Subiect Bac matematică tehnologic, model 2021 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2021 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(0,25\cdot 10-\frac{1}{2}\right)\left(0,25\cdot 10+\frac{1}{2}\right)=6$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-ax+1$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că punctul $A(2,1)$ aparține graficului funcției $f$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{x+2}+3^x=30$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Un obiect costă $500$ de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu $20\%$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,3)$ și $B(8,3)$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$. Calculați distanța de la punctul $M$ la punctul $O(0,0)$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $AB=5$ și $AC=10$. Calculați aria triunghiului $ABC$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 2\end{array}\right)$ și $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=-1$.

b) (5 puncte) Arătați că $A\cdot A-3A=I_2$.

c) (5 puncte) Se consideră matricea $X=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ y& 1\end{array}\right)$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $A\cdot X-X\cdot A=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=4xy+x+y$.

a) (5 puncte) Arătați că $3\circ 2=29$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $x\circ y=\frac{(4x+1)(4y+1)-1}{4}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $x$ pentru care $x\circ x\le 2$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x+\frac{x}{x^2+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=e^x+\frac{1-x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $-\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\frac{2-e}{2e}\le f(x)\le \frac{2e+1}{2}$, pentru orice $x\in [-1,1]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x+1)\sqrt{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\frac{f(x)}{\sqrt{x}}dx=\frac{5}{2}$.

b) (5 puncte) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[0,1]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)$, este egal cu $\frac{17\pi }{12}$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, știind că ${\int }_1^e\frac{f(x)\sqrt{x}\ln x}{x+1}dx=\frac{e^2+a}{4}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I are 30 p (cerințele 1–6, câte 5 p), Subiectul al II-lea 30 p (itemii 7–8), Subiectul al III-lea 30 p (itemii 9–10); fiecare subpunct al itemilor 7–10 valorează 5 p, împărțite pe două rânduri. Rândurile punctate de mai jos urmează modelul oficial din 2021; calculele, probele și explicațiile aparțin site-ului.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu zecimale și fracții.

Prima operație este înmulțirea $0,25\cdot 10=2,5$, iar fracția $\frac{1}{2}$ se scrie zecimal $0,5$. Expresia devine $$\left(2,5-0,5\right)\left(2,5+0,5\right)\text{(2 p)}.$$ Primul factor este $2$, al doilea este $3$, deci produsul este $$2\cdot 3=6\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: produsul unei diferențe cu o sumă este diferență de pătrate, $(2,5{)}^2-(0,5{)}^2=6,25-0,25=6$. Capcană: dacă produsul $0,25\cdot 10$ se calculează greșit ca $25$ în loc de $2,5$, parantezele devin $24,5$ și $25,5$, iar produsul lor este $624,75$, departe de $6$.)

Exercițiul 2. (5 p) — punct pe graficul unei funcții.

Un punct de coordonate $(2,1)$ se află pe grafic exact când $f(2)=1$. Înlocuim $x=2$ în formula funcției: $f(2)=2^2-a\cdot 2+1=5-2a$, deci condiția este $$5-2a=1\text{(3 p)}.$$ De aici $2a=4$, adică $\mathbf{a}=2$ (2 p).

(Probă: pentru $a=2$ funcția este $f(x)=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$, iar $f(2)=1$. Capcană: coordonatele punctului se citesc invers, ca $x=1$ și $y=2$; atunci $f(1)=2$ ar duce la $1-a+1=2$, deci $a=0$, iar pentru acest $a$ avem $f(2)=5$, nu $1$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Puterea $3^{x+2}$ se desparte în produsul $3^x\cdot 3^2=9\cdot 3^x$. Ecuația devine $9\cdot 3^x+3^x=30$, adică $$10\cdot 3^x=30,\text{ deci }{3}^x=3\text{(3 p)}.$$ Cum $3=3^1$ și funcția $t\mapsto 3^t$ este injectivă, obținem $\mathbf{x}=1$ (2 p).

(Probă: $3^{1+2}+3^1=27+3=30$. Capcană: puterile se adună în loc să se înmulțească, ca și cum $3^{x+2}$ ar fi o sumă de două puteri; ecuația ar deveni $2\cdot 3^x+9=30$, adică $3^x=10,5$, un număr care nu e putere întreagă a lui $3$.)

Exercițiul 4. (5 p) — scumpire cu procente.

O scumpire cu $20\%$ înseamnă că prețului i se adaugă $20\%$ din el: $$\frac{20}{100}\cdot 500=100\text{ lei}\text{(3 p)}.$$ Prețul nou este $500+100=600$ lei (2 p).

(Altă cale: prețul nou este $120\%$ din cel vechi, $1,2\cdot 500=600$. Capcană: se scade în loc să se adune, ca la o ieftinire; $500-100=400$ ar fi prețul după o reducere de $20\%$.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment și distanța.

Coordonatele mijlocului sunt semisumele coordonatelor capetelor: $$M\left(\frac{0+8}{2},\frac{3+3}{2}\right)=M(4,3)\text{(2 p)}.$$ Distanța de la $M$ la origine este $$OM=\sqrt{(4-0{)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\text{(3 p)}.$$

(Probă: $OM$ este ipotenuza triunghiului dreptunghic cu vârfurile $O$, $M$ și $(4,0)$, cu catetele $4$ și $3$; laturile lui formează tripletul pitagoreic $3,4,5$. Capcană: se uită radicalul și se oprește la $16+9=25$, care este pătratul distanței; sau nu se împarte la $2$ și se ia drept mijloc punctul $(8,6)$, a cărui distanță până la origine este $10$.)

Exercițiul 6. (5 p) — aria unui triunghi dreptunghic.

Unghiul drept este în $A$, deci catetele sunt $AB$ și $AC$, iar una este înălțimea relativă la cealaltă. Aria este $$\mathcal{A}=\frac{AB\cdot AC}{2}\text{(2 p)}.$$ Cu $AB=5$ și $AC=10$: $$\mathcal{A}=\frac{5\cdot 10}{2}=25\text{(3 p)}.$$

(Ipotenuza nu trebuie calculată; dacă ar fi nevoie de ea, $BC=\sqrt{25+100}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$. Capcană: se uită împărțirea la $2$ și iese $50$, adică aria dreptunghiului cu laturile $5$ și $10$, nu a triunghiului.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Determinantul se calculează ca produs pe diagonala principală minus produs pe diagonala secundară: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 2\end{array}\right|=1\cdot 2-3\cdot 1\text{(3 p)}.$$ $$\det A=2-3=-1\text{(2 p)}.$$

(Capcană: produsele se adună, $2+3=5$; sau diagonalele se iau în ordine inversă, $3\cdot 1-1\cdot 2=1$, care are semn contrar.)

b) (5 p) Se înmulțește matricea cu ea însăși, rând cu coloană: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+3\cdot 1& 1\cdot 3+3\cdot 2\\ 1\cdot 1+2\cdot 1& 1\cdot 3+2\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 9\\ 3& 7\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Cum $3A=\left(\begin{array}{cc}3& 9\\ 3& 6\end{array}\right)$, diferența este $$A\cdot A-3A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: pentru orice matrice $2\times 2$ cu suma elementelor diagonale $t$ și determinantul $d$ avem $A^2-tA+d{I}_2=O_2$; aici $t=3$ și $d=-1$, deci $A^2-3A=I_2$. Capcană: produsul se face element cu element; matricea $\left(\begin{array}{cc}1& 9\\ 1& 4\end{array}\right)$ minus $3A$ dă $\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ -2& -2\end{array}\right)$, care nu este $I_2$.)

c) (5 p) Se calculează cele două produse, rând cu coloană: $$A\cdot X=\left(\begin{array}{cc}1+3y& x+3\\ 1+2y& x+2\end{array}\right),X\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1+x& 3+2x\\ y+1& 3y+2\end{array}\right),\text{ pentru orice }x,y\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Diferența lor, element cu element, este $$A\cdot X-X\cdot A=\left(\begin{array}{cc}3y-x& -x\\ y& x-3y\end{array}\right).$$ Egalitatea cu $\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$ cere $-x=1$, $y=-1$, $3y-x=-2$ și $x-3y=2$. Primele două dau $\mathbf{x}=-1$ și $\mathbf{y}=-1$, iar ultimele două se verifică: $3\cdot (-1)-(-1)=-2$ și $-1-3\cdot (-1)=2$ (3 p).

(Probă: pentru $x=y=-1$ avem $A\cdot X=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ -1& 1\end{array}\right)$ și $X\cdot A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$, iar diferența lor este exact matricea dată. Capcană: dacă s-ar scrie $A\cdot X-X\cdot A=(A-A)\cdot X$, rezultatul ar fi matricea nulă, ceea ce contrazice partea dreaptă, care are elementul $-2$; produsul de matrice nu comută.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește în formula legii, cu $x=3$ și $y=2$: $$3\circ 2=4\cdot 3\cdot 2+3+2\text{(3 p)}.$$ $$3\circ 2=24+5=29\text{(2 p)}.$$

(Capcană: factorul $4$ se aplică doar lui $3$, nu produsului $3\cdot 2$; atunci iese $4\cdot 3+3+2=17$.)

b) (5 p) Se pornește de la membrul drept. Produsul se dezvoltă: $$(4x+1)(4y+1)=16xy+4x+4y+1\text{(3 p)}.$$ Scăzând $1$ și împărțind la $4$ se obține $$\frac{(4x+1)(4y+1)-1}{4}=\frac{16xy+4x+4y}{4}=4xy+x+y=x\circ y,\text{ pentru orice }x,y\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: fără scăderea lui $1$ expresia ar fi $\frac{(4x+1)(4y+1)}{4}=4xy+x+y+\frac{1}{4}$, deci cu $\frac{1}{4}$ mai mare decât $x\circ y$.)

c) (5 p) Pentru $y=x$, formula de la subpunctul b) dă $$x\circ x=\frac{(4x+1{)}^2-1}{4},\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Inegalitatea $x\circ x\le 2$ înseamnă $(4x+1{)}^2-1\le 8$, adică $(4x+1{)}^2\le 9$, ceea ce revine la $-3\le 4x+1\le 3$. Scăzând $1$ și împărțind la $4$ rezultă $-1\le x\le \frac{1}{2}$, deci mulțimea cerută este $$\left[-1,\frac{1}{2}\right]\text{(3 p)}.$$

(Probă: $(-1)\circ (-1)=4-2=2$ și $\frac{1}{2}\circ \frac{1}{2}=1+1=2$ ating capetele, iar $0\circ 0=0\le 2$ este în interior. Capcană: din $(4x+1{)}^2\le 9$ se păstrează doar $4x+1\le 3$; atunci și $x=-2$ ar intra în mulțime, dar $(-2)\circ (-2)=16-4=12$, mai mare decât $2$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, asimptotă, margini ale funcției.

a) (5 p) Derivata sumei este suma derivatelor; $(e^x{)}^{\prime }=e^x$, iar fracția se derivează cu formula câtului, cu $u=x$ și $v=x^2+1$: $$f^{\prime }(x)=e^x+\frac{1\cdot (x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}\text{(3 p)}.$$ La numărător $x^2+1-2x^2=1-x^2$, deci $$f^{\prime }(x)=e^x+\frac{1-x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Probă: în $x=1$ formula dă $f^{\prime }(1)=e+0=e$, iar fracția este $\frac{1-1}{2^2}=0$. Capcană: derivata unui cât nu este câtul derivatelor; $\frac{(x{)}^{\prime }}{(x^2+1{)}^{\prime }}=\frac{1}{2x}$ nu are nimic în comun cu fracția cerută: în $x=1$ ea ar da $\frac{1}{2}$, nu $0$.)

b) (5 p) Când $x\to -\infty$, $e^x\to 0$. Fracția are gradul numărătorului mai mic decât al numitorului; împărțind sus și jos la $x$, ea devine $\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$, iar numitorul tinde la $-\infty$, deci fracția tinde la $0$. Atunci $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=0+0=0\text{(3 p)}.$$ Limita finită $0$ arată că, în direcția $-\infty$, graficul se apropie de axa $Ox$; ecuația asimptotei orizontale este deci $\mathbf{y}=0$ (2 p).

(Observație: spre $+\infty$ nu există asimptotă orizontală, fiindcă $e^x\to +\infty$ și fracția tinde la $0$. Capcană: se confundă numitorul cu o constantă și se scrie că fracția $\frac{x}{x^2+1}$ tinde la $-\infty$ odată cu $x$; dar numitorul crește mai repede, ca $x^2$.)

c) (5 p) Pe $[-1,1]$ avem $1-x^2\ge 0$ și $e^x>0$, deci $f^{\prime }(x)=e^x+\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}>0$. Derivata este pozitivă, deci $f$ este strict crescătoare pe $[-1,1]$, iar pentru orice $x$ din acest interval $$f(-1)\le f(x)\le f(1)\text{(3 p)}.$$ Capetele sunt $f(-1)=e^{-1}+\frac{-1}{2}=\frac{1}{e}-\frac{1}{2}=\frac{2-e}{2e}$ și $f(1)=e+\frac{1}{2}=\frac{2e+1}{2}$, ceea ce dă inegalitatea cerută (2 p).

(Probă: $f(0)=1$, iar $\frac{2-e}{2e}\approx -0,13$ și $\frac{2e+1}{2}\approx 3,22$ încadrează valoarea $1$. Capcană: la $x=-1$ numitorul $x^2+1$ este $2$, nu $0$; iar verificarea inegalității doar în capetele intervalului nu arată că $f$ nu iese din bandă între ele.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu radical, volum, integrare prin părți.

a) (5 p) Prin împărțirea la $\sqrt{x}$, radicalul dispare: $\frac{f(x)}{\sqrt{x}}=x+1$. Atunci $${\int }_1^2\frac{f(x)}{\sqrt{x}}dx={\int }_1^2(x+1)dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right){|}_1^2\text{(3 p)}.$$ $$=(2+2)-\left(\frac{1}{2}+1\right)=\frac{5}{2}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se evaluează primitiva doar în capătul de sus și iese $4$; limita inferioară $1$ scade $\frac{3}{2}$.)

b) (5 p) Pentru $x\ge 0$ avem ${\left(\sqrt{x}\right)}^2=x$, deci $g^2(x)=(x+1{)}^{2}x=x^3+2x^2+x$. Volumul este $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^1{g}^2(x)dx=\pi {\int }_0^1\left(x^3+2x^2+x\right)dx=\pi \left(\frac{x^4}{4}+\frac{2x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$\mathcal{V}=\pi \left(\frac{1}{4}+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\right)=\frac{17\pi }{12}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $\frac{1}{4}+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{3+8+6}{12}=\frac{17}{12}$. Capcană: se uită pătratul și se integrează $g$ în loc de $g^2$; rezultatul $\pi {\int }_0^1(x+1)\sqrt{x}dx=\frac{16\pi }{15}$ nu e cel cerut. Altă greșeală: $(x+1{)}^2$ se scrie $x^2+1$, iar integrala devine $\pi {\int }_0^1(x^3+x)dx=\frac{3\pi }{4}$.)

c) (5 p) Produsul $f(x)\sqrt{x}$ este $(x+1)\sqrt{x}\sqrt{x}=(x+1)x$, care se simplifică prin $x+1$ din numitor; integrandul este $x\ln x$. Se integrează prin părți, cu $x={\left(\frac{x^2}{2}\right)}^{\prime }$: $${\int }_1^{e}x\ln xdx=\frac{x^2}{2}\ln x{|}_1^e-{\int }_1^e\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx=\frac{e^2}{2}-\frac{1}{2}{\int }_1^{e}xdx\text{(3 p)}.$$ Cum ${\int }_1^{e}xdx=\frac{e^2-1}{2}$, integrala este $\frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}=\frac{e^2+1}{4}$. Din $\frac{e^2+1}{4}=\frac{e^2+a}{4}$ rezultă $\mathbf{a}=1$ (2 p).

(Probă numerică: ${\int }_1^{e}x\ln xdx\approx 2,0973$ și $\frac{e^2+1}{4}\approx 2,0973$. Capcană: termenul $-\frac{1}{2}{\int }_1^{e}xdx$ se uită; rămâne $\frac{e^2}{2}=\frac{e^2+a}{4}$, de unde $a=e^2$, o valoare pentru care egalitatea cu integrala adevărată nu mai e valabilă.)

Pentru părinți și profesori

Despre pagină. Aici găsești modelul de subiect la matematică pentru Bacalaureatul tehnologic 2021, împreună cu baremul oficial al modelului. Antetul documentului spune Examenul național de bacalaureat 2021, Proba E. c), Matematică M_tehnologic, urmat de cuvântul „Model"; deasupra lui apar numele Ministerului Educației și Cercetării și al Centrului Național de Politici și Evaluare în Educație. Se adresează elevilor din filiera tehnologică, de la oricare dintre cele trei profiluri (servicii, resurse, tehnic), indiferent de calificarea profesională; pe site o numim și M3. Textul cerințelor este cel din PDF; tot restul — rezolvările, probele, observațiile și ghidajul — e scris de noi, iar punctele sunt împărțite exact pe rândurile baremului oficial.

Cum e alcătuit modelul. În antet se cer trei ore de lucru efectiv, toate subiectele sunt obligatorii, iar oficiul aduce zece puncte. Subiectul I are șase cerințe scurte; fiecare dintre celelalte două subiecte are două probleme, cu câte trei subpuncte.

Ce cere fiecare cerință și unde stă în programa de examen:

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Operațiile cu numere reale scrise zecimal sau fracționar sunt, la examen, materie de clasa a IX-a. Programa școlară nouă pentru clasa a IX-a nu are o unitate despre numere reale, așa că la noi acest conținut se află în „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. La examen, ecuațiile exponențiale sunt materie de clasa a X-a; în școala nouă ecuațiile se tratează numai grafic, deci scoaterea lui $3^x$ factor comun la cerința 3 nu se predă în clasele școlare; pentru candidații din 2027–2029 ea e adunată în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Calculul procentual figurează la examen sub „elemente de calcul financiar", în clasa a X-a; în programa școlară nouă procentele apar numai ca exemplu pentru progresii, nu ca temă. Ele sunt tratate în „Supliment Bac M3 2027–2029: matematici financiare".
• Nota 4. Reperul cartezian și distanța dintre două puncte sunt cerute la examen în clasa a X-a, dar programa școlară nouă le așază în clasa a IX-a. E o diferență de aranjare între cele două programe, nu o scăpare a lucrării.

Ce are special acest model. Cerința 4 vorbește despre o scumpire: prețul crește, deci rezultatul e mai mare decât $500$. Cerința 6 dă catetele, nu ipotenuza, iar pentru arie ipotenuza nu mai trebuie calculată. La Subiectul al II-lea, produsul de la 7.c) nu comută: $A\cdot X$ și $X\cdot A$ sunt două matrice diferite, iar diferența lor are elemente cu $x$ și $y$ în poziții diferite. Legea de compoziție de la a doua problemă are o formă „împachetată", care se arată la 8.b) și se folosește la 8.c). În Subiectul al III-lea, aceeași funcție conduce trei subpuncte; la a doua problemă radicalul din $f$ dispare de fiecare dată: împărțirea la $\sqrt{x}$ îl elimină la a), pătratul îl elimină la b), iar produsul cu $\sqrt{x}$ îl elimină la c).

Cum îl lucrezi ca pe o probă completă:

• Timp: trei ore. Dacă rezervi 15 minute pentru recitire, restul de 165 de minute acoperă cele 90 de puncte, deci puțin sub două minute pe punct; Subiectul I, mai scurt, poate fi terminat primul, iar timpul rămas merge spre problemele de 15 puncte.
• Redactare: scrie fiecare soluție cu justificări. Subpunctele valorează câte 5 puncte, în două rânduri (3 + 2 sau 2 + 3), iar cerințele din Subiectul I la fel.
• Regulile tipărite pe barem (pe scurt): orice soluție corectă primește punctajul corespunzător, chiar dacă merge pe alt drum decât baremul; nu există fracțiuni de punct; nota finală se obține împărțind totalul la zece.
• Greșeli de evitat: la 4, calculul pe procente făcut ca scădere; la 7.c), ordinea factorilor într-un produs de matrice; la 8.c), inegalitatea cu un pătrat perfect redusă la o singură margine în loc de două; la 9.c), concluzia fără a spune de ce funcția crește pe tot intervalul; la 10.b), integrala scrisă fără pătratul funcției.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut te trimite la un rând din tabelul de mai sus; notează acolo ce lipsea, formula sau calculul.

Cum îți citești totalul. Sub 40 de puncte din 90, nota 5 încă nu e atinsă (cu cele 10 puncte din oficiu ar fi sub 50): refă Subiectul I și subpunctele a) și b). Între 40 și 60 de puncte ai baza, iar punctele care lipsesc se caută întâi la subpunctele c), unde se cere o idee în plus. De la 60 de puncte în sus, adică nota 7 cu oficiul, rămâne de lucrat ritmul.

Formule folosite în model, pe subiecte:

• Subiectul I. $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$; $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$; un procent $p\%$ dintr-o sumă $S$ este $\frac{p}{100}\cdot S$; mijlocul segmentului $[AB]$ are coordonatele $\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$; distanța dintre două puncte are pătratul egal cu suma pătratelor diferențelor de abscise și de ordonate; aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; la un produs de matrice, fiecare element se obține combinând o linie cu o coloană; două matrice sunt egale când au egale elementele de pe aceleași poziții; $u^2\le 9⟺-3\le u\le 3$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; $(e^x{)}^{\prime }=e^x$; o funcție cu derivata pozitivă pe un interval crește pe el; ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; volumul corpului de rotație este $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$.

Despre litere. În lucrare, $f$ numește trei funcții diferite: $f(x)=x^2-ax+1$ la cerința 2, $f(x)=e^x+\frac{x}{x^2+1}$ la cerința 9 și $f(x)=(x+1)\sqrt{x}$ la cerința 10. Litera $A$ e punct la cerințele 2 și 5, vârf de triunghi la cerința 6 și matrice la cerința 7. Litera $a$ e un parametru real la cerința 2 și la cerința 10.c), dar nu are aceeași valoare în cele două locuri. Cuvântul „itemul" din titlurile de mai jos e luat din barem; în clasă spunem „cerința".