Formula integrării prin părți: formulă, la tehnologic

Formulă din tema Integrala definită, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M3 Formulă pentru liceele tehnologice (programa M_tehnologic, Bacalaureatul M3), clasa a XII-a: lecțiile ei sunt pe traseul tehnologic al clasei a XII-a; celelalte formule de la tehnologic ale temei sunt la finalul paginii „Integrala definită”.

$u$ și $v$ sunt funcții cu derivate continue pe $[a;b]$. Pe $u$ îl derivezi, iar din $v^{\prime }$ afli $v$ printr-o primitivă. Paranteza dreaptă se calculează cu ambele limite, $u(b)v(b)-u(a)v(a)$, iar integrala rămasă are semnul minus în față. Se alege $u$ factorul care se simplifică prin derivare. Capcană: pentru $v$ ajunge o singură primitivă, fără $+C$, fiindcă o altă constantă se reduce între paranteză și integrală. Control: dacă $u\ge 0$ și $v^{\prime }\ge 0$ pe tot intervalul, integrala iese pozitivă.

Exemplu: O pompă de dozare adaugă reactiv într-un reactor cu ritmul $r(t)=t{e}^{t/3}$ g/min, $t$ în minute. În primele 3 minute cantitatea este ${\int }_0^{3}t{e}^{t/3}dt$. Alegi $u=t$ și $v^{\prime }=e^{t/3}$, deci $u^{\prime }=1$ și $v=3e^{t/3}$. Atunci ${\int }_0^{3}t{e}^{t/3}dt=[3t{e}^{t/3}{]}_0^3-{\int }_0^{3}3e^{t/3}dt=9e-[9e^{t/3}{]}_0^3=9e-9e+9=9$ g. Control: $0\le r(t)\le 3e\approx 8,15$ g/min, deci cantitatea e între 0 și $3\cdot 8,15=24,45$ g, iar 9 se încadrează.