Subiect Bac matematică pedagogic, simulare 2015 — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2015 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $(- 3 + (- \frac{1}{2})^{2}) : (- \frac{11}{2}) = \frac{1}{2}$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției $f : R \to R$ , $f (x) = - \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}$ cu axa $O x$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{x^{2} - 3 x} = 4^{x - 2}$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o scumpire cu $10%$ un obiect costă $594$ lei. Calculați prețul obiectului înainte de scumpire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $D (2, 4)$ , $E (- 2, - 2)$ și $F (6, - 2)$ . Determinați coordonatele mijlocului medianei din vârful $D$ al triunghiului $D E F$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați perimetrul triunghiului $A B C$ dreptunghic în $A$ , știind că $tg B = \frac{3}{4}$ și $A C = 9$ .

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y = x y - 2 x - 2 y + 6$ .

1. (5 puncte) Calculați $4 \circ 2$ .

2. (5 puncte) Verificați dacă legea de compoziție „ $\circ$ ” este comutativă.

3. (5 puncte) Arătați că $x \circ y = (x - 2) (y - 2) + 2$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

4. (5 puncte) Arătați că $2 \circ x = 2$ , pentru orice număr real $x$ .

5. (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x \circ x \circ x = 10$ .

6. (5 puncte) Determinați perechile de numere întregi $(m, n)$ , știind că $m \circ n = 3$ .

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră mulțimea $G = {A (x) = (1 - x - 2 x x 1 + 2 x) x \in R}$ .

1. (5 puncte) Arătați că matricea $(1001)$ aparține mulțimii $G$ .

2. (5 puncte) Calculați $det (A (1))$ .

3. (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $A (x^{2}) - A (2 x) = (0000)$ .

4. (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care matricea $A (x)$ este inversabilă.

5. (5 puncte) Arătați că $A (x) \cdot A (y) = A (x + y + x y)$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

6. (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $A (x) \cdot A (x) \cdot A (x) \cdot A (x) = A (0)$ .

Barem și răspunsuri

Rezolvările se împart pe rândurile baremului oficial, iar cifra din paranteza de la finalul unui rând este numărul de puncte al rândului. În simulare, toate cele 18 cerințe au câte două rânduri, de 3 + 2 sau de 2 + 3 puncte.

Exercițiul 1. (5 p) — pătratul unei fracții negative și un cât.

Pătratul unui număr negativ este pozitiv: $(- \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ . Cum $- 3 = - \frac{12}{4}$ , adunarea dă $- \frac{12}{4} + \frac{1}{4}$ , iar paranteza are valoarea $- 3 + (- \frac{1}{2})^{2} = - 3 + \frac{1}{4} = - \frac{11}{4} (3 p) .$ Câtul a două numere negative este pozitiv, iar inversul împărțitorului $- \frac{11}{2}$ este $- \frac{2}{11}$ : $- \frac{11}{4} : (- \frac{11}{2}) = - \frac{11}{4} \cdot (- \frac{2}{11}) = \frac{22}{44} = \frac{1}{2} (2 p) .$

Exercițiul 2. (5 p) — intersecția cu axa $O x$ .

Un punct al axei $O x$ are ordonata $0$ , deci abscisa intersecției se află din $f (x) = 0$ : $f (x) = 0 ⟺ - \frac{1}{3} x + \frac{2}{3} = 0 (3 p) .$ Înmulțind cu $- 3$ obținem $x - 2 = 0$ , adică $x = 2$ , iar ordonata este $y = 0$ . Punctul de intersecție este $(2, 0)$ (2 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială cu bazele $2$ și $4$ .

Cum $4 = 2^{2}$ , avem $4^{x - 2} = (2^{2})^{x - 2} = 2^{2 x - 4}$ , deci ecuația este $2^{x^{2} - 3 x} = 2^{2 x - 4}$ . Baza $2$ este mai mare decât $1$ , deci exponenții sunt egali: $2^{x^{2} - 3 x} = 2^{2 x - 4} ⟺ x^{2} - 5 x + 4 = 0 (3 p) .$ Avem $Δ = 25 - 16 = 9$ , iar rădăcinile sunt $\frac{5 \pm 3}{2}$ , adică $x = 1$ și $x = 4$ . Verificare: la $x = 1$ ambii exponenți sunt $- 2$ , iar la $x = 4$ ambii sunt $4$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — prețul de dinainte de o scumpire cu $10%$ .

Fie $p$ prețul de dinainte. Scumpirea este $10%$ din $p$ , deci prețul nou este $p + 10% \cdot p = 594 (2 p) .$ Cum $p + \frac{10}{100} p = \frac{11}{10} p$ , avem $\frac{11}{10} p = 594$ , adică $p = 594 \cdot \frac{10}{11} = 54 \cdot 10 = 540$ de lei. Verificare: $10% \cdot 540 = 54$ , iar $540 + 54 = 594$ (3 p).

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unei mediane.

Mediana din $D$ ajunge în mijlocul $M$ al laturii $E F$ , cu $E (- 2, - 2)$ și $F (6, - 2)$ : $x_{M} = \frac{- 2 + 6}{2} = 2, y_{M} = \frac{- 2 + ( - 2 )}{2} = - 2, deci M (2, - 2) (3 p) .$ Mijlocul $N$ al medianei $D M$ , cu $D (2, 4)$ și $M (2, - 2)$ , are $x_{N} = \frac{2 + 2}{2} = 2$ și $y_{N} = \frac{4 + ( - 2 )}{2} = 1$ , deci $N (2, 1)$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — perimetrul unui triunghi dreptunghic dat prin tangentă.

În triunghiul dreptunghic în $A$ , tangenta unghiului $B$ este cateta opusă împărțită la cea alăturată, $tg B = \frac{A C}{A B}$ . Din $\frac{9}{A B} = \frac{3}{4}$ rezultă $A B = \frac{9 \cdot 4}{3} = 12$ (2 p).

Ipotenuza se află din teorema lui Pitagora: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 144 + 81 = 225$ , deci $B C = 15$ . Perimetrul este $P_{A B C} = A B + A C + B C = 12 + 9 + 15 = 36$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — o compunere calculată din definiție.

În $x \circ y = x y - 2 x - 2 y + 6$ se pun $x = 4$ și $y = 2$ : $4 \circ 2 = 4 \cdot 2 - 2 \cdot 4 - 2 \cdot 2 + 6 (3 p) .$ Rămâne $8 - 8 - 4 + 6 = 2$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — comutativitatea legii.

Pentru $y \circ x$ se schimbă între ele $x$ și $y$ în formula legii: $y \circ x = y x - 2 y - 2 x + 6 (2 p) .$ Înmulțirea numerelor reale este comutativă, deci $y x = x y$ , iar în sumă termenii $- 2 y$ și $- 2 x$ pot fi scriși în ordinea $- 2 x$ , $- 2 y$ . Rezultă $y \circ x = x y - 2 x - 2 y + 6 = x \circ y$ pentru orice $x$ și $y$ , deci legea este comutativă (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — forma $(x - 2) (y - 2) + 2$ .

Se pornește de la legea de compoziție și se scrie $6 = 4 + 2$ : $x \circ y = x y - 2 x - 2 y + 6 = x y - 2 x - 2 y + 4 + 2 (2 p) .$ Se grupează termenii: $x y - 2 x = x (y - 2)$ și $- 2 y + 4 = - 2 (y - 2)$ . Atunci $x \circ y = x (y - 2) - 2 (y - 2) + 2 = (x - 2) (y - 2) + 2,$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — egalitatea $2 \circ x = 2$ .

Din forma de la cerința II.3, cu $2$ în locul lui $x$ : $2 \circ x = (2 - 2) (x - 2) + 2 (3 p) .$ Primul factor este $2 - 2 = 0$ și anulează produsul, deci $2 \circ x = 0 + 2 = 2$ , pentru orice număr real $x$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — ecuația $x \circ x \circ x = 10$ .

Legea este asociativă, deci $x \circ x \circ x = (x \circ x) \circ x$ . Din cerința II.3, $x \circ x = (x - 2)^{2} + 2$ . În formula $(a - 2) (b - 2) + 2$ , cu $a = x \circ x$ și $b = x$ , primul factor este $a - 2 = (x - 2)^{2}$ , iar al doilea este $x - 2$ , deci produsul lor este cubul lui $x - 2$ : $x \circ x \circ x = (x - 2)^{3} + 2 (2 p) .$ Ecuația cere ca cubul lui $x - 2$ să fie egal cu $10 - 2 = 8$ , adică cu $2^{3}$ . Funcția $t \mapsto t^{3}$ este strict crescătoare pe $R$ , deci cubul lui $x - 2$ poate fi egal cu $2^{3}$ doar dacă $x - 2 = 2$ , adică $x = 4$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — perechile de numere întregi cu $m \circ n = 3$ .

Cu forma de la cerința II.3, scăzând $2$ din ambii membri ai egalității $m \circ n = 3$ se obține $m \circ n = 3 ⟺ (m - 2) (n - 2) = 1 (2 p) .$ Numerele $m - 2$ și $n - 2$ sunt întregi cu produsul $1$ , deci sunt ambele egale cu $1$ sau ambele egale cu $- 1$ . Din $m - 2 = n - 2 = 1$ rezultă $m = n = 3$ , iar din $m - 2 = n - 2 = - 1$ rezultă $m = n = 1$ . Perechile sunt $(1, 1)$ și $(3, 3)$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — apartenența matricei unitate la $G$ .

Matricea unitate are $0$ în afara diagonalei și $1$ pe diagonală. Pentru $x = 0$ în definiția lui $A (x)$ : $A (0) = (1 - 0 - 2 \cdot 0 0 1 + 2 \cdot 0) (3 p) .$ Rămâne $A (0) = (1001)$ , deci matricea dată este $A (0)$ și aparține mulțimii $G$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — determinantul lui $A (1)$ .

Pentru $x = 1$ se obține $A (1) = (1 - 1 - 2 \cdot 1 1 1 + 2 \cdot 1) = (0 - 2 13)$ , deci $det (A (1)) = 0 - 2 13 (2 p) .$ Produsul diagonalei principale este $0 \cdot 3$ , iar al celei secundare este $1 \cdot (- 2)$ , deci $det (A (1)) = 0 \cdot 3 - 1 \cdot (- 2) = 0 + 2 = 2$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — ecuația $A (x^{2}) - A (2 x) = O_{2}$ .

Se înlocuiește parametrul $x$ din definiție cu $x^{2}$ , respectiv cu $2 x$ , iar matricele se scad pe poziții: $A (x^{2}) - A (2 x) = (1 - x^{2} - 2 x^{2} x^{2} 1 + 2 x^{2}) - (1 - 2 x - 4 x 2 x 1 + 4 x) = (- x^{2} + 2 x - 2 x^{2} + 4 x x^{2} - 2 x 2 x^{2} - 4 x) (3 p) .$ Matricea este nulă când toate elementele sunt $0$ . Ele sunt $- 1$ , $1$ , $- 2$ și $2$ ori $x^{2} - 2 x$ , deci cele patru egalități se reduc la $x^{2} - 2 x = 0$ , adică $x (x - 2) = 0$ , cu soluțiile $x = 0$ și $x = 2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — inversabilitatea lui $A (x)$ .

Determinantul lui $A (x)$ se calculează ca expresie în $x$ : $det (A (x)) = 1 - x - 2 x x 1 + 2 x = (1 - x) (1 + 2 x) - x \cdot (- 2 x) = 1 + x (3 p) .$ Matricea $A (x)$ este inversabilă exact când determinantul este nenul, adică $1 + x \neq = 0$ , deci pentru $x \in R ∖ {- 1}$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — produsul $A (x) \cdot A (y)$ .

Produsul se face linie cu coloană, element cu element: $A (x) \cdot A (y) = ((1 - x) (1 - y) + x \cdot (- 2 y) (- 2 x) (1 - y) + (1 + 2 x) (- 2 y) (1 - x) y + x (1 + 2 y) (- 2 x) y + (1 + 2 x) (1 + 2 y)) = (1 - x - y - x y - 2 x - 2 y - 2 x y x + y + x y 1 + 2 x + 2 y + 2 x y) (3 p) .$ Cu $s = x + y + x y$ , matricea este $(1 - s - 2 s s 1 + 2 s)$ , adică exact $A (s)$ din definiție. Deci $A (x) \cdot A (y) = A (x + y + x y)$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — ecuația $A (x) \cdot A (x) \cdot A (x) \cdot A (x) = A (0)$ .

Din cerința III.5, $A (u) \cdot A (v) = A (u + v + uv)$ . Cu $u = v = x$ , parametrul $u + v + uv = x + x + x \cdot x$ este $x^{2} + 2 x$ , adică $(x + 1)^{2} - 1$ . Pentru produsul acesta înmulțit cu el însuși, cu $u = v = (x + 1)^{2} - 1$ , se folosește $u + v + uv = (u + 1) (v + 1) - 1 = (x + 1)^{2} (x + 1)^{2} - 1$ : $(A (x) \cdot A (x)) \cdot (A (x) \cdot A (x)) = A (x^{2} + 2 x) \cdot A (x^{2} + 2 x) = A ((x + 1)^{2} - 1) \cdot A ((x + 1)^{2} - 1) = A ((x + 1)^{4} - 1) (3 p) .$ Egalitatea $A ((x + 1)^{4} - 1) = A (0)$ cere ca elementele din dreapta sus să fie egale, adică $(x + 1)^{4} - 1 = 0$ ; reciproc, din $(x + 1)^{4} - 1 = 0$ cele două matrice coincid. Din $(x + 1)^{4} - 1 = 0$ rezultă că pătratul numărului $(x + 1)^{2}$ este $1$ ; cum $(x + 1)^{2} \geq 0$ , rămâne $(x + 1)^{2} = 1$ , adică $x + 1 = 1$ sau $x + 1 = - 1$ , de unde $x = 0$ și $x = - 2$ (2 p).

Pentru părinți și profesori

Simularea pentru clasa a XII-a din 2015 la matematică M_pedagogic (proba E. c, filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare) este reprodusă aici, cu rezolvări noi. Foaia are trei subiecte obligatorii, cu câte șase cerințe de 5 puncte, adică 90 de puncte pe lucrare, iar durata este de trei ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. Pașii fiecărei rezolvări sunt cei ai baremului oficial, iar ghidajul interactiv îi parcurge unul câte unul.

Cuprinsul simulării. Primul subiect cere: o expresie cu pătratul unei fracții negative și un cât, intersecția graficului unei funcții de gradul I cu axa $O x$ , o ecuație exponențială cu bazele $2$ și $4$ , prețul de dinainte de o scumpire de $10%$ , mijlocul unei mediane într-un triunghi din reper și perimetrul unui triunghi dreptunghic dat prin tangentă. Al doilea subiect folosește legea asociativă $x \circ y = x y - 2 x - 2 y + 6$ și cere o valoare, comutativitatea, forma $(x - 2) (y - 2) + 2$ , o egalitate cu $2 \circ x$ , o ecuație cu trei operanzi egali și perechile de numere întregi pentru care $m \circ n = 3$ . Al treilea subiect pornește de la mulțimea $G$ a matricelor $A (x)$ și cere: apartenența matricei unitate, $det (A (1))$ , ecuația $A (x^{2}) - A (2 x) = O_{2}$ , inversabilitatea, produsul $A (x) \cdot A (y)$ și ecuația $A (x) \cdot A (x) \cdot A (x) \cdot A (x) = A (0)$ .

Programa din spatele variantei. Programa M_pedagogic din OMEN 4430/2014 se aplică începând cu Bacalaureatul din 2015, deci și simulării din 2015. Din clasa a IX-a provin funcția de gradul I, ecuația de gradul al doilea și tangenta în triunghiul dreptunghic; din clasa a X-a, ecuațiile exponențiale, procentele și coordonatele din reper; clasa a XI-a dă legea de compoziție, iar clasa a XII-a mulțimile de matrice, determinantul și inversabilitatea. Pentru itemul 4 se poate reciti lecția Procente și TVA la tehnologic: factura, iar pentru cerința III.5 lecția Bac tehnologic: produsul de matrice, pe exemple.

Greșeli de evitat, cu dovada lor.

Exercițiul 1: pătratul lui $- \frac{1}{2}$ este pozitiv, $\frac{1}{4}$ . Dacă semnul s-ar păstra, paranteza ar fi $- 3 - \frac{1}{4} = - \frac{13}{4}$ , iar câtul $\frac{13}{22}$ , nu $\frac{1}{2}$ .
Exercițiul 2: pe axa $O x$ ordonata este $0$ și se caută abscisa, deci punctul este $(2, 0)$ . Punctul $(0, \frac{2}{3})$ , obținut pentru $x = 0$ , este intersecția cu axa $O y$ .
Exercițiul 3: cum $4 = 2^{2}$ , la trecerea în baza $2$ exponentul $x - 2$ al lui $4$ se dublează, deci exponentul lui $2$ nu este chiar $x - 2$ . Dacă ar rămâne $x - 2$ , atunci pentru $x = 1$ , care verifică ecuația dată, ar ieși $1 - 3 = - 2$ în stânga și $1 - 2 = - 1$ în dreapta, adică numere diferite.
Exercițiul 4: scumpirea este $10%$ din prețul de dinainte, nu din $594$ de lei. Pentru prețul corect, $540$ de lei, scumpirea este de $54$ de lei, pe când $10%$ din $594$ de lei, adică $\frac{297}{5}$ de lei, este mai mare.
Exercițiul 5: punctul $M (2, - 2)$ este piciorul medianei, nu mijlocul ei; mijlocul medianei $D M$ este $N (2, 1)$ .
Exercițiul 6: tangenta unghiului $B$ este cateta opusă împărțită la cateta alăturată, $\frac{A C}{A B}$ . Cu raportul răsturnat, $\frac{A B}{A C} = \frac{3}{4}$ , ar rezulta $A B = \frac{27}{4}$ și perimetrul $27$ , nu $36$ .
Cerința II.1: termenul $- 2 y$ rămâne cu minus. Cu $+ 2 y$ am avea $8 - 8 + 4 + 6 = 10$ , nu $2$ .
Cerința II.2: două valori egale nu dovedesc comutativitatea. Legea $x ⋄ y = x^{2} y$ are $0 ⋄ 3 = 3 ⋄ 0 = 0$ , dar $2 ⋄ 3 = 12$ , iar $3 ⋄ 2 = 18$ .
Cerința II.3: în produsul din forma factorizată, ultimul termen este $(- 2) (- 2) = + 4$ , fiindcă minus ori minus dă plus. Cu semnul plus în ambii factori, pentru $x = 1$ și $y = 0$ am obține $(1 + 2) (0 + 2) + 2 = 8$ , deși legea dă $4$ .
Cerința II.4: egalitatea $2 \circ x = 2$ arată că $2$ este element absorbant, nu neutru. Elementul neutru este $3$ , fiindcă $3 \circ x = (3 - 2) (x - 2) + 2 = x$ .
Cerința II.5: cubul este injectiv pe $R$ , deci cubul lui $x - 2$ este egal cu $2^{3}$ numai pentru $x - 2 = 2$ . Dacă s-ar lua și $x - 2 = - 2$ , ca la un pătrat, ar ieși $x = 0$ , dar $0 \circ 0 \circ 0 = (- 2)^{3} + 2 = - 6$ , nu $10$ .
Cerința II.6: un produs de două numere întregi egal cu $1$ cere factori de același semn. Pentru $(m, n) = (3, 1)$ avem $(3 - 2) (1 - 2) + 2 = 1$ , nu $3$ ; fără divizorul negativ $- 1$ ar rămâne numai perechea $(3, 3)$ .
Cerința III.2: produsul diagonalei secundare este $1 \cdot (- 2) = - 2$ , iar scăderea lui dă $0 - (- 2) = 2$ ; cu semnul pierdut ar ieși $0 - 2 = - 2$ .
Cerința III.3: $A (x^{2})$ nu este pătratul lui $A (x)$ . Pentru $x = 1$ avem $A (1^{2}) = A (1)$ , dar $A (1) \cdot A (1) = (- 2 - 6 37)$ . Rădăcina $0$ a ecuației $x^{2} - 2 x = 0$ nu se pierde: pentru $x = 0$ avem $A (0) - A (0) = O_{2}$ .
Cerința III.4: determinantul se anulează pentru $x = - 1$ , nu pentru $x = 1$ . Matricea $A (- 1) = (22 - 1 - 1)$ are determinantul $0$ , iar $A (1)$ are determinantul $2$ .
Cerința III.5: parametrii nu se adună simplu. Pentru $x = y = 1$ avem $A (1) \cdot A (1) = (- 2 - 6 37) = A (3)$ , fiindcă $1 + 1 + 1 \cdot 1 = 3$ , iar $A (2) = (- 1 - 4 25)$ este altă matrice.
Cerința III.6: egalitatea $A (s) = A (0)$ cere $s = 0$ , fiindcă elementul din dreapta sus este $s$ la $A (s)$ și $0$ la $A (0)$ . De exemplu, $A (1)$ nu este $A (0) = I_{2}$ .

Înțelesul literelor. În itemul 2, $f$ este funcția, iar $x$ variabila ei; în itemul 3, $x$ este necunoscuta din exponenți. În itemul 4 enunțul nu dă o literă prețului căutat, iar rezolvarea îl notează cu $p$ . În itemul 5, $D$ , $E$ și $F$ sunt vârfurile triunghiului, $M$ este mijlocul laturii $E F$ (piciorul medianei), iar $N$ este mijlocul medianei $D M$ ; în itemul 6, $A$ , $B$ și $C$ sunt vârfurile triunghiului. Subiectul II: la cerințele II.2, II.3 și II.4, litera $x$ (și $y$ la 8 și 9) înseamnă numere reale oarecare, la cerința II.5 $x$ este necunoscuta, iar la cerința II.6 literele $m$ și $n$ sunt numerele întregi căutate. Subiectul III: $G$ este mulțimea din cadru, cu $A (x)$ de parametru real $x$ ; $x$ este necunoscută la cerințele III.3, III.4 și III.6, iar la cerința III.5 numerele $x$ și $y$ sunt oarecare. Rezolvările mai folosesc litere ajutătoare: la cerința II.5, $a$ și $b$ țin locul celor doi operanzi din forma de la cerința II.3, iar $t$ este variabila funcției $t \mapsto t^{3}$ ; la cerința III.5, $s$ este parametrul $x + y + x y$ ; la cerința III.6, $u$ și $v$ țin locul parametrilor din egalitatea de la cerința III.5.