Subiect Bac matematică tehnologic, sesiunea specială 2019 (varianta 8) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2019 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right):\left(1-\frac{1}{12}\right)=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+4$. Arătați că $f(-2)+f(2)=4f(0)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_8\left(x^2-27\right)={\log }_8(x-3{)}^2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $M=\{10,11,12,13,14,15,16,17,18,19\}$, acesta să fie număr par.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,3)$ și $B(8,3)$. Determinați coordonatele punctului $C$, știind că punctul $B$ este mijlocul segmentului $AC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că ${\cos }^{2}30^{\circ }+{\sin }^{2}60^{\circ }-2\cos 30^{\circ }\cdot \sin 60^{\circ }=0$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $M=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$, $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A(a)=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 3& 2\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det M=3$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $A(a)\cdot A(a)=4A(a)-I_2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $\det \left(aA(a)+M\right)=0$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-4X^2+mX+2$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f(2)=2m-6$, pentru orice număr real $m$.

b) (5 puncte) Demonstrați că, pentru orice număr real $m$, numărul $E=x_1^2{x}_2{x}_3+x_1{x}_2^2{x}_3+x_1{x}_2{x}_3^2$ este întreg, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Pentru $m=3$, determinați rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=7x^3-5x^2+x+1$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=(3x-1)(7x-1)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f(x)\le \frac{52}{49}$, pentru orice $x\in \left(-\infty ,\frac{1}{3}\right]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+8x-2,& x\in (-\infty ,0]\\ x-2,& x\in (0,+\infty )\end{array}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^{2}f(x)dx=-\frac{1}{2}$.

b) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$.

c) (5 puncte) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=-1$ și $x=0$ are aria egală cu $\frac{17}{3}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Cerința 4 are trei rânduri (2 p + 2 p + 1 p), iar celelalte cinci cerințe ale Subiectului I au câte două. Cerințele 7–10 valorează câte 15 p și se împart în subpuncte de 5 p, fiecare cu două rânduri. Rândurile de punctaj copiază împărțirea documentului oficial al sesiunii speciale 2019 (Varianta 8). Soluțiile, explicațiile și probele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — operații cu fracții.

Fiecare paranteză se aduce la numitorul comun $12$: $$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{12-4+3}{12}=\frac{11}{12},1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}\text{(3 p)}.$$ Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțirea cu inversa ei; cele două numere sunt egale și nenule, deci $$\frac{11}{12}:\frac{11}{12}=\frac{11}{12}\cdot \frac{12}{11}=1\text{(2 p)}.$$

(Probă: oricare ar fi numărul nenul $u$, $u:u=1$; aici $u=\frac{11}{12}$. Capcană: semnul lui $\frac{1}{4}$ se schimbă la aducerea la numitor comun, $\frac{12-4-3}{12}=\frac{5}{12}$; atunci câtul ar fi $\frac{5}{12}:\frac{11}{12}=\frac{5}{11}\ne 1$.)

Exercițiul 2. (5 p) — valori ale unei funcții.

Se înlocuiește $x$ cu $-2$, apoi cu $2$: $$f(-2)+f(2)=\left((-2{)}^2+4\right)+\left(2^2+4\right)=8+8\text{(2 p)}.$$ Suma este $16$, iar $f(0)=0^2+4=4$, deci $4f(0)=16$: $$f(-2)+f(2)=16=4\cdot 4=4f(0)\text{(3 p)}.$$

(Probă: $f(-2)=f(2)$, fiindcă $x^2$ nu schimbă valoarea la schimbarea semnului lui $x$. Capcană: pătratul lui $-2$ se ia egal cu $-4$, în loc de $4$; atunci $f(-2)$ ar ieși $-4+4$, adică $0$, suma ar fi $8$, iar $8\ne 16$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Doi logaritmi în aceeași bază sunt egali dacă argumentele sunt egale (și pozitive): $$x^2-27=(x-3{)}^2=x^2-6x+9⟺6x-36=0\text{(3 p)}.$$ Rezultă $x=6$. Pentru $x=6$ ambele argumente sunt pozitive: $6^2-27=9$ și $(6-3{)}^2=9$. Deci $\mathbf{x}=6$ (2 p).

(Probă: ${\log }_{8}9={\log }_{8}9$. Capcană: pătratul diferenței se înlocuiește cu diferența pătratelor, $x^2-9$; atunci, după reducerea lui $x^2$, s-ar compara numerele $-27$ și $-9$, care sunt diferite, iar ecuația ar părea fără soluții.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Elementele lui $M$ sunt numerele de la $10$ până la $19$, în total $10$; deci există $10$ rezultate posibile (2 p).

Dintre ele, pare sunt $10,12,14,16,18$, adică $5$ rezultate favorabile (2 p).

Probabilitatea este câtul dintre numărul rezultatelor favorabile și cel al rezultatelor posibile: $$p=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\text{(1 p)}.$$

(Probă: din fiecare pereche de numere consecutive $10,11$; $12,13$; … ; $18,19$ unul este par, deci exact jumătate dintre cele $10$ numere sunt pare. Capcană: numărul elementelor se află scăzând capetele, $19-10=9$, fără capătul $10$; atunci $p$ ar fi $\frac{5}{9}$, nu $\frac{1}{2}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment.

Dacă $B$ este mijlocul lui $AC$, fiecare coordonată a lui $B$ este media coordonatelor lui $A$ și $C$. Pentru abscisă: $$8=\frac{4+x_C}{2}⟹4+x_C=16⟹x_C=12\text{(3 p)}.$$ Pentru ordonată: $3=\frac{3+y_C}{2}$, deci $3+y_C=6$ și $y_C=3$. Punctul căutat este $\mathbf{C}(12,3)$ (2 p).

(Probă: mijlocul segmentului cu capetele $A(4,3)$ și $C(12,3)$ este $\left(\frac{16}{2},\frac{6}{2}\right)=(8,3)=B$. Capcană: se află mijlocul lui $AB$ în loc de punctul $C$; obținem $\left(\frac{4+8}{2},3\right)=(6,3)$, iar $(6,3)$ nu răspunde întrebării.)

Exercițiul 6. (5 p) — o expresie trigonometrică.

Valorile necesare sunt egale între ele: $$\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(2 p)}.$$ Expresia are pătratele lui $\cos 30^{\circ }$ și $\sin 60^{\circ }$, iar din ele se scade dublul produsului lor; deci este pătratul diferenței dintre cele două valori: $${\cos }^{2}30^{\circ }+{\sin }^{2}60^{\circ }-2\cos 30^{\circ }\cdot \sin 60^{\circ }={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=0\text{(3 p)}.$$

(Probă: $\frac{3}{4}+\frac{3}{4}-2\cdot \frac{3}{4}=0$. Capcană: se ia $\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, valoarea lui $\sin 30^{\circ }$; atunci cele două valori diferă, iar pătratul diferenței lor nu e nul, fiindcă $\sqrt{3}\ne 1$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matricele $M$ și $A(a)$.

a) (5 p) Se scade din produsul diagonalei principale produsul celeilalte diagonale: $$\det M=2\cdot 2-1\cdot 1\text{(3 p)}.$$ $$\det M=4-1=3\text{(2 p)}.$$

(Observație: $M$ este simetrică; pe diagonala secundară stau două elemente egale cu $1$, al căror produs este $1$. Capcană: se înmulțesc elementele de pe coloane în loc de diagonale, $2\cdot 1-1\cdot 2=0$.)

b) (5 p) Produsul $A(a)\cdot A(a)$ se obține înmulțind linia cu coloana: $$A(a)\cdot A(a)=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+3& a+2\\ 3a+6& 7\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Membrul drept este $4A(a)-I_2=\left(\begin{array}{cc}4a-1& 4\\ 12& 7\end{array}\right)$. Două matrice sunt egale când coincid pe fiecare poziție; din $a^2+3=4a-1$ rezultă $(a-2{)}^2=0$, adică $a=2$, iar pe celelalte trei poziții valorile coincid și ele pentru $a=2$: $4$, $12$ și $7$. Deci $\mathbf{a}=2$ (3 p).

(Probă pentru $a=2$: $A(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)$; matricele $A(2)\cdot A(2)$ și $4A(2)-I_2$ coincid pe toate cele patru poziții, cu valorile $7$, $4$, $12$, $7$. Capcană: produsul se face ridicând fiecare element la pătrat, $\left(\begin{array}{cc}{a}^2& 1\\ 9& 4\end{array}\right)$; atunci în colțul dreapta sus s-ar compara $1$ cu $4$, imposibil.)

c) (5 p) Matricea $A(a)$ se înmulțește cu scalarul $a$, apoi se adună $M$: $$aA(a)+M=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+2& a+1\\ 3a+1& 2a+2\end{array}\right).$$ Determinantul ei se desface și se factorizează, scoțând $a+1$ (din $2a+2=2(a+1)$): $$\det \left(aA(a)+M\right)=(a^2+2)(2a+2)-(a+1)(3a+1)=(a+1)\left(2a^2-3a+3\right)\text{(3 p)}.$$ Trinomul $2a^2-3a+3$ are $\Delta =9-24=-15<0$, deci nu are rădăcini reale și nu ia valoarea $0$. Produsul este nul doar când $a+1=0$, adică $\mathbf{a}=-1$ (2 p).

(Probă pentru $a=-1$: $-A(-1)+M=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ -2& 0\end{array}\right)$, a doua coloană este nulă, deci determinantul este $0$. Capcană: se folosește regula „determinantul sumei este suma determinantelor"; pentru $a=1$ s-ar aduna $-1$ (determinantul lui $A(1)$) cu $3$ (determinantul lui $M$) și ar ieși $2$, dar determinantul sumei $A(1)+M$ este $4$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinomul $f=X^3-4X^2+mX+2$.

a) (5 p) Se înlocuiește $X$ cu $2$: $$f(2)=2^3-4\cdot 2^2+m\cdot 2+2\text{(3 p)}.$$ $$f(2)=8-16+2m+2=2m-6,\text{ pentru orice }m\text{ real}\text{(2 p)}.$$

(Probă pentru $m=3$: $f(2)=8-16+6+2=0=2\cdot 3-6$. Capcană: $2^3$ se ia egal cu $6$; atunci $f(2)$ ar fi $6-16+2m+2=2m-8$.)

b) (5 p) Polinomul este unitar; relațiile lui Viète dau suma rădăcinilor, $-(-4)$, și produsul lor, $-2$ (termenul liber $2$, cu semn schimbat): $$x_1+x_2+x_3=4,x_1{x}_2{x}_3=-2\text{(2 p)}.$$ Din $E$ se dă factor comun $x_1{x}_2{x}_3$: $$E=x_1{x}_2{x}_3\left(x_1+x_2+x_3\right)=(-2)\cdot 4=-8,\text{ numa˘r ıˆntreg, indiferent de }m\text{(3 p)}.$$

(Probă pentru $m=3$: rădăcinile sunt $2$, $1-\sqrt{2}$, $1+\sqrt{2}$, cu suma $4$ și produsul $2(1-2)=-2$. Capcană: produsul rădăcinilor se ia egal cu termenul liber, $2$; atunci $E$ ar fi $2\cdot 4=8$, tot întreg, dar cu semn greșit.)

c) (5 p) Pentru $m=3$ polinomul este $f=X^3-4X^2+3X+2$; din punctul a), $f(2)=0$, deci $X-2$ divide polinomul: $$f=(X-2)\left(X^2-2X-1\right)\text{(2 p)}.$$ Factorul $X^2-2X-1$ are discriminantul $8$ și rădăcinile $1\pm \sqrt{2}$. Rădăcinile lui $f$ sunt $x_1=1-\sqrt{2}$, $x_2=2$ și ${\mathbf{x}}_3=1+\sqrt{2}$ (3 p).

(Probă: $(X-2)\left(X^2-2X-1\right)=X^3-4X^2+3X+2$. Capcană: se păstrează doar rădăcina $2$ și se uită factorul $X^2-2X-1$, ale cărui rădăcini, $1\pm \sqrt{2}$, sunt iraționale.)

Exercițiul 9. (15 p) — funcția $f(x)=7x^3-5x^2+x+1$.

a) (5 p) Pentru cei patru termeni se aplică regulile uzuale de derivare: ${\left(7x^3\right)}^{\prime }=7\cdot 3x^2$, ${\left(-5x^2\right)}^{\prime }=-5\cdot 2x$, $x^{\prime }=1$, iar constanta $1$ are derivata $0$: $$f^{\prime }(x)=7\cdot 3x^2-5\cdot 2x+1\text{(2 p)}.$$ Se desfac parantezele din produs: $(3x-1)(7x-1)=21x^2-3x-7x+1$, adică $$f^{\prime }(x)=21x^2-10x+1=(3x-1)(7x-1),x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Probă: $f^{\prime }\left(\frac{1}{3}\right)=0$ și $f^{\prime }\left(\frac{1}{7}\right)=0$. Capcană: derivata lui $-5x^2$ se scrie $-5x$, fără factorul $2$; atunci s-ar obține $21x^2-5x+1$, care nu se descompune în $(3x-1)(7x-1)$.)

b) (5 p) La numărător stă $x{f}^{\prime }(x)=x(3x-1)(7x-1)$, la numitor $f(x)=7x^3-5x^2+x+1$, ambele de gradul $3$; din fiecare se scoate $x^3$ în față: $$\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{x^3\left(3-\frac{1}{x}\right)\left(7-\frac{1}{x}\right)}{x^3\left(7-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)}=\frac{\left(3-\frac{1}{x}\right)\left(7-\frac{1}{x}\right)}{7-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}\text{(2 p)}.$$ Când $x\to +\infty$, fracțiile $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{x^2}$, $\frac{1}{x^3}$ tind la $0$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{3\cdot 7}{7}=3\text{(3 p)}.$$

(Probă: coeficienții dominanți sunt $21$ la numărător, $7$ la numitor, iar $\frac{21}{7}=3$. Capcană: se observă că $f(x)\to +\infty$ și se conchide că raportul tinde la $0$; dar și numărătorul tinde la $+\infty$, iar raportul a două cantități infinite se calculează.)

c) (5 p) Derivata $f^{\prime }(x)=(3x-1)(7x-1)$ are rădăcinile $\frac{1}{7}$ și $\frac{1}{3}$. Pe $\left(-\infty ,\frac{1}{7}\right]$ ambii factori sunt $\le 0$, deci $f^{\prime }\ge 0$ și $f$ crește; pe $\left[\frac{1}{7},\frac{1}{3}\right]$ factorul $3x-1$ este $\le 0$, iar $7x-1\ge 0$, deci $f^{\prime }\le 0$ și $f$ scade (2 p).

Așadar $f$ atinge pe $\left(-\infty ,\frac{1}{3}\right]$ maximul în $x=\frac{1}{7}$, iar $$f\left(\frac{1}{7}\right)=\frac{1}{49}-\frac{5}{49}+\frac{7}{49}+\frac{49}{49}=\frac{52}{49},\text{deci }f(x)\le \frac{52}{49}\text{pentru }x\in \left(-\infty ,\frac{1}{3}\right]\text{(3 p)}.$$

(Probă: $f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{28}{27}$ și $\frac{28}{27}<\frac{52}{49}$, căci $28\cdot 49=1372<1404=52\cdot 27$. Capcană: se compară cu $f\left(\frac{1}{3}\right)$, capătul din dreapta; dar în $x=\frac{1}{7}$ avem $f=\frac{52}{49}>\frac{28}{27}$, deci inegalitatea $f(x)\le \frac{28}{27}$ nu e adevărată pe tot intervalul.)

Exercițiul 10. (15 p) — funcția pe ramuri.

a) (5 p) Intervalul $[1,2]$ este conținut în $(0,+\infty )$, unde $f(x)=x-2$; o primitivă a lui $x-2$ este $\frac{x^2}{2}-2x$: $${\int }_1^{2}f(x)dx={\int }_1^2(x-2)dx=\left(\frac{x^2}{2}-2x\right){|}_1^2\text{(3 p)}.$$ $$=(2-4)-\left(\frac{1}{2}-2\right)=-2+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $x-2\le 0$ pe $[1,2]$, deci integrala trebuie să fie negativă. Capcană: se folosește ramura de la $x\le 0$, $x^2+8x-2$, deși $[1,2]$ este în partea pozitivă; ar rezulta $\frac{37}{3}$.)

b) (5 p) Limitele laterale în $0$ și valoarea funcției în $0$: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\left(x^2+8x-2\right)=-2,\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0}{\lim }(x-2)=-2,f(0)=-2\text{(3 p)}.$$ Fiindcă cele trei valori sunt egale, $f$ este continuă în $0$. În rest, pe $(-\infty ,0)$ și pe $(0,+\infty )$, funcția coincide cu câte un polinom, deci rămâne continuă; astfel $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și are primitive pe $\mathbb{R}$ (2 p).

(Observație: $f$ nu este derivabilă în $0$, fiindcă derivatele laterale sunt $8$ și $1$, dar existența primitivelor cere continuitate, nu derivabilitate. Capcană: se verifică doar $f(0)=-2$, fără limitele laterale.)

c) (5 p) Pe $[-1,0]$ funcția este $f(x)=x^2+8x-2$; derivata ei, $2x+8$, este pozitivă, deci $f$ crește de la $f(-1)=-9$ la $f(0)=-2$ și rămâne negativă. Prin urmare $|f|=-f$, iar $$\mathcal{A}={\int }_{-1}^0|f(x)|dx={\int }_{-1}^0\left(-x^2-8x+2\right)dx\text{(2 p)}.$$ O primitivă este $-\frac{x^3}{3}-4x^2+2x$: $$\mathcal{A}=\left(-\frac{x^3}{3}-4x^2+2x\right){|}_{-1}^0=0-\left(\frac{1}{3}-4-2\right)=\frac{17}{3}\text{(3 p)}.$$

(Probă: $f$ are același semn pe tot intervalul $[-1,0]$, deci modulul nu schimbă formula în interior. Capcană: se integrează $f$ fără modul; rezultatul, $-\frac{17}{3}$, este negativ, iar o arie nu poate fi negativă.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lucrarea de matematică M_tehnologic din sesiunea specială 2019, Varianta 8, proba E.c) a Bacalaureatului pentru filiera tehnologică (profilurile servicii, resurse și tehnic). În antetul documentului apar Ministerul Educației Naționale și Centrul Național de Evaluare și Examinare. Cerințele sunt cele tipărite, litera cu litera; rezolvările, probele, observațiile și ghidajul sunt scrise de noi. Din document am păstrat numai gruparea punctelor pe rânduri, iar acolo unde aceasta iese din tiparul obișnuit, pagina o spune.

O abatere de la tiparul rândurilor. La Subiectul I, documentul oficial desparte fiecare cerință în două rânduri de punctaj, cu o singură excepție: cerința 4 are trei rânduri, de 2, 2 și 1 punct. Pe pagină, rezolvarea cerinței 4 are tot trei bucăți, iar ghidajul are trei pași. Restul lucrării păstrează două rânduri pe cerință sau pe subpunct, deci în total sunt 37 de rânduri, nu 36.

Prezentarea lucrării. Cele trei subiecte au câte 30 de puncte. Primul adună șase cerințe scurte și independente, de câte 5 puncte. Al doilea conține problema cu matricele $M$, $I_2$ și $A(a)$ și problema cu un polinom de gradul $3$ cu parametru. Al treilea cuprinde studiul unei funcții polinomiale de gradul $3$ (derivată, limită, monotonie) și o funcție definită pe ramuri, de integrat. Problemele din subiectele II și III au câte trei subpuncte de 5 puncte; din oficiu se adaugă 10 puncte, iar lucrarea durează trei ore.

Conținutul pe cerințe, cu clasa din programa de examen

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Calculul cu numere reale, fracțiile incluse, aparține în programa de examen clasei a IX-a. Anexa 3 la OMEC 6930/2025 (programa nouă pentru clasele a IX-a și a X-a) nu are un capitol despre numere reale.
• Nota 2. Logaritmii și ecuațiile logaritmice sunt în clasa a X-a a programei de examen. Anexa 3 introduce funcția logaritmică în clasa a IX-a, cu valori la calculator, exclude proprietățile algebrice ale logaritmilor și nu are ecuații logaritmice.
• Nota 3. În programa de examen, probabilitatea unor evenimente egal probabile, simple sau compuse, este tema clasei a X-a. Anexa 3 are tot în clasa a X-a probabilitatea unui eveniment, calculată din numărul cazurilor posibile și al celor favorabile.
• Nota 4. Programa de examen nu enumeră mijlocul unui segment, deși cerința 5 îl folosește; Anexa 3 îl are la reperul cartezian, în clasa a IX-a.
• Nota 5. Pentru limite, programa de examen de la clasa a XI-a numește rapoartele de funcții de grad cel mult $2$. La 9.b) raportul are gradul $3$ la numărător și la numitor, deci depășește gradul numit, deși se calculează la fel, scoțând factor comun puterea cea mai mare.
• Nota 6. Limitele laterale și continuitatea într-un punct țin de clasa a XI-a; primitivele, integrala nedefinită a funcțiilor continue și aria unei suprafețe plane țin de a XII-a.

Ce are special varianta 8. Cerința 6 se rezolvă repede dacă observi că expresia este pătratul diferenței dintre două numere egale. La Subiectul II, $M$ este simetrică, iar $A(a)$ conține constantele $1$ și $3$ alături de $a$ și $2$; determinantul de la 7.c) iese ca produs între $a+1$ și un trinom care nu are rădăcini reale. La cerința 8, subpunctul b) cere doar valoarea lui $E$, nu și rădăcinile, iar valoarea nu depinde de $m$. Funcția de la 10 este continuă în $0$, însă nederivabilă acolo.

Împărțirea timpului. Dacă lași 30 de minute pentru verificare, rămân 150 de minute pentru 90 de puncte, adică 100 de secunde pe punct; Subiectul I poate fi rezolvat mai repede, iar timpul câștigat se mută pe subpunctele c).

Cum se calculează nota. Se adună punctele din cerințe cu cele 10 din oficiu și se împarte la zece; 40 de puncte din cerințe dau, împreună cu oficiul, 50 de puncte, adică nota 5.

Greșeli de evitat: la 1, semnul lui $\frac{1}{4}$ schimbat la aducerea la numitor comun; la 3, formula pătratului diferenței înlocuită cu diferența pătratelor; la 4, numărul de elemente al mulțimii $M$ calculat ca $19-10$; la 7.c), regula „determinantul sumei este suma determinantelor”; la 8.b), produsul rădăcinilor luat cu semnul termenului liber; la 9.c), compararea cu valoarea din capătul din dreapta, nu cu maximul; la 10.c), integrala unei funcții negative luată drept arie.

Cum lucrezi cu pagina. Rezolvă cerințele singur, apoi urmărește rândurile de mai jos. Dacă ratezi un rând, citește în tabel clasa lui și revino la acea temă. Sub 40 de puncte, întărește cerințele 1–6. Între 40 și 60 de puncte, lucrează subpunctele b) și c). Peste 60 de puncte, mai rămâne de câștigat la redactare și la ritm.

Formule care ajută în varianta 8

• Subiectul I. $\frac{u}{v}:\frac{u}{v}=1$ pentru $u\ne 0$; egalitatea ${\log }_{a}p={\log }_{a}q$ cere $p=q$, cu $p>0$ și $q>0$; probabilitatea se obține împărțind numărul rezultatelor favorabile la numărul total de rezultate; coordonatele mijlocului unui segment sunt semisumele coordonatelor capetelor; o expresie cu pătratele a două numere, din care se scade dublul produsului lor, este pătratul diferenței lor.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; la înmulțirea a două matrice, un element al produsului se formează din linia lui și coloana lui; pentru un polinom unitar de gradul $3$, relațiile lui Viète dau suma rădăcinilor ca $-b$ și produsul lor ca $-d$, unde $b$ este coeficientul lui $X^2$ și $d$ termenul liber.
• Subiectul al III-lea. $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$; la o limită de tip $\infty /\infty$, factorul comun este cea mai mare putere; $f^{\prime }\ge 0$ pe un interval face funcția crescătoare acolo; o funcție continuă pe un interval admite primitive pe el; aria cuprinsă între graficul lui $f$ și axa $Ox$ este ${\int }_a^b|f(x)|dx$.

Titlurile „Itemul n” sunt numerotarea noastră, de la 1 la 10; documentul numerotează cerințele 1–6 la Subiectul I și problemele 1–2, cu subpunctele a)–c), la Subiectele al II-lea și al III-lea, fără cuvântul „item”. Litera $f$ denumește patru obiecte diferite: funcția de la 2, polinomul de la 8, funcția cubică de la 9 și funcția pe ramuri de la 10; $A$ este un punct la 5 și o matrice la 7, iar $M$ este matricea fixă de la 7 și mulțimea de la 4.