Subiect Bac matematică tehnologic, rezervă august 2013 (varianta 4) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2013 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $2\left(2+\sqrt{3}\right)-2\sqrt{3}=4$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculați $f(4)+f(-4)$ pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+4$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $7^{2x}=49$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Prețul unui obiect este $1000$ de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu $10\%$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,3)$ și $B(4,1)$. Calculați distanța de la punctul $A$ la punctul $B$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați $\sin 45^{\circ }-\sin 135^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$, $O_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& m\\ m& m+1\end{array}\right)$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Calculați $\det A$.

b) (5 puncte) Pentru $m=-2$, arătați că $A+B=O_2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}9& 7\\ 7& 16\end{array}\right)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+2X^2+X$.

a) (5 puncte) Arătați că $f(-1)=0$.

b) (5 puncte) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g=X^2+X$.

c) (5 puncte) Calculați $x_1^2+x_2^2+x_3^2$, știind că $x_1,x_2,x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+10-\frac{11}{x}$.

a) (5 puncte) Verificați dacă $f^{\prime }(x)=\frac{x^2+11}{x^2}$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Arătați că funcția $f$ este crescătoare pe intervalul $(0,+\infty )$.

c) (5 puncte) Arătați că funcția $f$ este concavă pe intervalul $(0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+9$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_1^2{f}^{\prime }(x)dx$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\frac{f(x)}{x}dx=\frac{3}{2}+9\ln 2$.

c) (5 puncte) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[0,1]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)-x^2$ este egal cu $81\pi$.

Barem și răspunsuri

Cerințele adună 90 p, iar oficiul adaugă 10 p, deci lucrarea are 100 p. Primul subiect cuprinde cerințele 1–6, al doilea cerințele 7–8, al treilea cerințele 9–10, fiecare subiect cu 30 p. Numerele din marcajele „(1 p)”, „(2 p)”, „(3 p)” reproduc, rând după rând, documentul oficial al variantei 4 din august 2013; la cerințele 2 și 6 sunt trei rânduri, la celelalte două. Restul textului, cu probe și capcane, este al nostru.

Exercițiul 1. (5 p) — radicali într-o diferență.

Un produs $a(b+c)$ este $ab+ac$, deci $2\left(2+\sqrt{3}\right)=4+2\sqrt{3}$ (2 p). Din acest număr se scade $2\sqrt{3}$; termenii cu radical se reduc, iar rămâne $$4+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\text{(3 p)}.$$

(Probă: $2\left(2+\sqrt{3}\right)-2\sqrt{3}$ este $2\cdot 2+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}$; radicalul dispare din orice paranteză de forma $a\left(b+\sqrt{3}\right)$ de care se scade $a\sqrt{3}$. Capcană: $2$ înmulțește doar primul termen, $4+\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4-\sqrt{3}$, număr diferit de $4$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcție afină în două numere opuse.

Pentru $4$: $f(4)=4+4=8$ (2 p). Pentru $-4$: $f(-4)=-4+4=0$ (2 p). Suma celor două valori este $$f(4)+f(-4)=8+0=8\text{(1 p)}.$$

(Probă: pentru o funcție $x+4$, valorile în două numere opuse au suma $2\cdot f(0)=2\cdot 4=8$. Capcană: $f(-4)$ se scrie $-4$, adică se uită termenul $+4$; suma ar fi $8+(-4)=4$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Numărul $49$ este $7\cdot 7=7^2$, deci ecuația se scrie $7^{2x}=7^2$ (2 p). Puterile aceleiași baze, $7$, coincid când exponenții sunt egali: $2x=2$, adică $\mathbf{x}=1$ (3 p).

(Probă: $7^{2\cdot 1}=7^2=49$. Capcană: $49$ se scrie ca $7^7$, cu cifra $7$ pusă la exponent; atunci $2x=7$ și $x=\frac{7}{2}$, dar $7^7\ne 49$, fiindcă $7^2=49$.)

Exercițiul 4. (5 p) — procente.

Scumpirea este o zecime din prețul de $1000$ de lei: $\frac{10}{100}\cdot 1000=100$ de lei (2 p). Prețul devine $1000+100=1100$ de lei (3 p).

(Probă: $1100=1000\cdot \frac{11}{10}$, adică prețul inițial crește cu o zecime. Capcană: $10\%$ se calculează din $100$ în loc de $1000$; scumpirea ar fi $10$ lei, iar prețul $1010$ lei, nu $1100$.)

Exercițiul 5. (5 p) — distanța dintre două puncte.

Punctele $A(4,3)$ și $B(4,1)$ au aceeași abscisă $4$. Formula distanței dă $$AB=\sqrt{(4-4{)}^2+(1-3{)}^2}\text{(3 p)}.$$ Sub radical: $0+(-2{)}^2=4$, deci $AB=\sqrt{4}=2$ (2 p).

(Probă: segmentul este vertical, iar lungimea lui este $|3-1|=2$. Capcană: $(1-3{)}^2$ se calculează $-4$; atunci sub radical ar apărea un număr negativ, deși pătratul unui număr real nu este negativ.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Valoarea de la $45^{\circ }$: $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (2 p). Pentru $135^{\circ }=180^{\circ }-45^{\circ }$, sinusurile unghiurilor suplementare sunt egale, deci $\sin 135^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (2 p). Diferența este $$\sin 45^{\circ }-\sin 135^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=0\text{(1 p)}.$$

(Probă: punctul de pe cercul trigonometric al unghiului $135^{\circ }$ este simetricul celui al unghiului $45^{\circ }$ față de axa $Oy$, deci au aceeași ordonată. Capcană: $\sin 135^{\circ }$ se ia $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, ca la cosinus; diferența ar fi $\sqrt{2}$, nu $0$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice cu parametrul $m$.

a) (5 p) Determinantul este produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare: $$\det A=(-1)\cdot 1-2\cdot 2\text{(3 p)}.$$ Rămâne $-1-4=-5$ (2 p).

(Probă: $\det A=(-1)\cdot 1-2\cdot 2<0$, fiindcă produsul secundar, $4$, este mai mare decât cel principal, $-1$. Capcană: produsele se adună, $(-1)\cdot 1+2\cdot 2=3$.)

b) (5 p) Pentru $m=-2$ se înlocuiește în $B$: $m=-2$ și $m+1=-1$, deci $B=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& -1\end{array}\right)$, iar suma este $A+B=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& -1\end{array}\right)$ (3 p). Pe fiecare poziție, elementele sunt opuse: $$A+B=\left(\begin{array}{cc}-1+1& 2+(-2)\\ 2+(-2)& 1+(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=O_2\text{(2 p)}.$$

(Probă: $B=-A$ pentru $m=-2$, deci suma lor este nulă. Capcană: $m+1$ se calculează $-2-1=-3$; atunci pe poziția $(2,2)$ ar rezulta $1+(-3)=-2$, nu $0$.)

c) (5 p) Produsul se face linie $\cdot$ coloană: $$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}-1\cdot 1+2m& -m+2(m+1)\\ 2\cdot 1+m& 2m+(m+1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2m-1& m+2\\ m+2& 3m+1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Egalitatea cu $\left(\begin{array}{cc}9& 7\\ 7& 16\end{array}\right)$ cere $2m-1=9$, adică $m=5$; celelalte trei elemente se verifică: $5+2=7$ și $3\cdot 5+1=16$. Răspunsul este $\mathbf{m}=5$ (2 p).

(Probă: pentru $m=5$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 5& 6\end{array}\right)$, iar primul element al produsului este $-1+10=9$. Capcană: matricele se înmulțesc element cu element; atunci $A\cdot B$ ar fi $\left(\begin{array}{cc}-1& 2m\\ 2m& m+1\end{array}\right)$, care la $m=5$ dă $\left(\begin{array}{cc}-1& 10\\ 10& 6\end{array}\right)$, nu matricea cerută.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul $3$.

a) (5 p) Se înlocuiește $X$ cu $-1$ în fiecare termen: $f(-1)=(-1{)}^3+2\cdot (-1{)}^2+(-1)$ (2 p). Puterile sunt $(-1{)}^3=-1$ și $(-1{)}^2=1$, deci $f(-1)=-1+2-1=0$ (3 p).

(Probă: $f=X{\left(X+1\right)}^2$, iar factorul $X+1$ se anulează în $-1$. Capcană: $(-1{)}^2$ se ia $-1$; atunci $-1+2\cdot (-1)+(-1)=-4$, nu $0$.)

b) (5 p) Polinomul se factorizează: $f=X\left(X^2+2X+1\right)=X(X+1{)}^2$, iar împărțitorul este $g=X^2+X=X(X+1)$. Raportul $\frac{X(X+1{)}^2}{X(X+1)}$ este $X+1$, deci câtul este $\mathbf{X}+1$ (2 p). Verificarea produsului: $(X+1)\cdot g=(X+1)\left(X^2+X\right)=X^3+2X^2+X=f$, deci diferența $f-(X+1)\cdot g$ este $0$, iar restul este $0$ (3 p).

(Probă: $f=(X+1)\cdot g+0$, cu restul de grad mai mic decât $2$. Capcană: se ia câtul $X+2$; atunci $f-(X+2)\cdot g=-X^2-X$, rest de gradul $2$, nu mai mic decât gradul lui $g$.)

c) (5 p) Se citesc coeficienții: $X^3+2X^2+1\cdot X+0$. Relațiile lui Viète leagă coeficienții de rădăcini: $-2$ este suma rădăcinilor, iar $1$ este suma produselor lor două câte două (2 p). Pătratul sumei rădăcinilor este suma pătratelor plus dublul sumei produselor; de aici $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(-2{)}^2-2\cdot 1=2\text{(3 p)}.$$

(Probă: din b), rădăcinile sunt $0$, $-1$ și $-1$; pătratele lor, $0$, $1$ și $1$, au suma $2$. Capcană: dublul produselor se adună în loc să se scadă, $(-2{)}^2+2\cdot 1=6$.)

Exercițiul 9. (15 p) — funcție cu fracție.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen: $x^{\prime }=1$, $10^{\prime }=0$ și ${\left(\frac{11}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{11}{x^2}$, deci $$f^{\prime }(x)=1-\left(-\frac{11}{x^2}\right)=1+\frac{11}{x^2}\text{(3 p)}.$$ Cu numitor comun $x^2$: $f^{\prime }(x)=\frac{x^2+11}{x^2}$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$ (2 p).

(Probă: în $x=1$, $f^{\prime }(1)=1+11=12$, iar $\frac{1+11}{1}=12$. Capcană: minusul din fața lui $\frac{11}{x}$ se uită; atunci $f^{\prime }(x)=1-\frac{11}{x^2}$, care în $x=1$ dă $-10$, nu $12$.)

b) (5 p) Pentru $x\in (0,+\infty )$: $x^2>0$ și $11>0$, deci $x^2+11>0$ (3 p). Atunci fracția $f^{\prime }(x)=\frac{x^2+11}{x^2}$ are numărătorul și numitorul pozitive, deci $f^{\prime }(x)>0$ pe tot intervalul, iar $f$ este crescătoare pe $(0,+\infty )$ (2 p).

(Probă: $f(1)=0$, $f(2)=\frac{13}{2}$, $f(4)=\frac{45}{4}$; valorile cresc. Capcană: din $f^{\prime }>0$ se concluzionează $f(x)>0$; dar $f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{23}{2}$, negativ, iar $f$ este totuși crescătoare.)

c) (5 p) Din $f^{\prime }(x)=1+11x^{-2}$ se obține $$f^{\prime \prime }(x)=-22x^{-3}=-\frac{22}{x^3},\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Pentru $x>0$ avem $x^3>0$, deci $f^{\prime \prime }(x)<0$ pe tot intervalul, iar $f$ este concavă pe $(0,+\infty )$ (3 p).

(Probă: $f^{\prime }$ scade, fiindcă $\frac{11}{x^2}$ scade când $x$ crește: $f^{\prime }(1)=12$, $f^{\prime }(2)=\frac{15}{4}$. Capcană: se uită factorul $2$ din derivata lui $x^{-2}$; atunci $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{11}{x^3}$, valoare diferită de $-\frac{22}{x^3}$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale și volum de rotație.

a) (5 p) Funcția $f$ este o primitivă a lui $f^{\prime }$, deci $${\int }_1^2{f}^{\prime }(x)dx=f(x){|}_1^2\text{(3 p)}.$$ Valorile sunt $f(2)=4+9=13$ și $f(1)=1+9=10$, deci integrala este $13-10=3$ (2 p).

(Probă: $f^{\prime }(x)=2x$, iar ${\int }_1^{2}2xdx=x^2{|}_1^2=4-1=3$. Capcană: se evaluează derivata în capete, $f^{\prime }(2)-f^{\prime }(1)=4-2=2$, în loc de funcția $f$.)

b) (5 p) Fracția se desparte în doi termeni: $\frac{f(x)}{x}=\frac{x^2+9}{x}=x+\frac{9}{x}$, deci integrala este ${\int }_1^2\left(x+\frac{9}{x}\right)dx$ (2 p). O primitivă este $\frac{x^2}{2}+9\ln x$: $$\left(\frac{x^2}{2}+9\ln x\right){|}_1^2=(2+9\ln 2)-\left(\frac{1}{2}+9\ln 1\right)=\frac{3}{2}+9\ln 2\text{(3 p)},$$ fiindcă $\ln 1=0$.

(Probă: $2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, iar $9\ln 2-9\ln 1=9\ln 2$. Capcană: $\ln 1$ se înlocuiește cu $1$; atunci în loc de $\frac{3}{2}+9\ln 2$ s-ar obține $-\frac{15}{2}+9\ln 2$.)

c) (5 p) Pentru $x\in [0,1]$: $g(x)=x^2+9-x^2=9$, funcție constantă, deci $g^2(x)=81$. Volumul corpului de rotație este $V=\pi {\int }_0^1{g}^2(x)dx=\pi {\int }_0^1{\left(x^2+9-x^2\right)}^{2}dx$ (2 p). Integrala unei constante este constanta înmulțită cu lungimea intervalului: $$V=\pi \cdot 81x{|}_0^1=81\pi \text{(3 p)}.$$

(Probă: corpul este un cilindru cu raza bazei $9$ și înălțimea $1$, iar volumul lui este $\pi \cdot 9^2\cdot 1=81\pi$. Capcană: $g^2$ se scrie $f^2-x^4$; la $x=1$ ar da $100-1=99$, dar $g(1{)}^2=81$.)

Pentru părinți și profesori

Cu ce avem de-a face. Textul de mai jos rezolvă Varianta 4 din proba „E. c)” de matematică M_tehnologic (numită pe site și M3), august 2013. Fișierul-sursă o încadrează ca subiect de rezervă al sesiunii din august; foaia însăși poartă doar inscripția „Varianta 4”. În partea de sus a foii figurează Ministerul Educației Naționale și Centrul Național de Evaluare și Examinare, după care urmează „Examenul de bacalaureat național 2013”. Elevii care o scriau erau din filiera tehnologică, la profilurile servicii, resurse și tehnic. Cerințele sunt copiate din PDF fără nicio schimbare. Explicațiile, probele și ghidajul le-am scris noi; din documentul oficial de evaluare am reținut numai cifra de puncte de pe fiecare rând.

Cum se împart punctele. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte. Subiectul I are șase cerințe de câte 5 puncte. Subiectele II și III au fiecare două probleme, cu trei subpuncte de câte 5 puncte. În total, $18$ cerințe de câte $5$ puncte fac $90$ de puncte, la care se adaugă $10$ din oficiu. Cele 3 ore de lucru înseamnă $180$ de minute, deci $10$ minute pentru o cerință.

Rândurile din documentul oficial. Documentul are $38$ de rânduri punctate. La cerințele 2 și 6 rândurile sunt de $2$, $2$ și $1$ puncte: cele două valori se calculează separat, iar rezultatul final, o sumă sau o diferență a lor, ia ultimul rând, de $1$ punct. Toate celelalte cerințe și subpuncte au două rânduri, de $2$ și $3$ puncte sau de $3$ și $2$ puncte. În pagină, marcajul „(1 p)”, „(2 p)” sau „(3 p)” stă la sfârșitul rândului oficial pe care îl reprezintă.

Harta foii

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

În această programă, sinusul și cosinusul aparțin clasei a IX-a, exponențialele, procentele și distanța dintre puncte clasei a X-a, calculul matriceal, derivatele și concavitatea clasei a XI-a, împărțirea polinoamelor, relațiile lui Viète, integrala definită și volumul corpului de rotație clasei a XII-a. Ordinul, din 29.08.2014, e mai nou decât foaia; tabelul spune deci unde se află fiecare temă în acea programă, nu ce învățau elevii în 2013.

De remarcat la această foaie. La 10.c) se cere un volum de rotație: funcția $g$ se reduce la o constantă, deci corpul este un cilindru. La 7.c) o egalitate de matrice $2\times 2$ înseamnă patru egalități numerice; aici toate patru dau același $m$. La 8, polinomul se scrie $X(X+1{)}^2$, ceea ce explică și câtul de la b), și rădăcinile de la c). La 9, derivata este dată la a), iar b) și c) se reazemă pe ea, respectiv pe încă o derivare. La 10.b) fracția $\frac{f(x)}{x}$ se desparte în doi termeni.

Formulele foii

• Subiectul I. sinusurile a două unghiuri care se completează la $180^{\circ }$ sunt egale; $a^m=a^n$ cu $a>0$, $a\ne 1$ înseamnă $m=n$; $p\%$ din $S$ este $\frac{p}{100}\cdot S$; distanța dintre $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$ este $\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$.
• Subiectul al II-lea. $\left|\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right|=ps-qr$; produsul a două matrice se face linie $\cdot$ coloană; împărțirea cu rest a lui $f$ la $g$ înseamnă $f=g\cdot q+r$ cu $\mathrm{grad}r<\mathrm{grad}g$; pentru $X^3+b{X}^2+cX+d$, $x_1+x_2+x_3=-b$ și $x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=c$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$; $f^{\prime }>0$ pe un interval înseamnă $f$ crescătoare, iar $f^{\prime \prime }<0$ înseamnă $f$ concavă; ${\int }_a^b{g}^{\prime }(x)dx=g(b)-g(a)$; volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $g:[a,b]\to \mathbb{R}$ în jurul axei $Ox$ este $V=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$.

Despre litere. Pe parcursul foii, $f$ înseamnă patru lucruri: o funcție afină (2), un polinom (8), o funcție cu fracție (9) și o funcție pătratică (10). $A$ și $B$ sunt puncte la 5 și matrice la 7, $O_2$ este matricea nulă, $m$ este parametrul din $B$, iar $g$ este polinom la 8.b) și funcție la 10.c).