Evaluare sumativă tehnologic — clasa a IX-a

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Evaluări generale

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Un centru de închiriere de scule percepe 36 de lei pentru verificarea și curățarea unei mașini de șlefuit parchet și 14 lei pentru fiecare oră de folosire, deci o închiriere de $h$ ore costă $c(h)=14h+36$ lei, cu $h\in \{1,2,3,\dots ,9\}$. Fie predicatul $p(h)$: „închirierea costă cel mult 120 de lei”. Care este mulțimea de adevăr a lui $p$ pe acest domeniu?

Variantele: a) $\{1,2,3,4,5\}$; b) $\{1,2,3,4,5,6\}$; c) $\{6,7,8,9\}$; d) $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Un electrician verifică un motor și notează: tensiunea de alimentare 395 V, intensitatea 8,5 A și rezistența de izolație 1 800 kΩ. Fie propozițiile $p$: „tensiunea este cel mult 400 V”, $q$: „intensitatea este cel puțin 10 A” și $r$: „rezistența de izolație este cel puțin 2 MΩ”. Care dintre formulele de mai jos are, pentru acest motor, valoarea de adevăr adevărat?

Variantele: a) $p\wedge r$; b) $p\Rightarrow r$; c) $p\wedge \neg q$; d) $\neg p\vee r$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Într-un recipient sunt 40 L de soluție de detergent cu 15 % substanță activă, adică 6 L de substanță activă. Se adaugă $x$ litri de apă, iar partea de substanță activă din soluție, ca fracție din volum, devine $c(x)=\frac{6}{40+x}$. Calculează $c(60)$ și scrie rezultatul ca procent. Află câți litri de apă trebuie adăugați ca soluția să aibă 5 % substanță activă. Poate partea de substanță activă să ajungă 0?

Exercițiul 4 (5 puncte)

Apa iese dintr-un orificiu făcut într-un rezervor, la adâncimea $h$ (în m) sub nivelul apei, cu viteza $v(h)=4\sqrt{h}$ (în m/s). Calculează viteza la adâncimea $h=2,25$ m. La ce adâncime viteza este de 10 m/s? Orificiul are aria de 5 cm². Calculează debitul de apă care iese prin el la viteza de 10 m/s, în litri pe secundă, știind că debitul este viteza înmulțită cu aria.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Indicele de izolare fonică al unei uși este $R=10\lg \frac{1}{\tau }$ (în dB), unde $\tau$ este partea din energia sonoră care trece prin ușă, cu $0<\tau \le 1$. O ușă obișnuită de interior are ${\tau }_1=0,01$, iar o ușă fonoizolantă, pentru un studio de înregistrări, are ${\tau }_2=0,0004$. Calculează $R_1$ fără calculator. Calculează $R_2$ cu calculatorul, rotunjit la zecimi de decibel. Cu câți decibeli izolează mai bine ușa fonoizolantă?

Exercițiul 6 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Calculați $\cos A$, știind că $\sin A=\frac{3}{11}$ și unghiul $A$ este ascuțit.

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Contorul de apă al unei spălătorii auto se citește în fiecare seară. În seara zilei $n$ a lunii, contorul arată $a_n$ metri cubi. Spălătoria consumă în fiecare zi aceeași cantitate de apă, deci numerele $a_1,a_2,a_3,\dots$ formează o progresie aritmetică. În seara zilei a doua contorul arăta 163 m³, iar în seara zilei a șaptea, 238 m³.

a) (5 puncte) Calculează consumul zilnic $r$, în metri cubi, și ce arăta contorul în seara zilei întâi și în seara zilei a zecea.

b) (5 puncte) Fiecare zi $n$ se reprezintă prin punctul $P_n(n;a_n)$. Arată că punctele $P_1$, $P_7$ și $P_{10}$ sunt coliniare și spune ce arată panta dreptei pe care se află, în metri cubi pe zi.

Exercițiul 8 (10 puncte)

Un bazin circular de aerare dintr-o stație de tratare a apei are centrul în originea $O$ a unui reper cartezian și raza de 20 m; unitatea de pe axe este metrul. Conducta de alimentare intră în bazin în punctul $P$ al marginii, la unghiul $\frac{\pi }{6}$ față de semiaxa pozitivă $Ox$, iar conducta de evacuare iese în punctul $Q$ al marginii, la unghiul $\frac{\pi }{2}$ față de aceeași semiaxă (unghiurile se măsoară în sens trigonometric).

a) (5 puncte) Scrie cele două unghiuri în grade și calculează coordonatele punctelor $P$ și $Q$.

b) (5 puncte) Calculează distanța $PQ$ și coordonatele mijlocului $M$ al segmentului $PQ$.

Exercițiul 9 (10 puncte)

Producția zilnică de lapte a unei vaci, la $x$ luni după vârful lactației, este $Q(x)=25\cdot 0,94^x$ litri pe zi: în luna $x=0$ sunt 25 de litri pe zi, iar în fiecare lună următoare producția scade cu 6 % față de luna dinainte.

a) (5 puncte) Calculează $Q(3)$ și află prima lună întreagă $x$ în care producția zilnică coboară sub 20 de litri.

b) (5 puncte) Valorile $Q(0),Q(1),Q(2),\dots$ sunt termenii consecutivi ai unei progresii geometrice. Scrie primul termen și rația, apoi calculează, cu formula sumei, cantitatea de lapte din primele 4 luni (lunile $x=0,1,2,3$), dacă în fiecare lună de 30 de zile producția zilnică rămâne cea de la începutul lunii. Rotunjește la sutimi de litru.

Partea a III-a – Exerciții de examen și sinteză (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=7x-84$.

a) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $M(a,4a)$ aparține graficului funcției $f$.

b) (5 puncte) Determinați coordonatele punctului $A$ de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$.

c) (5 puncte) Fie $B$ punctul de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Oy$ și $d$ dreapta de ecuație $y=5x+m$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$, știind că mijlocul segmentului $AB$ aparține dreptei $d$.

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Un atelier de vulcanizare repară $n$ roți pe zi, cu $n\in \{0,1,2,\dots ,14\}$, iar profitul zilnic, în zeci de lei, este $P(n)=-2(n-4)(n-10)$. Chiria și salariile se plătesc și în zilele fără clienți, iar când vin multe roți atelierul plătește ore suplimentare.

a) (5 puncte) Pentru ce numere de roți este profitul zero? Cât este profitul când atelierul nu repară nicio roată?

b) (5 puncte) La câte roți pe zi este profitul maxim și cât este el?

c) (5 puncte) Fie enunțurile $E_1$: „Pentru orice $n\in \{4,5,\dots ,10\}$, $P(n)\ge 0$” și $E_2$: „Există $n\in \{4,5,\dots ,10\}$ cu $P(n)>18$”. Stabilește valoarea de adevăr a fiecăruia și scrie negația lui $E_1$.

Barem și răspunsuri

Fiecare exercițiu este rezolvat mai jos pas cu pas; numărul din paranteză arată cât aduce pasul. Orice altă rezolvare corectă aduce aceleași puncte. La Partea a III-a nu ajunge răspunsul: dacă lipsesc calculul și justificarea, subpunctul nu se încheie cu toate punctele lui. Rezultatele finale sunt îngroșate.

Exercițiul 1.

Predicatul $p(h)$ cere $14h+36\le 120$ (1 p). Scazi 36: $14h\le 84$, deci $h\le 6$ (2 p). Din domeniu rămân $h\in \{1,2,3,4,5,6\}$, iar răspunsul este $\mathbf{b})$ (1 p). Celelalte variante sunt greșite: a) scoate $h=6$, deși $c(6)=120$ intră în „cel mult”; c) ia orele mari, adică inversează inegalitatea; d) uită cei 36 de lei pentru verificare, fiindcă $14h\le 120$ ar da $h\le 8$ (1 p). Verificare: $c(6)=14\cdot 6+36=120$ și $c(7)=14\cdot 7+36=134$.

Exercițiul 2.

Rezistența de izolație se aduce în aceeași unitate cu pragul: $1800\text{k}\Omega =1,8\text{M}\Omega$ (1 p). Valorile de adevăr: $395\le 400$, deci $p$ este A; $8,5<10$, deci $q$ este F; $1,8<2$, deci $r$ este F (1 p). Formulele $p\wedge r$, $p\Rightarrow r$ și $\neg p\vee r$ sunt A $\wedge$ F $=$ F, A $\Rightarrow$ F $=$ F și F $\vee$ F $=$ F (1 p). Formula $p\wedge \neg q$ este A $\wedge$ A, adică A, deci răspunsul este $\mathbf{c})$ (2 p). Verificare: cine compară 1 800 cu 2, fără conversie, ia $r$ drept A și găsește adevărate toate cele patru formule, deci nu mai există un singur răspuns.

Exercițiul 3.

Pentru $x=60$: $c(60)=\frac{6}{100}$, adică $6\%$ (2 p). Din $\frac{6}{40+x}=\frac{5}{100}$ rezultă $40+x=6\cdot 20=120$, deci $x=80$ litri (2 p). Fracția $\frac{6}{40+x}$ are numărătorul 6, care nu e zero, deci nu este niciodată 0: partea de substanță activă scade spre 0, fără să-l atingă, oricâtă apă ai adăuga (1 p). Verificare: $c(0)=\frac{6}{40}=15\%$ și $c(80)=\frac{6}{120}=5\%$.

Exercițiul 4.

$v(2,25)=4\cdot \sqrt{2,25}=4\cdot 1,5=6$ m/s (1 p). Din $4\sqrt{h}=10$ rezultă $\sqrt{h}=\frac{10}{4}=2,5$, deci $h=2,5^2=6,25$ m (2 p). Aria se aduce în metri pătrați: $1{\text{cm}}^2=0,0001{\text{m}}^2$, deci $5{\text{cm}}^2=5\cdot 0,0001{\text{m}}^2=0,0005{\text{m}}^2$ (1 p). Debitul este $10\cdot 0,0005=0,005$ metri cubi pe secundă, iar cum un metru cub are 1 000 de litri, rezultă $0,005\cdot 1000=5$ litri pe secundă (1 p). Verificare: cine nu ridică la pătrat ia $2,5$ drept adâncime, iar cine lasă aria în centimetri pătrați obține un debit de $10\cdot 5=50$, număr fără sens pentru litri pe secundă.

Exercițiul 5.

$\frac{1}{{\tau }_1}=100$, deci $R_1=10\lg 100=10\cdot 2=20$ dB (2 p). $\frac{1}{{\tau }_2}=2500$, deci $R_2=10\lg 2500\approx 33,98$, adică $34,0$ dB (2 p). Ușa fonoizolantă izolează mai bine cu $34,0-20=14,0$ dB (1 p). Verificare: ușa fonoizolantă lasă să treacă de $0,01:0,0004=25$ de ori mai puțină energie, iar $10\lg 25\approx 13,98$, adică tot 14,0 dB.

Exercițiul 6.

Pătratele sinusului și cosinusului aceluiași unghi dau împreună 1, așa că ${\cos }^{2}A=1-\frac{9}{121}=\frac{112}{121}$ (3 p). Cum $A$ este ascuțit, avem $\cos A>0$ și $\cos A=\frac{\sqrt{112}}{11}=\frac{4\sqrt{7}}{11}$ (2 p). Verificare: $112=16\cdot 7$, deci $\sqrt{112}=4\sqrt{7}$, iar ${\left(\frac{4\sqrt{7}}{11}\right)}^2+{\left(\frac{3}{11}\right)}^2=\frac{112}{121}+\frac{9}{121}=1$.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Între ziua a doua și ziua a șaptea sunt $7-2=5$ pași, deci $r=\frac{238-163}{7-2}=\frac{75}{5}=15$ m³ pe zi (2 p). Ziua întâi este cu un pas înaintea zilei a doua: $a_1=163-15=148$ m³ (1 p). Ziua a zecea este cu 3 pași după ziua a șaptea: $a_{10}=238+3\cdot 15=283$ m³ (2 p). Verificare: $148+1\cdot 15=163$ și $148+9\cdot 15=283$.

b) (5 p) Punctele sunt $P_1(1;148)$, $P_7(7;238)$ și $P_{10}(10;283)$ (1 p). Pantele sunt $m_{P_1{P}_7}=\frac{238-148}{7-1}=\frac{90}{6}=15$ și $m_{P_1{P}_{10}}=\frac{283-148}{10-1}=\frac{135}{9}=15$ (2 p). Pantele sunt egale, deci punctele $P_1$, $P_7$ și $P_{10}$ sunt coliniare (1 p). Panta $15$ este chiar consumul zilnic $r$: dreapta urcă cu 15 m³ pe fiecare zi (1 p).

Exercițiul 8.

a) (5 p) Unghiul $\frac{\pi }{6}$ înseamnă $30^{\circ }$, iar $\frac{\pi }{2}$ înseamnă $90^{\circ }$ (1 p). Pe cercul de rază 20, punctul de la $30^{\circ }$ are coordonatele $(20\cos 30^{\circ };20\sin 30^{\circ })$, iar $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, deci $P(10\sqrt{3};10)$ (2 p). Punctul de la $90^{\circ }$ este $(0;1)$ pe cercul de rază 1, deci $Q(0;20)$ (2 p).

b) (5 p) $PQ=\sqrt{(0-10\sqrt{3}{)}^2+(20-10{)}^2}=\sqrt{300+100}=\sqrt{400}=20$ m (3 p). Mijlocul segmentului: $M\left(\frac{10\sqrt{3}+0}{2};\frac{10+20}{2}\right)=M(5\sqrt{3};15)$ (2 p). Verificare: $OP=OQ=PQ=20$, deci triunghiul $OPQ$ este echilateral, iar $OM=\sqrt{75+225}=10\sqrt{3}$ este înălțimea lui, adică $20\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Lună de lună, producția se înmulțește cu 0,94: $Q(1)=25\cdot 0,94=23,5$; $Q(2)=23,5\cdot 0,94=22,09$; $Q(3)=22,09\cdot 0,94=20,7646$ (2 p). La $x=3$ producția este încă peste 20 de litri, iar $Q(4)=20,7646\cdot 0,94=19,518724$ (2 p), sub 20: prima lună este $x=4$ (1 p).

b) (5 p) Primul termen este $b_1=Q(0)=25$, iar rația este $q=0,94$, fiindcă fiecare termen se obține înmulțind precedentul cu 0,94 (1 p). Suma primilor 4 termeni este $S_4=25\cdot \frac{1-0,94^4}{1-0,94}=25\cdot \frac{1-0,78074896}{0,06}=91,3546$ (2 p). Luna are 30 de zile: $30\cdot 91,3546=2740,638$, adică $2740,64$ litri (2 p). Verificare: $25+23,5+22,09+20,7646=91,3546$.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Punctul $M(a,4a)$ aparține graficului dacă $f(a)=4a$, adică $7a-84=4a$ (3 p). Rezultă $3a=84$, deci $a=28$ (2 p). Verificare: $f(28)=196-84=112=4\cdot 28$.

b) (5 p) Punctul de pe axa $Ox$ are ordonata 0, deci $7x-84=0$ și $x=12$ (3 p). Punctul este $A(12,0)$ (2 p).

c) (5 p) Punctul $B$ are abscisa 0 și $f(0)=-84$, deci $B(0,-84)$; mijlocul lui $AB$ este $N\left(\frac{12+0}{2},\frac{0+(-84)}{2}\right)=N(6,-42)$ (2 p). Punctul $N$ aparține dreptei $d$ dacă $-42=5\cdot 6+m$, deci $m=-42-30=-72$ (3 p).

Exercițiul 11.

a) (5 p) Produsul $-2(n-4)(n-10)$ este zero când un factor este zero: $n-4=0$ sau $n-10=0$, deci profitul este zero pentru $n=4$ și $n=10$ roți (3 p). Pentru $n=0$: $P(0)=-2\cdot (-4)\cdot (-10)=-80$ zeci de lei, adică o pierdere de 800 de lei (2 p).

b) (5 p) Zerourile 4 și 10 sunt egal depărtate de vârf, deci abscisa vârfului este $\frac{4+10}{2}=7$ roți (2 p). Profitul maxim este $P(7)=-2\cdot 3\cdot (-3)=18$ zeci de lei, adică 180 de lei (3 p). Verificare: $P(6)=-2\cdot 2\cdot (-4)=16$ și $P(8)=-2\cdot 4\cdot (-2)=16$, valori egale și mai mici decât 18.

c) (5 p) Pe $\{4,5,\dots ,10\}$ valorile sunt $P(4)=0$, $P(5)=10$, $P(6)=16$, $P(7)=18$, $P(8)=16$, $P(9)=10$ și $P(10)=0$, toate cel puțin 0, deci $E_1$ este adevărat (2 p). Negația lui $E_1$ este „Există $n\in \{4,5,\dots ,10\}$ cu $P(n)<0$” (1 p); ea este falsă. Cea mai mare valoare a lui $P$ pe mulțime este 18, deci nu există $n$ cu $P(n)>18$ și $E_2$ este fals (2 p).

Pentru părinți și profesori

Evaluarea verifică, într-o singură lucrare, toată materia obligatorie a clasei a IX-a, filiera tehnologică: logica, progresiile, geometria analitică, funcțiile și trigonometria, adică cele 17 lecții ale celor cinci unități. În Partea I, fiecare exercițiu se sprijină pe o singură lecție; în Partea a II-a și în Partea a III-a, subpunctele leagă unitățile între ele (de pildă, termenii unei progresii devin puncte pe o dreaptă, iar valorile unei funcții exponențiale devin termeni ai unei progresii geometrice). Suplimentele pentru Bacalaureatul M3 (numere reale, funcții și compuneri, ecuația de gradul al II-lea, vectori și formule trigonometrice) au testele lor și nu intră aici.

• Puncte: lucrarea are 100 de puncte: 90 de puncte vin de la exerciții, iar 10 puncte din oficiu se adaugă la total.
• Timp: 90 de minute.
• Cum se aplică: elevul lucrează singur, pe foaie. Calculatorul de buzunar, cu tastele de putere și de logaritm zecimal, se folosește numai la exercițiile 5 și 9. Fiecare mărime se scrie cu unitatea ei. La Partea a III-a contează și drumul: un rezultat corect, scris fără calcul și fără justificare, nu aduce toate punctele subpunctului. Ghidajul împarte un exercițiu în pași mici, alternând întrebări cu patru răspunsuri posibile și numere de calculat; fiecare răspuns greșit îți arată unde s-a rătăcit calculul. Îl pornești doar la exercițiul care nu iese.
• La 90–100 de puncte: ai stăpânit materia clasei și poți trece la lecțiile clasei a X-a.
• La 75–89 de puncte: pornești ghidajul exercițiilor pe care ai pierdut puncte și le refaci.
• La 60–74 de puncte: găsești în tabelul de mai jos lecțiile exercițiilor la care ai luat sub jumătate din puncte, le reiei, iar lucrarea o refaci peste o săptămână.
• Sub 60 de puncte: reiei, în ordine, testele de unitate ale clasei și lucrezi din nou evaluarea, cu ghidajul pornit de la primul exercițiu.
• Formule de reținut, din fișele de buzunar ale lecțiilor:
  • logică: $M_p=\{x\in D\mid p(x)\text{ este adeva˘rat}\}$, deci mulțimea de adevăr conține numai valori din domeniul $D$; o implicație $p\Rightarrow q$ iese falsă într-un singur caz, cu $p$ adevărată și $q$ falsă, iar o echivalență $p\iff q$ iese adevărată dacă $p$ și $q$ au valori egale; $\neg (\forall x\in D,t(x))⟺\exists x\in D,\neg t(x)$;
  • progresii: $r=\frac{a_m-a_k}{m-k}$, unde $m-k$ numără pașii dintre doi termeni, nu termenii, și $a_n=a_1+(n-1)r$; $S_n=b_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$, pentru $q\ne 1$;
  • geometrie analitică: $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, pentru $x_B\ne x_A$, iar $m_{AB}=m_{AC}$ înseamnă că $A$, $B$, $C$ sunt coliniare; $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$; mijlocul segmentului $AB$ este $M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$; un punct este pe dreaptă dacă și numai dacă coordonatele lui verifică ecuația ei;
  • funcții: $f(x)=ax+b$ taie axa $Oy$ în $(0;b)$ și, pentru $a\ne 0$, axa $Ox$ în $\left(-\frac{b}{a};0\right)$; $x_V=\frac{x_1+x_2}{2}$ când $x_1$ și $x_2$ sunt zerourile parabolei; $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$, cu $g(x)\ne 0$; $f(x)=m⟺x={\left(\frac{m}{c}\right)}^2$ pentru $f(x)=c\sqrt{x}$, cu $c>0$ și $m\ge 0$; $f(x)=V_0\cdot a^x$, cu $a=1-\frac{p}{100}$ la o scădere de $p\%$; $\lg x=y⟺10^y=x$, pentru $x>0$;
  • trigonometrie: $M(x)=(\cos x,\sin x)$ și $\pi$ radiani $=180^{\circ }$, iar pe cercul de rază $R$ coordonatele sunt $R\cos x$ și $R\sin x$; suma pătratelor sinusului și cosinusului aceluiași unghi este 1, iar semnul cosinusului se alege după cadran.

Harta materiei. Punctele pe unități urmează numărul lecțiilor, rotunjit la blocuri de 5 puncte: fiecare subpunct și fiecare exercițiu din Partea I valorează 5 puncte. Cele 17 lecții au nevoie de 18 blocuri, deoarece citirea graficului (zerourile) apare de două ori, la exercițiile 10 b) și 11 a). De aceea unitatea 4 are 40 de puncte, cu 2,9 peste proporția după lecții (37,1); celelalte unități sunt cu cel mult 0,9 sub proporție.

Exercițiile 6 și 10 poartă marcajul „tip Bacalaureat M3”: exercițiul 6 păstrează forma cerinței 6 din Subiectul I (cosinusul unui unghi ascuțit, din sinus), iar exercițiul 10 păstrează formele cerințelor 2 și 5 din Subiectul I (punct pe graficul unei funcții de gradul I, intersecția graficului cu o axă și mijlocul unui segment care aparține unei drepte), cu funcții, puncte și numere noi.

Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026); evaluarea acoperă cele cinci unități ale clasei, «IX.1. Elemente de logică matematică», «IX.2. Progresii», «IX.3. Geometrie analitică», «IX.4. Funcții - observarea unor proprietăți ale funcțiilor utilizând lecturi grafice» și «IX.5. Elemente de trigonometrie», iar fiecare dintre cele unsprezece exerciții aparține acestor unități. Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014). La logică, programa lor cuprinde propoziția, predicatul, cuantificatorii și operațiile logice (exercițiile 1, 2 și 11 c)), dar nu numește regulile de negare folosite la 11 c). Progresiile aritmetice și geometrice, termenul general și suma primilor $n$ termeni (exercițiile 7 a) și 9 b)) sunt în programa lor. La geometria analitică, reperul cartezian este la clasa a IX-a, iar distanța dintre două puncte și ecuația dreptei sunt la clasa a X-a; programa din 2014 nu numește mijlocul unui segment și nici panta, deși ele apar în cerințe (exercițiile 7 b), 8 b) și 10 c)). În programa lor intră funcția afină, funcția pătratică, punctele în care graficul taie axele și monotonia (exercițiile 10 și 11). Funcția radical (exercițiul 4) este în ea la clasa a X-a, funcția exponențială doar prin forma $a^x$, fără numărul $e$ (exercițiul 9 a)), iar funcția logaritmică doar prin ${\log }_{a}x$, fără logaritmul zecimal (exercițiul 5); citirea pe grafic a funcțiilor-raport (exercițiul 3) nu apare în acea programă. Cercul trigonometric și reducerea la primul cadran sunt la clasa a IX-a (Subiectul I), dar formula fundamentală, folosită la exercițiul 6, nu este numită. În probele oficiale din 2013–2026, reperul cartezian a apărut în 80 dintre cele 83 de probe, funcția de gradul I în 48 de probe, funcția de gradul al doilea în 27 de probe, cercul trigonometric în 33 de probe și formulele trigonometrice de bază în 27 de probe, iar progresia aritmetică în 9 probe, ecuația dreptei în 5 probe, intersecția graficului cu o axă în 8 probe, panta în 2 probe și progresia geometrică într-o singură probă; logica, funcția radical și temele funcțiilor-raport, exponențială și logaritm nu au apărut încă; logica și funcția radical, fiind în programă, pot fi cerute.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.