Subiect Bac matematică tehnologic, sesiunea specială 2015 (varianta 9) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2015 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(2-\frac{1}{2}\right):\frac{3}{10}=5$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculați $f(-2)+f(2)$, unde $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x-1}=3$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, acesta să fie multiplu de $5$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $O(0,0)$, $M(0,4)$ și $N(4,0)$. Arătați că triunghiul $MON$ este isoscel.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați aria triunghiului $ABC$ dreptunghic în $A$, știind că $AB=10$ și $AC=12$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 5& -3\end{array}\right)$ și $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=1$.

b) (5 puncte) Arătați că $A\cdot A+I_2=O_2$, unde $O_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\det (A-a{I}_2)\ge 1$, pentru orice număr real $a$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+5X^2+X+5$.

a) (5 puncte) Arătați că $f(-5)=0$.

b) (5 puncte) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X^2+6X+5$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\frac{x_3}{x_1{x}_2}+\frac{x_2}{x_1{x}_3}+\frac{x_1}{x_2{x}_3}=-\frac{23}{5}$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-2x^2+1$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=4x(x-1)(x+1)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $0\le f(x)\le 1$, pentru orice $x\in [-1,1]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+\sqrt{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^3\left(f(x)-\sqrt{x}\right)dx=\frac{26}{3}$.

b) (5 puncte) Demonstrați că funcția $F:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{2x\sqrt{x}}{3}+2015$ este o primitivă a funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că suprafața delimitată de graficul funcției $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\left(f(x)-\sqrt{x}\right)e^x$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=2$, are aria egală cu $e(2e-1)$.

Barem și răspunsuri

90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Cerințele 1–6 au câte 5 p, iar fiecare subpunct al cerințelor 7–10 are 5 p; documentul oficial are 37 de rânduri, deoarece cerința 4 are trei (1 p, 2 p, 2 p). Marcajele „(1 p)”, „(2 p)” și „(3 p)” de mai jos copiază rândurile variantei 9; soluțiile și contraprobele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — expresie cu fracții.

Mai întâi paranteza: $2=\frac{4}{2}$, deci $$2-\frac{1}{2}=\frac{4-1}{2}=\frac{3}{2}\text{(3 p)}.$$ Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei: $$\frac{3}{2}:\frac{3}{10}=\frac{3}{2}\cdot \frac{10}{3}=5\text{(2 p)}.$$

(Contraproba: $5\cdot \frac{3}{10}=\frac{3}{2}$. O greșeală apare dacă se scade din $2$ întregul $1$ în loc de $\frac{1}{2}$: rezultă $1$, iar $1:\frac{3}{10}=\frac{10}{3}$, nu $5$.)

Exercițiul 2. (5 p) — valorile unei funcții.

Se înlocuiește $x$ cu $-2$, apoi cu $2$; pătratul lui $-2$ este $4$: $$f(-2)=(-2{)}^2-4=0,f(2)=2^2-4=0\text{(2 p)}.$$ Suma este $f(-2)+f(2)=0+0=0$ (3 p).

(Contraproba: $f$ este pară, adică $f(-x)=f(x)$, deci cele două valori coincid. O greșeală apare dacă $(-2{)}^2$ se citește $-4$: prima valoare ar ieși $-4-4=-8$, iar suma ar fi $-8$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Se ridică ambii membri la pătrat; membrul drept devine $3^2=9$: $$2x-1=9\text{(3 p)}.$$ Rezultă $2x=10$, adică $x=5$; înlocuit în ecuația dată, $\sqrt{2\cdot 5-1}=\sqrt{9}=3$, deci $\mathbf{x}=5$ convine (2 p).

(Contraproba: ridicarea la pătrat poate aduce soluții străine, de aceea valoarea găsită se reintroduce în ecuația cu radical; aici radicandul $2x-1=9$ este pozitiv. O greșeală apare dacă membrul drept rămâne $3$: din $2x-1=3$ rezultă $x=2$, dar $\sqrt{2\cdot 2-1}=\sqrt{3}\ne 3$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Mulțimea $A$ are elementele $1,2,\dots ,10$: $$10\text{cazuri posibile}\text{(1 p)}.$$ Multiplii lui $5$ din $A$ sunt $5=5\cdot 1$ și $10=5\cdot 2$; numărul $15$ nu face parte din $A$: $$2\text{cazuri favorabile}\text{(2 p)}.$$ Probabilitatea este raportul lor: $$p=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\text{(2 p)}.$$

(Contraproba: în orice grup de $5$ numere consecutive există exact un multiplu de $5$, iar cele $10$ numere formează două grupuri, deci $\frac{2}{10}$. O greșeală apare dacă se numără și $0$: $0$ este multiplu de $5$, dar nu face parte din $A$.)

Exercițiul 5. (5 p) — triunghi isoscel din coordonate.

Segmentul $MO$ stă pe axa $Oy$, fiindcă ambele capete au abscisa $0$; lungimea lui este diferența ordonatelor: $$MO=4-0=4\text{(2 p)}.$$ Segmentul $ON$ stă pe axa $Ox$, fiindcă ambele capete au ordonata $0$, deci $ON=4-0=4$. Cum $MO=ON$, triunghiul $MON$ este isoscel, cu vârful în $O$ (3 p).

(Contraproba: $MN=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$, deci a treia latură este diferită și triunghiul nu este echilateral. O greșeală apare dacă se compară $MO$ cu $MN$: $4\ne 4\sqrt{2}$.)

Exercițiul 6. (5 p) — aria unui triunghi dreptunghic.

Într-un triunghi dreptunghic în $A$, catetele $AB$ și $AC$ sunt perpendiculare, deci una este înălțimea dusă pe cealaltă: $${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{10\cdot 12}{2}\text{(3 p)}.$$ Rezultă ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{120}{2}=60$ (2 p).

(Contraproba: triunghiul este jumătate dintr-un dreptunghi cu laturile $10$ și $12$, a cărui arie este $120$. O greșeală apare dacă se uită împărțirea la $2$: se obține aria dreptunghiului, $120$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Determinantul este diferența dintre produsul diagonalei principale, $3\cdot (-3)$, și cel al diagonalei secundare, $(-2)\cdot 5$: $$\det A=3\cdot (-3)-(-2)\cdot 5\text{(3 p)}.$$ $$\det A=-9+10=1\text{(2 p)}.$$

(O greșeală apare dacă se uită semnul minus din fața produsului al doilea: $3\cdot (-3)+(-2)\cdot 5=-19$.)

b) (5 p) Fiecare poziție a lui $A\cdot A$ se obține din linia ei înmulțită cu coloana ei: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}3\cdot 3+(-2)\cdot 5& 3\cdot (-2)+(-2)\cdot (-3)\\ 5\cdot 3+(-3)\cdot 5& 5\cdot (-2)+(-3)\cdot (-3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Se adaugă $I_2$: $$A\cdot A+I_2=\left(\begin{array}{cc}-1+1& 0\\ 0& -1+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=O_2\text{(2 p)}.$$

(Contraproba: $A\cdot A=-I_2$, deci $A$ este o matrice al cărei pătrat este opusul matricei unitate. O greșeală apare dacă pătratul se face element cu element: $\left(\begin{array}{cc}9& 4\\ 25& 9\end{array}\right)$, care nu se anulează prin adunarea lui $I_2$.)

c) (5 p) Matricea $a{I}_2$ scade $a$ de pe diagonala principală: $$A-a{I}_2=\left(\begin{array}{cc}3-a& -2\\ 5& -3-a\end{array}\right),\det (A-a{I}_2)=(3-a)(-3-a)-(-2)\cdot 5=a^2-9+10\text{(3 p)}.$$ Rezultă $\det (A-a{I}_2)=a^2+1$, iar $a^2\ge 0$ pentru orice număr real $a$, deci $a^2+1\ge 1$ (2 p).

(Contraproba: pentru $a=0$ se obține $\det A=1$, valoarea minimă; pentru $a=2$ se obține $5$. O greșeală apare dacă se uită termenul $+10$: din $a^2-9$ nu rezultă $\ge 1$; de exemplu, în $a=0$ valoarea ar fi $-9$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom.

a) (5 p) Se înlocuiește $X$ cu $-5$ în fiecare termen: $$f(-5)=(-5{)}^3+5\cdot (-5{)}^2+(-5)+5\text{(3 p)}.$$ $$f(-5)=-125+125-5+5=0\text{(2 p)}.$$

(Contraproba: grupând termenii, $f(X)=X^2(X+5)+(X+5)$, care se anulează în $X=-5$. O greșeală apare dacă se înlocuiește $+5$: $5^3+5\cdot 5^2+5+5=260$.)

b) (5 p) Împărțirea merge de la termenul de gradul cel mai mare spre cel de gradul cel mai mic: $X^3:X^2=X$ și $X\cdot (X^2+6X+5)=X^3+6X^2+5X$, care scăzut din $f$ lasă $-X^2-4X+5$; $-X^2:X^2=-1$ și $-1\cdot (X^2+6X+5)=-X^2-6X-5$, care scăzut din $-X^2-4X+5$ lasă $2X+10$. Câtul este $\mathbf{X}-1$ (3 p). Restul $2X+10$ are gradul $1$, sub gradul $2$ al împărțitorului, așa că împărțirea nu mai poate continua (2 p).

(Contraproba: $(X-1)(X^2+6X+5)+2X+10=X^3+5X^2-X-5+2X+10=X^3+5X^2+X+5$. Restul se anulează în $X=-5$, în acord cu $f(-5)=0$ de la a), fiindcă $-5$ este rădăcină și a împărțitorului. O greșeală apare dacă împărțirea se oprește după primul termen: restul $-X^2-4X+5$ are gradul $2$, deci nu este încă un rest.)

c) (5 p) Pentru $f=X^3+5X^2+X+5$, coeficienții sunt $1,5,1,5$ (de la gradul $3$ la gradul $0$), iar relațiile dintre rădăcini și coeficienți dau $$x_1+x_2+x_3=-5,x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=1,x_1{x}_2{x}_3=-5\text{(3 p)}.$$ Cele trei fracții au numitorul comun $x_1{x}_2{x}_3$, iar numărătorul fiecăreia se completează cu factorul care lipsește: $\frac{x_3}{x_1{x}_2}=\frac{x_3^2}{x_1{x}_2{x}_3}$ și analoagele. Suma este $$\frac{x_1^2+x_2^2+x_3^2}{x_1{x}_2{x}_3}=\frac{(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)}{x_1{x}_2{x}_3}=\frac{(-5{)}^2-2\cdot 1}{-5}=-\frac{23}{5}\text{(2 p)}.$$

(Contraproba: rădăcinile sunt $-5$, $i$ și $-i$, iar $x_1^2+x_2^2+x_3^2=25-1-1=23$, produsul lor fiind $-5\cdot i\cdot (-i)=-5$. O greșeală apare dacă se uită factorul $2$: $\frac{25-1}{-5}=-\frac{24}{5}$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, margini.

a) (5 p) Se derivează pe rând fiecare termen: din $x^4$ rezultă $4x^3$, din $2x^2$ rezultă $4x$, iar constanta $1$ dispare: $$f^{\prime }(x)=4x^3-4x\text{(3 p)}.$$ Se scoate $4x$ factor comun, apoi se descompune diferența de pătrate: $$f^{\prime }(x)=4x\left(x^2-1\right)=4x(x-1)(x+1),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Contraproba: $f^{\prime }(1)=4-4=0$ și $f^{\prime }(-1)=-4+4=0$, în acord cu factorii $(x-1)$ și $(x+1)$. O greșeală apare dacă $2x^2$ se derivează în $2x$: polinomul rezultat nu mai are rădăcinile $1$ și $-1$.)

b) (5 p) Valoarea funcției și panta tangentei în $x=1$: $$f(1)=1-2+1=0,f^{\prime }(1)=4\cdot 1\cdot 0\cdot 2=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei este $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$, adică $y-0=0\cdot (x-1)$: $$\mathbf{y}=0\text{(3 p)}.$$

(Contraproba: $f(x)=(x^2-1{)}^2\ge 0$, deci graficul nu coboară sub axa $Ox$ și o atinge în $x=1$; tangenta în acel punct este chiar axa. O greșeală apare dacă se ia panta $4$, primul coeficient din $f^{\prime }$: dreapta $y=4x-4$ trece prin $(1,0)$, dar are panta $4$, iar panta graficului în acel punct este $f^{\prime }(1)=0$.)

c) (5 p) Semnul lui $f^{\prime }(x)=4x(x-1)(x+1)$ pe $[-1,1]$ decide variația funcției. Derivata este nulă în $-1$, $0$ și $1$. Pe $[-1,0]$, factorii $4x$ și $(x-1)$ sunt negativi (sau $4x$ este nul), deci produsul lor este $\ge 0$, iar $(x+1)\ge 0$; astfel $f^{\prime }(x)\ge 0$. Pe $[0,1]$ avem $4x\ge 0$ și $x+1>0$, iar $(x-1)\le 0$, deci $f^{\prime }(x)\le 0$: $$f\text{crește pe}[-1,0]\text{și descrește pe}[0,1]\text{(2 p)}.$$ Valorile din capete și din punctul în care se schimbă variația sunt $f(-1)=0$, $f(1)=0$ și $f(0)=1$. Graficul urcă de la înălțimea $0$ la înălțimea $1$ și revine apoi la $0$, deci pe $[-1,1]$ valoarea minimă este $0$, iar valoarea maximă este $1$: $$0\le f(x)\le 1,x\in [-1,1]\text{(3 p)}.$$

(A doua rezolvare, fără variație: $f(x)=(x^2-1{)}^2\ge 0$, iar pentru $x\in [-1,1]$ avem $0\le 1-x^2\le 1$, deci și $(1-x^2{)}^2\le 1$. O greșeală apare dacă se verifică doar capetele: $f(-1)=f(1)=0$ nu arată că între ele $f$ rămâne sub $1$; valoarea $f(0)=1$ și variația o arată.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale.

a) (5 p) În diferență, termenii cu radical se reduc: $f(x)-\sqrt{x}=x^2$, iar $\frac{x^3}{3}$ este o primitivă a lui $x^2$. Integrala dată devine ${\int }_1^3{x}^{2}dx$, adică $\frac{x^3}{3}{|}_1^3$ (3 p). $$=\frac{27}{3}-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}\text{(2 p)}.$$

(Contraproba: integrala unei funcții pozitive trebuie să fie pozitivă, iar $x^2$ pe $[1,3]$ are valori între $1$ și $9$, deci integrala se află între $2\cdot 1$ și $2\cdot 9$; $\frac{26}{3}\approx 8,67$ respectă acest interval. O greșeală apare dacă se ia ca primitivă $2x$, adică derivata lui $x^2$: ar da $6-2=4$.)

b) (5 p) Se derivează $F$; pentru produsul $x\sqrt{x}$ se aplică regula produsului, cu $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$: $$F^{\prime }(x)=\frac{3x^2}{3}+\frac{2}{3}\left(\sqrt{x}+x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\text{(3 p)}.$$ Cum $x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{2}$, paranteza este $\frac{3\sqrt{x}}{2}$, iar $\frac{2}{3}\cdot \frac{3\sqrt{x}}{2}=\sqrt{x}$. Deci $F^{\prime }(x)=x^2+\sqrt{x}=f(x)$ pentru orice $x>0$, iar $F$ este o primitivă a lui $f$ (2 p).

(Contraproba: $2x\sqrt{x}=2x^{3/2}$, a cărei derivată este $3x^{1/2}$, iar $\frac{3\sqrt{x}}{3}=\sqrt{x}$; constanta $2015$ nu influențează derivata. O greșeală apare dacă se derivează doar $\sqrt{x}$, uitând factorul $x$: s-ar obține $\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{3\sqrt{x}}$.)

c) (5 p) Funcția $g(x)=x^2{e}^x$ este pozitivă pe $[1,2]$, deci aria este ${\int }_1^2{x}^2{e}^{x}dx$. Se aplică formula integrării prin părți, cu $u=x^2$ și $v^{\prime }=e^x$: $${\int }_1^2{x}^2{e}^{x}dx=x^2{e}^x{|}_1^2-2{\int }_1^{2}x{e}^{x}dx=4e^2-e-2\left(x{e}^x{|}_1^2-{\int }_1^2{e}^{x}dx\right)\text{(3 p)}.$$ Valoarea lui $x{e}^x{|}_1^2$ este $2e^2-e$, iar integrala lui $e^x$ pe $[1,2]$ este $e^2-e$, deci $$\mathcal{S}=4e^2-e-2\left(2e^2-e-\left(e^2-e\right)\right)=2e^2-e=\mathbf{e}(2e-1)\text{(2 p)}.$$

(Contraproba: pe $[1,2]$ funcția $x^2{e}^x$ crește de la $e$ la $4e^2$, iar intervalul are lungimea $1$, deci aria trebuie să stea între $e$ și $4e^2$; rezultatul verifică, fiindcă $2e^2-e\ge e$ și $2e^2-e\le 4e^2$. O greșeală apare dacă la integrarea prin părți se uită factorul $2$ al derivatei lui $x^2$: ar rezulta $3e^2-e$.)

Pentru părinți și profesori

Lucrarea din această pagină este varianta 9 din sesiunea specială 2015 a probei de matematică M_tehnologic; pe foaie scrie „Proba E. c)”, iar sus apar Ministerul Educației și Cercetării Științifice și Centrul Național de Evaluare și Examinare. O dădeau elevii filierei tehnologice, din profilurile servicii, resurse naturale și protecția mediului, respectiv tehnic. Între colegi, disciplina circulă și sub numele „M3”. Toate cele zece cerințe sunt rezolvate mai jos. Enunțurile reproduc foaia; rezolvările, probele și comentariile sunt ale paginii, iar documentul oficial de evaluare a contribuit numai cu împărțirea punctelor pe rânduri.

Structura, pe scurt.

Timpul este de 3 ore, iar la cele 90 de puncte ale cerințelor se adaugă 10 puncte din oficiu. Documentul oficial are 37 de rânduri punctate: la cerința 4 sunt trei rânduri (1 p, 2 p, 2 p), la restul cerințelor și subpunctelor câte două.

Ce cere fiecare cerință, cu clasa din programa de examen M_tehnologic (Anexa 2 la OMEN 4430/2014, reperul comun al arhivei):

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

Ce face lucrarea aceasta aparte. Polinomul de la 8 se descompune: $X^3+5X^2+X+5=X^2(X+5)+(X+5)=(X+5)(X^2+1)$, deci are o rădăcină reală, $-5$, și două rădăcini complexe, $\pm i$. Cerința 8.c) nu le calculează, ci folosește doar relațiile dintre rădăcini și coeficienți. Împărțitorul de la 8.b) este $X^2+6X+5=(X+1)(X+5)$, iar $-5$ a fost verificat chiar la 8.a). La 9.c) funcția este $f(x)=(x^2-1{)}^2$, un pătrat; nota de la sfârșitul rezolvării lui 9.c) arată și o cale fără studiul variației, bazată pe această formă. La 10.c) pentru $\int x^2{e}^{x}dx$ formula integrării prin părți se aplică de două ori.

Cifre pentru ritm. Dacă timpul se împarte proporțional cu punctele, Subiectul I ia 60 de minute, iar fiecare problemă de 15 puncte ia 30 de minute. Un elev care adună 58 de puncte din cerințe are, cu oficiul, 68 de puncte, deci nota 6,8.

Cum o folosești. Citește enunțul și scrie singur cel puțin primul rând al fiecărei rezolvări (cel de 2 sau 3 puncte); apoi compară cu pagina. Dacă 8.b) pare lung, pornește de la $f=(X+5)(X^2+1)$ și observă că împărțitorul $X^2+6X+5=(X+1)(X+5)$ are cu $f$ un singur factor comun, $X+5$. Dacă 10.c) pare lung, începe cu integrandul $x^2{e}^x$ și caută în lista de reguli de mai jos formula integrării prin părți.

Reguli folosite în rezolvări.

• Subiectul I. Un radical dispare dacă ambii membri ai ecuației sunt ridicați la pătrat, iar rezultatul trebuie pus înapoi în ecuația de la început. Probabilitatea se obține împărțind cazurile favorabile la cele posibile.
• Subiectul al II-lea. Dacă $x_1,x_2,x_3$ sunt rădăcinile unui polinom de gradul $3$ cu coeficienții $a_3,a_2,a_1,a_0$ (de la $X^3$ la termenul liber), atunci $x_1+x_2+x_3=-\frac{a_2}{a_3}$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{a_1}{a_3}$ și $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{a_0}{a_3}$.
• Subiectul al III-lea. Panta tangentei la grafic în $x_0$ este $f^{\prime }(x_0)$. Formula integrării prin părți este $\int u{v}^{\prime }dx=uv-\int u^{\prime }vdx$.

Despre litere. În titlurile de mai jos, „itemul” numește o cerință. Litera $f$ denumește patru obiecte diferite: o funcție de gradul al doilea la 2, un polinom la 8 (scris cu $X$ mare), o funcție de gradul $4$ la 9 și o funcție cu radical la 10. Litera $A$ este o mulțime la 4, o matrice la 7 și un vârf de triunghi la 6.