Subiect Bac matematică tehnologic, august 2025 (varianta 9) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2025 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $5\cdot \left(0,7-0,2\right)+0,5=3$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x-2$. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(m)=10$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{16-3x}=1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o scumpire cu $60\%$, un obiect costă $320$ de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,0)$, $B(3,2)$ și $C(a,b)$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că punctul $B$ este mijlocul segmentului $AC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $5\cos 60^{\circ }-\sin 30^{\circ }+4{\left(\sin 60^{\circ }\right)}^2=5$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A(x)=\left(\begin{array}{cc}2& x\\ -x& -2\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(5))=21$.

b) (5 puncte) Arătați că $2A(-1)+A(5)=3A(1)$.

c) (5 puncte) Determinați mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $\det (A(x)\cdot A(-x)-x^2{I}_2)\ge 0$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+m{X}^2-X-m$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f(1)=0$, pentru orice număr real $m$.

b) (5 puncte) Pentru $m=-3$, arătați că $3$ este rădăcină a polinomului $f$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care ${\left(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3\right)}^2+x_1{x}_2{x}_3\left(x_1+x_2+x_3\right)=1$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2-1+\frac{4}{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{4\left(x^3-1\right)}{x^2}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=2$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că $6\le 2x^2+\frac{4}{x}\le 33$, pentru orice $x\in \left[\frac{1}{4},4\right]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-1+2\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^3\left(f(x)-2\ln x\right)dx=2$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^e\frac{f(x)-x+1}{x}dx=1$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=3x(f(x)+1)$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=3$ este egală cu $a+27\ln 3$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, un subpunct are 5 p, așezate pe două rânduri. Cifrele de la fiecare pas sunt cele ale baremului oficial pentru sesiunea august 2025 (Varianta 9); redactarea soluțiilor, a explicațiilor și a probelor ne aparține.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu zecimale.

Mai întâi paranteza: $0,7-0,2=0,5$. Expresia devine $$5\cdot \left(0,7-0,2\right)+0,5=5\cdot 0,5+0,5\text{(2 p)}.$$ Înmulțirea se face înaintea adunării: $$5\cdot 0,5+0,5=2,5+0,5=3\text{(3 p)}.$$

(Altă cale, cu fracții: $0,7-0,2=\frac{7}{10}-\frac{2}{10}=\frac{1}{2}$, deci $5\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=3$. Capcană: paranteza se ignoră și se calculează $5\cdot 0,7-0,2+0,5=3,8$; sau se scrie $5\cdot (0,5+0,5)=5$, adică înmulțirea cu $5$ se aplică și ultimului termen.)

Exercițiul 2. (5 p) — o valoare a funcției.

Pentru orice număr real $m$, $f(m)$ se obține înlocuind $x$ cu $m$ în formula lui $f$: $$f(m)=6m-2\text{(2 p)}.$$ Egalitatea $f(m)=10$ devine $6m-2=10$, adică $6m=12$, deci $$\mathbf{m}=2\text{(3 p)}.$$

(Probă: $f(2)=6\cdot 2-2=10$. Capcană: semnul din formulă se schimbă și iese $f(m)=6m+2$, deci $6m=8$, adică $m=\frac{4}{3}$; sau paranteza se mută, $6(m-2)=10$, ceea ce dă $m=\frac{11}{3}$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Radicalul există când $16-3x\ge 0$, adică $x\le \frac{16}{3}$. Ambii membri sunt nenegativi, deci se pot ridica la pătrat: $$16-3x=1\text{(3 p)}.$$ Atunci $3x=15$, deci $x=5$. Valoarea convine: $5\le \frac{16}{3}$ și $\sqrt{16-15}=\sqrt{1}=1$. Soluția este $\mathbf{x}=5$ (2 p).

(Capcană: după ridicarea la pătrat se scrie $16-3x=\pm 1$, ca la modul; atunci ar mai apărea $x=\frac{17}{3}$, dar $16-17=-1<0$, iar radicalul dintr-un număr negativ nu există în $\mathbb{R}$. Altă greșeală: radicalul se aplică numai lui $16$, $4-3x=1$, de unde $x=1$; dar $\sqrt{16-3}=\sqrt{13}\ne 1$.)

Exercițiul 4. (5 p) — prețul de dinaintea unei scumpiri.

Fie $x$ prețul inițial. O scumpire cu $60\%$ adaugă $\frac{60}{100}x$ la preț: $$x+\frac{60}{100}x=320\text{(3 p)}.$$ Membrul stâng este $\frac{160}{100}x$, deci $x=320\cdot \frac{100}{160}$ și $$x=200\text{ de lei}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $60\%$ din $200$ este $120$, iar $200+120=320$. Capcană: procentul se calculează din prețul final, $320-\frac{60}{100}\cdot 320=320-192=128$; sau $60$ se scade ca și cum ar fi lei, nu procente, $x=320-60=260$.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment.

Mijlocul lui $[AC]$ are drept coordonate semisumele coordonatelor capetelor. Pe orizontală, mijlocul $B$ are abscisa $3$: $$\frac{3+a}{2}=3,\text{ deci }3+a=6\text{ și }\mathbf{a}=3\text{(2 p)}.$$ Pe verticală, ordonata lui $B$ este $2$: $$\frac{0+b}{2}=2,\text{ deci }\mathbf{b}=4,\text{ adica˘ }C(3,4)\text{(3 p)}.$$

(Probă: mijlocul lui $A(3,0)$ și $C(3,4)$ este $\left(\frac{3+3}{2},\frac{0+4}{2}\right)=(3,2)=B$. Capcană: după $3+a=6$ se scrie $a=6$, ca și cum $3$ ar fi uitat; sau se pierde înmulțirea cu $2$, $3+a=3$, și iese $a=0$.)

Exercițiul 6. (5 p) — valori trigonometrice.

Valorile cunoscute pentru unghiurile de $30^{\circ }$ și $60^{\circ }$ sunt $$\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2},\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2},\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(3 p)}.$$ Se înlocuiește în expresie: $$5\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{2}+4\cdot {\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}+4\cdot \frac{3}{4}=2+3=5\text{(2 p)}.$$

(Probă: pentru $60^{\circ }$, ${\sin }^{2}60^{\circ }+{\cos }^{2}60^{\circ }=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$. Capcană: se scrie $\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}$; atunci ${\sin }^{2}60^{\circ }+{\cos }^{2}60^{\circ }$ ar fi $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\ne 1$, deci valoarea nu poate fi corectă.)

Exercițiul 7. (15 p) — familia de matrice $A(x)$.

a) (5 p) Pentru $x=5$ matricea este $A(5)=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ -5& -2\end{array}\right)$, iar determinantul ei se calculează scăzând produsul de pe diagonala secundară din cel de pe diagonala principală: $$\det (A(5))=\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ -5& -2\end{array}\right|=2\cdot (-2)-5\cdot (-5)\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(5))=-4+25=21\text{(2 p)}.$$

(Capcană: semnul lui $-5$ se pierde și iese $-4-25=-29$; sau se scrie $2\cdot 2$ în loc de $2\cdot (-2)$ și rezultă $4+25=29$.)

b) (5 p) Se calculează $A(-1)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& -2\end{array}\right)$, deci $$2A(-1)+A(5)=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 2& -4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ -5& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 3\\ -3& -6\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Pe de altă parte $3A(1)=3\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 3\\ -3& -6\end{array}\right)$, adică $$2A(-1)+A(5)=3A(1)\text{(2 p)}.$$

(De ce iese: $A(x)=2\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)+x\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ depinde „liniar" de $x$; în stânga sunt $2+1=3$ matrice $A$, la fel ca în dreapta, iar valoarea medie a lui $x$ este $\frac{2\cdot (-1)+5}{3}=1$. Capcană: în $A(-1)$ se uită schimbarea semnului și se ia $A(1)$; atunci $2A(1)+A(5)=\left(\begin{array}{cc}6& 7\\ -7& -6\end{array}\right)$, care nu este $3A(1)$.)

c) (5 p) Matricea $A(-x)=\left(\begin{array}{cc}2& -x\\ x& -2\end{array}\right)$. Produsul, rând cu coloană, are elementele $2\cdot 2+x\cdot x=4+x^2$, apoi $2\cdot (-x)+x\cdot (-2)=-4x$, apoi $-x\cdot 2+(-2)\cdot x=-4x$ și $-x\cdot (-x)+(-2)(-2)=x^2+4$. Scăzând $x^2{I}_2$ se obține $$A(x)\cdot A(-x)-x^2{I}_2=\left(\begin{array}{cc}4& -4x\\ -4x& 4\end{array}\right),\text{ deci }\det (\dots )=16-16x^2=16\left(1-x^2\right)\text{(3 p)}.$$ Inegalitatea $16(1-x^2)\ge 0$ înseamnă $x^2\le 1$, adică $$\mathbf{x}\in [-1,1]\text{(2 p)}.$$

(Probă: $x=0$ dă $16\ge 0$, $x=1$ dă exact $0$, iar $x=2$ dă $-48<0$. Capcană: termenul $x^2{I}_2$ se uită, matricea este $\left(\begin{array}{cc}4+x^2& -4x\\ -4x& 4+x^2\end{array}\right)$ și determinantul iese $16+8x^2+x^4-16x^2={\left(4-x^2\right)}^2$; sau $x^2\le 1$ se citește ca $x\le 1$, adică $(-\infty ,1]$, care îl include pe $x=-2$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom cu parametru.

a) (5 p) Se înlocuiește $X=1$ în $f=X^3+m{X}^2-X-m$: $$f(1)=1^3+m\cdot 1^2-1-m\text{(3 p)}.$$ $$f(1)=1+m-1-m=0,\text{ pentru orice numa˘r real }m\text{(2 p)}.$$

(Termenii $m$ și $-m$ se reduc, la fel $1$ și $-1$: de aceea $1$ este rădăcină oricare ar fi $m$. Capcană: se scrie $-m$ cu semn plus, $1+m-1+m=2m$; sau se confundă $f(1)$ cu $f^{\prime }(1)=3+2m-1=2+2m$.)

b) (5 p) Pentru $m=-3$ polinomul este $f=X^3-3X^2-X+3$. Se calculează $$f(3)=3^3-3\cdot 3^2-3+3\text{(3 p)}.$$ $$f(3)=27-27-3+3=0,\text{ deci }3\text{ este ra˘da˘cina˘ a lui }f\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: $f=X^2(X-3)-(X-3)=(X-3)\left(X^2-1\right)$, deci rădăcinile sunt $3$, $1$ și $-1$. Capcană: termenul liber se scrie $-3$ în loc de $+3$ și iese $27-27-3-3=-6$; sau se calculează $(3\cdot 3{)}^2=81$ în loc de $3\cdot 3^2=27$.)

c) (5 p) Relațiile lui Viète pentru $X^3+m{X}^2-X-m$ dau $$x_1+x_2+x_3=-m,x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=-1,x_1{x}_2{x}_3=m\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț devine $(-1{)}^2+m\cdot (-m)=1$, adică $1-m^2=1$, deci $m^2=0$ și $$\mathbf{m}=0\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: $f=(X+m)\left(X^2-1\right)$ are rădăcinile $-m$, $1$, $-1$; atunci $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=-m+m-1=-1$, produsul este $m$ și suma este $-m$. Probă: pentru $m=0$, $f=X^3-X$ are rădăcinile $0$, $1$, $-1$, iar $(-1{)}^2+0\cdot 0=1$. Capcană: coeficienții se citesc în ordine inversă, suma rădăcinilor $-1$ și suma produselor $-m$; atunci condiția ar fi $m^2-m=1$, adică $m=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$, valori pentru care $1-m^2$ nu este $1$.)

Exercițiul 9. (15 p) — funcție cu termen $\frac{4}{x}$.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen: ${\left(2x^2\right)}^{\prime }=4x$, constanta $-1$ are derivata $0$, iar ${\left(\frac{4}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{4}{x^2}$: $$f^{\prime }(x)=4x-\frac{4}{x^2}\text{(3 p)}.$$ Se aduce la numitorul comun $x^2$ și se scoate $4$ factor comun: $$f^{\prime }(x)=\frac{4x^3-4}{x^2}=\frac{4\left({\mathbf{x}}^3-1\right)}{{\mathbf{x}}^2},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Capcană: derivata lui $\frac{4}{x}$ se scrie cu plus, $+\frac{4}{x^2}$; sau $2x^2$ se derivează ca $2x$, nu $4x$. Altă greșeală: constanta $-1$ rămâne în derivată.)

b) (5 p) Punctul de pe grafic are abscisa $2$. Se calculează $$f(2)=2\cdot 4-1+\frac{4}{2}=9,f^{\prime }(2)=4\cdot 2-\frac{4}{4}=7\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei este $y-f(2)=f^{\prime }(2)(x-2)$, adică $y-9=7(x-2)$, deci $$\mathbf{y}=7x-5\text{(3 p)}.$$

(Probă: dreapta $y=7x-5$ trece prin $(2,9)$, fiindcă $7\cdot 2-5=9$. Capcană: se omite $+9$ și iese $y=7x-14$; sau panta și valoarea funcției se schimbă între ele, $y-7=9(x-2)$, adică $y=9x-11$.)

c) (5 p) Derivata se anulează când $x^3=1$, adică în $x=1$. Cum $x^2>0$, semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x^3-1$: pe $\left[\frac{1}{4},1\right]$ avem $f^{\prime }\le 0$, deci $f$ scade, iar pe $[1,4]$ avem $f^{\prime }\ge 0$, deci $f$ crește (2 p).

Valorile în punctele importante sunt $f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{121}{8}$, $f(1)=5$ și $f(4)=32$. Minimul pe interval este $f(1)=5$, iar maximul este cea mai mare dintre valorile de la capete: $\frac{121}{8}<32$, deci $f(4)=32$. Așadar $5\le f(x)\le 32$. Cum $2x^2+\frac{4}{x}=f(x)+1$, $$6\le 2{\mathbf{x}}^2+\frac{4}{\mathbf{x}}\le 33,\text{ pentru orice }x\in \left[\frac{1}{4},4\right]\text{(3 p)}.$$

(Probă: în $x=1$ avem $2+4=6$, iar în $x=4$ avem $32+1=33$; ambele margini se ating. Capcană: maximul se caută la capătul stâng, $\frac{121}{8}$, fără comparație cu $f(4)$; sau se uită că $f$ scade pe prima parte și se spune că $f\left(\frac{1}{4}\right)$ este minimul.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu logaritm.

a) (5 p) Din $f(x)=x-1+2\ln x$ rezultă $f(x)-2\ln x=x-1$. Deci $${\int }_1^3\left(f(x)-2\ln x\right)dx={\int }_1^3(x-1)dx=\frac{x^2}{2}{|}_1^3-x{|}_1^3\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{9-1}{2}-(3-1)=4-2=2\text{(2 p)}.$$

(Capcană: $-2\ln x$ se scade în loc să se reducă, $x-1+4\ln x$; sau $-1$ devine $+1$ și iese ${\int }_1^3(x+1)dx=6$.)

b) (5 p) Numărătorul este $f(x)-x+1=2\ln x$, deci integrandul este $\frac{2\ln x}{x}=2\ln x\cdot (\ln x{)}^{\prime }$, adică derivata lui ${\ln }^{2}x$: $${\int }_1^e\frac{f(x)-x+1}{x}dx={\int }_1^e\frac{2\ln x}{x}dx={\ln }^{2}x{|}_1^e\text{(3 p)}.$$ $$={\ln }^{2}e-{\ln }^{2}1=1-0=1\text{(2 p)}.$$

(Probă: ${\left({\ln }^{2}x\right)}^{\prime }=2\ln x\cdot \frac{1}{x}$. Capcană: primitiva se alege $\ln x$, a cărei derivată este $\frac{1}{x}$, nu $\frac{2\ln x}{x}$; sau ${\ln }^{2}x$ se înmulțește cu $2$, ceea ce ar da derivata $\frac{4\ln x}{x}$.)

c) (5 p) Din $f(x)+1=x+2\ln x$ rezultă $g(x)=3x\left(x+2\ln x\right)=3x^2+6x\ln x$. Pe $[1,3]$ avem $x>0$ și $\ln x\ge 0$, deci $g(x)\ge 0$ și aria este chiar integrala lui $g$: $$\mathcal{A}={\int }_1^{3}g(x)dx=x^3{|}_1^3+{\int }_1^3{\left(3x^2\right)}^{\prime }\ln xdx\text{(3 p)}.$$ Prin părți, ${\int }_1^{3}6x\ln xdx=3x^2\ln x{|}_1^3-{\int }_1^{3}3xdx$, deci $$\mathcal{A}=26+3x^2\ln x{|}_1^3-\frac{3x^2}{2}{|}_1^3=26+27\ln 3-12=14+27\ln 3.$$ Egalitatea $a+27\ln 3=14+27\ln 3$ dă $\mathbf{a}=14$ (2 p).

(Baremul scrie $\mathcal{A}={\int }_1^3|g(x)|dx$; justificarea $g\ge 0$ o adăugăm noi. Capcană: se uită scăderea de la integrarea prin părți și iese $26+27\ln 3$, deci $a=26$; sau semnul ei se schimbă și iese $38+27\ln 3$, adică $a=38$.)

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lucrarea de matematică din august 2025, Varianta 9, dată la Bacalaureat elevilor din filiera tehnologică. Pe foaia oficială scrie Matematică M_tehnologic, iar în antet figurează Ministerul Educației și Cercetării și Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare; în vorbirea din școli se mai spune „M3". Subiectul e același pentru profilurile servicii, resurse și tehnic, oricare ar fi calificarea profesională. Enunțurile sunt copiate fără nicio modificare. Soluțiile, probele, observațiile și ghidajul aparțin paginii noastre, iar fiecare rând de barem păstrează punctajul dat de comisie.

Cum e alcătuită lucrarea. Toate probele din arhiva noastră se aseamănă: Subiectul I conține șase exerciții scurte, iar Subiectele al II-lea și al III-lea conțin câte două probleme, fiecare cu trei subpuncte.

Cerințele, una câte una, și clasa la care le încadrează programa de examen:

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Aritmetica numerelor zecimale și a fracțiilor intră în programa de examen la clasa a IX-a (operații cu numere reale), dar nu formează o unitate separată în programa școlară nouă, cea care se aplică de la clasa a IX-a a anului școlar 2026–2027. Pentru promoțiile 2027–2029, care au făcut ciclul IX–X pe programa veche, materia se găsește în „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. Rezolvarea ecuațiilor cu radicali — ridicarea la pătrat și apoi verificarea soluției — este materie de clasa a X-a la examen. Programa școlară nouă nu o dezvoltă algebric: acolo ecuațiile se rezolvă pe grafic sau digital. Metoda o ai în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Procentele sunt o temă de clasa a X-a la examen (matematici financiare). În programa școlară nouă apar doar ca exemplu, în alte unități. Tema completă este în „Supliment Bac M3 2027–2029: matematici financiare".
• Nota 4. În programa de examen, clasa a X-a numește coordonatele punctelor din plan și distanța dintre ele, dar nu și mijlocul unui segment; cerința 5 se rezolvă totuși cu formula mijlocului. Formula figurează în programa școlară nouă, la clasa a IX-a, în cadrul geometriei analitice.
• Nota 5. La 7.c) se ajunge la inecuația $16(1-x^2)\ge 0$, adică la semnul unui trinom de gradul al doilea, materie de clasa a IX-a la examen. Programa școlară nouă abordează inecuațiile prin reprezentări grafice; metoda algebrică a semnului este în „Supliment Bac M3 2027–2029: gradul II analitic".

Ce are particular varianta 9. Subiectul I cere calcul atent: zecimale la cerința 1, un radical care impune verificarea soluției la cerința 3, un procent aplicat prețului inițial, nu celui final, la cerința 4. La Subiectul al II-lea, matricea $A(x)$ are pe diagonală numerele $2$ și $-2$, iar în afara ei pe $x$ și $-x$; de aceea produsul $A(x)\cdot A(-x)$ are pe diagonală $4+x^2$ și în afara ei $-4x$, iar determinantul de la c) devine $16(1-x^2)$. Polinomul de la problema 8 se descompune în $(X+m)(X-1)(X+1)$: rădăcinile $1$ și $-1$ nu depind de $m$, ceea ce explică subpunctele a) și b), iar la c) intră în joc relațiile lui Viète. Funcția de la Subiectul al III-lea, $f(x)=2x^2-1+\frac{4}{x}$, are un singur punct critic în domeniu, $x=1$, iar la ultima problemă integrandul $\frac{2\ln x}{x}$ se transformă într-o derivată de forma $u\cdot u^{\prime }$.

Cum te așezi la lucru:

• Ceasul: trei ore, fără calculator. Dacă lași 20 de minute pentru recitire, rămân 160 pentru toate cele zece cerințe; un total de 90 de puncte înseamnă, deci, puțin sub două minute pe punct.
• Scrisul: fiecare soluție se redactează complet. Baremul împarte cele 5 puncte ale unui subpunct în două rânduri, fie $3+2$, fie $2+3$; ce e rezolvat doar pe jumătate poate primi o parte din rând.
• Reguli din antetul baremului, în rezumat: orice soluție corectă este admisă, chiar dacă diferă de cea din barem; fracțiunile de punct nu există; nota se obține împărțind totalul la zece. Cu cele 10 puncte din oficiu, nota 5 se atinge la 50 de puncte, dintre care 40 vin din cerințe.
• Greșeli de redactare care costă: la cerința 3, lipsa verificării (aici soluția convine, dar elevul trebuie să arate asta); la 4, procentul aplicat prețului de $320$ de lei; la 7.c), termenul $x^2{I}_2$ uitat; la 8.c), relațiile lui Viète cu un semn schimbat; la 9.c), valoarea extremă citită la un capăt de interval fără studiul monotoniei; la 10.c), aria scrisă fără să se arate că $g\ge 0$ pe $[1,3]$.
• După ce primești nota: fiecare subpunct pierdut se leagă de o linie din tabelul cerințelor; scrie acolo ce ți-a lipsit — calculul, formula sau ideea.

Cum interpretezi un total. Cu mai puțin de 40 de puncte din 90, nota 5 rămâne în afara atingerii: merită refăcute mai întâi Subiectul I și primele două subpuncte ale fiecărei probleme, rezolvabile prin aplicarea directă a formulelor. Între 40 și 65 de puncte, baza există, iar punctele pierdute pot fi căutate întâi la subpunctele c). Dincolo de 65 de puncte, pasul următor este viteza, apoi curățenia redactării.

Formulele care apar în varianta 9:

• Subiectul I. Din $\sqrt{u}=v$ cu $v\ge 0$ rezultă $u=v^2$, iar soluția se verifică în ecuația inițială; după o scumpire cu $p\%$, prețul este $x\left(1+\frac{p}{100}\right)$, unde $x$ e prețul de dinainte; mijlocul segmentului $[AC]$ are coordonatele semisumelor; $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Subiectul al II-lea. Determinantul $\det M=ps-qr$ pentru $M=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$; pentru $X^3+a{X}^2+bX+c$, suma rădăcinilor este $-a$, suma produselor lor luate câte două este $b$, iar produsul lor este $-c$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ și ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$; tangenta la grafic în punctul de abscisă $a$ este $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$; ${\left({\ln }^{2}x\right)}^{\prime }=\frac{2\ln x}{x}$; aria dintre graficul lui $g\ge 0$, axa $Ox$ și dreptele $x=\alpha$, $x=\beta$ este ${\int }_{\alpha }^{\beta }g(x)dx$.

Despre litere. În această lucrare $m$ are rol diferit în fiecare loc: necunoscută la cerința 2, parametru liber la problema 8, iar la 8.b) este fixat la $-3$. Litera $a$ înseamnă coordonata unui punct la cerința 5 și numărul căutat la 10.c). Denumirea $f$ revine pe patru funcții (cerințele 2, 8, 9 și 10), iar $A$ este punct la cerința 5 și matrice la cerința 7. Citește fiecare problemă ca pe una de sine stătătoare.

În barem, fiecare cerință poartă numele „item"; titlurile de mai jos îl păstrează, dar la clasă i se spune „cerință".