Subiect Bac matematică tehnologic, simulare 2023 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2023 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(1-0,2\right):2+0,3\cdot 2=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x+2$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x+m$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(2)=g(2)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $7^{x+3}=49^x$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o ieftinire cu $30\%$, un produs costă $210$ lei. Determinați prețul produsului înainte de ieftinire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,5)$ și $B(2,-1)$. Arătați că triunghiul $OMB$ este dreptunghic în $O$, unde $M$ este mijlocul segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sqrt{3}\sin 45^{\circ }+2\sin 30^{\circ }-\sqrt{2}\cos 30^{\circ }=1$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}x+2& -2\\ 2& x-1\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(2))=8$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $A(0)\cdot A(0)=A(x)$.

c) (5 puncte) Arătați că, dacă $x$ și $y$ sunt numere reale distincte astfel încât $\det (A(x))=\det (A(y))$, atunci $x+y=-1$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=4xy-3x+2y-1$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\ast 2=8$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\ast (-1)=4$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $x\ast a=-x$, pentru orice număr real $x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-1+\frac{8}{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{2\left(x^2-4\right)}{x^2}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=2$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f(1-x)\ge f(1+x)$, pentru orice $x\in (0,1)$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+4x+2$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^2\left(f(x)-4x\right)dx=12$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(f(x)-3x^2-2\right)e^{x}dx=4$.

c) (5 puncte) Determinați $a\in (0,+\infty )$ pentru care ${\int }_{-1}^{0}a\cdot f^{\prime }(x)\cdot {\left(f(x)\right)}^{a-1}dx=63$.

Barem și răspunsuri

Pentru cerințe se pot obține 90 p, iar din oficiu sunt 10 p; împreună, 100 p. Primele șase cerințe sunt de câte 5 p, iar fiecare dintre cerințele 7–10 are 15 p: trei subpuncte de 5 p, câte două rânduri fiecare. „(2 p)" și „(3 p)" din rezolvări reproduc rândurile din documentul oficial al simulării 2023. Soluțiile, comentariile și controalele sunt ale noastre.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu zecimale.

Ordinea operațiilor: întâi paranteza și produsul, apoi împărțirea, la sfârșit adunarea. Paranteza este $1-0,2=0,8$, iar produsul este $0,3\cdot 2=0,6$: $$\left(1-0,2\right):2+0,3\cdot 2=0,8:2+0,6\text{(3 p)}.$$ Împărțirea dă $0,8:2=0,4$, deci suma este $$0,4+0,6=1\text{(2 p)}.$$

(Control: aceleași operații cu fracții, $\frac{4}{5}:2+\frac{3}{10}\cdot 2=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}=1$. Pas greșit: împărțirea se aplică întregii sume, $0,8:(2+0,6)$, și iese $0,8:2,6\ne 1$; sau paranteza se calculează ca $1+0,2=1,2$, iar suma devine $0,6+0,6=1,2$.)

Exercițiul 2. (5 p) — egalitatea a două valori de funcții.

Se calculează $f(2)$, iar $g(2)$ se lasă în funcție de $m$: $$f(2)=2^2-3\cdot 2+2=0,g(2)=2+m\text{(3 p)}.$$ Condiția $f(2)=g(2)$ devine $0=2+m$, deci $\mathbf{m}=-2$ (2 p).

(Control: pentru $m=-2$, $g(2)=2-2=0=f(2)$. Pas greșit: $-3x$ se calculează ca $-3$, și iese $4-3+2=3$, de unde $m=1$; dar pentru $m=1$, $g(2)=3$, iar $f(2)=0$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Numărul $49$ este $7^2$, deci $49^x={\left(7^2\right)}^x=7^{2x}$, iar ecuația este $7^{x+3}=7^{2x}$. Funcția $t\mapsto 7^t$ ia fiecare valoare o singură dată, deci exponenții sunt egali: $$x+3=2x\text{(3 p)}.$$ De aici $\mathbf{x}=3$ (2 p).

(Control: $7^{3+3}=7^6$ și $49^3={\left(7^2\right)}^3=7^6$. Pas greșit: exponentul $x$ se ridică la pătrat, ${\left(7^2\right)}^x=7^{x^2}$; ecuația $x+3=x^2$ nu este verificată de $x=3$, fiindcă $3+3=6$, iar $3^2=9$.)

Exercițiul 4. (5 p) — preț înainte de o ieftinire.

Fie $x$ prețul de dinainte. Ieftinirea este $30\%$ din $x$, iar prețul rămas este $210$: $$x-\frac{30}{100}x=210\text{(3 p)}.$$ Membrul stâng este $\frac{70}{100}x$, deci $x=210\cdot \frac{100}{70}$ și $\mathbf{x}=300$ de lei (2 p).

(Control: $30\%$ din $300$ este $90$, iar $300-90=210$. Pas greșit: $30\%$ se calculează din prețul de $210$ și se adaugă, $210+\frac{30}{100}\cdot 210=273$; dar ieftinirea s-a făcut din prețul inițial, nu din cel final.)

Exercițiul 5. (5 p) — triunghi dreptunghic prin lungimi.

Mijlocul lui $AB$ are coordonatele semisumelor: $M\left(\frac{0+2}{2},\frac{5+(-1)}{2}\right)=M(1,2)$. Cu $O(0,0)$ și $B(2,-1)$, lungimile laturilor $OM$ și $MB$ sunt $$OM=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5},MB=\sqrt{(2-1{)}^2+(-1-2{)}^2}=\sqrt{10}\text{(3 p)}.$$ Cea de-a treia latură este $OB=\sqrt{2^2+(-1{)}^2}=\sqrt{5}$. Atunci $$M{B}^2=10=5+5=O{B}^2+O{M}^2,$$ iar reciproca teoremei lui Pitagora arată că triunghiul $OMB$ este dreptunghic în $O$, unghiul drept fiind opus laturii celei mai lungi, $MB$ (2 p).

(Control: produsul scalar $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OB}=1\cdot 2+2\cdot (-1)=0$, deci $OM\perp OB$. Pas greșit: se verifică $O{M}^2+M{B}^2=O{B}^2$, adică $5+10=15\ne 5$; unghiul drept este opus celei mai lungi laturi, $MB$, nu laturii $OB$.)

Exercițiul 6. (5 p) — valori trigonometrice.

Se folosesc valorile unghiurilor cunoscute: $$\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2},\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(3 p)}.$$ Expresia devine $$\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+2\cdot \frac{1}{2}-\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}+1-\frac{\sqrt{6}}{2}=1\text{(2 p)}.$$

(Control: numeric, $\sqrt{3}\sin 45^{\circ }\approx 1,22$, $2\sin 30^{\circ }=1$ și $\sqrt{2}\cos 30^{\circ }\approx 1,22$, deci diferența celor doi termeni cu radicali este $0$. Pas greșit: $\sin 30^{\circ }$ se ia $\frac{\sqrt{3}}{2}$, valoarea lui $\cos 30^{\circ }$; atunci termenul $2\sin 30^{\circ }$ este $\sqrt{3}$, iar expresia iese $\sqrt{3}$, nu $1$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$ cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=2$ se obține $x+2=4$ și $x-1=1$: $$A(2)=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 2& 1\end{array}\right),\det (A(2))=4\cdot 1-(-2)\cdot 2\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(2))=4+4=8\text{(2 p)}.$$

(Pas greșit: semnul din fața produsului $(-2)\cdot 2=-4$ se uită și iese $4-4=0$, în loc de $4-(-4)=8$.)

b) (5 p) Pentru $x=0$, $A(0)=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 2& -1\end{array}\right)$, iar pătratul ei se calculează linie cu coloană: $$A(0)\cdot A(0)=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 2+(-2)\cdot 2& 2\cdot (-2)+(-2)(-1)\\ 2\cdot 2+(-1)\cdot 2& 2\cdot (-2)+(-1)(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& -3\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $A(0)\cdot A(0)=A(x)$ cere $x+2=0$ și $x-1=-3$; ambele dau $\mathbf{x}=-2$, iar elementele $-2$ și $2$ coincid deja (2 p).

(Control: $A(-2)=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& -3\end{array}\right)$. Pas greșit: matricea se ridică la pătrat element cu element, $\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 4& 1\end{array}\right)$; dar înmulțirea matricelor nu este înmulțire pe elemente.)

c) (5 p) Determinantul lui $A(x)$ este $$\det (A(x))=(x+2)(x-1)-(-2)\cdot 2=x^2+x-2+4=x^2+x+2\text{(2 p)}.$$ Egalitatea $\det (A(x))=\det (A(y))$ înseamnă $x^2+x=y^2+y$, adică $x^2-y^2+x-y=0$, deci $(x-y)(x+y+1)=0$. Cum $x\ne y$, factorul $x-y$ este nenul, iar celălalt factor trebuie să se anuleze: $x+y+1=0$, adică $\mathbf{x}+\mathbf{y}=-1$ (3 p).

(Control: pentru $x=1$ și $y=-2$ determinanții sunt $4$ și $4$, iar $1+(-2)=-1$. Pas greșit: $x^2-y^2+x-y$ se scrie $(x-y)(x+y)$, fără termenul $x-y$ de la sfârșit, și se ajunge la $x+y=0$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=1$ și $y=2$ în $x\ast y=4xy-3x+2y-1$: $$1\ast 2=4\cdot 1\cdot 2-3\cdot 1+2\cdot 2-1\text{(3 p)}.$$ $$=8-3+4-1=8\text{(2 p)}.$$

(Pas greșit: $x$ și $y$ se schimbă între ele, $4\cdot 1\cdot 2-3\cdot 2+2\cdot 1-1=3$; dar legea nu este comutativă: $2\ast 1=4\cdot 2-6+2-1=3\ne 1\ast 2$.)

b) (5 p) Pentru $y=-1$ legea dă o expresie în $x$: $$x\ast (-1)=4x\cdot (-1)-3x+2\cdot (-1)-1=-7x-3\text{(2 p)}.$$ Ecuația $-7x-3=4$ conduce la $-7x=7$, deci $\mathbf{x}=-1$ (3 p).

(Control: $(-1)\ast (-1)=4+3-2-1=4$. Pas greșit: coeficienții se combină ca $-4+3=-1$, și iese $-x-3$ în loc de $-7x-3$; ecuația $-x-3=4$ ar da $x=-7$, iar pentru $x=-7$ expresia corectă $-7x-3$ are valoarea $46$.)

c) (5 p) Egalitatea $x\ast a=-x$ înseamnă $4ax-3x+2a-1=-x$. Se aduc toți termenii în stânga și se grupează după $x$: $$4ax-2x+2a-1=0,\text{adica˘}2x(2a-1)+(2a-1)=0\text{(3 p)}.$$ Relația trebuie să fie adevărată pentru orice $x$, iar membrul stâng este $(2a-1)(2x+1)$. Factorul $2x+1$ nu este nul pentru orice $x$, deci $2a-1=0$ și $\mathbf{a}=\frac{1}{2}$ (2 p).

(Control: pentru $a=\frac{1}{2}$, $x\ast \frac{1}{2}=2x-3x+1-1=-x$. Observație: condiția „pentru orice $x$" cere două egalități, $4a-2=0$ (coeficientul lui $x$) și $2a-1=0$ (termenul liber); ambele dau $a=\frac{1}{2}$, deci condițiile sunt compatibile.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, comparare prin monotonie.

a) (5 p) Fiecare termen se derivează separat: ${\left(\frac{8}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{8}{x^2}$, iar termenul constant $-1$ dispare: $$f^{\prime }(x)=2-\frac{8}{x^2}\text{(3 p)}.$$ Aducând la numitorul $x^2$: $2-\frac{8}{x^2}=\frac{2x^2-8}{x^2}$, iar la numărător se scoate factorul $2$: $$f^{\prime }(x)=\frac{2\left(x^2-4\right)}{x^2},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Pas greșit: derivata lui $\frac{8}{x}$ se ia $+\frac{8}{x^2}$, fără semnul minus; atunci iese $f^{\prime }(x)=2+\frac{8}{x^2}>0$ pentru orice $x$, deși funcția are un punct critic.)

b) (5 p) Valorile în $x=2$ sunt $$f(2)=2\cdot 2-1+\frac{8}{2}=7,f^{\prime }(2)=\frac{2\left(4-4\right)}{4}=0\text{(2 p)}.$$ Tangenta este $y-f(2)=f^{\prime }(2)(x-2)$, adică $y-7=0$: $$\mathbf{y}=7\text{(3 p)}.$$

(Control: tangenta e orizontală, iar $f(2)=7$ este minimul funcției pe $(0,+\infty )$. Pas greșit: $\frac{8}{x}$ se calculează în $2$ ca $8$ și iese $3+8=11$; dar $\frac{8}{2}=4$.)

c) (5 p) Din a), $f^{\prime }(x)=0$ doar pentru $x=2$, iar pe $(0,2]$ avem $x^2-4\le 0$ și $x^2>0$, deci $f^{\prime }(x)\le 0$ și $f$ descrește pe $(0,2]$ (2 p). Pentru $x\in (0,1)$ au loc inegalitățile $0<1-x<1+x<2$, deci ambele puncte sunt în $(0,2]$ și, cum $f$ descrește acolo, valoarea din punctul mai mic este mai mare: $$\mathbf{f}(1-\mathbf{x})\ge \mathbf{f}(1+\mathbf{x})\text{(3 p)}.$$

(Control: pentru $x=\frac{1}{2}$, $f\left(\frac{1}{2}\right)=1-1+16=16$, iar $f\left(\frac{3}{2}\right)=3-1+\frac{16}{3}=\frac{22}{3}\approx 7,33$, deci $16\ge 7,33$. Pas greșit: se presupune că $f$ crește pe $(0,2]$, iar sensul inegalității ar ieși $f(1-x)\le f(1+x)$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale.

a) (5 p) Sub integrală, $f(x)-4x$ se reduce la $3x^2+2$, a cărei primitivă este $x^3+2x$. Integrala este diferența valorilor primitivei în $2$ și în $0$ (3 p): $$\left(2^3+2\cdot 2\right)-0=12\text{(2 p)}.$$

(Pas greșit: $4x$ nu se scade din integrand și se integrează $f(x)$ întreg; atunci iese $\left(x^3+2x^2+2x\right){|}_0^2=20$, nu $12$.)

b) (5 p) Din $f(x)-3x^2-2=4x$ rezultă integrandul $4x{e}^x$. Prin părți se obține primitiva $4(x-1)e^x$; o verificare directă: derivata ei este $4e^x+4(x-1)e^x=4x{e}^x$. Integrala este diferența valorilor primitivei în $1$ și în $0$ (3 p): $$0-4(0-1)\cdot 1=4\text{(2 p)}.$$

(Pas greșit: se ia $4e^x$ ca integrand, după ce $4x$ se confundă cu $4$; primitiva ar fi $4e^x$, iar integrala $4(e-1)\approx 6,87$, nu $4$.)

c) (5 p) Trinomul $f(x)=3x^2+4x+2$ are discriminantul $4^2-4\cdot 3\cdot 2=-8<0$ și coeficientul dominant pozitiv, deci $f(x)>0$ pentru orice $x$, iar puterea $(f(x){)}^a$ este definită. Derivata ei este $a\cdot f^{\prime }(x)\cdot (f(x){)}^{a-1}$, adică exact integrandul, deci $${\int }_{-1}^{0}a\cdot f^{\prime }(x)\cdot (f(x){)}^{a-1}dx=(f(x){)}^a{|}_{-1}^0=f(0{)}^a-f(-1{)}^a=2^a-1\text{(3 p)}.$$ Egalitatea cu $63$ dă $2^a=64=2^6$, deci $\mathbf{a}=6$, care aparține intervalului $(0,+\infty )$ (2 p).

(Control: $f(0)=2$, $f(-1)=3-4+2=1$. Documentul oficial nu justifică pozitivitatea lui $f$; la noi ea arată că puterea cu exponent real $a$ există. Pas greșit: se integrează ca $\frac{(f(x){)}^a}{a}$, cu o împărțire în plus la $a$; atunci rezultatul ar fi $\frac{2^a-1}{a}$ și ecuația $\frac{2^a-1}{a}=63$ nu ar avea soluția $a=6$, deoarece $\frac{63}{6}=10,5\ne 63$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta este simularea de matematică M_tehnologic pregătită pentru Bacalaureatul din 2023, cu cele zece cerințe rezolvate. În antet, locul numărului de variantă îl ține cuvântul „Simulare". Subiectele sunt gândite pentru elevii filierei tehnologice de la oricare profil: servicii; resurse naturale și protecția mediului; tehnic. Deasupra titlului probei, antetul scrie Ministerul Educației și Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Enunțurile sunt scrise exact ca în foaie. Rezolvările, controalele și comentariile sunt ale noastre; din documentul de evaluare am păstrat doar felul în care se împart punctele pe rânduri.

Punctajul se împarte astfel: 30 de puncte pentru primul subiect, 30 pentru al doilea, 30 pentru al treilea și 10 puncte din oficiu. Primul subiect are 6 cerințe independente; următoarele două au câte două probleme, fiecare cu trei subpuncte. Orice subpunct are două rânduri de punctaj, notate mai jos cu „(2 p)" și „(3 p)". Lucrarea durează trei ore, iar nota este totalul împărțit la zece.

Pe poziții: despre ce e vorba și unde se învață

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

Ce are simularea aceasta. Prima cerință amestecă zecimale cu o împărțire, iar ordinea operațiilor decide rezultatul: paranteza, apoi împărțirea și înmulțirea, apoi adunarea. La 7.c) nu se calculează nicio valoare: egalitatea a doi determinanți se descompune în produs de factori. La 8.c) condiția „pentru orice $x$" duce la două egalități între coeficienți, care dau aceeași valoare a lui $a$. La 9.c) valorile $f(1-x)$ și $f(1+x)$ se compară prin monotonia lui $f$ pe $(0,2]$. La 10.c) integrandul este derivata lui $(f(x){)}^a$, deci nu are nevoie de nicio primitivă calculată prin părți.

Repartizarea timpului. Dacă primul subiect se încheie în 50 de minute, rămân 130 de minute pentru cele 60 de puncte ale subiectelor al II-lea și al III-lea, adică mai mult de două minute pe punct. Un total de 66 de puncte din cerințe, împreună cu cele 10 din oficiu, dă 76 de puncte și nota 7,6.

Cum poți lucra cu pagina. Rezolvă cerințele pe hârtie, fără să te uiți la soluții, apoi verifică fiecare subpunct pe rândurile lui. Dacă te blochezi la cerința 5, reia distanța dintre două puncte și mijlocul unui segment; dacă te blochezi la 10.c), reia derivata unei puteri de funcție.

Formulele simulării

• Subiectul I. $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$; $a^u=a^v$ cu $a>0$, $a\ne 1$ înseamnă $u=v$; după o ieftinire cu $p\%$, prețul inițial $x$ devine $x-\frac{p}{100}x$; punctul de mijloc al unui segment se află la jumătatea sumei coordonatelor capetelor; un triunghi este dreptunghic dacă pătratul unei laturi este suma pătratelor celorlalte două.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ a produsului $A\cdot B$ este suma produselor dintre linia $i$ a lui $A$ și coloana $j$ a lui $B$; două polinoame în $x$ sunt egale pentru orice $x$ doar dacă au aceiași coeficienți.
• Subiectul al III-lea. ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$; tangenta în abscisa $x_0$ are ecuația $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; o funcție cu derivata $\le 0$ pe un interval descrește pe acel interval; $\int x{e}^{x}dx=(x-1)e^x$; $\left(\right(f(x){)}^a{)}^{\prime }=a\cdot f^{\prime }(x)\cdot (f(x){)}^{a-1}$ pentru $f>0$.

Semne și litere. Cuvântul „itemul" din titlurile de mai jos înseamnă aici cerința, cum o numește documentul oficial. Litera $f$ denumește trei funcții diferite: cea de gradul al doilea de la cerința 2, cea cu fracție de la 9 și trinomul de la 10. Litera $A$ este un punct la cerința 5 și o matrice la 7. Simbolul $\ast$ este legea de compoziție de la cerința 8, iar $M$ este mijlocul unui segment la 5.