Subiect Bac matematică pedagogic, august 2025 (varianta 9) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2025 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $3\cdot \left(\frac{3}{2}-\frac{1}{6}\right)+2:\frac{1}{2}=8$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x-2$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=2x+7$. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(1)+g(1)=2m$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{-x}=2^{2x-6}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A=\{0,1,2,3,\dots ,19\}$, numărul $3n+2$ să aparțină mulțimii $A$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,0)$, $B(0,6)$, $C(5,4)$ și $D$, mijlocul segmentului $AC$. Determinați distanța dintre punctele $B$ și $D$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=4$ și $AC=8$. Arătați că $\sin C=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=xy+90-9x-9y$.

1. (5 puncte) Arătați că $0\ast 9=9$.

2. (5 puncte) Arătați că $x\ast y=(x-9)(y-9)+9$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

3. (5 puncte) Arătați că $e=10$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”.

4. (5 puncte) Determinați simetricul numărului $\frac{26}{3}$ în raport cu legea de compoziție „$\ast$”.

5. (5 puncte) Calculați $3^0\ast 3^1\ast 3^2\ast 3^3\ast 3^4$.

6. (5 puncte) Determinați numerele naturale de forma $\overline{ab}$ pentru care $a\ast b=12$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $M(a)=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ -3& 2-a\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $\det \left(M(1)\right)=4$.

2. (5 puncte) Arătați că $3M(4)-M(2)=2M(5)$.

3. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det \left(M(a)\right)=0$.

4. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $M(3)\cdot M(3)=xM(3)$.

5. (5 puncte) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $M(1)\cdot X=2M(-1)$.

6. (5 puncte) Determinați numerele întregi $m$ pentru care $\det \left(M(m)+m{I}_2\right)\le \det \left(M(-2m)\right)$.

Barem și răspunsuri

În rezolvare, fiecare cerință are două rânduri, în ordinea foii de evaluare; în paranteză, cu litere groase, se vede câte puncte din 5 valorează rândul respectiv. Cele 18 cerințe însumează 90 de puncte, iar oficiul adaugă încă 10.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu fracții.

În paranteză, ambele fracții se scriu cu numitorul $6$: $\frac{3}{2}-\frac{1}{6}=\frac{9}{6}-\frac{1}{6}=\frac{8}{6}$. Împărțirea la $\frac{1}{2}$ revine la înmulțirea cu inversul lui $\frac{1}{2}$, adică $2:\frac{1}{2}=2\cdot 2$. Prin urmare $$3\cdot \left(\frac{3}{2}-\frac{1}{6}\right)+2:\frac{1}{2}=3\cdot \frac{8}{6}+2\cdot 2\text{(3 p)}.$$ Primul produs este $\frac{24}{6}=4$, al doilea este $4$, iar suma $4+4=8$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — valorile a două funcții.

Se înlocuiește $x=1$ în fiecare formulă: $f(1)=5\cdot 1-2=3$ și $g(1)=2\cdot 1+7=9$ (2 p). Condiția $f(1)+g(1)=2m$ devine $3+9=2m$, deci $12=2m$ și $\mathbf{m}=6$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Cele două părți ale ecuației sunt puteri cu baza $2$. Egalitatea $2^s=2^t$ are loc doar pentru $s=t$, deci exponenții trebuie să coincidă: $-x=2x-6$ (3 p). Prin trecerea lui $2x$ în partea stângă rezultă $-3x=-6$, deci $\mathbf{x}=2$ (2 p). Verificare: $2^{-2}=\frac{1}{4}$, iar $2\cdot 2-6=-2$, deci și membrul drept este $2^{-2}$.

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Mulțimea $A$ conține toate numerele de la $0$ la $19$, adică $19-0+1=20$ numere; alegerea are deci $20$ de rezultate posibile (2 p). Numărul $3n+2$ este natural și cel puțin $2$, așa că aparține lui $A$ exact când este cel mult $19$: din $3n+2\le 19$ rezultă $3n\le 17$, adică $n\le \frac{17}{3}$, cu $5<\frac{17}{3}<6$. Valorile favorabile sunt $n=0,1,2,3,4,5$, deci $6$ cazuri favorabile, iar $$p=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}\text{(3 p)}.$$

Exercițiul 5. (5 p) — mijloc și distanță în reper.

Coordonatele mijlocului $D$ al segmentului $AC$ sunt semisumele coordonatelor capetelor: $\frac{1+5}{2}=3$ și $\frac{0+4}{2}=2$, deci $D(3,2)$ (2 p). Distanța de la $B(0,6)$ la $D(3,2)$ este $$BD=\sqrt{(3-0{)}^2+(2-6{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\text{(3 p)}.$$

Exercițiul 6. (5 p) — sinusul într-un triunghi dreptunghic.

Latura $BC$ este ipotenuza, fiind cea opusă unghiului drept din $A$. Din teorema lui Pitagora, $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=16+64=80$, deci $BC=\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}$ (2 p). Latura $AB$ este opusă unghiului $C$, deci $$\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.$$ Înmulțind numărătorul și numitorul cu $\sqrt{5}$ se obține $\frac{\sqrt{5}}{5}$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — legea de compoziție: valoarea pe o pereche.

Se înlocuiesc $x=0$ și $y=9$ în definiția legii: $$0\ast 9=0\cdot 9+90-9\cdot 0-9\cdot 9\text{(3 p)}.$$ Termenii cu factorul $0$ dispar, iar $9\cdot 9=81$, deci $0\ast 9=90-81=9$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — legea de compoziție: forma cu două paranteze.

În definiție, numărul $90$ se scrie ca $81+9$, iar legea devine $$x\ast y=xy-9x-9y+81+9\text{(2 p)}.$$ Primii patru termeni se grupează prin factor comun: $xy-9x$ devine $x(y-9)$, iar $-9y+81$ devine $-9(y-9)$, deci suma lor este produsul $(x-9)(y-9)$. Cu termenul $9$ rămas, $x\ast y=(\mathbf{x}-9)(\mathbf{y}-9)+9$, pentru toate perechile reale $(x,y)$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — legea de compoziție: elementul neutru.

Numărul $e$ este element neutru dacă $x\ast e=x$ și $e\ast x=x$ pentru fiecare $x$ real. Cu forma din cerința precedentă, $$x\ast 10=(x-9)(10-9)+9=x-9+9=x\text{(2 p)}.$$ La fel, $10\ast x=(10-9)(x-9)+9=x-9+9=x$. Cele două egalități se verifică pentru toți $x$ reali, prin urmare numărul $\mathbf{e}=10$ îndeplinește condiția de element neutru al legii (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — legea de compoziție: simetricul unui număr.

Elementul neutru este $10$ (cerința precedentă). Simetricul $u$ al lui $\frac{26}{3}$ verifică $\frac{26}{3}\ast u=u\ast \frac{26}{3}=10$. Cu forma cu două paranteze, cele două egalități se scriu $$\left(\frac{26}{3}-9\right)(u-9)+9=10\text{și}(u-9)\left(\frac{26}{3}-9\right)+9=10\text{(3 p)},$$ adică exact aceeași ecuație, fiindcă înmulțirea numerelor reale este comutativă. Cum $\frac{26}{3}-9=-\frac{1}{3}$, ecuația este $-\frac{1}{3}(u-9)=1$, deci $u-9=-3$ și $\mathbf{u}=6$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — legea de compoziție: compunere repetată.

Pentru orice $x$ și $y$ reali, $x\ast 9=(x-9)\cdot 0+9=9$ și $9\ast y=0\cdot (y-9)+9=9$ (2 p). Puterile sunt $3^0=1$, $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$ și $3^4=81$. Asociativitatea din cadru permite gruparea factorilor după dorință: $$3^0\ast 3^1\ast 3^2\ast 3^3\ast 3^4=\left(\left(3^0\ast 3^1\right)\ast 9\right)\ast \left(3^3\ast 3^4\right).$$ Paranteza interioară are forma $x\ast 9$ cu $x=3^0\ast 3^1$, deci valorează $9$. Rămâne $9\ast \left(3^3\ast 3^4\right)$, de forma $9\ast y$, care valorează tot $9$. Rezultatul este $9$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — legea de compoziție: numere de două cifre.

Cu forma factorizată, $a\ast b=12$ înseamnă $(a-9)(b-9)+9=12$, adică $(a-9)(b-9)=3$ (2 p). Cifrele satisfac $a\in \{1,2,\dots ,9\}$ (cifra zecilor nu este $0$) și $b\in \{0,1,\dots ,9\}$, deci $a-9\le 0$ și $b-9\le 0$. Un produs egal cu $3$ are factori de același semn, iar aici sunt nepozitivi, deci ambii sunt negativi: $(a-9,b-9)$ este $(-1,-3)$ sau $(-3,-1)$. Primul caz dă $a=8$, $b=6$, adică numărul $86$, iar al doilea dă $a=6$, $b=8$, adică numărul $68$. Cazurile $(1,3)$ și $(3,1)$ ar cere ca $a$ sau $b$ să fie egal cu $10$, număr care nu este cifră. Numerele sunt $68$ și $86$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinant de ordinul doi.

Pentru $a=1$, $M(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -3& 2-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -3& 1\end{array}\right)$. La o matrice $\left(\begin{array}{cc}u& v\\ w& z\end{array}\right)$ determinantul este $uz-vw$, deci $$\det \left(M(1)\right)=1\cdot 1-1\cdot (-3)\text{(3 p)}.$$ Rezultă $1+3=4$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — combinație de matrice.

Matricele sunt $M(4)=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ -3& -2\end{array}\right)$, $M(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -3& 0\end{array}\right)$ și $M(5)=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ -3& -3\end{array}\right)$. Scalarul $3$ se aplică fiecărui element din $M(4)$, apoi din rezultat se scade $M(2)$ pe fiecare loc: $$3M(4)-M(2)=\left(\begin{array}{cc}12-2& 3-1\\ -9+3& -6-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10& 2\\ -6& -6\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Să calculăm și $2M(5)=\left(\begin{array}{cc}10& 2\\ -6& -6\end{array}\right)$, adică exact matricea de mai sus: $3M(4)-\mathbf{M}(2)=2M(5)$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — determinantul ca funcție de parametru.

Determinantul scade produsul $1\cdot (-3)$ din produsul $a(2-a)$; după desfacerea parantezei și ordonarea termenilor, $\det \left(M(a)\right)=-a^2+2a+3$ (3 p). Ecuația $-a^2+2a+3=0$ are discriminantul $\Delta =2^2-4\cdot (-1)\cdot 3=16$, iar rădăcinile $a=\frac{-2\pm 4}{-2}$ sunt $\mathbf{a}=-1$ și $\mathbf{a}=3$ (2 p). Verificare: $\det \left(M(3)\right)=3\cdot (-1)+3=0$ și $\det \left(M(-1)\right)=-1\cdot 3+3=0$.

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — produsul unei matrice cu ea însăși.

$M(3)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -3& 2-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -3& -1\end{array}\right)$. Elementele produsului, linie cu coloană, sunt $3\cdot 3+1\cdot (-3)=6$, $3\cdot 1+1\cdot (-1)=2$, $(-3)\cdot 3+(-1)(-3)=-6$ și $(-3)\cdot 1+(-1)(-1)=-2$: $$M(3)\cdot M(3)=\left(\begin{array}{cc}6& 2\\ -6& -2\end{array}\right)=2M(3)\text{(3 p)}.$$ Egalitatea din enunț devine $2M(3)=xM(3)$. Pe locul din stânga sus, unde $M(3)$ are elementul $3$, rezultă $2\cdot 3=x\cdot 3$, deci $\mathbf{x}=2$ (2 p); celelalte trei locuri dau aceeași valoare.

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — ecuație matriceală.

Pentru $M(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -3& 1\end{array}\right)$ determinantul este $4\ne 0$ (cerința III.1), deci există inversa. Elementele diagonalei principale, $1$ și $1$, își schimbă locurile, iar $1$ și $-3$ de pe cealaltă diagonală își schimbă semnul; totul se împarte la $4$: $${\left(M(1)\right)}^{-1}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}\\ \frac{3}{4}& \frac{1}{4}\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Verificare: $M(1)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+3& -1+1\\ -3+3& 3+1\end{array}\right)=4I_2$. Pentru a-l izola pe $X$ din $M(1)\cdot X=2M(-1)$, ambii membri se înmulțesc la stânga cu inversa: $X=2{\left(M(1)\right)}^{-1}\cdot M(-1)$, unde $M(-1)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -3& 3\end{array}\right)$. Produsul se face linie cu coloană: $$\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -3& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1+3& 1-3\\ -3-3& 3+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -6& 6\end{array}\right),$$ iar factorul $2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ dă $X=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -3& 3\end{array}\right)$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — inecuație cu determinanți.

Matricea $M(m)+m{I}_2=\left(\begin{array}{cc}2m& 1\\ -3& 2\end{array}\right)$, fiindcă $m$ se adaugă doar pe diagonală, iar $2-m+m=2$; determinantul ei este $2m\cdot 2-1\cdot (-3)=4m+3$. Pentru $M(-2m)=\left(\begin{array}{cc}-2m& 1\\ -3& 2+2m\end{array}\right)$, determinantul este $(-2m)(2+2m)+3=-4m^2-4m+3$ (2 p). Inecuația cere $4m+3\le -4m^2-4m+3$. Termenul $3$ stă în ambele părți și se simplifică; apoi $4m$ se adună peste tot și totul se împarte la $4$, ajungând la $m^2+2m\le 0$, adică $m(m+2)\le 0$. Un produs de doi factori este nepozitiv când $m$ stă între $-2$ și $0$, inclusiv la capete: $-2\le m\le 0$. Numerele întregi din acest interval sunt $\mathbf{m}=-2$, $\mathbf{m}=-1$ și $\mathbf{m}=0$ (3 p).

Pentru părinți și profesori

Pagina cuprinde varianta 9 din sesiunea de august 2025 a probei E. c) de matematică M_pedagogic. Lucrarea are 18 cerințe a câte 5 puncte (90 de puncte) și trei ore de timp efectiv. Se acordă 10 puncte din oficiu. Cerințele se citesc întocmai ca în foaia oficială; soluțiile, scrise de Matepolis, merg pe rândurile punctate ale foii de evaluare.

Cum este alcătuită varianta. Prima parte are șase cerințe independente: un calcul cu fracții, suma a două valori de funcții de gradul întâi, o ecuație exponențială, o probabilitate, o distanță în reperul cartezian și sinusul unui unghi într-un triunghi dreptunghic. A doua parte este o singură problemă despre legea asociativă $x\ast y=xy+90-9x-9y$ pe $\mathbb{R}$; a treia parte, o singură problemă despre familia de matrice $M(a)$ de ordinul doi.

Materia pe clase. După programa de examen M_pedagogic (OMEN 4430/2014), funcția de gradul întâi și triunghiul dreptunghic se învață în clasa a IX-a, iar ecuațiile exponențiale, probabilitatea evenimentelor egal probabile și distanța dintre două puncte din reper în clasa a X-a; legile de compoziție aparțin clasei a XI-a, iar matricele și determinanții clasei a XII-a. Pentru problema cu matrice se poate reciti lecția Ecuații matriceale: pe ce parte, pentru tehnologic.

Capcane, cu dovada lor.

• Exercițiul 4: valoarea $n=0$ face parte din mulțimea $A$ și este favorabilă, fiindcă $3\cdot 0+2=2$, iar $2\in A$; cine ar porni de la $n=1$ ar număra $5$ cazuri favorabile și ar scrie $\frac{5}{20}$ în loc de $\frac{3}{10}$.
• Exercițiul 5: media coordonatelor punctelor $A$ și $B$ este $\left(\frac{1}{2},3\right)$, adică mijlocul altui segment decât $AC$.
• Exercițiul 6: raportul $\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$ este tangenta unghiului $C$, nu sinusul lui; sinusul are la numitor ipotenuza, de lungime $4\sqrt{5}$.
• Cerința II.3: un exemplu numeric izolat nu dovedește nimic. La $x=0$ se obține $0\ast 10=0\cdot 10+90-9\cdot 0-9\cdot 10=0$, însă un element neutru trebuie să lase neschimbat fiecare $x$ real, fie că stă în dreapta sau în stânga lui.
• Cerința II.4: simetricul lui $\frac{26}{3}$ nu este opusul $-\frac{26}{3}$, pentru că $\frac{26}{3}\ast \left(-\frac{26}{3}\right)=\frac{53}{9}+9=\frac{134}{9}$, iar rezultatul trebuie să fie $10$.
• Cerința II.5: $3^2=9$, nu $6$; cu $6$ în loc de $9$, factorul $3^2-9$ ar fi $-3$ și nu $0$, iar produsul nu s-ar mai anula.
• Cerința II.6: $\overline{ab}$ este numărul scris cu cifrele $a$ și $b$, nu produsul lor: pentru $a=8$ și $b=6$ numărul este $86$, iar produsul cifrelor este $48$.
• Cerința III.2: scalarul $3$ înmulțește doar matricea $M(4)$; dacă ar înmulți și matricea $M(2)$, rezultatul ar fi $\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 0& -6\end{array}\right)$, diferit de $2M(5)$.
• Cerința III.3: dacă produsul secundar $1\cdot (-3)$ ar fi scăzut cu semnul greșit, termenul liber al determinantului ar fi $-3$, ecuația n-ar mai avea soluții reale (discriminantul ar fi $-8$), deși ecuația corectă are două.
• Cerința III.4: ridicarea la pătrat element cu element a lui $M(3)$ dă $\left(\begin{array}{cc}9& 1\\ 9& 1\end{array}\right)$, care nu este multiplu al lui $M(3)$.
• Cerința III.5: din $M(1)\cdot X=2M(-1)$ inversa se înmulțește la stânga; înmulțirea la dreapta ar da $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 3\end{array}\right)$, iar $M(1)$ înmulțită cu această matrice are doar zerouri pe a doua linie, deci nu poate fi $2M(-1)$.
• Cerința III.6: inegalitatea este nestrictă. Pentru $m=0$ ambii determinanți valorează $3$, iar pentru $m=-2$ ambii valorează $-5$, deci capetele intervalului intră în soluție.

Despre litere. Cerințele II.2 și II.5 folosesc literele $x$ și $y$, iar cerința II.3 doar litera $x$, pentru numere reale arbitrare; în cerința II.4 necunoscuta poartă numele $u$, ca să nu fie confundată cu $x$ din definiția legii; în cerința II.6, $a$ și $b$ sunt cifre. În problema cu matrice, $a$ este parametrul lui $M(a)$ și devine necunoscută în cerința III.3; în cerința III.4 se caută scalarul $x$, în cerința III.5 matricea $X$, iar în cerința III.6 numărul întreg $m$.