Elementul neutru: cum îl afli, la pedagogic

Pe panoul cu cel mai bun timp al grupei, educatoarea scrie la început un număr care nu schimbă nimic: primul timp devine automat cel mai bun. Acel număr este elementul neutru al legii „cel mai mic dintre două numere”. În clasa a XI-a, la profilul pedagogic, înveți să afli elementul neutru al unei legi, să-l verifici pe ambele părți și să recunoști legile care nu au. La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), el a fost cerut în 35 dintre cele 60 de probe din 2013–2026.

Situația de pornire

La serbarea sportivă a grădiniței, copiii aleargă câte o tură de cros, iar pe un panou se ține cel mai bun timp al grupei, adică cel mai mic. Cine nu termină tura în 60 de secunde primește 60 s. După fiecare alergare, educatoarea șterge timpul vechi și scrie cel mai mic dintre timpul vechi și timpul nou. Înainte de prima alergare, pe panou scrie 60.

Întrebare: de ce scrie educatoarea 60 pe panou înainte de prima alergare? Ce ar scrie la început dacă tura ar trebui terminată în 45 de secunde?

De la situație la model

Regula panoului este o lege de compoziție pe $M=(0,60]$, mulțimea timpilor în secunde.

Fie $\circ$ o lege de compoziție pe $M$. Elementul neutru este un element $e\in M$ pentru care $x\circ e=x$ și $e\circ x=x$, oricare ar fi $x\in M$. Cele două egalități se cer amândouă; la o lege comutativă, una o aduce pe cealaltă.

Cum afli elementul neutru dintr-o formulă?

Pornești de la $x\circ e=x$ și o tratezi ca pe o ecuație în $e$, valabilă pentru orice $x$. La $x\circ y=x+y+27$: $x+e+27=x$ dă $e=-27$, același număr pentru toți $x$. Apoi verifici și $e\circ x=-27+x+27=x$. Dacă ecuația îți dă un $e$ care depinde de $x$, legea nu are element neutru.

De ce nu pot exista două elemente neutre?

Dacă $e$ și $e^{\prime }$ ar fi amândouă neutre, atunci $e\circ e^{\prime }=e^{\prime }$, fiindcă $e$ e neutru, și $e\circ e^{\prime }=e$, fiindcă $e^{\prime }$ e neutru. Deci $e=e^{\prime }$. De aceea cerințele spun „elementul neutru”, cu articol hotărât.

Ce faci când legea nu are element neutru?

Arăți că ecuația $x\circ e=x$ nu are o soluție comună pentru toți $x$. La $x\circ y=2x+2y-3$: $2x+2e-3=x$ dă $e=\frac{3-x}{2}$, alt număr pentru fiecare $x$; pentru $x=1$ ar trebui $e=1$, iar pentru $x=3$, $e=0$. Contează și mulțimea: legea „cel mai mare dintre două numere” pe $(80,150]$ nu are neutru, fiindcă intervalul nu are un cel mai mic element.

Metoda pas cu pas

1. Scrie condiția: $x\circ e=x$ și $e\circ x=x$, pentru orice $x\in M$.
2. Rezolvă $x\circ e=x$ ca ecuație în $e$; un truc bun e să alegi întâi un $x$ comod, de pildă $x=0$, ca să obții candidatul.
3. Verifică candidatul pentru orice $x$, cu litere, în ambele ordini; la o lege comutativă ajunge o ordine.
4. Verifică dacă $e$ aparține mulțimii $M$; dacă nu, legea nu are element neutru în $M$.
5. Dacă $e$ depinde de $x$ sau ordinele dau valori diferite, legea nu are element neutru; scrie două valori ale lui $x$ care cer neutri diferiți.

Pe o tablă, elementul neutru se citește ca în tabla operației pe o mulțime finită: linia și coloana lui repetă capetele. La o lege comutativă, ca în comutativitatea și tabla operației, o singură ordine ajunge. Lecția M3 Bac tehnologic: asociativă, comutativă, neutru are alte situații. Toată materia e pe pagina clasei a XI-a, profilul pedagogic.

Fișa de buzunar

$$e\text{ neutru}⟺x\circ e=e\circ x=x,\forall x\in M$$

Elementul neutru, dacă există, e unic. Verificare rapidă pe ultimul rând, cu $a=2$, $b=1$: $e=1,5$, iar $x\circ 1,5=2(x-1)\cdot 0,5+1=x$.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Panoul cu cel mai bun timp

Domeniu: educație fizică la grădiniță.

Enunț. Reia panoul din situație, cu $x\circ y$ = cel mai mic dintre $x$ și $y$. a) Arată că $e=60$ este element neutru pe $(0,60]$. b) Dacă tura trebuie terminată în 45 de secunde, adică pe $M=(0,45]$, care e elementul neutru? c) La săritura în lungime se trece cel mai mare dintre două salturi, $x\ast y$. Are legea element neutru pe $[80,150]$, salturile valide în centimetri? Dar pe $(80,150]$, dacă un salt de exact 80 cm nu se mai ia în seamă?

Rezolvare. a) Pentru $0<x\le 60$, cel mai mic dintre $x$ și 60 este $x$: $x\circ 60=60\circ x=x$. b) $e=45$: orice $x\in (0,45]$ e cel mult 45, deci $x\circ 45=45\circ x=x$. c) Pe $[80,150]$, da: $e=80$, fiindcă orice salt valid e cel puțin 80, deci $x\ast 80=x$. Pe $(80,150]$, nu: dacă $e\in (80,150]$ ar fi neutru, saltul $x=\frac{80+e}{2}$ e tot în mulțime și e mai mic decât $e$, deci $x\ast e=e\ne x$.

Capcană. Cine răspunde la b) tot cu $e=60$ uită că 60 nu aparține lui $(0,45]$. Elementul neutru trebuie să fie în mulțimea pe care e definită legea.

Verificare. Pe panou: cu 60 scris la început, timpul Anei dă $60\circ 48=48$, cum s-a trecut; alergarea oprită a lui Dinu dă $41\circ 60=41$.

Exemplul 2 — Trei formule, trei verdicte

Domeniu: calcul algebric.

Enunț. Află, dacă există, elementul neutru al fiecărei legi pe $\mathbb{R}$: a) $x\circ y=x+y+27$; b) $x\circ y=\frac{xy}{7}$; c) $x\circ y=2x+2y-3$.

Rezolvare. a) $x+e+27=x$ dă $e=-27$; verificare: $(-27)\circ x=x$. b) $\frac{xe}{7}=x$ pentru orice $x$; cu $x=1$ obții $e=7$, iar apoi $\frac{7x}{7}=x$ pentru orice $x$, în ambele ordini. c) $2x+2e-3=x$ dă $e=\frac{3-x}{2}$: pentru $x=1$, $e=1$, iar pentru $x=3$, $e=0$. Un neutru ar trebui să fie un singur număr, deci legea nu are element neutru.

Capcană. La b), cine pune $x=0$ obține $0=0$, adevărat pentru orice $e$, și crede că orice număr e neutru. Valoarea $x=0$ nu dă informație aici; alegi alt $x$.

Verificare. a) $5\circ (-27)=5-27+27=5$. b) $3\circ 7=\frac{21}{7}=3$. c) $1\circ 1=2+2-3=1$, dar $3\circ 1=6+2-3=5\ne 3$, deci 1 nu e neutru.

Exemplul 3 — Elementul neutru din tablă

Domeniu: aritmetică.

Enunț. Pe $D=\{1,2,5,10\}$, mulțimea divizorilor lui 10, se definesc $x\circ y$ = cel mai mare divizor comun și $x\ast y$ = cel mai mic multiplu comun. a) Completează tabla lui $\circ$ și găsește elementul neutru. b) Care e elementul neutru al lui $\ast$?

Rezolvare. a) Linia lui 1: 1, 1, 1, 1. Linia lui 2: 1, 2, 1, 2. Linia lui 5: 1, 1, 5, 5. Linia lui 10: 1, 2, 5, 10. Linia lui 10 repetă capul tabelului, iar coloana lui 10 la fel, deci $e=10$. b) $e=1$: cel mai mic multiplu comun al lui $x$ și 1 este $x$.

Capcană. Cine caută elementul neutru în linia care are cele mai multe numere egale alege linia lui 1, unde toate căsuțele sunt 1. Aceea e linia elementului care „înghite” tot, nu a celui care nu schimbă nimic.

Verificare. $(2,10)=2$ și $(5,10)=5$: 10 nu schimbă divizorii lui 10. La $\ast$: $[2,1]=2$, $[10,1]=10$.

Exemplul 4 — în stilul Bac M4: determinarea elementului neutru

Domeniu: fără context.

Enunț. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=3(x-14)(y-14)+14$. a) Arătați că $15\ast 16=20$. b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”.

Rezolvare. a) $15\ast 16=3\cdot 1\cdot 2+14=20$. b) Legea e comutativă, fiindcă schimbarea literelor inversează doar factorii, deci ajunge $x\ast e=x$ pentru orice $x$: $3(x-14)(e-14)+14=x$, adică $3(e-14)(x-14)=x-14$. Egalitatea are loc pentru orice $x$ exact când $3(e-14)=1$, deci $e=14+\frac{1}{3}=\frac{43}{3}$.

Capcană. Cine ghicește neutrul după numărul din paranteze și răspunde $e=14$ obține $x\ast 14=3(x-14)\cdot 0+14=14$, nu $x$: de pildă $17\ast 14=14$. Numărul 14 nu lasă elementele neschimbate, ci le transformă pe toate în 14.

Verificare. $x\ast \frac{43}{3}=3(x-14)\cdot \frac{1}{3}+14=x-14+14=x$. Numeric: $17\ast \frac{43}{3}=3\cdot 3\cdot \frac{1}{3}+14=17$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Află elementul neutru al legii $x\circ y=x+y-\frac{7}{2}$, definită pe $\mathbb{R}$, și verifică-l în ambele ordini.

2. Află elementul neutru al legii $x\circ y=\frac{xy}{11}$, definită pe $\mathbb{R}$.

3. O lege pe $\{1,2,3\}$ are tabla: linia lui 1: 3, 1, 2; linia lui 2: 1, 2, 3; linia lui 3: 2, 3, 1. Care este elementul neutru?

4. Arată că legea $x\circ y=x+5y$, definită pe $\mathbb{R}$, nu are element neutru, deși $x\circ 0=x$ pentru orice $x$.

Nivelul 2 — situații

5. Magazinul școlii împachetează două produse cumpărate împreună și adaugă 2,5 lei pentru ambalaj: $x\circ y=x+y+2,5$ lei, pe mulțimea prețurilor, $[0,+\infty )$. a) Ce element ar fi neutru dacă legea ar fi definită pe $\mathbb{R}$? b) Are legea element neutru pe $[0,+\infty )$?

6. Pentru o temă comună, două grupe propun câte o zi din luna mai, iar profesorul alege ziua mai apropiată: $x\circ y$ = cel mai mic dintre $x$ și $y$, pe $M=\{1,2,\dots ,31\}$. a) Calculează $12\circ 20$. b) Care e elementul neutru? c) Ce înseamnă el pentru o grupă?

7. Copiii compun numere din două cartonașe: zecile $x$ și unitățile $y$, adică $x\circ y=10x+y$, pe $\mathbb{N}$. a) Calculează $4\circ 7$ și $7\circ 4$. b) Arată că $0\circ y=y$ pentru orice $y$. c) Are legea element neutru?

8. La ora de abilități practice, două fâșii de $x$ cm și $y$ cm se lipesc cu o suprapunere de 2,5 cm, deci fâșia nouă are $x\circ y=x+y-2,5$ cm. a) Ce lungime are fâșia obținută din fâșii de 20 cm și de 14 cm? b) Ce fâșie, lipită de oricare alta, nu-i schimbă lungimea? c) Explică răspunsul în cuvinte.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy+25x+25y+600$. Arătați că $e=-24$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=\frac{xy}{4}+x+y$. a) Verificați dacă $e=4$ este element neutru al legii de compoziție „$\circ$”. b) Determinați elementul neutru al legii.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=4x+4y-9$. Verificați dacă legea de compoziție „$\ast$” admite element neutru.

12. (Sinteză.) a) Câte legi de compoziție pe $\{0,1\}$ au element neutru? b) Arată că niciuna nu poate avea două elemente neutre. c) Scrie tablele celor care au elementul neutru 1.

Răspunsuri și verificări

1. $x+e-\frac{7}{2}=x$ dă $e=\frac{7}{2}$. În ambele ordini, $x\circ \frac{7}{2}=\frac{7}{2}\circ x=x$. Verificare: $4\circ 3,5=4+3,5-3,5=4$.

2. $\frac{xe}{11}=x$ pentru orice $x$; cu $x=1$, $e=11$. Verificare: $\frac{11x}{11}=x$, iar $5\circ 11=5$.

3. $e=2$: linia lui 2 este 1, 2, 3, ca în capul tabelului, iar coloana lui 2 este 1, 2, 3, ca în capul liniilor. Verificare: $1\circ 2=1$ și $3\circ 2=3$.

4. La dreapta, $x\circ 0=x$. La stânga, $e\circ x=e+5x=x$ cere $e=-4x$, care depinde de $x$; candidatul 0 dă $0\circ 1=5\ne 1$. Deci nu există element neutru. Verificare: $0\circ 5=25$, nu 5.

5. a) $x+e+2,5=x$ dă $e=-2,5$. b) Nu: $-2,5$ nu e un preț, adică nu aparține lui $[0,+\infty )$. Verificare: pentru orice $e\ge 0$, $x\circ e\ge x+2,5>x$.

6. a) $12\circ 20=12$. b) $e=31$: orice zi din mai e cel mult 31. c) O grupă care propune 31 mai lasă alegerea pe seama celeilalte. Verificare: $20\circ 31=20$ și $31\circ 5=5$.

7. a) $4\circ 7=47$ și $7\circ 4=74$. b) $0\circ y=0+y=y$. c) Nu: din $x\circ e=10x+e=x$ ar rezulta $e=-9x$, care depinde de $x$ și nu e natural pentru $x\ge 1$. Verificare: $5\circ 0=50\ne 5$.

8. a) $20\circ 14=31,5$ cm. b) Fâșia de 2,5 cm: $x\circ 2,5=x$. c) O fâșie lungă cât suprapunerea se ascunde toată sub cealaltă, deci nu adaugă nimic. Verificare: $14\circ 2,5=14$.

9. $x\ast (-24)=-24x+25x-600+600=x$. $(-24)\ast x=-24x-600+25x+600=x$. Deci $e=-24$ este element neutru. Verificare: $2\ast (-24)=-48+50-600+600=2$.

10. a) $x\circ 4=x+x+4=2x+4$, care e diferit de $x$ (de pildă $0\circ 4=4$), deci 4 nu e neutru. b) $\frac{xe}{4}+x+e=x$ dă $e\left(\frac{x}{4}+1\right)=0$ pentru orice $x$, deci $e=0$. Verificare: $x\circ 0=0+x+0=x$ și $0\circ x=x$.

11. $4x+4e-9=x$ dă $e=\frac{9-3x}{4}$, care depinde de $x$. Pentru $x=3$ ar trebui $e=0$, iar pentru $x=0$, $e=\frac{9}{4}$. Legea nu admite element neutru. Verificare: $3\ast 0=12-9=3$, dar $0\ast 0=-9\ne 0$.

12. a) 4 legi: pentru neutrul 0 sunt fixate căsuțele $(0,0)=0$, $(0,1)=1$, $(1,0)=1$, iar $(1,1)$ e liberă, deci 2 legi; la fel 2 legi pentru neutrul 1. b) Dacă 0 și 1 ar fi ambele neutre, $0\circ 1$ ar fi și 1, și 0, imposibil. c) Linia lui 0: $a$, 0; linia lui 1: 0, 1, cu $a=0$ sau $a=1$. Verificare: $2+2=4$ legi din cele 16.

Așa vine la Bac M4

La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), elementul neutru a fost cerut în 35 dintre cele 60 de probe din 2013–2026, câte o dată pe probă. În 32 de cerințe, numărul $e$ era dat și trebuia arătat sau verificat că e neutru; în toate 32, numărul dat s-a dovedit chiar elementul neutru. O cerință a cerut să determini elementul neutru, una a întrebat dacă legea admite element neutru, iar una l-a legat de un parametru.

• Simularea din 2024, cerința 3: neutrul dat e o fracție, $\frac{7}{3}$, ca în Exemplul 4. Pagina probei dă 2 puncte pentru $x\circ e=x$ și 3 puncte pentru $e\circ x=x$ și concluzie.
• Simularea din 2014, cerința 3: „determinați elementul neutru” pentru o lege cu produs de paranteze, ca la Exemplul 4 b). Pagina probei dă 2 puncte pentru comutativitate, care permite o singură ordine, și 3 puncte pentru ecuația care dă $e$.
• Modelul din 2013, cerința 5: „verificați dacă legea admite element neutru”, cu răspunsul „nu”, ca la exercițiul 11. Pagina probei dă 2 puncte pentru condiție, 1 punct pentru ecuația obținută și 2 puncte pentru concluzie.

Greșeli care costă puncte

• Verifici doar $x\circ e=x$ la o lege necomutativă → la exercițiul 4, 0 pare neutru, dar $0\circ 5=25$; cum o prinzi: verifici și $e\circ x$.
• Alegi $x=0$ și primești „$0=0$” → la $\frac{xy}{7}$ nu afli nimic; cum o prinzi: alegi alt $x$, de pildă 1.
• Accepți un neutru din afara mulțimii → pe $[0,+\infty )$, $-2,5$ nu e preț; cum o prinzi: pasul 4 din Metodă.
• Arăți neutrul pe un singur număr → $5\circ (-27)=5$ nu acoperă toți $x$; cum o prinzi: verifici cu litere.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XI-a pentru profilul pedagogic (PROGRAMA 4, OMEC 3252/2006), la conținuturile „Legi de compoziție, proprietăți” și „monoid”: un monoid este o mulțime cu o lege asociativă care are element neutru. Elevii care dau Bacalaureatul din 2030 învață după un plan-cadru nou (OMEC 4152/2026) și dau alt tip de probă (OMEC 4138/2026); lecția nu este scrisă pentru ei.

Întrebări frecvente

De ce scrie educatoarea 60 pe panou înainte de prima alergare? Pentru că 60 este elementul neutru al legii „cel mai mic dintre două numere” pe $(0,60]$. Atunci primul timp, oricât ar fi, devine automat cel mai bun: $60\circ 48=48$. Un număr mai mic ar strica regula: cu 40 scris la început, după alergarea Anei ar rămâne 40, un timp pe care nu l-a făcut nimeni.

Ce se scrie la început dacă tura trebuie terminată în 45 de secunde? Se scrie 45, elementul neutru al aceleiași legi pe $(0,45]$. Numărul 60 nu mai merge, fiindcă nu aparține mulțimii. Fără nicio limită de timp, pe $(0,+\infty )$, legea nu are element neutru, fiindcă nu există un timp mai mare decât toți ceilalți; atunci pe panou se trece o liniuță până la prima alergare.

De ce alergarea oprită a lui Dinu nu schimbă cel mai bun timp? Pentru că alergarea oprită se notează 60, iar 60 este elementul neutru: $41\circ 60=41$. Orice număr compus cu elementul neutru rămâne neschimbat. Dacă alergarea oprită s-ar nota cu un număr mai mic, de pildă 30, panoul ar arăta $41\circ 30=30$, un timp pe care Dinu nu l-a făcut.

Poate o lege să aibă element neutru doar „pe o parte”? Da: la $x\circ y=x+5y$, numărul 0 merge la dreapta, $x\circ 0=x$, dar nu la stânga, fiindcă $0\circ 5=25$. Un astfel de număr nu e element neutru, fiindcă definiția cere ambele egalități. La legile comutative problema nu apare: cele două ordini dau același rezultat.

Cum se cere elementul neutru la Bacalaureatul M4 (M_pedagogic)? În probele din 2013–2026 a apărut în 35 de probe din 60. În 32 de cerințe numărul $e$ era dat, în 5 dintre ele o fracție, iar rezolvarea cerea $x\circ e=x$ și $e\circ x=x$ cu litere. O cerință a fost „determinați elementul neutru”, alta „verificați dacă legea admite element neutru”, cu răspunsul „nu”.