Subiect Bac matematică tehnologic, august 2026 (varianta 4) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2026 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\frac{1}{5}\cdot \left(3+\frac{1}{3}\right)+\frac{4}{3}=2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-3$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)-f(4)=4$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{1-x}=2^{3+x}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o scumpire cu $20\%$, un obiect costă $48$ de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,5)$ și $B(6,8)$. Arătați că $OB=2AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=4$ și $BC=6$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $4\sqrt{5}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{cc}1& a-1\\ 3a-3& 3a-2\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(2))=1$.

b) (5 puncte) Arătați că $2A(2)+A(5)=3A(3)$.

c) (5 puncte) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $2X\cdot A(2)-A(2)=A(6)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-3X^2-2X+m$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Pentru $m=9$, arătați că $f(-1)=7$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care $2$ este rădăcină a polinomului $f$.

c) (5 puncte) Știind că restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g=X-4$ este egal cu $14$, determinați rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-3,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-5}{x+3}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x^2+6x+5}{(x+3{)}^2}$, $x\in (-3,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=-1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^x}{x+2}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1(x+2)\cdot f(x)dx=e-1$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^6\frac{f(x)}{e^x}dx=2\ln 2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care ${\int }_0^1\left(a-\frac{1}{f(x)}\right)dx=\frac{4}{e}$.

Barem și răspunsuri

Total: 90 p din cerințe, la care se adaugă 10 p din oficiu, adică 100 p. Subiectul I are 30 p (itemii 1–6, câte 5 p), Subiectul al II-lea 30 p (itemii 7 și 8), Subiectul al III-lea 30 p (itemii 9 și 10); fiecare subpunct din itemii 7–10 are 5 p, pe două rânduri de barem. Rândurile de punctaj sunt cele ale baremului oficial de evaluare și de notare al sesiunii august 2026 (Varianta 4); soluțiile, probele și explicațiile sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu fracții.

Paranteza se aduce la numitorul $3$: $3+\frac{1}{3}=\frac{9}{3}+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$, deci $$\frac{1}{5}\cdot \left(3+\frac{1}{3}\right)+\frac{4}{3}=\frac{1}{5}\cdot \frac{10}{3}+\frac{4}{3}\text{(3 p)}.$$ Produsul se simplifică prin $5$: $\frac{1}{5}\cdot \frac{10}{3}=\frac{2}{3}$, iar suma ajunge la $$\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=\frac{6}{3}=2\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: se înmulțește $\frac{1}{5}$ cu fiecare termen din paranteză, $\frac{3}{5}+\frac{1}{15}+\frac{4}{3}=\frac{9+1+20}{15}=\frac{30}{15}=2$. Capcană: suma $3+\frac{1}{3}$ se scrie $\frac{4}{3}$, ca și cum numitorul s-ar păstra, iar numărătorii s-ar aduna; atunci $\frac{1}{5}\cdot \frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{4}{15}+\frac{20}{15}=\frac{8}{5}$, nu $2$.)

Exercițiul 2. (5 p) — diferență de valori ale unei funcții.

Valoarea fixă este $f(4)=2\cdot 4-3=5$, iar $f(a)=2a-3$ pentru orice număr real $a$. Condiția din enunț devine $$2a-3-5=4\text{(3 p)}.$$ Atunci $2a=12$, deci $\mathbf{a}=6$ (2 p).

(Probă: $f(6)=12-3=9$ și $9-5=4$. Capcană: $f(4)$ se calculează cu $+3$, adică $11$; ecuația $2a-3-11=4$ dă $a=9$, dar $f(9)-f(4)=15-5=10$, nu $4$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Puterile lui $2$ sunt egale doar când exponenții coincid, fiindcă $t\mapsto 2^t$ este injectivă: $$1-x=3+x\text{(3 p)}.$$ Mutăm termenii: $1-3=x+x$, adică $-2=2x$, de unde $\mathbf{x}=-1$ (2 p).

(Probă: pentru $x=-1$, membrul stâng este $2^{1-(-1)}=2^2=4$, iar cel drept $2^{3+(-1)}=2^2=4$. Capcană: baza trece în față ca factor, $1-x=2(3+x)$; atunci $x=-\frac{5}{3}$, iar exponenții $\frac{8}{3}$ și $\frac{4}{3}$ nu sunt egali.)

Exercițiul 4. (5 p) — procent.

Fie $x$ prețul dinainte de scumpire. Scumpirea adaugă $20\%$ din $x$ la $x$: $$x+\frac{20}{100}\cdot x=48\text{(3 p)}.$$ Membrul stâng este $\frac{120}{100}x=\frac{6}{5}x$, deci $x=48\cdot \frac{5}{6}$, adică $\mathbf{x}=40$ de lei (2 p).

(Probă: $20\%$ din $40$ este $8$, iar $40+8=48$. Capcană: procentul se ia din prețul nou, $48-\frac{20}{100}\cdot 48=48-9,6=38,4$; dar $20\%$ din $38,4$ este $7,68$ și $38,4+7,68=46,08\ne 48$. Altă greșeală: ecuația $x-\frac{20}{100}x=48$ descrie o ieftinire, de la $60$ la $48$, nu o scumpire.)

Exercițiul 5. (5 p) — distanța dintre două puncte.

Originea este $O(0,0)$, deci $OB=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$ (2 p).

Pentru $AB$ se scad coordonatele corespunzătoare: $$AB=\sqrt{(6-2{)}^2+(8-5{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\text{(3 p)},$$ așadar $OB=10=2\cdot 5=2AB$.

(Altă cale: $AB$ este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele $4$ și $3$, iar $OB$ este ipotenuza unuia cu catetele $6$ și $8$, adică de două ori mai mari. Capcană: coordonatele se adună în loc să se scadă, $\sqrt{8^2+13^2}=\sqrt{233}$, sau se uită radicalul, $4+3=7$; cu $AB=7$ s-ar obține $2AB=14\ne 10$.)

Exercițiul 6. (5 p) — aria unui triunghi dreptunghic.

Ipotenuza este $BC$, deci $A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2=36-16=20$, de unde $AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ (3 p).

Aria este jumătate din produsul catetelor: $${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{4\cdot 2\sqrt{5}}{2}=4\sqrt{5}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $A{B}^2+A{C}^2=16+20=36=B{C}^2$. Capcană: cele două pătrate se adună, $A{C}^2=36+16=52$; atunci $AC=2\sqrt{13}\approx 7,21$ ar fi mai lungă decât ipotenuza $BC=6$, ceea ce nu se poate. Altă greșeală: aria se ia ca $\frac{BC\cdot AB}{2}=12$, cu ipotenuza drept bază, deși $AB$ nu este înălțimea ei.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$ cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=2$, elementele devin $a-1=1$, $3a-3=3$ și, în colțul din dreapta jos, $3\cdot 2-2=4$: $$A(2)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 4\end{array}\right),\det (A(2))=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 4\end{array}\right|=1\cdot 4-1\cdot 3\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(2))=4-3=1\text{(2 p)}.$$

(Pentru orice $a$ real, $\det A(a)=(3a-2)-3(a-1{)}^2=-3a^2+9a-5$, iar la $a=2$ se obține $-12+18-5=1$. Capcană: se scad produsele în ordine inversă, $1\cdot 3-1\cdot 4=-1$, sau se adună, $4+3=7$.)

b) (5 p) Înlocuind $a$ se află $A(5)=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 12& 13\end{array}\right)$ și $A(3)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 6& 7\end{array}\right)$. Folosind $A(2)$ aflată la a), membrul stâng devine $$2A(2)+A(5)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 6& 8\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 12& 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 18& 21\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Pe de altă parte $$3A(3)=\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 18& 21\end{array}\right)=2A(2)+A(5)\text{(2 p)}.$$

(De ce iese: $A(a)=I_2+(a-1)K$, cu $K=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 3& 3\end{array}\right)$, deci $2A(2)+A(5)=3I_2+(2\cdot 1+4)K=3(I_2+2K)=3A(3)$: parametrii $2$ și $5$, cu ponderile $2$ și $1$, au media $3$. Capcană: scalarul $2$ înmulțește doar prima linie a lui $A(2)$; suma ar fi $\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 15& 17\end{array}\right)$, diferită de $3A(3)$.)

c) (5 p) Egalitatea dată înseamnă $2X\cdot A(2)=A(6)+A(2)$. Cum $\det (A(2))=1\ne 0$, matricea $A(2)$ este inversabilă, iar înmulțirea la dreapta cu inversa ei dă $$X=\frac{1}{2}(A(6)+A(2))\cdot (A(2){)}^{-1}\text{(2 p)}.$$ Inversa este $(A(2){)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ -3& 1\end{array}\right)$ (se schimbă locurile elementelor de pe diagonala principală, se schimbă semnul celor de pe diagonala secundară, totul se împarte la determinantul $1$), iar $A(6)+A(2)=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 15& 16\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 18& 20\end{array}\right)$. Rezultă $$X=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 18& 20\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ -3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-5& 2\\ 6& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

(Probă: $2X\cdot A(2)=2\left(\begin{array}{cc}-5& 2\\ 6& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 4\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 9& 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 18& 20\end{array}\right)$, iar $\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 18& 20\end{array}\right)-A(2)=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 15& 16\end{array}\right)=A(6)$. Observație: toate matricele $A(a)$ au forma $I_2+tK$, deci se înmulțesc între ele în orice ordine; în general, înmulțirea matricelor nu are această proprietate, așa că inversa se pune pe partea pe care stă $A(2)$. Capcană: factorul $\frac{1}{2}$ se uită și iese $X^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}-10& 4\\ 12& 2\end{array}\right)$, dublul lui $X$; pentru el, $2X^{\prime }\cdot A(2)-A(2)=2A(6)+A(2)$, nu $A(6)$. O altă greșeală: matricele se înmulțesc element cu element, ceea ce dă $\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ -27& 10\end{array}\right)$ și încalcă regula „rând cu coloană".)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom cu parametru.

a) (5 p) Pentru $m=9$, polinomul este $f=X^3-3X^2-2X+9$, deci $$f(-1)=(-1{)}^3-3\cdot (-1{)}^2-2\cdot (-1)+9\text{(3 p)}.$$ $$f(-1)=-1-3+2+9=7\text{(2 p)}.$$

(Capcană: $(-1{)}^2$ se ia egal cu $-1$, iar suma devine $-1+3+2+9=13$; sau se schimbă semnul lui $m$ și iese $-11$.)

b) (5 p) Valoarea polinomului în $2$ este $$f(2)=2^3-3\cdot 2^2-2\cdot 2+m=-8+m\text{(3 p)}.$$ Rădăcina înseamnă $f(2)=0$, adică $-8+m=0$, deci $\mathbf{m}=8$ (2 p).

(Probă: cu $m=8$, $f=X^3-3X^2-2X+8=(X-2)\left(X^2-X-4\right)$, iar produsul se anulează în $2$. Capcană: termenul $m$ se uită în calcul, $f(2)=-8$, și ecuația nu mai are necunoscută.)

c) (5 p) Restul împărțirii lui $f$ la $X-4$ este $f(4)$, adică $64-48-8+m=8+m$. Din $8+m=14$ obținem $m=6$, deci $$f=X^3-3X^2-2X+6=(X-3)\left(X^2-2\right)\text{(2 p)}.$$ Rădăcinile sunt cele ale factorilor: $X-3=0$ dă $3$, iar $X^2=2$ dă $\pm \sqrt{2}$: $$x_1=3,x_2=-\sqrt{2},x_3=\sqrt{2}\text{(3 p)}.$$

(Probă: $(X-3)\left(X^2-2\right)=X^3-2X-3X^2+6$ și $f(4)=64-48-8+6=14$. Capcană: se păstrează $m=8$ de la b); atunci $f(4)=16\ne 14$. Altă greșeală: restul se citește ca $f(-4)$, deși împărțitorul este $X-4$, nu $X+4$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivata unui cât, tangentă, asimptotă oblică.

a) (5 p) Se aplică formula derivatei unui cât, cu $u=x^2-5$ și $v=x+3$: $$f^{\prime }(x)=\frac{{\left(x^2-5\right)}^{\prime }(x+3)-\left(x^2-5\right)(x+3{)}^{\prime }}{(x+3{)}^2}\text{(2 p)}.$$ Cu ${\left(x^2-5\right)}^{\prime }=2x$ și $(x+3{)}^{\prime }=1$, $$f^{\prime }(x)=\frac{2x(x+3)-\left(x^2-5\right)}{(x+3{)}^2}=\frac{x^2+6x+5}{(x+3{)}^2},x\in (-3,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: câtul se împarte, $x^2-5=(x+3)(x-3)+4$, deci $f(x)=x-3+\frac{4}{x+3}$ și $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x+3{)}^2}=\frac{(x+3{)}^2-4}{(x+3{)}^2}$, la fel. Capcană: semnul dintre termenii numărătorului se schimbă în plus; numărătorul ar fi $3x^2+6x-5$.)

b) (5 p) Punctul de pe grafic are abscisa $-1$: $f(-1)=\frac{1-5}{2}=-2$, iar $f^{\prime }(-1)=\frac{1-6+5}{4}=0$: $$f(-1)=-2,f^{\prime }(-1)=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei este $y-f(-1)=f^{\prime }(-1)(x+1)$, adică $y+2=0$, deci $$\mathbf{y}=-2\text{(3 p)}.$$

(Numărătorul derivatei se scrie $x^2+6x+5=(x+1)(x+5)$, deci se anulează în $-1$: tangenta este orizontală. Capcană: panta se confundă cu valoarea funcției și se scrie $y+2=-2(x+1)$, adică $y=-2x-4$.)

c) (5 p) Domeniul $(-3,+\infty )$ permite doar asimptota spre $+\infty$. Panta ei este $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-5}{x(x+3)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-\frac{5}{x^2}}{1+\frac{3}{x}}=1\text{(2 p)}.$$ Ordonata la origine: $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-3x-5}{x+3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-3-\frac{5}{x}}{1+\frac{3}{x}}=-3,$$ deci asimptota oblică are ecuația $\mathbf{y}=\mathbf{x}-3$ (3 p).

(Probă: $f(x)-(x-3)=\frac{4}{x+3}$ tinde la $0$ când $x\to +\infty$. Capcană: ordonata se ia egală cu termenul liber al numărătorului, $n=-5$, deși limita lui $\frac{-3x-5}{x+3}$ este raportul coeficienților lui $x$, adică $-3$; sau se schimbă semnul și iese $y=x+3$. Pe lângă asimptota oblică, graficul are și asimptota verticală $x=-3$, dar cerința o vizează pe cea oblică.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu o funcție dată printr-un cât.

a) (5 p) Factorul $x+2$ simplifică numitorul: $(x+2)\cdot f(x)=e^x$. Atunci $${\int }_0^1(x+2)\cdot f(x)dx={\int }_0^1{e}^{x}dx=e^x{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=e^1-e^0=\mathbf{e}-1\text{(2 p)}.$$

(Probă: $e-1\approx 1,718$, iar integrala funcției pozitive $e^x$ pe un interval de lungime $1$ trebuie să fie între $1$ și $e$. Capcană: numitorul $x+2$ se uită și, în loc de $e^x$, se integrează produsul dintre $e^x$ și $x+2$; rezultatul ar fi $2e-1$.)

b) (5 p) Împărțirea la $e^x$ face să dispară exponențiala: $\frac{f(x)}{e^x}=\frac{1}{x+2}=\frac{(x+2{)}^{\prime }}{x+2}$. Pe $[0,6]$ avem $x+2>0$, deci $${\int }_0^6\frac{f(x)}{e^x}dx={\int }_0^6\frac{(x+2{)}^{\prime }}{x+2}dx=\ln (x+2){|}_0^6\text{(3 p)}.$$ $$=\ln 8-\ln 2=\ln 4=2\ln 2\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: $\ln 8=3\ln 2$, deci $3\ln 2-\ln 2=2\ln 2$. Capcană: diferența logaritmilor se confundă cu logaritmul diferenței, $\ln 8-\ln 2=\ln 6$; sau cu câtul lor, $\frac{\ln 8}{\ln 2}=3$.)

c) (5 p) Inversul lui $f$ este $\frac{1}{f(x)}=(x+2)e^{-x}$. Integrala se desparte în doi termeni, iar al doilea se calculează prin părți, cu $u=x+2$ și $v^{\prime }=e^{-x}$, deci $v=-e^{-x}$; rezultă ${\int }_0^1(x+2)e^{-x}dx=-(x+2)e^{-x}{|}_0^1-e^{-x}{|}_0^1$ și $${\int }_0^1\left(a-\frac{1}{f(x)}\right)dx=a-{\int }_0^1(x+2)e^{-x}dx=a+(x+2)e^{-x}{|}_0^1+e^{-x}{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Cu $(x+2)e^{-x}{|}_0^1=\frac{3}{e}-2$ și $e^{-x}{|}_0^1=\frac{1}{e}-1$, integrala este $a-3+\frac{4}{e}$. Egalitatea $a-3+\frac{4}{e}=\frac{4}{e}$ dă $$\mathbf{a}=3\text{(2 p)}.$$

(Probă de ordin de mărime: pe $[0,1]$ integrandul $(x+2)e^{-x}$ scade de la $2$ la $\frac{3}{e}\approx 1,10$, deci integrala lui trebuie să fie între $1,10$ și $2$, iar $3-\frac{4}{e}\approx 1,53$ se află în acest interval. Capcană: la integrala rămasă după integrarea prin părți, ${\int }_0^1{e}^{-x}dx$, primitiva lui $e^{-x}$ se scrie $e^{-x}$, fără minus; atunci în loc de $-3+\frac{4}{e}$ s-ar obține $-1+\frac{2}{e}$, iar ecuația ar da $a=1+\frac{2}{e}$, nu $3$.)

Pentru părinți și profesori

Lucrarea. Pagina adună subiectul de matematică M_tehnologic (în școli, „M3") din sesiunea august 2026, Varianta 4, baremul oficial și rezolvarea fiecărei cerințe. Subiectul se adresează filierei tehnologice; antetul oficial numește trei profiluri, servicii, resurse și tehnic, cu toate calificările lor profesionale. În antetul documentelor apar Ministerul Educației și Cercetării și Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare. Cerințele sunt cele din subiect, neschimbate; rezolvările, probele, observațiile și ghidajul sunt scrise de noi, iar punctele pe rânduri vin din baremul oficial.

Sesiunea de august urmează celei din iunie-iulie 2026. În arhiva noastră se află 83 de probe de matematică tehnologică, din 2013 până în 2026, iar toate au aceeași alcătuire: șase cerințe scurte, apoi patru probleme cu câte trei subpuncte.

Cerințele, pe scurt, cu clasa la care le plasează programa de examen:

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Fracțiile și zecimalele intră în programa de examen la clasa a IX-a. Programa școlară nouă, introdusă din anul școlar 2026–2027 numai la clasa a IX-a, nu le mai grupează într-o unitate proprie. Elevii care susțin Bacalaureatul în 2027, 2028 sau 2029 învață ori au învățat clasele a IX-a și a X-a după programa veche, deci pentru ei calculul cu numere reale stă în „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. Ideea din cerința 3 este „aceeași bază, deci aceiași exponenți". Programa de examen o încadrează la clasa a X-a, dar programa școlară nouă nu o mai numește, pentru că acolo ecuațiile se rezolvă pe grafic sau cu instrumente digitale; pentru elevii din 2027–2029 o găsești în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Procentul din cerința 4 aparține capitolului de matematici financiare, plasat la clasa a X-a. În programa nouă el apare doar ca exemplu în alte capitole; un loc al lui, cu tot cu TVA, profit și preț de cost, are „Supliment Bac M3 2027–2029: matematici financiare".
• Nota 4. Cerințele 5 și 6 cad la altă clasă decât în programa școlară nouă: distanța dintre două puncte este, la examen, în clasa a X-a (geometrie în reper cartezian), dar în programa nouă se predă în clasa a IX-a; triunghiul dreptunghic e trecut la examen în clasa a IX-a, pe când programa nouă îl aduce abia în clasa a X-a. E o diferență de calendar între cele două documente, nu o greșeală a subiectului.

Ce are special varianta 4. În Subiectul I, locul cel mai ușor de greșit este cerința 4: procentul de $20\%$ se aplică prețului de dinainte de scumpire, nu celui de $48$ de lei de după. În Subiectul al II-lea, matricea $A(a)$ se scrie $I_2+(a-1)K$, cu aceeași matrice fixă $K$ pentru orice $a$; de aici egalitatea de la b) iese aproape din privire, iar matricele $A(a)$ se înmulțesc între ele în orice ordine (fiecare este $I_2$ plus un multiplu al lui $K$). La polinom, subpunctul c) cere altă valoare a parametrului decât b): $m=6$, nu $m=8$. Funcția din prima problemă a Subiectului al III-lea se rescrie ca $x-3+\frac{4}{x+3}$, iar asimptota oblică se vede din această scriere. La ultima problemă, înmulțirea cu $x+2$ (la a) și împărțirea la $e^x$ (la b) curăță funcția $f$ de câte unul dintre factorii ei; la c) se folosește inversul lui $f$.

Cum lucrezi varianta ca pe o probă întreagă:

• Durata. Sunt trei ore, fără calculator. Dacă din cele $180$ de minute păstrezi $15$ pentru recitire, rămân $165$ pentru cerințe, adică $110$ secunde pentru fiecare punct.
• Redactarea. Subpunctele au câte $5$ puncte, împărțite pe două rânduri de barem, $3+2$ sau $2+3$; scrie pe foaie fiecare rând ca pe o etapă separată, ca să poată fi recunoscut.
• Regulile de pe barem. O soluție corectă, chiar diferită de a baremului, primește punctajul corespunzător, iar fracțiuni de punct nu se dau. Nota finală rezultă din împărțirea la zece a punctajului total, în care sunt cuprinse și cele zece puncte din oficiu. Pentru nota $5$ sunt necesare $50$ de puncte: $10$ din oficiu și $40$ din cele $90$ ale cerințelor.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 4, răspunsul $48-9,6=38,4$ (procentul luat din prețul nou); la 8.c), valoarea $m=8$ preluată de la b); la 9.c), calculul lui $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ fără limita lui $f(x)-x$; la 10.c), semnul greșit la integrarea prin părți.
• După corectare. Fiecare subpunct ratat trimite la rândul lui din tabelul cerințelor; notează lângă el ce ți-a lipsit: formula, calculul sau ideea de pornire.

Ce spune numărul de puncte. Dacă ai sub $40$ de puncte din $90$, nota $5$ nu e încă atinsă: reia Subiectul I și subpunctele a) și b) ale problemelor de $15$ puncte, care se lucrează direct din formule. Între $40$ și $65$ de puncte, fundamentul există, iar ce lipsește se caută întâi la subpunctele c), cele cu o idee în plus față de calcul. Peste $65$ de puncte rămân de lucrat ritmul și curățenia scrisului.

Formulele variantei 4, pe subiecte:

• Subiectul I. După o scumpire cu $p\%$, prețul nou este $\left(1+\frac{p}{100}\right)$ din cel vechi; $2^u=2^v⟺u=v$; distanța $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$; într-un triunghi dreptunghic, $c_1^2+c_2^2=i^2$, iar aria este $\frac{c_1\cdot c_2}{2}$.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; dacă $\det M\ne 0$, atunci $M^{-1}=\frac{1}{\det M}\left(\begin{array}{cc}s& -q\\ -r& p\end{array}\right)$; restul împărțirii unui polinom $f$ la $X-c$ este $f(c)$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; tangenta în abscisa $a$: $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$; asimptota oblică spre $+\infty$ este $y=mx+n$, cu $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ și $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)$; ${\int }_a^b\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}dx=\ln u(x){|}_a^b$ pentru $u>0$; ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$.

Litere cu mai multe sensuri. În lucrare, aceeași literă denumește obiecte diferite: $f$ este funcția $2x-3$ la cerința 2, polinomul $X^3-3X^2-2X+m$ la cerința 8, fracția $\frac{x^2-5}{x+3}$ la cerința 9 și fracția $\frac{e^x}{x+2}$ la cerința 10, deci fiecare problemă se citește separat. Litera $a$ este necunoscuta de la cerința 2, parametrul matricei de la 7 și necunoscuta ultimului subpunct de la 10, iar $X$ este matricea căutată la 7.c) și nedeterminata polinoamelor de la cerința 8. Litera $m$ este parametrul polinomului de la cerința 8 și panta asimptotei oblice la 9.c), iar $x$ este prețul căutat la cerința 4 și variabila funcțiilor de la 9 și 10.

Antetele „Itemul n" respectă numerotarea baremului; în pagină, „item" și „cerință" sunt sinonime.