Subiect Bac matematică tehnologic, august 2021 (varianta 4) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2021 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați termenul $a_3$ al progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $a_1=4$ și rația este $r=5$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-x-1$. Arătați că $f(0)=f(1)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_4(3x+4)={\log }_{4}16$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o scumpire cu $25\%$, un produs costă $350$ de lei. Determinați prețul produsului înainte de scumpire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-4,1)$ și $B(a,b)$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că punctul $O$ este mijlocul segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul isoscel $ABC$, dreptunghic în $A$. Știind că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $8$, determinați lungimea laturii $AB$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ -1& 1\end{array}\right)$ și $B(x)=\left(\begin{array}{cc}x& -2x\\ 1& -1\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=3$.

b) (5 puncte) Arătați că $3B(2)+B(6)=4B(3)$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $(B(-x)-B(x))\cdot (B(-x)+B(x))=A+B(3)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=3x+4y-25$.

a) (5 puncte) Arătați că $3\circ 4=0$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $(2x)\circ x=5$.

c) (5 puncte) Determinați numerele întregi $m$ pentru care $m^2\circ 1\ge 1\circ m^2$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\left(-\frac{1}{3},+\infty \right)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x}{3x+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{2}{(3x+1{)}^2}$, $x\in \left(-\frac{1}{3},+\infty \right)$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că funcția $f$ este concavă.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+\ln x-1$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^4\left(f(x)-\ln x+1\right)dx=21$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_2^4\frac{x}{f(x)-\ln x}dx=\frac{1}{2}\ln 5$.

c) (5 puncte) Determinați $a\in (1,+\infty )$ pentru care ${\int }_1^a\frac{f(x)}{x^2}dx=\frac{a-\ln a}{a}$.

Barem și răspunsuri

Cele 90 p ale cerințelor și cele 10 p din oficiu fac împreună 100 p. Cerințele 1–6 valorează câte 5 p (30 p); problemele 7–8 aduc 30 p, iar problemele 9–10 încă 30 p. Fiecare subpunct are 5 p, în două rânduri. Rândurile punctate urmează varianta 4 din august 2021; calculele, probele și capcanele din text sunt ale noastre.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Într-o progresie aritmetică fiecare termen îl depășește pe precedentul cu rația, deci $a_3=a_1+2r$: $$a_3=4+2\cdot 5\text{(3 p)}.$$ $$a_3=4+10=14\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: $a_2=4+5=9$, apoi $a_3=9+5=14$. Capcană: se adaugă rația de trei ori, $a_1+3r=19$, deși între $a_1$ și $a_3$ sunt doar doi pași; sau se confundă cu progresia geometrică, $4\cdot 5^2=100$.)

Exercițiul 2. (5 p) — valori ale unei funcții de gradul al doilea.

Valoarea în $0$ este $f(0)=0^2-0-1=-1$ (2 p).

Valoarea în $1$ este $f(1)=1^2-1-1=-1$, deci $f(0)=f(1)$ (3 p).

(Altă cale: parabola $y=x^2-x-1$ are axa de simetrie $x=\frac{1}{2}$, iar $0$ și $1$ sunt simetrice față de ea. Capcană: se uită termenul constant și se obține $0$ și $0$; egalitatea rămâne, dar valorile corecte sunt $f(0)=f(1)=-1$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Cei doi logaritmi au aceeași bază $4>0$, $4\ne 1$, deci sunt egali exact când argumentele lor, pozitive, sunt egale: $$3x+4=16\text{(3 p)}.$$ Din $3x=12$ rezultă $\mathbf{x}=4$. Argumentul este pozitiv, $3\cdot 4+4=16>0$, deci soluția convine (2 p).

(Probă: ${\log }_{4}16=2$, fiindcă $4^2=16$, iar ${\log }_4(3\cdot 4+4)={\log }_{4}16=2$. Capcană: argumentul $16$ se împarte la baza $4$, ca și cum logaritmul s-ar „simplifica": $3x+4=4$ dă $x=0$, dar atunci membrul stâng este ${\log }_{4}4=1$, nu $2$.)

Exercițiul 4. (5 p) — prețul de dinainte de scumpire.

Fie $p$ prețul de dinainte. După o scumpire cu $25\%$ el devine $p+\frac{25}{100}p$, iar acest preț este $350$ de lei: $$p+\frac{25}{100}p=350\text{(3 p)}.$$ Membrul stâng este $\frac{125}{100}p=\frac{5}{4}p$, deci $p=350\cdot \frac{4}{5}=280$ lei (2 p).

(Probă: $25\%$ din $280$ este $70$, iar $280+70=350$. Capcană: $25\%$ se calculează din prețul de după scumpire, $\frac{25}{100}\cdot 350=87,5$, și se scade din $350$; rezultatul $262,5$ nu e $280$, iar $\frac{5}{4}\cdot 262,5=328,125$ nu dă înapoi $350$.)

Exercițiul 5. (5 p) — capăt de segment dintr-un mijloc.

Mijlocul lui $[AB]$ este $O(0,0)$, deci semisumele coordonatelor sunt nule: $$\frac{-4+a}{2}=0,\frac{1+b}{2}=0\text{(3 p)}.$$ Rezultă $\mathbf{a}=4$ și $\mathbf{b}=-1$, adică $B(4,-1)$ (2 p).

(Probă: $A(-4,1)$ și $B(4,-1)$ sunt simetrice față de origine, iar mijlocul lor este $(0,0)$. Capcană: se ia $B(-4,1)$, adică $B$ coincide cu $A$; mijlocul lui $AB$ ar fi chiar $A$, nu $O$.)

Exercițiul 6. (5 p) — triunghi isoscel dreptunghic.

Unghiul drept este în $A$, deci catetele sunt $AB$ și $AC$, iar triunghiul fiind isoscel, $AC=AB$. Aria este $$\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{A{B}^2}{2}\text{(2 p)}.$$ Din $\frac{A{B}^2}{2}=8$ rezultă $A{B}^2=16$, deci $\mathbf{AB}=4$ (3 p).

(Probă: $\frac{4\cdot 4}{2}=8$, iar ipotenuza este $BC=4\sqrt{2}$. Capcană: aria se scrie fără împărțirea la $2$, $A{B}^2=8$ și $AB=2\sqrt{2}$; dar un asemenea triunghi are aria $\frac{2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}}{2}=4$, nu $8$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$ cu parametru.

a) (5 p) Pentru o matrice $2\times 2$ determinantul este $ps-qr$: elementele diagonalei principale se înmulțesc, iar din rezultat se scade produsul celor de pe cealaltă diagonală: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}5& -2\\ -1& 1\end{array}\right|=5\cdot 1-(-2)(-1)\text{(3 p)}.$$ $$\det A=5-2=3\text{(2 p)}.$$

(Capcană: produsul $(-2)(-1)$ este pozitiv, $+2$, dar se scade; dacă se adună, $5+2=7$.)

b) (5 p) Se scriu $B(2)=\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ 1& -1\end{array}\right)$ și $B(6)=\left(\begin{array}{cc}6& -12\\ 1& -1\end{array}\right)$. Atunci $$3B(2)+B(6)=\left(\begin{array}{cc}6& -12\\ 3& -3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}6& -12\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}12& -24\\ 4& -4\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Cum $B(3)=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 1& -1\end{array}\right)$, avem $$4B(3)=\left(\begin{array}{cc}12& -24\\ 4& -4\end{array}\right)=3B(2)+B(6)\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: $B(x)=xU+V$, cu $U=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 0\end{array}\right)$ și $V=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& -1\end{array}\right)$, deci $3B(2)+B(6)=(6+6)U+4V=4(3U+V)=4B(3)$. Capcană: în $B(6)$ se înlocuiește $x$ doar pe diagonală, $\left(\begin{array}{cc}6& -2\\ 1& -1\end{array}\right)$; suma ar fi $\left(\begin{array}{cc}12& -14\\ 4& -4\end{array}\right)$.)

c) (5 p) Matricea $B(-x)=\left(\begin{array}{cc}-x& 2x\\ 1& -1\end{array}\right)$. Se calculează diferența și suma: $$B(-x)-B(x)=\left(\begin{array}{cc}-2x& 4x\\ 0& 0\end{array}\right),B(-x)+B(x)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 2& -2\end{array}\right).$$ Produsul, rând cu coloană, este $$\left(\begin{array}{cc}-2x& 4x\\ 0& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 2& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8x& -8x\\ 0& 0\end{array}\right),\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ Membrul drept este $A+B(3)=\left(\begin{array}{cc}8& -8\\ 0& 0\end{array}\right)$, iar egalitatea poziție cu poziție dă $8x=8$, deci $\mathbf{x}=1$ (2 p).

(Probă: pentru $x=1$ avem $B(-1)-B(1)=\left(\begin{array}{cc}-2& 4\\ 0& 0\end{array}\right)$, iar produsul cu $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 2& -2\end{array}\right)$ este $\left(\begin{array}{cc}8& -8\\ 0& 0\end{array}\right)$. Capcană: ordinea factorilor; $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 2& -2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}-2x& 4x\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ -4x& 8x\end{array}\right)$, altă matrice, fiindcă produsul de matrice nu comută.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=3$ și $y=4$: $$3\circ 4=3\cdot 3+4\cdot 4-25\text{(3 p)}.$$ $$3\circ 4=9+16-25=0\text{(2 p)}.$$

(Legea nu e comutativă: $4\circ 3=12+12-25=-1$, deci $3\circ 4\ne 4\circ 3$. De aceea ordinea în care se înlocuiesc $x$ și $y$ contează.)

b) (5 p) Primul argument este $2x$, al doilea este $x$: $$(2x)\circ x=3\cdot 2x+4x-25=10x-25,\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ Ecuația $10x-25=5$ dă $10x=30$, adică $\mathbf{x}=3$ (2 p).

(Probă: $6\circ 3=18+12-25=5$. Capcană: argumentele se pun în ordine inversă, $x\circ (2x)=3x+8x-25=11x-25$, iar $11x-25=5$ ar da $x=\frac{30}{11}$.)

c) (5 p) Se calculează cele două compuneri pentru orice $m$ întreg: $$m^2\circ 1=3m^2+4-25=3m^2-21,1\circ m^2=3+4m^2-25=4m^2-22\text{(2 p)}.$$ Inegalitatea $3m^2-21\ge 4m^2-22$ revine la $1-m^2\ge 0$, adică $m^2\le 1$, deci $-1\le m\le 1$. Numerele întregi din acest interval sunt $$m\in \{-1,0,1\}\text{(3 p)}.$$

(Probă: pentru $m=2$ avem $m^2\circ 1=-9$ și $1\circ m^2=-6$, iar $-9<-6$, deci $m=2$ nu convine. Capcană: din $m^2\le 1$ se păstrează doar $m\le 1$; s-ar accepta atunci și $m=-5$, dar $(-5{)}^2\circ 1=54$ și $1\circ (-5{)}^2=78$, iar $54<78$, deci inegalitatea nu se verifică.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, asimptotă, concavitate.

a) (5 p) Formula câtului, cu $u=2x$ și $v=3x+1$, unde $u^{\prime }=2$ și $v^{\prime }=3$: $$f^{\prime }(x)=\frac{2(3x+1)-2x\cdot 3}{(3x+1{)}^2}\text{(3 p)}.$$ La numărător $6x+2-6x=2$, deci $$f^{\prime }(x)=\frac{2}{(3x+1{)}^2},x\in \left(-\frac{1}{3},+\infty \right)\text{(2 p)}.$$

(Capcană: derivata lui $3x+1$ este $3$, nu $1$; dacă s-ar lua $1$, numărătorul ar fi $2(3x+1)-2x=4x+2$, nu $2$.)

b) (5 p) Se împarte numărătorul și numitorul la $x$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x}{3x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{3+\frac{1}{x}}=\frac{2}{3}\text{(3 p)}.$$ Limita este finită, deci graficul se apropie de o dreaptă orizontală când $x\to +\infty$; ecuația ei este $\mathbf{y}=\frac{2}{3}$ (2 p).

(Probă: $\frac{2x}{3x+1}<\frac{2}{3}$ pentru orice $x$ din domeniu, fiindcă $6x<6x+2$; graficul se apropie de dreaptă pe dedesubt. Observație: spre capătul $-\frac{1}{3}$ al domeniului numitorul tinde la $0$ și numărătorul este negativ, deci $f(x)\to -\infty$; aceea ar fi o asimptotă verticală, altceva decât cea cerută.)

c) (5 p) Se scrie $f^{\prime }(x)=2(3x+1{)}^{-2}$ și se derivează încă o dată; la funcția compusă apare factorul $3$, derivata lui $3x+1$: $$f^{\prime \prime }(x)=2\cdot (-2)(3x+1{)}^{-3}\cdot 3=-\frac{12}{(3x+1{)}^3},x\in \left(-\frac{1}{3},+\infty \right)\text{(3 p)}.$$ Pe $\left(-\frac{1}{3},+\infty \right)$ avem $3x+1>0$, deci $(3x+1{)}^3>0$ și $f^{\prime \prime }(x)<0$; funcția $f$ este concavă (2 p).

(Capcană: factorul $3$ din derivata lui $3x+1$ se uită și se obține $-\frac{4}{(3x+1{)}^3}$; semnul rămâne același, dar valoarea e greșită: în $x=0$ avem $f^{\prime \prime }(0)=-12$, nu $-4$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu logaritm.

a) (5 p) Termenii cu $\ln x$ și constanta se reduc: $f(x)-\ln x+1=x^2$. Atunci $${\int }_1^4{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_1^4\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{64}{3}-\frac{1}{3}=\frac{63}{3}=21\text{(2 p)}.$$

(Greșeală frecventă: lipsa împărțirii la $3$ din primitivă; $x^3{|}_1^4$ ar da $64-1=63$.)

b) (5 p) Numitorul este $f(x)-\ln x=x^2-1$, pozitiv pe $[2,4]$. Cum ${\left(x^2-1\right)}^{\prime }=2x$, integrandul este $\frac{x}{x^2-1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{{\left(x^2-1\right)}^{\prime }}{x^2-1}$, iar o primitivă este $\frac{1}{2}\ln \left(x^2-1\right)$: $${\int }_2^4\frac{x}{x^2-1}dx=\frac{1}{2}\ln \left(x^2-1\right){|}_2^4\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{1}{2}\left(\ln 15-\ln 3\right)=\frac{1}{2}\ln \frac{15}{3}=\frac{1}{2}\ln 5\text{(2 p)}.$$

(Probă: $4^2-1=15$ și $2^2-1=3$. Dacă factorul $\frac{1}{2}$ lipsește, funcția $\ln \left(x^2-1\right)$ are derivata $\frac{2x}{x^2-1}$, dublul integrandului.)

c) (5 p) Integrandul se desparte în trei termeni: $\frac{f(x)}{x^2}=1+\frac{\ln x}{x^2}-\frac{1}{x^2}$. Termenul cu logaritm se integrează prin părți, cu $\frac{1}{x^2}={\left(-\frac{1}{x}\right)}^{\prime }$: $${\int }_1^a\frac{\ln x}{x^2}dx=-\frac{\ln x}{x}{|}_1^a+{\int }_1^a\frac{1}{x^2}dx=-\frac{\ln a}{a}+\left(1-\frac{1}{a}\right).$$ Cum ${\int }_1^a\frac{dx}{x^2}=1-\frac{1}{a}$, cele două integrale ale lui $\frac{1}{x^2}$ se anulează, iar $${\int }_1^a\frac{f(x)}{x^2}dx=(a-1)-\frac{\ln a}{a}\text{(3 p)}.$$ Egalitatea cu $\frac{a-\ln a}{a}=1-\frac{\ln a}{a}$ dă $a-1=1$, deci $\mathbf{a}=2$, care aparține lui $(1,+\infty )$ (2 p).

(Probă: pentru $a=2$, ambii membri sunt $1-\frac{\ln 2}{2}$. Capcană: se confundă derivata fracției $\frac{\ln x}{x}$, al cărei numărător este $1-\ln x$, cu integrandul $\frac{\ln x}{x^2}$; primitiva lui $\frac{\ln x}{x^2}$ nu este $\frac{\ln x}{x}$.)

Pentru părinți și profesori

Ce este pagina. Aici e lucrarea de matematică M_tehnologic din sesiunea de toamnă a Bacalaureatului 2021 (august), Varianta 4, însoțită de baremul oficial și de rezolvări scrise de noi. Documentul oficial se numește Examenul național de bacalaureat 2021, Proba E. c), iar capul foii înșiră două instituții: Ministerul Educației și, sub el, Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. E lucrarea candidaților din filiera tehnologică (profilurile servicii, resurse și tehnic, toate calificările). Pe site îi spunem și M3. Enunțurile sunt transcrise fără nicio schimbare; rezolvările, observațiile și ghidajul ne aparțin, iar din barem am luat doar împărțirea punctelor pe rânduri.

Cum arată lucrarea. Foaia cere trei ore de lucru efectiv, declară obligatorii toate subiectele și adaugă zece puncte din oficiu. Subiectul I strânge șase cerințe; fiecare dintre următoarele două subiecte are câte două probleme, iar fiecare problemă are trei subpuncte.

Unde cade fiecare cerință în programa de examen:

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Logaritmii se cer la examen în clasa a X-a. Programa școlară nouă rezolvă ecuațiile numai pe grafic și spune explicit că proprietățile algebrice ale logaritmilor nu se evidențiază. Pentru candidații din 2027–2029, ecuația de la cerința 3 se pregătește cu „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice", iar proprietățile logaritmilor cu „Supliment Bac M3 2027–2029: puteri, radicali, logaritmi".
• Nota 2. La examen, procentele aparțin clasei a X-a, blocului de calcul financiar. În programa școlară nouă calculul procentual nu e temă de sine stătătoare; îl ai la noi în „Supliment Bac M3 2027–2029: matematici financiare".
• Nota 3. Programa de examen numește, în clasa a X-a, reperul cartezian și coordonatele punctelor, dar nu și mijlocul unui segment, pe care cerința 5 îl folosește. Programa școlară nouă are reperul cartezian și formula mijlocului în clasa a IX-a. Tabelul de sus urmează clasa din programa de examen.

Ce are special varianta 4. La cerința 4 se cunoaște prețul de după scumpire, iar procentul de $25\%$ se calculează din prețul de dinainte, care e necunoscut, deci acesta se află dintr-o ecuație; înmulțirea directă $350\cdot 1,25$ nu duce la rezultat. La cerința 5 se cunoaște un capăt și mijlocul, iar celălalt capăt se află din două ecuații simple. La Subiectul al II-lea, produsul matriceal de la 7.c) are o matrice cu o linie de zerouri, iar rezultatul depinde liniar de $x$; inegalitatea de la 8.c) se reduce la $m^2\le 1$, deci la trei valori întregi. La Subiectul al III-lea, concavitatea de la 9.c) se obține dintr-o a doua derivată cu semn constant, iar la 10.c) termenii cu $\ln a$ dispar din ecuația finală, rămânând una de gradul întâi.

Planul de lucru:

• Ritm. Lucrarea durează trei ore. Dacă dedici 20 de minute recitirii, rămân 160 de minute pentru 90 de puncte, adică puțin peste un minut și trei sferturi pe punct. Subiectul I se termină mai repede, iar surplusul de timp merge la problemele de câte 15 puncte.
• Scriere. Rezolvă complet, cu justificări; fiecare subpunct de 5 puncte are două rânduri (3 + 2 sau 2 + 3), la fel ca fiecare cerință din Subiectul I.
• Ce spune foaia de barem. O rezolvare corectă dă punctajul întreg și când diferă de cea tipărită; punctele nu se fracționează; nota se obține împărțind totalul la zece.
• Locuri unde se alunecă ușor: la 3, condiția $3x+4>0$ uitată; la 4, procentul calculat din prețul de după scumpire; la 6, aria scrisă fără $\frac{1}{2}$; la 7.c), ordinea factorilor în produsul de matrice; la 8.c), $m^2\le 1$ redus la $m\le 1$; la 9.c), concavitatea afirmată fără semnul lui $3x+1$; la 10.b), factorul $\frac{1}{2}$ lipsă din primitivă.
• După corectare. Leagă fiecare subpunct ratat de un rând din tabelul de sus și notează formula sau pasul care a lipsit.

Citirea rezultatului. Nota 5 cere 40 de puncte din cele 90, nota 8 cere 70, iar nota 10 cere toate cele 90 (oficiul se adaugă). Dacă ai sub 40, reia cerințele din Subiectul I și subpunctele a), b); la totaluri între 40 și 70, caută întâi la c); peste 70, lucrează ritmul.

Formulele lucrării, grupate pe subiecte:

• Subiectul I. $a_n=a_1+(n-1)r$; ${\log }_{a}u={\log }_{a}v⟺u=v$ pentru $u,v>0$; $p\%$ din $S$ înseamnă $\frac{p}{100}\cdot S$; semisumele coordonatelor capetelor dau mijlocul segmentului $[AB]$, $\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$; aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; produsul de matrice se face „rând cu coloană"; $u^2\le 1⟺-1\le u\le 1$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; o funcție cu $f^{\prime \prime }\le 0$ pe un interval este concavă pe el; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|$; $\int u{v}^{\prime }dx=uv-\int u^{\prime }vdx$.

Notații. Același simbol are în lucrare mai multe sensuri: $f$ este, pe rând, $x^2-x-1$ (cerința 2), $\frac{2x}{3x+1}$ (cerința 9) și $x^2+\ln x-1$ (cerința 10). Simbolurile $a_1$ și $a_3$ sunt termeni ai progresiei de la cerința 1; $a$ și $b$ sunt coordonatele lui $B$ la cerința 5, iar $a$ este necunoscuta de la 10.c). Litera $A$ înseamnă punct la cerința 5, vârf la cerința 6 și matrice la cerința 7; litera $B$ este punct la cerința 5, vârf la cerința 6 și matrice, $B(x)$, la cerința 7. Cuvântul „itemul" din titlurile de mai jos vine din barem; la clasă spunem „cerința".