Subiect Bac matematică tehnologic, iunie 2014 (varianta 1) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2014 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $5\left(2+\sqrt{3}\right)-5\sqrt{3}=10$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$ știind că $f(1)=a$, unde $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+3$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2(2x+1)={\log }_{2}5$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu $10$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,5)$ și $B(3,5)$. Calculați distanța de la punctul $A$ la punctul $B$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că ${\sin }^{2}30^{\circ }+{\cos }^{2}45^{\circ }=\frac{3}{4}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}4& 8\\ 1& 2\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& -2\end{array}\right)$ și $C=\left(\begin{array}{cc}3& x\\ 2& 4\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=0$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ știind că $B+C=A$.

c) (5 puncte) Arătați că $B\cdot B+B=O_2$, unde $O_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=xy+4x+4y+12$.

a) (5 puncte) Arătați că $0\circ (-4)=-4$.

b) (5 puncte) Arătați că $x\circ y=(x+4)(y+4)-4$ pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x\circ x=12$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x-\frac{1}{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x+1}{x^2}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{3}{4}$.

c) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=1$, situat pe graficul funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x-x$ și $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=e^x-\frac{x^2}{2}-1$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1{e}^{x}dx=e-1$.

b) (5 puncte) Arătați că funcția $F$ este o primitivă a funcției $f$.

c) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^{1}F(x)dx$.

Barem și răspunsuri

Cele 18 cerințe adună 90 p; oficiul mai dă 10 p, deci 100 p în total. Primele șase au câte 5 p, iar fiecare subpunct din problemele 7–10 are tot 5 p. Marcajul „(n p)” care încheie un pas indică punctele rândului corespunzător din documentul oficial (varianta 1): două rânduri pe cerință, iar cerința 4 are trei, cu $2$ p, $1$ p și $2$ p. Tot ce urmează, în afara punctelor, este formulat de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — distribuire și reducere.

Factorul $5$ înmulțește ambii termeni din paranteză: $$5\left(2+\sqrt{3}\right)=10+5\sqrt{3}\text{(3 p)}.$$ Termenul $5\sqrt{3}$ apare apoi cu plus și cu minus, deci se reduce: $$10+5\sqrt{3}-5\sqrt{3}=10\text{(2 p)}.$$

(Verificare: expresia nu depinde de valoarea lui $\sqrt{3}$, fiindcă acest radical dispare. Greșeală posibilă: factorul $5$ se aplică numai primului termen, $5\cdot 2+\sqrt{3}$; atunci $10+\sqrt{3}-5\sqrt{3}=10-4\sqrt{3}$, care nu este $10$.)

Exercițiul 2. (5 p) — valoarea unei funcții afine.

Se înlocuiește $x$ cu $1$ în $f(x)=x+3$: $$f(1)=1+3=4\text{(3 p)}.$$ Condiția $f(1)=a$ spune că $a$ este chiar această valoare: $$\mathbf{a}=4\text{(2 p)}.$$

(Verificare: cu $a=4$ egalitatea $f(1)=a$ devine $4=4$. Greșeală posibilă: se citește condiția ca $f(a)=1$; atunci $a+3=1$ și $a=-2$, dar $f(1)=4\ne -2$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmii au aceeași bază $2$, deci egalitatea lor cere ca argumentele să coincidă: $$2x+1=5\text{(3 p)}.$$ Rezultă $2x=4$, adică $\mathbf{x}=2$; argumentul logaritmului din stânga este $2\cdot 2+1=5>0$, deci valoarea convine (2 p).

(Verificare: pentru $x=2$ ambii membri sunt ${\log }_{2}5$. Greșeală posibilă: se scrie $2x+1={\log }_{2}5$, adică logaritmul din dreapta rămâne scris; ${\log }_{2}5$ este un număr cuprins între $2$ și $3$, fiindcă $2^2<5<2^3$, deci nu poate fi egal cu $5$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Numerele naturale de două cifre încep cu $10$ și se termină cu $99$. Multiplii lui $10$ dintre ele sunt $10,20,30,40,50,60,70,80,90$; ei dau $9$ cazuri favorabile (2 p). Numărul cazurilor posibile este $99-10+1=90$ (1 p). Raportul lor este probabilitatea: $$P=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}\text{(2 p)}.$$

(Verificare: dintre oricare zece numere consecutive, unul se termină cu $0$, iar intervalul $[10,99]$ are exact nouă astfel de grupe. Greșeală posibilă: se numără și $0$ printre multipli; atunci cazurile favorabile ar fi $10$, iar raportul $\frac{10}{90}=\frac{1}{9}$, deși $0$ nu este număr de două cifre.)

Exercițiul 5. (5 p) — distanța dintre două puncte.

Punctele au aceeași ordonată, $5$, iar abscisele diferă prin $3-2=1$. Formula distanței dă $$AB=\sqrt{(3-2{)}^2+(5-5{)}^2}=\sqrt{1^2+0^2}\text{(3 p)}.$$ Sub radical rămâne $1$, deci $$AB=\sqrt{1}=1\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $[AB]$ este orizontal, iar lungimea lui este modulul diferenței absciselor, $|3-2|=1$. Greșeală posibilă: coordonatele se adună în loc să se scadă; atunci $\sqrt{(2+3{)}^2+(5+5{)}^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$.)

Exercițiul 6. (5 p) — valori ale funcțiilor trigonometrice.

Din tabelul unghiurilor uzuale, $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (2 p). Pătratele sunt $\frac{1}{4}$ și $\frac{2}{4}$, deci $${\sin }^{2}30^{\circ }+{\cos }^{2}45^{\circ }=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}=\frac{3}{4}\text{(3 p)}.$$

(Verificare: ${\cos }^{2}45^{\circ }=\frac{1}{2}$, la fel ca ${\sin }^{2}45^{\circ }$, fiindcă ${\sin }^{2}45^{\circ }+{\cos }^{2}45^{\circ }=1$. Greșeală posibilă: se ia $\cos 45^{\circ }=\frac{1}{2}$; atunci suma ar fi $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$, nu $\frac{3}{4}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matricele $A$, $B$, $C$.

a) (5 p) Se scrie determinantul matricei $A$: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 1& 2\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ Diagonala principală dă $4\cdot 2=8$, diagonala secundară dă $8\cdot 1=8$: $$\det A=8-8=0\text{(3 p)}.$$

(Observație: prima linie este de patru ori a doua, deci determinantul este $0$. Greșeală posibilă: produsele celor două diagonale se adună, $4\cdot 2+8\cdot 1=16$, în loc să se scadă.)

b) (5 p) Matricele se adună element cu element: $$B+C=\left(\begin{array}{cc}1+3& 2+x\\ -1+2& -2+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 2+x\\ 1& 2\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Egalitatea cu $A=\left(\begin{array}{cc}4& 8\\ 1& 2\end{array}\right)$ cere $2+x=8$, de unde $\mathbf{x}=6$; celelalte trei elemente coincid deja (2 p).

(Verificare: cu $x=6$, prima linie a lui $B+C$ este $(4,8)$. Greșeală posibilă: se uită $2$ din $B$ și se egalează $x=8$; atunci elementul $(1,2)$ din $B+C$ ar fi $8+2=10\ne 8$.)

c) (5 p) Poziția $(i,j)$ a produsului se completează înmulțind linia $i$ a primului factor cu coloana $j$ a celui de-al doilea: $$B\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+2\cdot (-1)& 1\cdot 2+2\cdot (-2)\\ -1\cdot 1+(-2)\cdot (-1)& -1\cdot 2+(-2)\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 1& 2\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Adăugând $B$, fiecare element al sumei se anulează: $$B\cdot B+B=\left(\begin{array}{cc}-1+1& -2+2\\ 1+(-1)& 2+(-2)\end{array}\right)={\mathbf{O}}_2\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $B\cdot B=-B$, deci suma cu $B$ este matricea nulă. Greșeală posibilă: se ridică la pătrat fiecare element al lui $B$, deci $B\cdot B$ s-ar scrie $\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 1& 4\end{array}\right)$; înmulțirea matricelor este însă produs linie-coloană.)

Exercițiul 8. (15 p) — legea de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=0$ și $y=-4$ în definiția legii: $$0\circ (-4)=0\cdot (-4)+4\cdot 0+4\cdot (-4)+12\text{(3 p)}.$$ Primii doi termeni sunt nuli, iar ceilalți doi dau $$=-16+12=-4\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $0\circ y=4y+12$, iar pentru $y=-4$ rezultă $-16+12$. Greșeală posibilă: termenul $4\cdot 0$ se ia drept $4$; atunci $-16+12+4=0$, nu $-4$.)

b) (5 p) Se pornește de la membrul stâng și se scrie $12=16-4$: $$x\circ y=xy+4x+4y+16-4\text{(2 p)}.$$ Primii doi termeni conțin factorul $x$, ceilalți doi conțin factorul $4$, iar ambele grupe au factorul comun $y+4$; după scoaterea lui rămâne produsul sumelor $x+4$ și $y+4$. Prin urmare $x\circ y=(\mathbf{x}+4)(\mathbf{y}+4)-4$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ (3 p).

(Verificare: pentru $x=0$ și $y=-4$ ambele forme dau $-4$, ca la a). Greșeală posibilă: după produs se pune $+4$ în loc de $-4$; la $x=0$ și $y=-4$ produsul este $0$, deci forma greșită ar da $4$, nu $-4$.)

c) (5 p) Cu $y=x$ în forma de la b), ecuația $x\circ x=12$ devine $$(x+4{)}^2-4=12\text{(2 p)}.$$ Prin trecerea lui $4$ în dreapta, pătratul lui $x+4$ este $16$, adică $x^2+8x=0$, adică $x(x+8)=0$; ecuația are două rădăcini, $\mathbf{x}=-8$ și $\mathbf{x}=0$ (3 p).

(Verificare: $0\circ 0=12$ și $(-8)\circ (-8)=64-32-32+12=12$. Greșeală posibilă: din pătratul $16$ se reține numai $x+4=4$, adică $x=0$, și se pierde soluția $x+4=-4$, adică $x=-8$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, tangentă.

a) (5 p) Se derivează fiecare termen: $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ și ${\left(-\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{x^2}$, deci $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\text{(3 p)}.$$ Cu numitorul comun $x^2$: $$f^{\prime }(x)=\frac{x}{x^2}+\frac{1}{x^2}=\frac{x+1}{x^2},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $f^{\prime }(1)=\frac{2}{1}=2$, iar $\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=2$. Greșeală posibilă: se derivează $-\frac{1}{x}$ ca $-\frac{1}{x^2}$, fără minusul din regula ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$; atunci $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$, iar la $x=1$ ar da $0$.)

b) (5 p) Raportul din limită compară variația lui $f$ între $x$ și $2$ cu variația argumentului, iar limita lui, pentru $x\to 2$, este prin definiție derivata funcției în punctul $2$, adică numărul $f^{\prime }(2)$ (3 p). Din a), $f^{\prime }(2)=\frac{2+1}{2^2}$, adică $$\frac{3}{4}\text{(2 p)}.$$

(Verificare: formula de la a) dă $f^{\prime }(1)=2$, $f^{\prime }(2)=\frac{3}{4}$ și $f^{\prime }(4)=\frac{5}{16}$; valorile scad, cum era de așteptat, fiindcă $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$ este suma a două fracții care scad când $x$ crește. Greșeală posibilă: se înlocuiește $x=2$ direct în raport; apare $\frac{0}{0}$, care nu se poate evalua fără a recunoaște derivata.)

c) (5 p) Pentru $x_0=1$, dreapta tangentă are ecuația $$y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)\text{(2 p)}.$$ Valorile sunt $f(1)=\ln 1-1=-1$ și, din a), $f^{\prime }(1)=\frac{1+1}{1^2}=2$. Ecuația devine $y+1=2(x-1)$, adică $$\mathbf{y}=2x-3\text{(3 p)}.$$

(Verificare: punctul $(1,-1)$ verifică ecuația, fiindcă $2\cdot 1-3=-1$. Greșeală posibilă: se reține numai $\ln 1$, adică $0$, și se uită termenul $-\frac{1}{1}$; atunci tangenta ar fi $y=2x-2$, care trece prin $(1,0)$, nu prin punctul graficului.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale și primitive.

a) (5 p) Funcția $e^x$ este propria ei primitivă, deci $${\int }_0^1{e}^{x}dx=e^x{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Valorile la capete sunt $e^1=e$ și $e^0=1$: $$e-1\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $e-1$ este pozitiv, ca la orice integrală dintr-o funcție pozitivă pe $[0,1]$. Greșeală posibilă: valoarea $e^0=1$ se confundă cu $0$; atunci rezultatul ar fi $e$, nu $e-1$.)

b) (5 p) Derivata lui $F$ se calculează termen cu termen; constanta $-1$ dispare, iar ${\left(\frac{x^2}{2}\right)}^{\prime }=x$: $$F^{\prime }(x)=e^x-x\text{(3 p)}.$$ Expresia obținută coincide cu $f(x)$ în fiecare punct al axei reale, deci $F$ este o primitivă a lui $f$ (2 p).

(Verificare: $F(0)=1-0-1=0$ și $F^{\prime }(0)=f(0)=1$. Greșeală posibilă: se derivează $\frac{x^2}{2}$ ca $\frac{x}{2}$; atunci $F^{\prime }(x)=e^x-\frac{x}{2}$, diferit de $f(x)$ pentru orice $x\ne 0$.)

c) (5 p) Integrala sumei se desface în trei integrale: $${\int }_0^{1}F(x)dx={\int }_0^1{e}^{x}dx-{\int }_0^1\frac{x^2}{2}dx-{\int }_0^{1}1dx\text{(2 p)}.$$ Valorile sunt $e-1$, apoi $\frac{x^3}{6}{|}_0^1=\frac{1}{6}$ și $x{|}_0^1=1$: $$e-1-\frac{1}{6}-1=\mathbf{e}-\frac{13}{6}\text{(3 p)}.$$

(Verificare: $F(0)=0$ și $F^{\prime }=f>0$, deci $F\ge 0$ pe $[0,1]$, iar integrala trebuie să fie pozitivă; $e-\frac{13}{6}$ este pozitiv, fiindcă $e>\frac{13}{6}$. Greșeală posibilă: primitiva lui $\frac{x^2}{2}$ se ia $\frac{x^3}{2}$, fără împărțirea la $3$; atunci $e-1-\frac{1}{2}-1=e-\frac{5}{2}$.)

Pentru părinți și profesori

Despre foaie. Este Varianta 1 din sesiunea iunie-iulie 2014 la matematică M_tehnologic; site-ul o mai numește M3. Pe prima pagină a PDF-ului, ministerul și Centrul Național de Evaluare și Examinare încadrează textul „Proba E. c) – 2 iulie 2014”. Se adresa filierei tehnologice, cu profilurile servicii, resurse și tehnic. Cerințele din „Itemi” sunt cele din PDF; rezolvările, contraprobele și ghidajul le-am scris noi, iar de la documentul de evaluare am luat doar tiparul rândurilor punctate.

Cum e alcătuită. Foaia are trei subiecte egale, fiecare de 30 de puncte. Primul conține șase cerințe scurte, câte 5 puncte fiecare. Subiectele II și III conțin fiecare două probleme, desfăcute în trei subpuncte, tot de câte 5 puncte. Rezultă $18$ cerințe a câte $5$ puncte, adică $90$ de puncte, iar foaia mai adaugă 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv este de 3 ore, adică $180$ de minute, ceea ce înseamnă, în medie, $10$ minute pentru fiecare cerință.

Rândurile documentului oficial. În document, o cerință ocupă două rânduri; singura abatere este cerința 4, cu trei rânduri: $2$ p, $1$ p și $2$ p. Pe pagina de față, câte un „(1 p)”, „(2 p)” sau „(3 p)” încheie fiecare rând. În total sunt $37$ de rânduri.

Harta foii

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

În această programă, probabilitățile și logaritmii aparțin clasei a X-a, matricele și determinanții clasei a XI-a, legile de compoziție și primitivele clasei a XII-a. Ordinul e datat 29.08.2014, după foaie (2 iulie 2014), deci ultima coloană arată locul temei în programa din acel ordin, nu planul după care s-a pregătit promoția 2014.

Ce are foaia. La 3, argumentul $2x+1$ trebuie să fie pozitiv, deci soluția găsită se verifică în enunț. La 4, mulțimea de bază cuprinde numerele de la $10$ la $99$, în total $90$; numărul $0$ nu face parte din ea. La 5 punctele au aceeași ordonată, iar distanța se citește direct din abscise. La 7.c) se calculează întâi $B\cdot B$, apoi se adaugă $B$. La 8.b) forma $(x+4)(y+4)-4$ este chiar instrumentul pentru 8.c). La 9.b) limita este derivata în $2$, deci rezultatul de la 9.a) se refolosește. La 10.c) se integrează funcția $F$, nu $f$.

Formulele foii

• Subiectul I. ${\log }_{a}u={\log }_{a}v$ cu $u,v>0$ implică $u=v$; probabilitatea se obține împărțind numărul cazurilor favorabile la numărul celor posibile; distanța dintre $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$ este $\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$; $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; două matrice coincid dacă au aceleași elemente pe poziții identice.
• Subiectul al III-lea. $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ și ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$; $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime }(a)$; tangenta în $x_0$ este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; ${\int }_a^b{e}^{x}dx=e^b-e^a$.

Despre litere. Prin $f$ sunt notate, pe rând, trei funcții: $x+3$ (cerința 2), cea cu logaritm (cerința 9) și $e^x-x$ (cerința 10). Literele $A$ și $B$ sunt puncte la 5 și matrice la 7. Litera $a$ de la 2 este un număr necunoscut, nu un parametru al unei familii de funcții. Litera $x$ de la 7.b) este un număr real din matricea $C$. $O_2$ este matricea nulă de ordin $2$.