Integrarea prin părți

Formulă din tema Primitive și integrala nedefinită, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Se deduce din $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$, integrând ambii membri; $f$ și $g$ se cer derivabile cu derivata continuă. Regula descreșterii, pentru alegerea factorilor: se derivează ce se simplifică prin derivare ($\ln x$, $\mathrm{arctg}x$, $\arcsin x$, polinoamele) și se integrează ce nu se complică ($e^x$, $\sin x$, $\cos x$, puterile). Notația este cu $f$ și $g$, nu cu $u$ și $dv$. Pentru $x^n{e}^x$ sau $x^n\sin x$ formula se aplică de $n$ ori, coborând gradul cu o unitate de fiecare dată.

Exemplu: $\int x{e}^{x}dx$: cu $f=x$ și $g^{\prime }=e^x$ obținem $x{e}^x-\int e^{x}dx=(x-1)e^x+\mathcal{C}$. • $\int \ln xdx=x\ln x-x+\mathcal{C}$ (se ia $g^{\prime }=1$).