Subiect Bac matematică tehnologic, august 2022 (varianta 7) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2022 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $1+6\cdot \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)=6$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-2$. Arătați că $f(3)-f(2)=1$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{3x+1}=2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, numărul $10-n$ să fie par.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(a,0)$ și $B(a,6)$, unde $a$ este număr real. Arătați că $AB=6$, pentru orice număr real $a$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $AB=5$ și $AC=2AB$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $25$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 3& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$ și $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=-2$.

b) (5 puncte) Arătați că $A-4I_2=3B$.

c) (5 puncte) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $X+X\cdot B=A$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy(x+y-4)$.

a) (5 puncte) Arătați că $2\ast 3=6$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $1\ast x=4$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $2^x\ast 2^x=2^{3x}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-9x^2+3$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=3x(x-6)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(1)}{3f(x)-x{f}^{\prime }(x)}=\frac{2}{3}$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-1)e^x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^2\frac{f(x)}{e^x}dx=0$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=2-e$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural $n$, $n>2$, pentru care ${\int }_2^n\frac{x}{f(x)\cdot f(-x)}dx=\frac{1}{2}\ln \frac{3}{8}$.

Barem și răspunsuri

Punctele de pe rânduri sunt cele ale baremului oficial al variantei 7, în ordinea din document. Între paranteze, după fiecare rezolvare, se află o verificare și capcanele care duc la rezultate greșite.

Exercițiul 1. (5 p) — fracții și ordinea operațiilor.

Se rezolvă întâi paranteza, la numitorul comun $6$: $$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6},\text{deci expresia este}1+6\cdot \frac{5}{6}\text{(3 p)}.$$ Produsul $6\cdot \frac{5}{6}$ este $5$, iar $1+5=6$ (2 p).

(Probă: prin distributivitate, $6\cdot \frac{1}{2}+6\cdot \frac{1}{3}=3+2=5$. Capcană: se adună mai întâi $1+6=7$, iar $7\cdot \frac{5}{6}=\frac{35}{6}$, deși înmulțirea se face înaintea adunării. Altă greșeală: fracțiile se adună numărător cu numărător și numitor cu numitor, $\frac{1+1}{2+3}=\frac{2}{5}$; atunci iese $1+6\cdot \frac{2}{5}=\frac{17}{5}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — valorile unei funcții.

Prima valoare se obține înlocuind $x$ cu $3$: $$f(3)=3-2=1\text{(2 p)}.$$ A doua, cu $x=2$, este $f(2)=2-2=0$, iar diferența este $f(3)-f(2)=1-0=1$ (3 p).

(Probă: pentru orice $x$, $f(x+1)-f(x)=(x-1)-(x-2)=1$. Capcană: diferența valorilor se confundă cu valoarea diferenței, $f(3-2)=f(1)=-1$, dar funcția $f(x)=x-2$ nu respectă regula $f(u)-f(v)=f(u-v)$, fiindcă $-1\ne 1$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Membrul drept, $2$, este pozitiv, deci ambii membri se pot ridica la pătrat: $$3x+1=2^2=4\text{(3 p)}.$$ Din $3x=3$ rezultă $x=1$. Verificare: $\sqrt{3\cdot 1+1}=\sqrt{4}=2$, deci $\mathbf{x}=1$ este soluție (2 p).

(Capcană: se ridică la pătrat numai membrul stâng; atunci $3x+1=2$ dă $x=\frac{1}{3}$, dar $\sqrt{3\cdot \frac{1}{3}+1}=\sqrt{2}$, nu $2$. Altă greșeală: $1$ trece în dreapta cu plus, $3x=4+1=5$, iar pentru $x=\frac{5}{3}$ se obține $\sqrt{3\cdot \frac{5}{3}+1}=\sqrt{6}$, nu $2$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Mulțimea $A$ are elementele $1,2,\dots ,9$: nouă numere, deci $9$ cazuri posibile (2 p).

Numărul $10$ este par, așa că $10-n$ este par exact când $n$ este par. Din $A$ convin $n\in \{2,4,6,8\}$, pentru care $10-n$ ia valorile $8,6,4,2$. Sunt $4$ cazuri favorabile, deci $$\mathbf{p}=\frac{4}{9}\text{(3 p)}.$$

(Probă: pentru $n=1,2,\dots ,9$, numărul $10-n$ ia valorile $9,8,7,6,5,4,3,2,1$, dintre care pare sunt $8,6,4,2$. Capcană: se numără valorile impare ale lui $n$, adică $1,3,5,7,9$, iar $\frac{5}{9}$ este probabilitatea ca $10-n$ să fie impar. Altă greșeală: $n=10$ se socotește favorabil, deși $10\notin A$.)

Exercițiul 5. (5 p) — distanța dintre două puncte.

Se aplică formula distanței pentru $A(a,0)$ și $B(a,6)$: $$AB=\sqrt{(a-a{)}^2+(6-0{)}^2}\text{(3 p)}.$$ Diferența abscisei este $a-a=0$, deci $AB=\sqrt{6^2}=6$, pentru orice $a$ real (2 p).

(Probă: punctele au aceeași abscisă, deci segmentul $AB$ este vertical, iar lungimea lui este diferența ordonatelor, $6-0=6$. Capcană: se verifică un singur caz, $a=0$, care dă tot $6$ dar nu dovedește afirmația pentru orice $a$. Altă greșeală: abscisele se adună, $(a+a{)}^2$, și iese $\sqrt{4a^2+36}$, care pentru $a=1$ este $\sqrt{40}$, nu $6$.)

Exercițiul 6. (5 p) — aria unui triunghi dreptunghic.

Din $AC=2AB$ și $AB=5$ rezultă $AC=2\cdot 5=10$ (2 p).

Triunghiul are unghiul drept în $A$, deci $AB$ și $AC$ sunt catetele, iar aria este semiprodusul lor: $${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{5\cdot 10}{2}=25\text{(3 p)}.$$

(Probă: $AB\cdot AC=50$, iar jumătate din $50$ este $25$. Capcană: se uită împărțirea la $2$ și iese aria $50$. Altă greșeală: $AC=2AB$ se citește $AC=AB+2=7$; atunci aria ar fi $\frac{5\cdot 7}{2}=\frac{35}{2}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Produsul elementelor de pe diagonala principală este $7\cdot 1$, iar pe cea secundară $3\cdot 3$: $$\det A=7\cdot 1-3\cdot 3\text{(3 p)}.$$ $$\det A=7-9=-2\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se scade doar $3$ de pe diagonala secundară, $7-3=4$, în loc de produsul $3\cdot 3$.)

b) (5 p) Matricea $4I_2$ are $4$ pe diagonală și $0$ în rest, iar scăderea se face element cu element: $$A-4I_2=\left(\begin{array}{cc}7-4& 3\\ 3& 1-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 3& -3\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Fiecare element al diferenței este triplul elementului corespunzător din $B$, deci $A-4I_2=3\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=3B$ (2 p).

(Capcană: $4$ se scade din toate elementele, nu doar de pe diagonală, și iese $\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& -3\end{array}\right)$, matrice care nu este $3B$.)

c) (5 p) Ambii termeni din stânga au factorul $X$, deci $X+X\cdot B=X\cdot I_2+X\cdot B=X(I_2+B)$. Se calculează $$I_2+B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right),\det \left(I_2+B\right)=2\cdot 0-1\cdot 1=-1\ne 0,$$ deci $I_2+B$ este inversabilă, iar din $X\left(I_2+B\right)=A$ rezultă $X=A\cdot {\left(I_2+B\right)}^{-1}$ (2 p).

Inversa unei matrice $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ este $\frac{1}{\det }\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$, de unde ${\left(I_2+B\right)}^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -2\end{array}\right)$. Atunci $$X=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

(Probă: $X\cdot B=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 0\end{array}\right)$, iar $X+X\cdot B=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 3& 1\end{array}\right)=A$. Capcană: în loc să se înmulțească cu inversa, se înmulțește cu $I_2+B$; atunci $X^{\prime }=A\left(I_2+B\right)=\left(\begin{array}{cc}17& 7\\ 7& 3\end{array}\right)$, iar $X^{\prime }+X^{\prime }B=\left(\begin{array}{cc}41& 17\\ 17& 7\end{array}\right)$, nu $A$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=2$ și $y=3$ în formula legii: $$2\ast 3=2\cdot 3\cdot (2+3-4)\text{(3 p)}.$$ $$2\ast 3=6\cdot 1=6\text{(2 p)}.$$

(Capcană: termenul $-4$ din paranteză se uită și iese $6\cdot 5=30$.)

b) (5 p) Cu primul operand egal cu $1$ și al doilea egal cu $x$, formula dă un trinom în $x$: $$1\ast x=1\cdot x\cdot (1+x-4)=x(x-3)=x^2-3x\text{(2 p)}.$$ Ecuația $x^2-3x=4$ se scrie $x^2-3x-4=0$, adică $(x-4)(x+1)=0$, de unde $\mathbf{x}=-1$ sau $\mathbf{x}=4$ (3 p).

(Probă: $1\ast (-1)=(-1)\cdot (-4)=4$ și $1\ast 4=4\cdot 1=4$. Capcană: $1+x-4$ se reduce la $x-4$, fiindcă $1$ se uită; atunci ecuația ar fi $x(x-4)=4$, adică $x^2-4x-4=0$, cu alte soluții.)

c) (5 p) Se notează $t=2^x$, număr strict pozitiv. Legea dă $t\ast t=t\cdot t\cdot (t+t-4)=t^2(2t-4)$, iar $2^{3x}=t^3$: $$2^x\ast 2^x=2^{2x}\left(2^x+2^x-4\right)\text{(2 p)}.$$ Ecuația este $t^2(2t-4)=t^3$. Cum $t>0$, se împarte la $t^2$ și rămâne $2t-4=t$, adică $t=4$. Din $2^x=4$ rezultă $\mathbf{x}=2$ (3 p).

(Probă: pentru $x=2$, $2^x=4$, iar $4\ast 4=16\cdot 4=64=2^6$, adică $2^{3x}$. Capcană: ecuația $t^2(2t-4)=t^3$ se scrie $t^2(t-4)=0$ și are și soluția $t=0$, dar $t=2^x$ este pozitiv, deci $t=0$ nu provine din niciun $x$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, monotonie, limită.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen, cu ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$: $$f^{\prime }(x)=3x^2-9\cdot 2x=3x^2-18x\text{(3 p)}.$$ Se scoate factorul comun $3x$: $$f^{\prime }(x)=3x(x-6),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $3x(x-6)=3x^2-18x$. Capcană: $9x^2$ se derivează ca $9x$, fără factorul $2$ din exponent; atunci iese $3x^2-9x$, care în $x=6$ valorează $54$, nu $0$.)

b) (5 p) Derivata se anulează când $3x(x-6)=0$, adică în $x=0$ și în $x=6$ (2 p).

Semnul lui $f^{\prime }$ pe cele trei intervale:

• pentru $x<0$, factorii $3x$ și $x-6$ sunt negativi, deci $f^{\prime }>0$, iar $f$ crește pe $(-\infty ,0]$;
• pentru $0<x<6$, $3x>0$ și $x-6<0$, deci $f^{\prime }<0$, iar $f$ scade pe $[0,6]$;
• pentru $x>6$, ambii factori sunt pozitivi, deci $f^{\prime }>0$, iar $f$ crește pe $[6,+\infty )$ (3 p).

(Probă: $f(0)=3$, $f(6)=216-324+3=-105$, valori compatibile cu scăderea de pe $[0,6]$. Capcană: se reține doar semnul pozitiv pentru $x\ge 6$ și se omite intervalul $(-\infty ,0]$, deși acolo $f^{\prime }$ este tot pozitivă.)

c) (5 p) Se calculează $f^{\prime }(1)=3\cdot 1\cdot (1-6)=-15$. Numărătorul este $$f^{\prime }(x)-f^{\prime }(1)=3x^2-18x+15=3\left(x^2-6x+5\right).$$ Pentru numitor, $3f(x)=3x^3-27x^2+9$ și $x{f}^{\prime }(x)=3x^3-18x^2$, deci $$3f(x)-x{f}^{\prime }(x)=-9x^2+9=9\left(1-x^2\right).$$ Limita devine $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{3\left(x^2-6x+5\right)}{9\left(1-x^2\right)}\text{(2 p)}.$$ Trinomul are rădăcinile $1$ și $5$, deci $x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$, iar $1-x^2=-(x-1)(x+1)$. După simplificarea cu $x-1$, cu $x\ne 1$, $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{3(x-1)(x-5)}{-9(x-1)(x+1)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-5}{-3(x+1)}=\frac{-4}{-6}=\frac{2}{3}\text{(3 p)}.$$

(Probă prin regula lui l'Hospital: $f^{\prime \prime }(x)=6x-18$ și ${\left(3f-x{f}^{\prime }\right)}^{\prime }=2f^{\prime }-x{f}^{\prime \prime }=-18x$; în $x=1$ raportul $\frac{f^{\prime \prime }(1)}{-18}=\frac{-12}{-18}$ este tot $\frac{2}{3}$. Capcană: se scrie $1-x^2=(x-1)(x+1)$, fără semnul minus; atunci iese $-\frac{2}{3}$, de semn opus.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu $f(x)=(x-1)e^x$.

a) (5 p) Factorul $e^x$ se simplifică: $\frac{f(x)}{e^x}=x-1$. O primitivă a lui $x-1$ este $\frac{x^2}{2}-x$: $${\int }_0^2\frac{f(x)}{e^x}dx={\int }_0^2(x-1)dx=\left(\frac{x^2}{2}-x\right){|}_0^2\text{(3 p)}.$$ $$=(2-2)-0=0\text{(2 p)}.$$

(Probă: dreapta $y=x-1$ este negativă pe $[0,1]$ și pozitivă pe $[1,2]$, cu aceeași arie pe fiecare, $\frac{1}{2}$, deci integralele se anulează. Capcană: primitiva se scrie $x^2-x$, fără jumătatea de la $x^2$, și iese $4-2=2$.)

b) (5 p) Se integrează prin părți, cu $u=x-1$ și $v^{\prime }=e^x$, deci $u^{\prime }=1$ și $v=e^x$: $${\int }_0^1(x-1)e^{x}dx=(x-1)e^x{|}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx\text{(3 p)}.$$ Primul termen este $0-(-1)=1$, iar ${\int }_0^1{e}^{x}dx=e-1$: $${\int }_0^{1}f(x)dx=1-(e-1)=2-\mathbf{e}\text{(2 p)}.$$

(Probă: derivata lui $(x-2)e^x$ este $e^x+(x-2)e^x=(x-1)e^x$, iar $(x-2)e^x{|}_0^1=-e-(-2)=2-e$. Capcană: în formula părților se adună integrala, $1+(e-1)=e$, în loc să se scadă.)

c) (5 p) Se calculează $f(-x)=(-x-1)e^{-x}=-(x+1)e^{-x}$, deci $$f(x)\cdot f(-x)=-(x-1)(x+1)e^x{e}^{-x}=-\left(x^2-1\right)=1-x^2.$$ Pe $[2,n]$ avem $x^2-1>0$, iar $\frac{x}{1-x^2}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{{\left(x^2-1\right)}^{\prime }}{x^2-1}$, cu primitiva $-\frac{1}{2}\ln \left(x^2-1\right)$: $${\int }_2^n\frac{x}{f(x)\cdot f(-x)}dx=-\frac{1}{2}\ln \left(x^2-1\right){|}_2^n=\frac{1}{2}\ln \frac{3}{n^2-1}\text{(3 p)}.$$ Egalitatea cu $\frac{1}{2}\ln \frac{3}{8}$ dă $n^2-1=8$, adică $n^2=9$. Cum $n$ este număr natural, $\mathbf{n}=3$ (2 p).

(Probă: pentru $n=3$, $\frac{1}{2}\ln \frac{3}{9-1}=\frac{1}{2}\ln \frac{3}{8}$. Capcană: $f(-x)$ se ia egal cu $-f(x)$, ca și cum $f$ ar fi impară, dar $f(1)=0$, iar $f(-1)=-\frac{2}{e}$. Din $n^2=9$ rezultă și $n=-3$, care nu este număr natural.)

Pentru părinți și profesori

Despre varianta 7. Este lucrarea de matematică M_tehnologic din sesiunea august 2022 a Bacalaureatului. Pe antet apar filiera tehnologică, cu profilurile servicii, resurse și tehnic și cu toate calificările profesionale ale acestora, precum și eticheta proba E.c); alături stau Ministerul Educației și Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Enunțurile apar cu punctuația originală, iar rezolvările, verificările și ghidajul sunt scrise de noi; din baremul oficial păstrăm doar punctele fiecărui rând.

Structura. Șase cerințe scurte formează Subiectul I (6 × 5 = 30 de puncte). Urmează două subiecte cu câte două probleme de 15 puncte, fiecare problemă cu trei subpuncte de 5 puncte: Subiectul al II-lea (algebră: matrice și o lege de compoziție) și Subiectul al III-lea (analiză: derivate și integrale). Cele 90 de puncte se completează cu 10 din oficiu. Fiecare cerință sau subpunct de 5 puncte are două rânduri, 3 + 2 sau 2 + 3, la toate cele 18.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. În cerința 1 se adună două fracții cu numitori diferiți și se respectă ordinea operațiilor. Programa de examen așază operațiile cu numere reale în clasa a IX-a, însă programa școlară nouă nu are o unitate despre numere reale. Materia stă în „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. Clasa a X-a este cea în care programa de examen cere ecuațiile cu radicali. Programa școlară nouă nu le rezolvă algebric, ci recurge la grafice și la mijloace digitale; metoda — ridicarea la pătrat și proba soluției — se află în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Distanța dintre două puncte face parte, la examen, din reperul cartezian al clasei a X-a. Programa școlară nouă o predă încă din clasa a IX-a, în unitatea despre reperul cartezian.
• Nota 4. La 8.c) trebuie rezolvată o ecuație exponențială, subiect de clasa a X-a la examen. În programa nouă, ecuațiile rămân pe grafic sau pe instrumente digitale; metoda, cu substituția $t=2^x$, e în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".

Ce e special la varianta 7. Ecuația matriceală de la 7.c) conține necunoscuta $X$ de două ori; ea se scoate factor, iar matricea $I_2+B$ are determinantul $-1$, deci poate fi inversată. Legea de compoziție $x\ast y=xy(x+y-4)$ lasă ecuația exponențială de la 8.c) să se reducă la o ecuație de gradul întâi în $t=2^x$. La limita din 9.c), numitorul $3f(x)-x{f}^{\prime }(x)$ se simplifică în $9\left(1-x^2\right)$, iar numărătorul în $3(x-1)(x-5)$, ceea ce permite simplificarea cu $x-1$. În ultima problemă, produsul $f(x)\cdot f(-x)$ este $1-x^2$, fiindcă factorii $e^x$ și $e^{-x}$ se anulează reciproc.

Orar. Timpul efectiv de lucru este de 180 de minute. Dacă îți rămân 20 de minute de recitire, restul de 160 acoperă cele 90 de puncte, cu un ritm de sub două minute pe punct. Documentul oficial amintește că orice soluție corectă este luată în considerare, că nu există fracțiuni de punct și că nota se obține împărțind totalul la zece. Pentru nota 5, alături de cele 10 puncte din oficiu, sunt necesare 40 de puncte din cele 90 ale cerințelor.

De evitat la redactare: la 1, adunarea numărătorilor și a numitorilor; la 4, numărarea numerelor impare în loc de cele pare; la 5, abscisele adunate în formula distanței; la 7.c), înmulțirea cu $I_2+B$ în loc de inversa ei; la 8.c), împărțirea la $t^2$ fără a spune că $t=2^x>0$; la 10.b), semnul din formula integrării prin părți.

Cum îți construiești un drum de lucru. Rezolvă o problemă pe ciornă, apoi urmărește rândurile de mai jos și subliniază primul loc în care ai greșit. Din acel punct poți continua cu ghidajul, care te întreabă câte un pas, fără răspunsul întreg. După socotirea punctelor: un total mic (sub 40) cere reluarea cerințelor scurte; unul mediu (între 40 și 65), subpunctele finale; unul mare, controlul timpului.

Formule folosite în varianta 7

• Subiectul I. $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$; probabilitatea este cazurile favorabile împărțite la cazurile posibile; distanța dintre două puncte este rădăcina pătrată a sumei formate din pătratul diferenței absciselor și pătratul diferenței ordonatelor; aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul catetelor.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; o matrice $M$ cu $\det M\ne 0$ are inversa $\frac{1}{\det M}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$; din $XM=A$ rezultă $X=A{M}^{-1}$; produsul a două puteri ale lui $2$ cu același exponent are exponentul dublu, iar $2^x$ este pozitiv pentru orice $x$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$; $f^{\prime }>0$ înseamnă $f$ crescătoare, $f^{\prime }<0$ înseamnă $f$ descrescătoare; la un raport de polinoame de forma $0/0$ în $x=a$ se simplifică factorul comun $x-a$; ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; o primitivă a unei fracții cu derivata numitorului la numărător este logaritmul modulului numitorului.

În documentul oficial, cerințele 7, 8, 9 și 10 sunt problemele 1 și 2 ale Subiectului al II-lea, respectiv ale Subiectului al III-lea. Nu orice literă are un singur sens: $A$ este mulțime la cerința 4, punct la 5, vârf de triunghi la 6 și matrice la 7; $B$ este punct la 5, vârf la 6 și matrice la 7; $C$ este vârf de triunghi la 6; $a$ este un parametru real la 5; $f$ numește funcții diferite la 2, 9 și 10; $n$ este element al lui $A$ la cerința 4 și limita de sus a integralei la 10.c). Fiecare cerință se citește separat.