Subiect Bac matematică tehnologic, august 2015 (varianta 1) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2015 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\frac{1}{2}:0,5-1=0$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculați $f(-1)+f(0)+f(1)$, unde $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+x$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{3x+1}=5$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Un obiect costă $150$ lei. Calculați prețul obiectului după o scumpire cu $30\%$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,5)$ și $B(3,5)$. Determinați distanța de la punctul $A$ la punctul $B$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați lungimea laturii $AB$ a triunghiului $ABC$ dreptunghic în $A$, știind că $AC=5$ și $m(\sphericalangle B)=45^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $M=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ -1& -1\end{array}\right)$ și $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $\det M=4$.

b) (5 puncte) Arătați că $M\cdot M+3M+4I_2=O_2$, unde $O_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ și $b$ astfel încât $M\cdot M\cdot M=aM+b{I}_2$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-5X^2+5X-1$.

a) (5 puncte) Arătați că $f(1)=0$.

b) (5 puncte) Arătați că $f(a)+f(-a)+2\le 0$, pentru orice număr real $a$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $x_1^2+x_2^2+x_3^2=15x_1{x}_2{x}_3$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-6x+1$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=6(x-1)(x+1)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f(2012)+f(2014)\le f(2013)+f(2015)$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(f(x)+4\right)dx=\frac{1}{3}$.

b) (5 puncte) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{1}{f(x)+5}$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=1$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, $a>1$, pentru care ${\int }_1^a\frac{f(x)+4}{x}dx=12$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct are 5 p, pe două rânduri. Rândurile punctate copiază împărțirea din baremul sesiunii august 2015 (Varianta 1); textul rezolvărilor, probele și explicațiile sunt ale noastre.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu fracții și zecimale.

Zecimala se transformă în fracție: $0,5$ înseamnă cinci zecimi, $$0,5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ Atunci împărțirea devine o împărțire de fracții egale, iar câtul a două numere egale este $1$: $$\frac{1}{2}:\frac{1}{2}-1=1-1=0\text{(3 p)}.$$

(Probă: a împărți la $0,5$ înseamnă a înmulți cu $2$, iar $\frac{1}{2}\cdot 2=1$. Capcană: se scade întâi, $0,5-1=-0,5$, și iese $\frac{1}{2}:(-0,5)=-1$; împărțirea are prioritate față de scădere. Altă greșeală: $0,5$ se citește ca $\frac{1}{5}$ și rezultatul devine $\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — suma valorilor unei funcții.

Se înlocuiește pe rând argumentul în $f(x)=x^2+x$: $$f(-1)=(-1{)}^2+(-1)=1-1=0,f(0)=0,f(1)=1+1=2\text{(3 p)}.$$ Suma este $$f(-1)+f(0)+f(1)=0+0+2=2\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f(x)=x(x+1)$ se anulează în $0$ și în $-1$, deci rămâne doar $f(1)=1\cdot 2=2$. Capcană: se scrie $(-1{)}^2=-1$ și iese $f(-1)=-2$, apoi suma $0$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Radicalul se elimină ridicând la pătrat ambii membri; pătratul unui radical din $3x+1$ este chiar $3x+1$, iar $5^2=25$: $$3x+1=25\text{(3 p)}.$$ De aici $3x=24$ și $\mathbf{x}=8$. Ridicarea la pătrat poate aduce soluții străine, așa că verificăm: $\sqrt{3\cdot 8+1}=\sqrt{25}=5$, deci $x=8$ convine (2 p).

(Condiția de existență $3x+1\ge 0$ dă $x\ge -\frac{1}{3}$, iar $8$ o respectă. Capcană: se ridică la pătrat doar membrul stâng, $3x+1=5$, și iese $x=\frac{4}{3}$, care nu verifică: $\sqrt{3\cdot \frac{4}{3}+1}=\sqrt{5}\ne 5$. Altă greșeală: $5^2$ se scrie $10$, iar $3x+1=10$ dă $x=3$, cu $\sqrt{10}\ne 5$.)

Exercițiul 4. (5 p) — scumpire procentuală.

Scumpirea este $30\%$ din prețul de $150$ de lei: $$30\%\cdot 150=\frac{30}{100}\cdot 150=45\text{lei}\text{(3 p)}.$$ Prețul după scumpire este prețul vechi plus scumpirea: $$150+45=195\text{de lei}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $195:150=1,3$, adică $130\%$ din prețul inițial. Capcană: scumpirea se scade în loc să se adune, $150-45=105$, adică o ieftinire cu $30\%$; sau $30\%$ se citește ca $30$ de lei și iese $180$; sau răspunsul rămâne $45$, adică doar scumpirea, nu prețul nou.)

Exercițiul 5. (5 p) — distanța dintre două puncte.

Se aplică formula distanței dintre $A(1,5)$ și $B(3,5)$: $$AB=\sqrt{(3-1{)}^2+(5-5{)}^2}\text{(3 p)}.$$ $$AB=\sqrt{4+0}=2\text{(2 p)}.$$

(Cele două puncte au aceeași ordonată, $5$, deci segmentul $AB$ este orizontal, iar lungimea lui este diferența abscișelor, $3-1=2$. Capcană: se uită radicalul și iese $4$; sau se amestecă coordonatele, $\sqrt{(3-5{)}^2+(5-1{)}^2}=\sqrt{20}$; sau se adună în loc să se scadă, $\sqrt{(3+1{)}^2+(5+5{)}^2}=\sqrt{116}$.)

Exercițiul 6. (5 p) — triunghi dreptunghic isoscel.

Triunghiul are unghiul $A$ de $90^{\circ }$ și unghiul $B$ de $45^{\circ }$, deci $C=180^{\circ }-90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$. Două unghiuri egale înseamnă că triunghiul $ABC$ este isoscel, cu laturile opuse lor egale (3 p): $$AB=AC=5\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: $\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}$ și $\mathrm{tg}45^{\circ }=1$, deci $AB=AC=5$. Capcană: se confundă $AB$ cu ipotenuza; ipotenuza este $BC=5\sqrt{2}\approx 7,07$, mai lungă decât orice catetă.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Se aplică formula determinantului $2\times 2$: $$\det M=\left|\begin{array}{cc}-2& 2\\ -1& -1\end{array}\right|=(-2)\cdot (-1)-2\cdot (-1)\text{(3 p)}.$$ $$\det M=2-(-2)=4\text{(2 p)}.$$

(Capcană: scăderea unui produs negativ se transformă în adunare; dacă se scrie $2+(-2)$, iese $0$. Altă greșeală: se înmulțesc toate cele patru elemente, $(-2)\cdot 2\cdot (-1)\cdot (-1)=-4$.)

b) (5 p) Se calculează pe rând termenii: $$M\cdot M=\left(\begin{array}{cc}2& -6\\ 3& -1\end{array}\right),3M=\left(\begin{array}{cc}-6& 6\\ -3& -3\end{array}\right),4I_2=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 4\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Suma lor, element cu element: $$M\cdot M+3M+4I_2=\left(\begin{array}{cc}2-6+4& -6+6+0\\ 3-3+0& -1-3+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=O_2\text{(2 p)}.$$

(De ce iese: pentru o matrice $2\times 2$ cu urma $-3$ și determinantul $4$, ecuația $M^2-(\text{urma})M+(\det M)I_2=O_2$ este $M^2+3M+4I_2=O_2$. Capcană: $M\cdot M$ se calculează ridicând fiecare element la pătrat și iese $\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 1& 1\end{array}\right)$; înmulțirea matricelor se face rând cu coloană.)

c) (5 p) Se calculează $M\cdot M\cdot M=(M\cdot M)\cdot M$ și membrul drept: $$M\cdot M\cdot M=\left(\begin{array}{cc}2& 10\\ -5& 7\end{array}\right),aM+b{I}_2=\left(\begin{array}{cc}-2a+b& 2a\\ -a& -a+b\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Egalitatea elementelor de pe aceleași poziții dă $2a=10$ și $-a=-5$, deci $a=5$, apoi $-2a+b=2$, deci $b=12$: $$\mathbf{a}=5,\mathbf{b}=12\text{(2 p)}.$$

(Un drum scurt, cu rezultatul de la b): din $M^2=-3M-4I_2$ rezultă $M^3=M\cdot M^2=-3M^2-4M=-3(-3M-4I_2)-4M=5M+12I_2$. Probă pe ultimul element: $-a+b=-5+12=7$. Capcană: $M^3$ se calculează ridicând elementele la puterea a treia, $\left(\begin{array}{cc}-8& 8\\ -1& -1\end{array}\right)$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea.

a) (5 p) Se înlocuiește $X$ cu $1$: $$f(1)=1^3-5\cdot 1^2+5\cdot 1-1\text{(3 p)}.$$ $$f(1)=1-5+5-1=0\text{(2 p)}.$$

(Rezultatul spune că $1$ este rădăcină, deci $f=(X-1)\left(X^2-4X+1\right)$. Capcană: $X^2$ în punctul $1$ se calculează ca $2$, și iese $1-10+5-1=-5$.)

b) (5 p) Se scriu cele două valori; la $-a$, puterile impare își schimbă semnul, cele pare nu: $$f(a)=a^3-5a^2+5a-1,f(-a)=-a^3-5a^2-5a-1\text{(2 p)}.$$ Termenii impari ($a^3$ și $a$) se reduc, cei pari se dublează: $$f(a)+f(-a)+2=-10a^2-2+2=-10a^2\le 0,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.$$

(Capcană: se scrie $f(-a)=-f(a)$, ca și cum $f$ ar fi impară, iar suma $f(a)+f(-a)+2$ ar ieși $2>0$; termenii $-5X^2$ și $-1$ nu își schimbă semnul. Altă greșeală: se păstrează $-10a$ în loc de $-10a^2$, care nu e negativ pentru $a<0$.)

c) (5 p) Pentru $f=X^3-5X^2+5X-1$ relațiile lui Viète dau $$x_1+x_2+x_3=5,x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=5,x_1{x}_2{x}_3=1\text{(3 p)}.$$ Suma pătratelor se obține din identitatea $x_1^2+x_2^2+x_3^2={\left(x_1+x_2+x_3\right)}^2-2\left(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3\right)$: $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=5^2-2\cdot 5=15=15\cdot 1=15x_1{x}_2{x}_3\text{(2 p)}.$$

(Probă cu rădăcinile exacte: $1$, $2+\sqrt{3}$ și $2-\sqrt{3}$ dau $1+(7+4\sqrt{3})+(7-4\sqrt{3})=15$. Capcană: produsul rădăcinilor se ia cu semnul greșit, $x_1{x}_2{x}_3=-1$, și egalitatea ar cere $15=-15$; sau se uită termenul $-2s_2$ și suma pătratelor devine $25$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, compararea valorilor.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen; $(-6x{)}^{\prime }=-6$, iar constanta $1$ are derivata $0$: $$f^{\prime }(x)=6x^2-6\text{(3 p)}.$$ Se scoate factor comun $6$, apoi se folosește diferența de pătrate: $$f^{\prime }(x)=6\left(x^2-1\right)=6(x-1)(x+1),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: $(-6x{)}^{\prime }$ se scrie $-6x$ și iese $6x^2-6x$; sau se păstrează $+1$ la derivată.)

b) (5 p) Punctul de pe grafic are abscisa $1$; ordonata lui și panta tangentei sunt $$f(1)=2-6+1=-3,f^{\prime }(1)=6\cdot 0\cdot 2=0\text{(2 p)}.$$ Tangenta are ecuația $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$, adică $y+3=0$: $$\mathbf{y}=-3\text{(3 p)}.$$

(Tangenta este orizontală: în $x=1$ graficul are un minim local. Capcană: $f(1)$ se scrie $2-6-1=-5$, iar tangenta ar fi $y=-5$.)

c) (5 p) Pe $[1,+\infty )$ factorii $x-1$ și $x+1$ sunt amândoi pozitivi sau nuli, deci $f^{\prime }(x)\ge 0$, iar $f$ este crescătoare pe $[1,+\infty )$ (3 p). Numerele $2012,2013,2014,2015$ stau în acest interval, așa că $$f(2012)\le f(2013)\text{și}f(2014)\le f(2015).$$ Adunând cele două inegalități se obține $f(2012)+f(2014)\le f(2013)+f(2015)$ (2 p).

(Verificare pe numere mici: $f(2)=5$, $f(3)=37$, $f(4)=105$, $f(5)=221$, iar $f(2)+f(4)=110\le 258=f(3)+f(5)$. Capcană: se scrie $f^{\prime }(x)\ge 0$ pentru orice $x$ real și se declară $f$ crescătoare pe $\mathbb{R}$, dar $f^{\prime }(0)=-6<0$; intervalul de monotonie trebuie precizat.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale, arie, ecuație cu limita necunoscută.

a) (5 p) Termenii $-4$ și $+4$ se reduc: $f(x)+4=x^2$. Atunci $${\int }_0^1\left(f(x)+4\right)dx={\int }_0^1{x}^{2}dx\text{(2 p)}.$$ $$=\frac{x^3}{3}{|}_0^1=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}\text{(3 p)}.$$

(Capcană: primitiva lui $x^2$ se scrie $x^3$, fără împărțirea la $3$, și iese $1$; sau se uită ce se reduce și se integrează $x^2-4$, rezultatul fiind $\frac{1}{3}-4=-\frac{11}{3}$.)

b) (5 p) Se calculează $f(x)+5=x^2-4+5=x^2+1$, deci $g(x)=\frac{1}{x^2+1}>0$ și aria este $$\mathcal{S}={\int }_0^{1}g(x)dx={\int }_0^1\frac{1}{x^2+1}dx=\mathrm{arctg}x{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Cum $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$ și $\mathrm{tg}0=0$: $$\mathcal{S}=\mathrm{arctg}1-\mathrm{arctg}0=\frac{\pi }{4}\text{(2 p)}.$$

(Baremul notează aria cu $\mathcal{A}$ și scrie $\int |g|$; la noi aria este $\mathcal{S}$, iar $|g|=g$ fiindcă $g>0$. Capcană: se confundă cu $\ln \left(x^2+1\right)$, a cărui derivată este $\frac{2x}{x^2+1}$, și iese $\ln 2\approx 0,6931$; sau se scrie $\mathrm{arctg}1=1$ în loc de $\frac{\pi }{4}\approx 0,7854$.)

c) (5 p) Ca la a), $f(x)+4=x^2$, deci integrandul este $\frac{x^2}{x}=x$ (cu $x\ge 1>0$): $${\int }_1^a\frac{f(x)+4}{x}dx={\int }_1^{a}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_1^a=\frac{a^2}{2}-\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$ Ecuația $\frac{a^2}{2}-\frac{1}{2}=12$ dă $a^2-1=24$, adică $a^2=25$; cum $a>1$, rămâne $$\mathbf{a}=5\text{(2 p)}.$$

(Probă: $\frac{25}{2}-\frac{1}{2}=12$. Capcană: primitiva lui $x$ se scrie $x^2$, iar ecuația $a^2-1=12$ dă $a=\sqrt{13}$; sau se lasă și soluția $a=-5$, care încalcă $a>1$.)

Pentru părinți și profesori

Sub titlul de mai sus găsești lucrarea de matematică a Bacalaureatului tehnologic din august 2015, Varianta 1: în actele oficiale, Matematică M_tehnologic („M3" în vorbirea din școli). Au susținut-o elevii filierei tehnologice (toate calificările profesionale ale profilurilor servicii, resurse și tehnic); pe antet apar Ministerul Educației și Cercetării Științifice și Centrul Național de Evaluare și Examinare. Cerințele sunt transcrise exact. Rezolvările, probele și ghidajul sunt ale noastre; punctajul pe pași vine din baremul oficial.

Al treilea an al probei. Matematica M_tehnologic are subiect propriu de la examenul din 2013, așa că lucrarea din august 2015 aparține celui de-al treilea an al ei.

De ce mai contează o lucrare de acum zece ani. Programa de examen la care se raportează (OMEN 4430/2014, anexa 2) e și azi în vigoare. Formatul e și el același: șase cerințe scurte, apoi patru probleme cu câte trei subpuncte.

Harta cerințelor, cu clasa la care le cere programa de examen:

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Operațiile cu numere reale scrise ca fracții și zecimale figurează în programa de examen la clasa a IX-a, dar nu au o unitate proprie în programa școlară nouă (aplicată din 2026–2027, întâi la clasa a IX-a). Cine susține Bacalaureatul între 2027 și 2029 a parcurs sau parcurge clasele a IX-a și a X-a pe programa veche; pentru ei, pe site, materia stă în „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. Ecuațiile cu radicali se cer la clasa a X-a și nu sunt dezvoltate în programa nouă (acolo ecuațiile se rezolvă pe grafic sau cu mijloace digitale): vezi „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Calculul procentual se cere la clasa a X-a (matematici financiare); în programa nouă procentul apare doar ca exemplu în alte teme. Materia stă în „Supliment Bac M3 2027–2029: matematici financiare".
• Nota 4. Pentru cerința 5, programa de examen pune distanța dintre două puncte la clasa a X-a, pe când programa nouă o predă în clasa a IX-a; pentru cerința 6, ordinea e inversă: triunghiul dreptunghic e materie de examen la clasa a IX-a și materie școlară nouă la clasa a X-a. Cele două programe așază aici aceeași temă în clase diferite.
• Nota 5. Primitiva funcției $\frac{1}{x^2+1}$ intră în calculul integralelor de forma $\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx$ cu $Q$ de gradul cel mult $2$ (clasa a XII-a). Valorile $\mathrm{arctg}0$ și $\mathrm{arctg}1$ țin de funcțiile trigonometrice inverse, care la examen sunt trecute la clasa a X-a și nu apar în programa nouă: „Supliment Bac M3 2027–2029: funcții — injectivitate, inversă, trigonometrice inverse".

Ce a avut special august 2015. Subiectul I seamănă mai mult cu o fișă de calcule: fracție și zecimală, o ecuație cu radical, un procent, o distanță. Singurul loc unde se poate greși „frumos" e verificarea soluției ecuației iraționale. În Subiectul al II-lea, matricea $M$ are determinantul $4$ și urma $-3$, ceea ce face ca $M^2+3M+4I_2=O_2$; relația de la subpunctul b) rezolvă apoi subpunctul c). La polinom, $f(1)=0$, iar la Viète suma pătratelor rădăcinilor iese din suma și suma produselor lor luate câte două. În Subiectul al III-lea, aceeași funcție $x^2-4$ ține toate trei subpunctele ultimei probleme; derivata de la prima problemă își găsește rădăcinile în $-1$ și $1$.

Cum o lucrezi ca pe o probă completă:

• Timp: 3 ore, fără calculator. Împarte timpul după puncte: din 180 de minute păstrează 20 pentru recitire și lucrează în ritm de circa 1,8 minute pe punct.
• Redactare: fiecare subpunct se scrie complet; baremul le împarte câte 5 puncte, în două rânduri (2 + 3 sau 3 + 2).
• Regulile de notare de pe barem, pe scurt: o soluție corectă diferită de cea din barem primește punctajul corespunzător; nu există fracțiuni de punct; nota este punctajul total împărțit la 10, iar cele 10 puncte din oficiu se adaugă tuturor. Nota 5 cere deci 50 de puncte, adică 40 din 90.
• Greșeli de redactare de evitat: ecuația cu radical rezolvată fără verificare; la cerința 4 răspunsul scris ca „45" în loc de prețul final; la cerința 8.b) inegalitatea justificată doar pentru câteva valori ale lui $a$; la cerința 10.c) soluția $a=-5$ lăsată, deși enunțul cere $a>1$.
• După corectare: fiecare cerință ratată trimite la un rând din harta de mai sus.

Formulele de folosit în varianta 1:

• Subiectul I. Împărțirea la o fracție este înmulțirea cu inversa ei; $\sqrt{u}=c⟹u=c^2$, cu verificare; $p\%$ din $S$ este $\frac{p}{100}\cdot S$; distanța $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$; în triunghiul dreptunghic, un unghi ascuțit de $45^{\circ }$ înseamnă că și celălalt are $45^{\circ }$.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; înmulțirea matricelor „rând cu coloană"; pentru $f=X^3+b{X}^2+cX+d$, relațiile lui Viète sunt $s_1=-b$, $s_2=c$, $s_3=-d$, iar $x_1^2+x_2^2+x_3^2=s_1^2-2s_2$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(x^k\right)}^{\prime }=k{x}^{k-1}$; ecuația tangentei $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$; $f^{\prime }\ge 0$ pe un interval înseamnă $f$ crescătoare pe el; $\int \frac{dx}{x^2+1}=\mathrm{arctg}x$; aria $\mathcal{S}={\int }_a^{b}g(x)dx$, pentru $g\ge 0$.

Despre litere. Litera $f$ denumește patru obiecte: funcția $x^2+x$ (cerința 2), polinomul $X^3-5X^2+5X-1$ (cerința 8), funcția $2x^3-6x+1$ (cerința 9) și funcția $x^2-4$ (cerința 10); fiecare problemă se citește separat. Litera $a$ este necunoscută de aflat la cerința 7.c) (împreună cu $b$), număr real oarecare la cerința 8.b) și limita de sus a integralei, cu $a>1$, la cerința 10.c).

Titlurile de mai jos spun „itemul", ca baremul oficial; în rest, pe pagină, folosim cuvântul „cerința".