Subiect Bac matematică tehnologic, rezervă august 2014 (varianta 3) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2014 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că ${\left(1+\sqrt{2}\right)}^2-2\sqrt{2}=3$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-1$ cu axa $Ox$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{x+1}=3^2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să fie divizor al lui $8$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$, $B(3,1)$ și $C(3,3)$. Arătați că triunghiul $ABC$ este isoscel.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Determinați lungimea laturii $AB$ a triunghiului $ABC$ dreptunghic în $A$, știind că $BC=10$ și $m(\sphericalangle C)=30^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 8& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 8& 3\end{array}\right)$, unde $a$ este număr întreg.

a) (5 puncte) Arătați că $\det B=-5$.

b) (5 puncte) Arătați că $\det A\ne 0$ pentru orice număr întreg $a$.

c) (5 puncte) Determinați numărul întreg $a$ știind că inversa matricei $A$ are toate elementele numere întregi.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy-5x-5y+30$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\ast 5=5$.

b) (5 puncte) Arătați că $x\ast y=(x-5)(y-5)+5$ pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x\ast x=x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=2x-1$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x^2}$.

c) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=1$, situat pe graficul funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+\frac{1}{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^e\frac{1}{x}dx=1$.

b) (5 puncte) Arătați că funcția $F:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $F(x)=x^2+\ln x+2$ este o primitivă a funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=2$ are aria mai mică strict decât $4$.

Barem și răspunsuri

Foaia se notează cu 100 p, adică 90 p la cerințe și 10 p din oficiu. Subiectele au câte 30 p; la Subiectul I, fiecare cerință are 5 p, iar la celelalte două, fiecare subpunct are tot 5 p. Documentul oficial are 38 de rânduri punctate. Cerințele 4 (2 p + 1 p + 2 p) și 7.c) (3 p + 1 p + 1 p) au trei rânduri, restul au două (2 p și 3 p, într-o ordine sau alta). Marcajele „(1 p)", „(2 p)" și „(3 p)" de mai jos reproduc documentul în ordinea lui; rezolvările aparțin paginii.

Exercițiul 1. (5 p) — pătratul unei sume cu radical.

Se aplică formula pătratului sumei, $(1+\sqrt{2}{)}^2=1^2+2\cdot 1\cdot \sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2$, cu ${\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$: $${\left(1+\sqrt{2}\right)}^2=1+2\sqrt{2}+2=3+2\sqrt{2}\text{(3 p)}.$$ Radicalii se reduc prin scădere: $$3+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: termenul $2\sqrt{2}$ scăzut este chiar dublul produsului $2\cdot 1\cdot \sqrt{2}$ din pătratul sumei, deci rămân numai $1^2$ și ${\left(\sqrt{2}\right)}^2$, adică $1+2$. Capcană: dacă dublul produsului se pierde, iar $(1+\sqrt{2}{)}^2$ se ia egal cu $1+2$, rezultatul ar fi $3-2\sqrt{2}$, diferit de $3$.)

Exercițiul 2. (5 p) — intersecția cu axa $Ox$.

Punctele axei $Ox$ au ordonata $0$, deci abscisa punctului căutat este soluția ecuației $f(x)=0$: $$x-1=0\text{(3 p)}.$$ Rezultă $x=1$, iar ordonata este $0$: $$(1,0)\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f(1)=1-1=0$. Capcană: abscisa $x=0$ dă intersecția cu axa $Oy$, adică punctul $(0,f(0))=(0,-1)$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Cele două puteri au baza $3>0$, $3\ne 1$, deci sunt egale doar dacă exponenții sunt egali: $$x+1=2\text{(3 p)}.$$ Se scade $1$ din ambii membri: $$\mathbf{x}=1\text{(2 p)}.$$

(Probă: $3^{1+1}=3^2$. Capcană: se pune $x=2$, ca și cum exponentul din stânga ar fi $x$, iar $3^{2+1}=3^3=27$, nu $9$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Divizorii lui $8$ sunt $1$, $2$, $4$ și $8$, toți formați dintr-o singură cifră: $$4\text{cazuri favorabile}\text{(2 p)}.$$ Numerele naturale de o cifră sunt $0,1,2,\dots ,9$: $$10\text{cazuri posibile}\text{(1 p)}.$$ Probabilitatea este raportul lor: $$p=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\text{(2 p)}.$$

(Contraproba: celelalte $6$ numere, $0$, $3$, $5$, $6$, $7$ și $9$, nu împart pe $8$, iar $4+6=10$; zero nu este divizor al lui $8$, fiindcă înmulțit cu orice număr dă $0$, niciodată $8$. Capcană: dacă $0$ se omite de la numărare, ar rămâne $9$ cazuri posibile și probabilitatea $\frac{4}{9}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — triunghi isoscel în coordonate.

Punctele $A(1,1)$ și $B(3,1)$ au aceeași ordonată, deci segmentul $AB$ stă pe o dreaptă orizontală, iar lungimea lui se citește scăzând abscisele: $$AB=3-1=2\text{(2 p)}.$$ Punctele $B(3,1)$ și $C(3,3)$ au aceeași abscisă, deci $BC$ este vertical, cu lungimea egală cu diferența ordonatelor: $$BC=3-1=2.$$ Două laturi egale, $AB=BC$, înseamnă că triunghiul $ABC$ este isoscel, cu vârful în $B$ (3 p).

(Probă: $AC=\sqrt{(3-1{)}^2+(3-1{)}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, iar $A{B}^2+B{C}^2=4+4=8=A{C}^2$; triunghiul este chiar dreptunghic în $B$. Capcană: $AC=2\sqrt{2}$ nu este egală cu $AB=2$, deci triunghiul nu este echilateral; isoscel cere doar două laturi egale.)

Exercițiul 6. (5 p) — o catetă prin sinus.

În triunghiul dreptunghic în $A$, ipotenuza este $BC=10$, iar latura $AB$ se află în fața unghiului $C$. Sinusul unghiului $C$ este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză: $$\sin 30^{\circ }=\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{10}\text{(2 p)}.$$ Cum $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, rămâne $\frac{AB}{10}=\frac{1}{2}$, deci $$AB=10\cdot \frac{1}{2}=5\text{(3 p)}.$$

(Probă: într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de $30^{\circ }$, cateta opusă este jumătate din ipotenuză, adică $5$ din $10$. Capcană: cu cosinusul, $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, s-ar obține cealaltă catetă, $AC=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — două matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Determinantul se scrie după formula diagonalelor: $$\det B=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 8& 3\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ $$\det B=1\cdot 3-1\cdot 8=3-8=-5\text{(3 p)}.$$

(Probă: $A$ și $B$ diferă doar în colțul din stânga sus, unde $B$ are $a=1$; din $\det A=3a-8$, la $a=1$ se obține chiar $-5$. Capcană: diagonalele luate în ordine inversă dau $1\cdot 8-1\cdot 3=5$, opusul rezultatului.)

b) (5 p) Pentru matricea $A$, diagonala principală are elementele $a$ și $3$, iar cea secundară $1$ și $8$: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}a& 1\\ 8& 3\end{array}\right|=a\cdot 3-1\cdot 8=3a-8\text{(3 p)}.$$ Ecuația $3a-8=0$ are singura soluție $a=\frac{8}{3}$, număr care nu este întreg. Prin urmare, pentru orice întreg $a$: $$\det \mathbf{A}\ne 0\text{(2 p)}.$$

(Altă justificare: $3a-8=3(a-3)+1$ are restul $1$ la împărțirea cu $3$, deci nu poate fi $0$. Capcană: dacă rădăcina $\frac{8}{3}$ se rotunjește la întregul cel mai apropiat, $3$, s-ar crede că determinantul se anulează pentru $a=3$; dar $3\cdot 3-8=1\ne 0$.)

c) (5 p) Din $\det A=3a-8\ne 0$, inversa se scrie după formula pentru matrice $2\times 2$: elementele de pe diagonala principală se schimbă între ele, cele de pe diagonala secundară își schimbă semnul, iar totul se împarte la determinant: $$A^{-1}=\frac{1}{3a-8}\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -8& a\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Elementul din dreapta sus, $\frac{-1}{3a-8}$, trebuie să fie întreg, deci $3a-8$ divide pe $1$, adică $3a-8=-1$ sau $3a-8=1$. Pentru $3a-8=-1$, rezultă $a=\frac{7}{3}$, număr neîntreg: $$a=\frac{7}{3}\text{nu convine}\text{(1 p)}.$$ Pentru $3a-8=1$, rezultă $a=3$, iar inversa $\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -8& 3\end{array}\right)$ are toate elementele întregi: $$\mathbf{a}=3\text{(1 p)}.$$

(Probă: pentru $a=3$, $A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 8& 3\end{array}\right)$, iar produsul $A\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 8& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -8& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$. Capcană: dacă diagonala secundară își păstrează semnele, matricea $\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 8& 3\end{array}\right)$ ridicată la pătrat dă $\left(\begin{array}{cc}17& 6\\ 48& 17\end{array}\right)$, care nu este matricea unitate.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se pun $x=1$ și $y=5$ în definiție: $$1\ast 5=1\cdot 5-5\cdot 1-5\cdot 5+30\text{(3 p)}.$$ Primii doi termeni se reduc, $5-5=0$: $$1\ast 5=-25+30=5\text{(2 p)}.$$

(Probă cu forma de la b): $(1-5)(5-5)+5=(-4)\cdot 0+5=5$. Capcană: dacă în termenul $-5x$ se pune $5$ în loc de $1$, se scrie $-5\cdot 5$ în loc de $-5\cdot 1$, iar suma $5-25-25+30=-15$ nu este $5$.)

b) (5 p) Termenul $30$ se desparte în $25+5$, ca să apară $(-5)(-5)=25$ din produsul $(x-5)(y-5)$: $$x\ast y=xy-5x-5y+25+5\text{(2 p)}.$$ Se grupează $xy-5y$ și $-5x+25$, apoi se scoate factorul $y-5$: $$x(y-5)-5(y-5)+5=(\mathbf{x}-5)(\mathbf{y}-5)+5\text{(3 p)},$$ pentru orice numere reale $x$ și $y$.

(Probă: $(x-5)(y-5)=xy-5x-5y+25$, deci după adăugarea lui $5$ revine $30$. Capcană: dacă se adaugă tot $30$, uitând că produsul $(x-5)(y-5)$ aduce deja $+25$, expresia $(x-5)(y-5)+30$ are termenul liber $25+30=55$, nu $30$.)

c) (5 p) Cu forma de la b), $x\ast x=(x-5{)}^2+5$, iar ecuația devine $(x-5{)}^2+5=x$. Se desfac parantezele: $x^2-10x+25+5-x=0$, adică $$x^2-11x+30=0\text{(3 p)}.$$ Discriminantul este $121-120=1$, deci rădăcinile sunt $\frac{11\pm 1}{2}$: $${\mathbf{x}}_1=5\text{și}{\mathbf{x}}_2=6\text{(2 p)}.$$

(Probă: $5\ast 5=(5-5{)}^2+5=5$ și $6\ast 6=(6-5{)}^2+5=6$. Capcană: dacă se uită termenul $+5$ din $(x-5{)}^2+5$, ecuația ar deveni $x^2-11x+25=0$, cu discriminantul $21$, adică alte rădăcini.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, tangentă.

a) (5 p) Se derivează funcția dată, în fiecare punct al axei reale: $$f^{\prime }(x)={\left(x^2-x\right)}^{\prime }\text{(2 p)}.$$ Derivata unei diferențe este diferența derivatelor, cu ${\left(x^2\right)}^{\prime }=2x$ și $(x{)}^{\prime }=1$: $$f^{\prime }(x)={\left(x^2\right)}^{\prime }-(x{)}^{\prime }=2x-1,x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Probă: $f^{\prime }(1)=2-1=1$. Capcană: derivata lui $x$ se ia $x$, iar rezultatul $2x-x=x$ dă în punctul $2$ valoarea $2$, pe când $f^{\prime }(2)=2\cdot 2-1=3$.)

b) (5 p) Raportul se scrie cu expresia lui $f$ la numărător: $$\frac{f(x)}{x^2}=\frac{x^2-x}{x^2}\text{(2 p)}.$$ Se împarte fiecare termen la $x^2$, apoi $\frac{1}{x}$ tinde la $0$ când $x\to +\infty$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{x}\right)=1\text{(3 p)}.$$

(Probă: pentru $x=100$, raportul este $\frac{9900}{10000}=0,99$, aproape de $1$. Capcană: se împarte doar al doilea termen, $x^2-\frac{x}{x^2}$, expresie care crește nemărginit.)

c) (5 p) Ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0=1$ este $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$: $$y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)\text{(2 p)}.$$ Se calculează $f(1)=1-1=0$ și $f^{\prime }(1)=2\cdot 1-1=1$, deci $y-0=1\cdot (x-1)$: $$\mathbf{y}=\mathbf{x}-1\text{(3 p)}.$$

(Probă: punctul $(1,0)$ stă pe dreaptă, fiindcă $1-1=0$, iar panta ei este $1$, ca derivata. Capcană: dacă $f(1)$ și $f^{\prime }(1)$ își schimbă locurile, $y-1=0\cdot (x-1)$, se obține dreapta orizontală $y=1$, care nu trece prin $(1,0)$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrală, primitivă, arie.

a) (5 p) O primitivă a lui $\frac{1}{x}$ este $\ln x$: $${\int }_1^e\frac{1}{x}dx=\ln x{|}_1^e\text{(3 p)}.$$ Cu $\ln e=1$ și $\ln 1=0$: $$=\ln e-\ln 1=1\text{(2 p)}.$$

(Probă: $\ln e=1$ înseamnă $e^1=e$. Capcană: $\ln 1$ se confundă cu $1$, iar integrala ar fi $1-1=0$.)

b) (5 p) Se derivează $F$ termen cu termen; constanta $2$ are derivata $0$: $$F^{\prime }(x)={\left(x^2+\ln x+2\right)}^{\prime }=2x+\frac{1}{x}\text{(3 p)}.$$ Rezultatul este expresia lui $f$, pentru fiecare $x\in (0,+\infty )$, deci $F^{\prime }=f$ și $$\mathbf{F}\text{este o primitiva˘ a lui}\mathbf{f}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $F^{\prime }(1)=3=f(1)$. Capcană: constanta $2$ se derivează în $2$, iar $F^{\prime }(x)$ ar avea un termen în plus, $2x+\frac{1}{x}+2\ne f(x)$.)

c) (5 p) Pe $[1,2]$ funcția $f$ este pozitivă, fiindcă $2x>0$ și $\frac{1}{x}>0$, deci aria este integrala ei. O primitivă este $x^2+\ln x$, adică $F$ fără constanta $2$: $$\mathcal{S}={\int }_1^2\left(2x+\frac{1}{x}\right)dx=\left(x^2+\ln x\right){|}_1^2=(4+\ln 2)-(1+0)=3+\ln 2\text{(3 p)}.$$ Din $2<e$ și creșterea logaritmului, $\ln 2<\ln e=1$, deci $$\mathcal{S}=3+\ln 2<3+1=4\text{(2 p)}.$$

(Probă: $3+\ln 2\approx 3,69$, sub $4$. Capcană: dacă se uită scăderea valorii de la limita de jos, rezultatul ar fi $4+\ln 2$, număr mai mare decât $4$, iar inegalitatea cerută ar părea falsă.)

Pentru părinți și profesori

Pe această pagină se găsește varianta de rezervă a sesiunii din august 2014 la matematică tehnologic, înscrisă pe foaie drept Varianta 3: Proba E. c), Matematică M_tehnologic, pe care elevii o numesc „M3". Antetul ei dă Ministerul Educației Naționale și Centrul Național de Evaluare și Examinare; subiectele privesc filiera tehnologică, adică toate calificările profesionale ale profilurilor servicii, resurse și tehnic. Enunțurile sunt copiate fără schimbări. Rezolvările, probele și ghidajul sunt ale noastre; din documentul oficial de evaluare păstrăm împărțirea punctelor pe rânduri.

Schema lucrării.

Munca efectivă durează 3 ore. Fiecare subiect valorează 30 de puncte din cele 90, adică o treime din lucrare; o treime din 180 de minute înseamnă 60 de minute pe subiect.

După programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, anexa 2), cerințele se așază pe clase astfel:

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Radicalii (cerința 1). Programa de examen îi trece la clasa a X-a. Programa școlară nouă, aplicată din 2026–2027 de la clasa a IX-a, păstrează funcția radical, dar nu insistă pe calculul numeric cu ei; materia stă pe site în „Supliment Bac M3 2027–2029: puteri, radicali, logaritmi".
• Ecuația exponențială (cerința 3). Cerința folosește egalarea exponenților, metodă a clasei a X-a în programa de examen; programa școlară nouă o înlocuiește cu grafice și instrumente digitale, iar pe site metoda se găsește în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".

Particularități ale acestei variante. Spre deosebire de schema cu 36 de rânduri, documentul oficial are aici 38 de rânduri punctate: cerința 4 are trei rânduri (2 p, 1 p, 2 p), la fel subpunctul 7.c) (3 p, 1 p, 1 p); toate celelalte au două. La cerința 4, mulțimea numerelor naturale de o cifră are zece elemente, deoarece $0$ este număr natural, dar nu este divizor al lui $8$. La 7.c), inversa unei matrice $2\times 2$ are în fața ei factorul $\frac{1}{\det A}$, iar condiția ca toate elementele să fie întregi cere ca $\det A$ să fie $-1$ sau $1$; de aceea 7.c) are două rânduri de câte 1 p, câte unul pe fiecare valoare. Subpunctul 8.b) se rezolvă prin completarea unui produs. La 10.c) nu se cere valoarea ariei, ci o comparație cu $4$, obținută din $2<e$.

Cum folosești pagina. Încearcă fiecare cerință pe ciornă înainte să citești rezolvarea. Apoi urmărește rândurile punctate: primul dă pregătirea calculului, al doilea concluzia. Acolo unde ai ajuns la alt rezultat, caută primul rând în care calculele tale se despart de ale paginii.

Formule la îndemână.

• Subiectul I. $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$; ${\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$; $f(x)=0$ dă abscisa intersecției cu $Ox$; $a^u=a^v$ cu $a>0$, $a\ne 1$ înseamnă $u=v$; probabilitatea este raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile; $\sin$ unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este cateta opusă supra ipotenuză.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$ și ${\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{ps-qr}\left(\begin{array}{cc}s& -q\\ -r& p\end{array}\right)$; $(x-m)(y-m)=xy-mx-my+m^2$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$, $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; tangenta în $x_0$ este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; $\int \frac{1}{x}dx=\ln x$; $\ln$ este crescătoare.

Despre litere. În cerințele 2, 9 și 10, litera $f$ stă pentru funcții diferite, pe rând $x-1$, $x^2-x$ și $2x+\frac{1}{x}$. Literele $A$, $B$ și $C$ sunt puncte la cerința 5, vârfuri ale unui triunghi dreptunghic la cerința 6 (unde $C$ numește și unghiul de $30^{\circ }$) și, doar $A$ și $B$, matrice la cerința 7. Litera $a$ este un parametru întreg la cerința 7. Simbolul $\ast$ numește legea de compoziție de la cerința 8. Litera $F$ este primitiva de la 10.b).

În titlurile de mai jos se păstrează cuvântul „itemul", ca în documentul oficial; în text, spunem „cerința".