Exerciții rezolvate — Statistică matematică (clasa a X-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Statistică matematică", clasa a X-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. De ce se ridică la pătrat abaterile $x_i-\bar{x}$ înainte de a le face media, în loc să se folosească direct media abaterilor?

   • a) Pentru că suma abaterilor simple este întotdeauna $0$, deci media lor nu ar măsura nimic.
   • b) Pentru că pătratele se calculează mai ușor decât diferențele.
   • c) Pentru că mediana o cere.
   • d) Pentru că altfel rezultatul ar fi negativ.
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) Pentru că suma abaterilor simple este întotdeauna $0$, deci media lor nu ar măsura nimic.

   $\sum (x_i-\bar{x})=\sum x_i-n\bar{x}=0$ pentru orice set de date, pentru că abaterile pozitive și cele negative se anulează exact. Ridicarea la pătrat elimină semnele fără să piardă informația despre mărime.

   Lecția: Abaterea standard: formulă și interpretare →

2. Se dau seturile de date (considerate întregi populații) $P:4,6,8,10,12$ și $Q:6,7,8,9,10$. Care afirmație este corectă?

   • a) Ambele au media $8$, dar $Q$ este mai omogen (${\sigma }_Q=\sqrt{2}$, ${\sigma }_P=2\sqrt{2}$)
   • b) Ambele au media $8$, dar $P$ este mai omogen
   • c) $P$ are media mai mare decât $Q$
   • d) Nu se pot compara, pentru că au aceeași medie
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) Ambele au media $8$, dar $Q$ este mai omogen (${\sigma }_Q=\sqrt{2}$, ${\sigma }_P=2\sqrt{2}$)

   Ambele sume dau $40$, deci $\bar{x}=8$ la amândouă. Pentru $P$: abaterile $-4,-2,0,2,4$, suma pătratelor $40$, deci ${\sigma }_P=\sqrt{40/5}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2,83$. Pentru $Q$: abaterile $-2,-1,0,1,2$, suma pătratelor $10$, deci ${\sigma }_Q=\sqrt{10/5}=\sqrt{2}\approx 1,41$. Aceeași medie, dar $Q$ e mult mai strâns în jurul ei.

   Lecția: Compararea a două seturi de date →

3. Pentru setul $4,9,2,15,7,12,20$, cât este $Q_1$?

   • a) $4$
   • b) $2$
   • c) $7$
   • d) $9$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $4$

   Ordonăm: $2,4,7,9,12,15,20$ ($n=7$). $Q_2=9$ (poziția $4$). Excludem $9$: jumătatea inferioară este $2,4,7$, cu mediana $Q_1=4$.

   Lecția: Cuartile și amplitudine →

4. Un boxplot are $Q_1=10$ și $Q_3=18$. Ce procent, aproximativ, din date se află în interiorul cutiei (între $Q_1$ și $Q_3$)?

   • a) $50\%$
   • b) $25\%$
   • c) $75\%$
   • d) $100\%$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $50\%$

   Cutia acoperă jumătatea din mijloc a datelor — al doilea și al treilea sfert — deci aproximativ $50\%$ din valori, indiferent de lungimea concretă a cutiei.

   Lecția: Diagrama boxplot →

5. Într-un grup de $150$ de persoane, o categorie are $30$ de persoane. Ce unghi îi revine în diagrama circulară?

   • a) $72^{\circ }$
   • b) $60^{\circ }$
   • c) $90^{\circ }$
   • d) $45^{\circ }$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $72^{\circ }$

   $\alpha =\frac{30}{150}\cdot 360^{\circ }=\frac{1}{5}\cdot 360^{\circ }=72^{\circ }$.

   Lecția: Diagrame circulare →

6. Un magazin a avut $50$ de clienți luni și $55$ marți. Într-un raport, diagrama a fost desenată cu axa verticală pornind de la $45$. De câte ori pare mai mare a doua bară față de prima?

   • a) de $2$ ori
   • b) de $1,5$ ori
   • c) de $1,1$ ori
   • d) de $4$ ori
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) de $2$ ori

   Înălțimile vizibile devin $50-45=5$ și $55-45=10$, deci raportul aparent este $\frac{10}{5}=2$ — deși creșterea reală este doar $\frac{5}{50}=10\%$.

   Lecția: Diagrame cu bare →

7. O școală are $900$ de elevi: $500$ fete și $400$ băieți. Pentru un eșantion stratificat de $90$ de elevi, câte fete trebuie alese?

   • a) $50$
   • b) $45$
   • c) $40$
   • d) $60$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $50$

   Cota fetelor este $n_{\text{fete}}=\frac{500}{900}\cdot 90=50$. Verificare: cota băieților este $\frac{400}{900}\cdot 90=40$, iar $50+40=90$ ✓.

   Lecția: Eșantionare: sondaj aleator simplu și sondaj stratificat →

8. Notele a $30$ de elevi au frecvențele: $5\to 3$, $6\to 6$, $7\to 9$, $8\to 7$, $9\to 5$. Câți elevi au note strict sub $8$?

   • a) $18$
   • b) $25$
   • c) $7$
   • d) $12$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $18$

   Strict sub $8$ înseamnă cel mult $7$: $N(\le 7)=3+6+9=18$ elevi. Nu se include nici nota $8$, nici o dublare a notei $7$.

   Lecția: Frecvențe cumulate →

9. Clasa A are $16$ elevi, dintre care $8$ au note peste $8$. Clasa B are $24$ de elevi, dintre care $18$ au note peste $8$. Care clasă are procentul mai mare de note peste $8$?

   • a) clasa B
   • b) clasa A
   • c) sunt egale
   • d) nu se poate determina fără alte date
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) clasa B

   $f_A=\frac{8}{16}=0,5=50\%$, $f_B=\frac{18}{24}=0,75=75\%$. Deși B are mai mulți elevi în total, procentul ei e mai mare: $75\%>50\%$.

   Lecția: Frecvențe relative și procente →

10. Se lucrează cu clasele $[10,20)$, $[20,30)$, $[30,40)$. În ce clasă intră valoarea $20$?

    • a) $[20,30)$
    • b) $[10,20)$
    • c) $[30,40)$
    • d) în $[10,20)$ și în $[20,30)$ deopotrivă
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $[20,30)$

    Convenția semideschisă $[a,b)$ include capătul din stânga și exclude capătul din dreapta, deci $20$ aparține lui $[20,30)$, nu lui $[10,20)$.

    Lecția: Gruparea datelor pe clase. Histograma →

11. Calculați media setului de date $6,9,11,14,15$.

    • a) $11$
    • b) $10$
    • c) $12$
    • d) $55$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $11$

    Suma valorilor este $6+9+11+14+15=55$, iar $n=5$, deci $\bar{x}=\frac{55}{5}=11$.

    Lecția: Media aritmetică și media ponderată a unui set de date →

12. Pentru setul de date $5,2,9,13,7,11,4$, care este mediana?

    • a) $7$
    • b) $5$
    • c) $9$
    • d) $8$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $7$

    Ordonăm crescător: $2,4,5,7,9,11,13$. Cum $n=7$ este impar, mediana este pe poziția $\frac{7+1}{2}=4$, adică al patrulea termen: $Q_2=7$.

    Lecția: Mediana unui set de date →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.