică tot atâtea câte perechi de profile rămân neluate.

b) (5 p) Trei lungimi formează un triunghi dacă cea mai mare este mai mică decât suma celorlalte două (1 p). Alegerile 4-7-8 ($8<11$), 4-14-15 ($15<18$), 7-8-14 ($14<15$), 7-14-15 ($15<21$) și 8-14-15 ($15<22$) îndeplinesc condiția (3 p). Celelalte nu: de pildă 4-7-14 are $14>11$, iar 7-8-15 are $15=7+8$, caz în care cele trei profile s-ar întinde pe o dreaptă, fără să închidă un triunghi. Sunt $5$ alegeri care pot forma un triunghi (1 p). Verificare: celelalte 5 alegeri sunt 4-7-14, 4-7-15, 4-8-14, 4-8-15 și 7-8-15, iar $5+5=10$.

c) (5 p) Triunghiul este obtuzunghic dacă pătratul laturii celei mai mari este mai mare decât suma pătratelor celorlalte două (1 p). Dintre cele 5 triunghiuri: 4-7-8 are $4^2+7^2=65>64=8^2$, deci este ascuțitunghic; 4-14-15 are $4^2+14^2=212<225=15^2$ și 7-8-14 are $7^2+8^2=113<196=14^2$, deci ambele sunt obtuzunghice; 7-14-15 are $7^2+14^2=245>225$ și 8-14-15 are $8^2+14^2=260>225$, deci sunt ascuțitunghice (2 p). Sunt $2$ alegeri favorabile (1 p), iar din cele 10 alegeri posibile probabilitatea este $\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$ (1 p). Verificare: cele 10 alegeri sunt 2 obtuzunghice, 3 ascuțitunghice și 5 care nu formează triunghi, adică $2+3+5=10$. Cine împarte la cele 5 triunghiuri obține $\frac{2}{5}$, dar meșterul alege dintre toate cele 10 grupuri de câte trei profile.

Exercițiul 11.

a) (5 p) Pachetele sunt diferite, iar ordinea în care le alege administratorul nu contează, deci alegerile sunt combinări (2 p): $C_6^2=\frac{6\cdot 5}{2!}=15$ moduri (3 p). Verificare: $C_6^2=C_6^4=15$, iar cele 15 perechi se scriu la punctul c).

b) (5 p) Suma prețurilor este $30+55+60+75+80+90=390$, deci prețul mediu este $\frac{390}{6}=65$ lei (2 p). Prețurile sunt scrise crescător; fiind șase, mediana se află la mijloc, între al treilea și al patrulea, și e media lor (1 p): $\frac{60+75}{2}=67,5$ lei (2 p). Verificare: $6\cdot 65=390$.

c) (5 p) Media celor două prețuri este mai mică decât 65 dacă suma lor este mai mică decât $2\cdot 65=130$ (1 p). Sumele sunt: cu 30, 85, 90, 105, 110 și 120; cu 55, 115, 130, 135 și 145; cu 60, 135, 140 și 150; cu 75, 155 și 165; cu 80, 170 (2 p). Mai mici decât 130 sunt 85, 90, 105, 110, 120 și 115, adică $6$ perechi; perechea 55 și 75 are suma exact 130, deci media ei este egală cu 65, nu mai mică (1 p). Probabilitatea este $\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$ (1 p). Verificare: sunt $6+1+8=15$ perechi, cu 6 sub 130, 1 egală cu 130 și 8 peste 130. Cine include perechea de 130 obține $\frac{7}{15}$.

Pentru părinți și profesori

Lucrarea adună într-un singur loc primele patru unități ale clasei a X-a, filiera tehnologică: aplicațiile trigonometriei în geometrie, metodele de numărare, statistica și probabilitățile, adică primele 16 lecții ale clasei. Lecțiile de supliment, cu puteri, radicali, logaritmi, medii, numere complexe, funcții, ecuații, calcul financiar și geometrie în coordonate, rămân în afara ei, fiindcă au testele lor. Spre deosebire de testele de unitate, aici mai multe exerciții leagă două sau chiar trei unități: o probabilitate se află cu ajutorul combinărilor, aria unui lot se pune lângă o probabilitate, iar o distanță calculată cu teorema cosinusului se compară cu măsurători pe care le prelucrezi statistic.

• Punctaj: exercițiile aduc 90 de puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu: lucrarea are în total 100 de puncte.
• Timp: 90 de minute.
• Cum se aplică: elevul lucrează singur, pe foaie, fără calculator. La exercițiile 7 și 9 valorile trigonometrice de care are nevoie sunt scrise în enunț ($\sin 30^{\circ }$, $\sin 150^{\circ }$, $\sin 90^{\circ }$ și $\cos 60^{\circ }$), iar la exercițiul 5 elevul aduce $\sin 150^{\circ }$ la $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, cu formula de reducere din clasa a IX-a; rezultatele ies exact. Probabilitățile se scriu ca fracții ireductibile. La Partea a III-a un rezultat scris fără calcul nu ia tot punctajul subpunctului. Ghidajul desface fiecare exercițiu în întrebări scurte; îl pornești de la exercițiul la care te blochezi, nu de la început.
• Între 90 și 100 de puncte: ai stăpânit materia primei părți a clasei și poți trece la lecțiile de supliment.
• Între 75 și 89 de puncte: exercițiile pierdute se refac pas cu pas, cu ghidajul pornit.
• Între 60 și 74 de puncte: te uiți pe harta materiei de mai jos, alegi unitatea la care ai câștigat cele mai puține puncte și reiei lecțiile ei, apoi refaci lucrarea peste o săptămână.
• Sub 60 de puncte: reiei cele patru unități în ordinea lor, cu ghidajul pornit de la primul exercițiu.
• Formule de reținut: în orice triunghi, $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$, unde $c$ este latura din fața unghiului $C$, iar $a$ și $b$ sunt laturile care îl cuprind; la un unghi obtuz, $\cos C<0$, adică $a^2+b^2<c^2$. Teorema sinusurilor, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$, se aplică atunci când știi o latură împreună cu unghiul opus ei; sinusul unui unghi obtuz este pozitiv, $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$. Aria unui triunghi este $\frac{1}{2}ab\sin C$, unde $C$ este unghiul dintre laturile $a$ și $b$. Ordinile în care se pot așeza $n$ obiecte distincte sunt $P_n=n!$, iar grupurile de $k$ elemente distincte alese dintr-o listă de $n$, fără ordine, sunt $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$; pe o diagramă arborescentă în care numărul de ramuri diferă de la un nod la altul se adună frunzele ramurilor primei trepte. Media este suma valorilor împărțită la numărul lor; mediana se citește din datele puse în ordine crescătoare, iar când sunt un număr par de date ea este media valorilor de la mijloc; abaterea standard este $\sigma =\sqrt{\frac{\text{suma pa˘tratelor abaterilor fața˘ de medie}}{n}}$. În sfârșit, $P(A)=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$ și $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Harta materiei. Fiecare unitate are patru lecții, deci, proporțional, ar primi câte 22,5 puncte din 90. Subpunctele valorează câte 5 puncte, așa că împărțirea exactă nu se poate: unitățile 1 și 4 primesc câte 25 de puncte, iar unitățile 2 și 3 câte 20, cu o abatere de 2,5 puncte față de proporție. Unitățile 1 și 4 sunt cele care au apărut cel mai des în probele oficiale (rezolvarea triunghiurilor și aria triunghiului, în câte 16 probe, probabilitatea unui eveniment, în 38 de probe). Un exercițiu care leagă două unități își împarte punctele pe subpuncte, după unitatea pe care se sprijină fiecare.

Trei lecții nu au aici un exercițiu propriu: triunghiul lui Pascal și binomul, alegerea diagramei (histograma, boxplotul, diagrama circulară) și probabilitatea condiționată. Lucrarea verifică fiecare unitate, nu fiecare lecție; pe acestea trei le verifică testele de unitate ale clasei.

Exercițiile 4 și 5 poartă marcajul „tip Bacalaureat M3”: ele copiază forma cerințelor 4 și 6 din Subiectul I al probelor oficiale (un număr ales dintr-o mulțime și sinusul unui unghi dintr-un triunghi), cu numere, mulțimi și laturi noi. Exercițiile 10 și 11 sunt sinteze, fără marcaj, fiindcă nu copiază forma unei cerințe reale.

Programa și examenul. Evaluarea urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Pentru ei, temele tuturor celor unsprezece exerciții ale lucrării se află în programa de examen, în unitățile X.1, X.2, X.3 și X.4. Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, rezolvarea triunghiurilor a apărut în 16 probe oficiale din 2013–2026, aria triunghiului în 16, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile în 38, permutările și aranjamentele în 4, combinările în 3, iar teorema sinusurilor și media aritmetică în câte una. Din lucrare, exercițiile 1, 3, 4, 5 și 6 se sprijină numai pe teme numite în programa lor de examen (combinările, teorema cosinusului, teorema sinusurilor, permutările și probabilitatea unui eveniment compus). La celelalte, programa numește unele părți și nu numește altele: media aritmetică este numită, dar mediana nu (la 2, 8 b și 11 b); programa cere calcularea unor arii, fără să numească aria triunghiului din două laturi și unghiul dintre ele, iar reuniunea evenimentelor nu este numită (la 7); diagrama arborescentă nu este numită (la 8 a); teorema cosinusului și media sunt numite, dar abaterea standard nu (la 9); iar la 10 și 11 combinările, teorema cosinusului și probabilitatea unui eveniment compus sunt numite, dar inegalitatea triunghiului (la 10 b) nu este.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.