Subiecte definitivat matematică 2022: barem și rezolvare pas cu pas

Pe scurt: proba scrisă de matematică de la definitivat s-a dat pe 20 iulie 2022 și a durat 4 ore. Subiectul I (60 de puncte), de specialitate, are patru probleme cu câte o cerință de 7 și una de 8 puncte: o ecuație de gradul al doilea cu parametru, un dreptunghi cu un triunghi echilateral ascuns, un polinom de gradul al treilea și o funcție cu logaritm, cu o limită și o arie. Subiectul al II-lea (30 de puncte), de metodică, cere trei itemi pentru o evaluare la finalul unității „Ecuații și sisteme de ecuații liniare” de la clasa a VII-a. Se adaugă 10 puncte din oficiu. Pe pagină sunt subiectul de la definitivat matematică 2022, transcris exact, baremul oficial (publicat de CNPEE, Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație), rezolvarea fiecărei cerințe și un exemplu de răspuns la metodică.

Actualizat: 17 octombrie 2026.

Pe pagină: Cum a arătat proba · Subiectul oficial · Baremul · Rezolvarea pas cu pas · Metodica · Întrebări

Cum a arătat proba din 2022

Subiect	Ce s-a cerut	Puncte
Subiectul I	1. ecuația $(m - 1) x^{2} - 2 m x + m - 2 = 0$ : o relație între rădăcini, rădăcinile nu sunt ambele în $(- 2, 1)$ · 2. dreptunghiul cu $A B = 53$ cm, $B C = 5$ cm: o arie, un unghi drept · 3. polinomul $X^{3} + X^{2} + a X + 1$ : o sumă de fracții, rădăcini întregi · 4. funcția $ln \frac{x + 5}{x + 3}$ : o limită, o arie	60 p (4 × (7 p + 8 p))
Subiectul al II-lea	metodică: un item cu răspuns scurt, unul de alegere multiplă și o întrebare structurată, pe o secvență din programa clasei a VII-a	30 p (3 × 10 p)
Din oficiu		10 p

Doi evaluatori notează lucrarea independent, după barem; nota la scris este media lor, cu două zecimale, fără rotunjire, iar la o diferență de peste un punct un al treilea evaluator recorectează și nota devine media celor trei (OMEC nr. 5434/2020, art. 35, în forma de azi). Proba din 2022 s-a dat după metodologia sesiunii 2022 (OMEC nr. 5434/2020, înainte de modificarea prin OME nr. 5722/2022, apărută ulterior, în Monitorul Oficial nr. 963 din 3.10.2022). La metodică, baremul din 2022 împărțea altfel cele 10 puncte ale unui item: câte 2 puncte pe fiecare dintre cele cinci criterii (în 2023–2026: 1 + 1 + 2 + 3 + 3). Nota finală și nota necesară la scris: pagina definitivatului la matematică și calculatorul de medie la definitivat.

De unde avem documentele. Arhiva oficială a sesiunii era pe subiecte2022.edu.ro, o gazdă care nu mai răspunde: la 17.10.2026 numele ei de domeniu nu mai există. Am folosit copia arhivei oficiale păstrată de Internet Archive (web.archive.org), verificată de noi pe 17.10.2026: DEFINITIVAT_2022.zip, captura din 20 iunie 2023 (aproximativ 23 MB, toate disciplinele). Ce am verificat:

arhiva are exact dimensiunea și data de modificare a fișierului de pe serverul oficial, așa cum le-a înregistrat Internet Archive (22.581.734 de octeți, 20 iulie 2022), și se dezarhivează fără erori;
fișierele de matematică, Def_109_Matematica_P_2022_var_03_LRO.pdf (subiectul) și Def_109_Matematica_P_2022_bar_03_LRO.pdf (baremul), poartă antetul Ministerului Educației și al CNPEE și au fost create pe 20 iulie 2022, ziua probei;
amprenta SHA-256 a arhivei este 77013d4e5e6b7d89741c65e678f488dcec6b4654e41935ea46d35594580296f2.

Am transcris Varianta 3, adică varianta pe care CNPEE a publicat-o în arhiva oficială.

Exersează în condiții de examen: cronometrează 4 ore, rezolvă doar subiectul oficial (îl poți tipări), apoi compară cerință cu cerință cu baremul și cu rezolvarea.

Subiectul oficial (Varianta 3)

Examenul național pentru definitivare în învățământul preuniversitar, 20 iulie 2022. Probă scrisă. Matematică. Varianta 3.

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de patru ore.

Subiectul I (60 de puncte)

1. Se consideră $x_{1}$ și $x_{2}$ , soluțiile ecuației $(m - 1) x^{2} - 2 m x + m - 2 = 0$ , unde $m$ este număr real, $m \neq = 1$ .

(7p) a) Arătați că $x_{1} + x_{2} + 2 x_{1} x_{2} = 4$ , pentru orice număr real $m$ , $m \neq = 1$ .
(8p) b) Demonstrați că nu există niciun număr real $m$ pentru care $x_{1}, x_{2} \in (- 2, 1)$ .

2. Se consideră dreptunghiul $A B C D$ , cu $A B = 53$ cm, $B C = 5$ cm și punctul $O$ , intersecția diagonalelor $A C$ și $B D$ . Perpendiculara în $O$ pe dreapta $B D$ intersectează dreptele $A B$ și $A D$ în punctele $E$ , respectiv $F$ .

(7p) a) Arătați că aria patrulaterului $A F B C$ este egală cu $253 cm^{2}$ .
(8p) b) Determinați măsura unghiului format de dreptele $A C$ și $D E$ .

3. Se consideră $x_{1}$ , $x_{2}$ și $x_{3}$ rădăcinile polinomului $f = X^{3} + X^{2} + a X + 1$ , unde $a$ este număr real.

(7p) a) Demonstrați că, pentru orice număr real nenul $a$ , $\frac{1}{x _{1}^{3} + x _{1}^{2} + 1} + \frac{1}{x _{2}^{3} + x _{2}^{2} + 1} + \frac{1}{x _{3}^{3} + x _{3}^{2} + 1} = 1$ .
(8p) b) Determinați numerele întregi $a$ pentru care polinomul $f$ are o rădăcină număr întreg.

4. Se consideră funcția $f : (- 3, + \infty) \to R$ , $f (x) = ln \frac{x + 5}{x + 3}$ .

(7p) a) Arătați că $n \to + \infty lim (2 ln n - (f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (n))) = ln 20$ .
(8p) b) Determinați numerele întregi $p$ , $q$ și $r$ pentru care suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$ , axa $O x$ și dreptele de ecuații $x = 0$ și $x = 1$ are aria egală cu $p ln 2 + q ln 3 + r ln 5$ .

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Următoarea secvență face parte din programa școlară de matematică pentru clasa a VII-a.

Competențe specifice și exemple de activități de învățare

Clasa a VII-a

1.2. Identificarea unei situații date rezolvabile prin ecuații sau sisteme de ecuații liniare

Recunoașterea unor relații matematice care reprezintă ecuații
Identificarea necunoscutei, coeficienților, termenilor liberi ai unei ecuații
Furnizarea unor exemple de relații matematice care reprezintă ecuații sau sisteme de ecuații liniare
Identificarea și notarea datelor cunoscute și a datelor necunoscute în cazul problemelor care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor sau sistemelor de ecuații

2.2. Utilizarea regulilor de calcul cu numere reale pentru verificarea soluțiilor unor ecuații sau sisteme de ecuații liniare

Verificarea, prin calcul, că un număr dintr-o enumerare este soluție a unei ecuații
Verificarea, prin calcul, a soluției unui sistem de ecuații liniare
Verificarea, prin calcul, că un număr real este soluție comună a unor ecuații

3.2. Utilizarea transformărilor echivalente în rezolvarea unor ecuații și sisteme de ecuații liniare

Aducerea unor egalități la o formă mai simplă prin transformări echivalente
Aplicarea transformărilor pentru obținerea unor sisteme de ecuații liniare echivalente
Utilizarea probei pentru justificarea unui rezultat obținut

4.2. Redactarea rezolvării ecuațiilor și sistemelor de ecuații liniare

Rezolvarea unor ecuații de forma $a x + b = 0$ , unde $a, b \in R$
Utilizarea metodelor de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare (metoda reducerii și metoda substituției)
Verificarea validității unei soluții a unei ecuații sau a unui sistem de ecuații

5.2. Stabilirea unor metode de rezolvare a ecuațiilor sau a sistemelor de ecuații liniare

Utilizarea transformărilor echivalente a ecuațiilor pentru fundamentarea unei metode de rezolvare
Evidențierea unor soluții asociate unei ecuații liniare în cadrul unui sistem de ecuații (de exemplu, observarea faptului că fiecare dintre ecuațiile unui sistem de ecuații liniare are mai multe soluții)
Compararea metodelor de rezolvare a unor sisteme de ecuații liniare

6.2. Transpunerea matematică a unor situații date, utilizând ecuații și/sau sisteme de ecuații liniare

Transpunerea relațiilor cuprinse într-o situație dată sub formă de ecuații
Rezolvarea unor probleme având conținut practic, utilizând ecuații sau sisteme de ecuații liniare
Utilizarea estimărilor pentru încadrarea într-un ordin de mărime a soluției unei ecuații

[…]

Domeniu de conținut	Conținuturi
Algebră	2. ECUAȚII ȘI SISTEME DE ECUAȚII LINIARE
	• Transformarea unei egalități într-o egalitate echivalentă; identități
	• Ecuații de forma $a x + b = 0$ , unde $a, b \in R$ ; mulțimea soluțiilor unei ecuații; ecuații echivalente
	• Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute; rezolvare prin metoda substituției și/sau prin metoda reducerii
	• Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor sau a sistemelor de ecuații liniare

Notă: Conținuturile vor fi abordate din perspectiva competențelor specifice. Activitățile de învățare sugerate oferă o imagine posibilă privind contextele de formare/dezvoltare a acestor competențe.

(Programa școlară pentru disciplina Matematică, OMEN nr. 3393/28.02.2017)

Pentru o evaluare la finalul unității de învățare „Ecuații și sisteme de ecuații liniare”, folosind informațiile din secvența de mai sus, elaborați trei itemi: un item cu răspuns scurt, un item de tip alegere multiplă și un item de tip întrebare structurată.

În elaborarea itemilor veți avea în vedere următoarele aspecte:

menționarea competenței specifice evaluate;
menționarea activității de învățare în cadrul căreia ați utiliza acest item;
respectarea formatului fiecărui tip de item elaborat;
elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare);
corectitudinea științifică a informației de specialitate.

Baremul oficial de evaluare și de notare

Examenul național pentru definitivare în învățământul preuniversitar, 20 iulie 2022. Probă scrisă. Matematică. Barem de evaluare și de notare. Varianta 3.

Reguli generale, din barem:

Se punctează orice modalitate de rezolvare corectă a cerințelor, în limita punctajului maxim corespunzător.
Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.
Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.

Subiectul I (60 de puncte)

1. a)

$x_{1} + x_{2} = \frac{2 m}{m - 1}$ — 3p
$x_{1} x_{2} = \frac{m - 2}{m - 1} \Rightarrow x_{1} + x_{2} + 2 x_{1} x_{2} = \frac{2 m + 2 m - 4}{m - 1} = \frac{4 ( m - 1 )}{m - 1} = 4$ , pentru orice număr real $m$ , $m \neq = 1$ — 4p

1. b)

Dacă $x_{1}, x_{2} \in (- 2, 1)$ , atunci $- 3 < 2 x_{1} + 1 < 3$ și $- 3 < 2 x_{2} + 1 < 3$ — 3p
$(2 x_{1} + 1) (2 x_{2} + 1) < 9 \Rightarrow 4 x_{1} x_{2} + 2 x_{1} + 2 x_{2} + 1 < 9$ — 3p
Obținem $x_{1} + x_{2} + 2 x_{1} x_{2} < 4$ , ceea ce este fals — 2p

2. a)

$F O$ este mediatoarea segmentului $B D \Rightarrow Δ D F B$ este isoscel și, cum unghiul $A D B$ are măsura egală cu $6 0^{\circ}$ , obținem că $Δ D F B$ este echilateral — 3p
$B A ⊥ D F$ , deci $A$ este mijlocul lui $D F \Rightarrow A F = 5$ cm — 2p
$A F B C$ paralelogram, deci $A_{A F B C} = A B \cdot B C = 253 cm^{2}$ — 2p

2. b)

$A F B C$ paralelogram, deci $A C ∥ F B$ — 2p
$B A ⊥ D F$ , $F O ⊥ B D$ și ${E} = B A \cap F O \Rightarrow E$ este ortocentrul $Δ D F B$ — 3p
$D E ⊥ F B$ , deci unghiul format de dreptele $A C$ și $D E$ are măsura de $9 0^{\circ}$ — 3p

3. a)

$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = a$ , $x_{1} x_{2} x_{3} = - 1$ — 4p
$\frac{1}{x _{1}^{3} + x _{1}^{2} + 1} + \frac{1}{x _{2}^{3} + x _{2}^{2} + 1} + \frac{1}{x _{3}^{3} + x _{3}^{2} + 1} = \frac{1}{- a x _{1}} + \frac{1}{- a x _{2}} + \frac{1}{- a x _{3}} = \frac{x _{1} x _{2} + x _{1} x _{3} + x _{2} x _{3}}{- a x _{1} x _{2} x _{3}} = 1$ , pentru orice număr real nenul $a$ — 3p

3. b)

$f \in Z [X]$ și, cum polinomul $f$ are o rădăcină număr întreg, aceasta este $- 1$ sau $1$ — 4p
Dacă $f (- 1) = 0$ , obținem $a = 1$ , care convine — 2p
Dacă $f (1) = 0$ , obținem $a = - 3$ , care convine — 2p

4. a)

$2 ln n - (f (1) + f (2) + \dots + f (n)) = ln n^{2} - ln (\frac{6}{4} \cdot \frac{7}{5} \cdot \frac{8}{6} \cdot \dots \cdot \frac{n + 3}{n + 1} \cdot \frac{n + 4}{n + 2} \cdot \frac{n + 5}{n + 3}) = ln \frac{20 n ^{2}}{( n + 5 ) ( n + 4 )}$ — 4p
$n \to + \infty lim (2 ln n - (f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (n))) = n \to + \infty lim ln \frac{20 n ^{2}}{( n + 5 ) ( n + 4 )} = ln 20$ — 3p

4. b)

$A = \int_{0}^{1} ∣ f (x) ∣ d x = \int_{0}^{1} ln \frac{x + 5}{x + 3} d x = x ln \frac{x + 5}{x + 3}_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{2 x}{( x + 3 ) ( x + 5 )} d x =$ — 2p
$= ln \frac{3}{2} - 3 ln (x + 3)_{0}^{1} + 5 ln (x + 5)_{0}^{1} = ln (2^{- 2} \cdot 3^{9} \cdot 5^{- 5})$ — 2p
$ln (2^{- 2} \cdot 3^{9} \cdot 5^{- 5}) = ln (2^{p} \cdot 3^{q} \cdot 5^{r}) \Rightarrow 2^{- 2} \cdot 3^{9} \cdot 5^{- 5} = 2^{p} \cdot 3^{q} \cdot 5^{r}$ și, cum $p$ , $q$ și $r$ sunt numere întregi, obținem $p = - 2$ , $q = 9$ și $r = - 5$ — 4p

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Itemul cu răspuns scurt elaborat:

menționarea competenței specifice evaluate — 2p
menționarea activității de învățare în cadrul căreia acest item poate fi utilizat — 2p
respectarea formatului itemului — 2p
elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 2p
corectitudinea științifică a informației de specialitate — 2p

Itemul de tip alegere multiplă elaborat:

menționarea competenței specifice evaluate — 2p
menționarea activității de învățare în cadrul căreia acest item poate fi utilizat — 2p
respectarea formatului itemului — 2p
elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 2p
corectitudinea științifică a informației de specialitate — 2p

Itemul de tip întrebare structurată elaborat:

menționarea competenței/competențelor specifice evaluate — 2p
menționarea activității de învățare în cadrul căreia acest item poate fi utilizat — 2p
respectarea formatului itemului — 2p
elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 2p
corectitudinea științifică a informației de specialitate — 2p

Rezolvarea noastră, pas cu pas

Mergem pe pașii baremului și adăugăm ce lipsește pentru o demonstrație întreagă: de ce produsul de la 1.b e mai mic decât 9, unde cade punctul $F$ , de ce funcția e pozitivă sub integrală și de ce exponenții de la 4.b sunt unic determinați. Le scriem pentru rigoare; corectorul notează după barem. Fiecare rezultat l-am verificat cu un program de calcul simbolic.

Subiectul I.1: ecuația cu parametru

Pentru $m \neq = 1$ ecuația e de gradul al doilea, cu discriminantul $Δ = 4 m^{2} - 4 (m - 1) (m - 2) = 4 (3 m - 2)$ . Pentru $m < \frac{2}{3}$ rădăcinile sunt complexe, dar relațiile lui Viète rămân valabile.

a) Din relațiile lui Viète, $x_{1} + x_{2} = \frac{2 m}{m - 1}$ și $x_{1} x_{2} = \frac{m - 2}{m - 1}$ . Atunci $x_{1} + x_{2} + 2 x_{1} x_{2} = \frac{2 m + 2 ( m - 2 )}{m - 1} = \frac{4 ( m - 1 )}{m - 1} = 4.$

b) Presupunem, prin reducere la absurd, că $x_{1}, x_{2} \in (- 2, 1)$ (deci rădăcinile sunt reale). Atunci $- 3 < 2 x_{1} + 1 < 3$ și $- 3 < 2 x_{2} + 1 < 3$ , adică $∣2 x_{1} + 1∣ < 3$ și $∣2 x_{2} + 1∣ < 3$ . Modulul produsului e produsul modulelor, deci $∣ (2 x_{1} + 1) (2 x_{2} + 1) ∣ < 9$ și, în particular, $(2 x_{1} + 1) (2 x_{2} + 1) < 9$ . Desfăcând, $4 x_{1} x_{2} + 2 x_{1} + 2 x_{2} + 1 < 9$ , adică $x_{1} + x_{2} + 2 x_{1} x_{2} < 4$ , în contradicție cu a). Deci nu există un astfel de $m$ .

Subiectul I.2: dreptunghiul și triunghiul echilateral

a) În triunghiul dreptunghic $D A B$ , $tg ∢ A D B = \frac{A B}{A D} = \frac{5 3}{5} = 3$ , deci $m (∢ A D B) = 6 0^{\circ}$ . Dreapta $F O$ e perpendiculară pe $B D$ în mijlocul $O$ , deci e mediatoarea lui $B D$ , iar $F D = F B$ . Un triunghi isoscel cu un unghi de $6 0^{\circ}$ e echilateral: $Δ D F B$ e echilateral, cu latura $B D = 75 + 25 = 10$ cm.

$B A ⊥ A D$ , deci $B A$ e înălțimea din $B$ a triunghiului echilateral, deci și mediană: $A$ e mijlocul lui $D F$ . Așadar $F$ e pe prelungirea lui $D A$ dincolo de $A$ , cu $A F = A D = 5$ cm.

$A F$ și $B C$ sunt paralele (ambele perpendiculare pe $A B$ ) și egale ( $5$ cm), iar $F$ și $C$ sunt de o parte și de alta a dreptei $A B$ , deci $A F B C$ e paralelogram (vectorial, $A F = C B$ ). Aria lui e baza $B C$ înmulțită cu distanța dintre $A F$ și $B C$ , care este $A B$ : $A = 5 \cdot 53 = 253 cm^{2}$ .

b) Din paralelogramul $A F B C$ , $A C ∥ F B$ . În triunghiul $D F B$ , $B A$ e înălțimea din $B$ ( $B A ⊥ D F$ ), iar $F O$ e înălțimea din $F$ ( $F O ⊥ B D$ ). Punctul lor comun, $E$ , e ortocentrul, deci și $D E$ e înălțime: $D E ⊥ F B$ . Cum $A C ∥ F B$ , rezultă $D E ⊥ A C$ , iar unghiul dintre dreptele $A C$ și $D E$ are $9 0^{\circ}$ .

Verificare pe coordonate. Cu $A (0, 0)$ , $B (53, 0)$ , $C (53, 5)$ , $D (0, 5)$ ies $F (0, - 5)$ , $E (\frac{5 3}{3}, 0)$ , iar produsul scalar $A C \cdot D E$ este $0$ .

Subiectul I.3: polinomul și rădăcinile întregi

a) Fiecare rădăcină verifică $x_{k}^{3} + x_{k}^{2} + a x_{k} + 1 = 0$ , deci $x_{k}^{3} + x_{k}^{2} + 1 = - a x_{k}$ . Produsul rădăcinilor e $x_{1} x_{2} x_{3} = - 1 \neq = 0$ , deci nicio rădăcină nu e $0$ , iar pentru $a \neq = 0$ numitorii $- a x_{k}$ sunt nenuli. Atunci $k = 1 \sum 3 \frac{1}{- a x _{k}} = - \frac{1}{a} \cdot \frac{x _{1} x _{2} + x _{1} x _{3} + x _{2} x _{3}}{x _{1} x _{2} x _{3}} = - \frac{1}{a} \cdot \frac{a}{- 1} = 1.$

b) Pentru $a$ întreg, $f$ are coeficienți întregi și termenul liber $1$ . O rădăcină întreagă $k$ divide termenul liber (din $k^{3} + k^{2} + ak = - 1$ rezultă $k \cdot (k^{2} + k + a) = - 1$ ), deci $k \in {- 1, 1}$ .

$f (- 1) = - 1 + 1 - a + 1 = 1 - a = 0$ dă $a = 1$ ; atunci $f = X^{3} + X^{2} + X + 1 = (X + 1) (X^{2} + 1)$ .
$f (1) = 1 + 1 + a + 1 = a + 3 = 0$ dă $a = - 3$ ; atunci $f = X^{3} + X^{2} - 3 X + 1 = (X - 1) (X^{2} + 2 X - 1)$ .

Răspuns: $a \in {- 3, 1}$ .

Subiectul I.4: funcția cu logaritm

a) Suma logaritmilor e logaritmul produsului, iar produsul e telescopic: $k = 1 \prod n \frac{k + 5}{k + 3} = \frac{6 \cdot 7 \dots ( n + 5 )}{4 \cdot 5 \dots ( n + 3 )} = \frac{( n + 4 ) ( n + 5 )}{4 \cdot 5} .$ Deci $2 ln n - \sum_{k = 1}^{n} f (k) = ln \frac{20 n ^{2}}{( n + 4 ) ( n + 5 )}$ . Fracția tinde la $20$ , iar logaritmul e continuu, deci limita este $ln 20$ .

b) Pe $[0, 1]$ , $\frac{x + 5}{x + 3} > 1$ , deci $f > 0$ și aria e integrala lui $f$ . Integrăm prin părți, cu $f^{'} (x) = \frac{1}{x + 5} - \frac{1}{x + 3} = \frac{- 2}{( x + 3 ) ( x + 5 )}$ : $\int_{0}^{1} f = x f (x)_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x f^{'} (x) d x = ln \frac{6}{4} + \int_{0}^{1} \frac{2 x}{( x + 3 ) ( x + 5 )} d x .$ Descompunem: $\frac{2 x}{( x + 3 ) ( x + 5 )} = \frac{- 3}{x + 3} + \frac{5}{x + 5}$ (pentru $x = - 3$ : $- 6 = 2 \cdot (- 3)$ ; pentru $x = - 5$ : $- 10 = - 2 \cdot 5$ ). Deci $A = ln \frac{3}{2} - 3 ln \frac{4}{3} + 5 ln \frac{6}{5} = - 2 ln 2 + 9 ln 3 - 5 ln 5 \approx 0, 454.$ Unicitatea. Din $2^{p} 3^{q} 5^{r} = 2^{- 2} 3^{9} 5^{- 5}$ rezultă $2^{p + 2} 3^{q - 9} 5^{r + 5} = 1$ . Trecând exponenții negativi în celălalt membru, se obține o egalitate de numere naturale, iar descompunerea în factori primi e unică, deci toți exponenții sunt $0$ : $p = - 2$ , $q = 9$ , $r = - 5$ .

Unde se pierd puncte la specialitate

Aici sunt doar pașii pe care baremul îi punctează explicit:

I.1.b: încadrarea $- 3 < 2 x_{k} + 1 < 3$ (3 puncte), inegalitatea pentru produs și desfacerea lui (3 puncte), contradicția cu a) (2 puncte).
I.2.a: triunghiul echilateral $D F B$ (3 puncte), $A$ mijlocul lui $D F$ și $A F = 5$ cm (2 puncte), paralelogramul $A F B C$ și aria (2 puncte).
I.2.b: $A C ∥ F B$ (2 puncte), $E$ ortocentrul triunghiului $D F B$ (3 puncte), $D E ⊥ F B$ și unghiul de $9 0^{\circ}$ (3 puncte).
I.3.b: restrângerea la $- 1$ și $1$ , pentru că $f$ are coeficienți întregi, valorează 4 puncte; apoi câte 2 puncte pentru fiecare valoare, $a = 1$ și $a = - 3$ .
I.4.b: integrarea prin părți (2 puncte), calculul cu logaritmi până la $ln (2^{- 2} \cdot 3^{9} \cdot 5^{- 5})$ (2 puncte) și identificarea lui $p$ , $q$ , $r$ (4 puncte).

Din rigoare (baremul nu le cere): trecerea de la $∣2 x_{k} + 1∣ < 3$ la produsul mai mic decât $9$ (prin module) la I.1.b; poziția lui $F$ dincolo de $A$ și motivul pentru care $A F B C$ e paralelogram la I.2.a; de ce rădăcina întreagă divide termenul liber la I.3.b; semnul lui $f$ pe $[0, 1]$ , care permite renunțarea la modul, și unicitatea descompunerii în factori primi la I.4.b. Sunt în rezolvare pentru o demonstrație întreagă; nota se dă după barem.

Subiectul al II-lea: modelul nostru de răspuns la metodică

Baremul nu dă itemi-model; acordă punctele oricărui item care îndeplinește cele cinci criterii, câte 2 puncte fiecare. Mai jos e un răspuns posibil, construit pe fiecare criteriu. Cei trei itemi formează o probă scurtă pentru finalul unității „Ecuații și sisteme de ecuații liniare”, cu 20 + 20 + 50 = 90 de puncte și 10 din oficiu, bună și pentru clasă.

Ce acoperă itemii. Unitatea are patru conținuturi: transformările echivalente, ecuațiile de forma $a x + b = 0$ cu coeficienți reali, sistemele de două ecuații cu două necunoscute și problemele. Am ales o ecuație cu coeficienți iraționali, verificarea soluției unui sistem și o problemă practică, de la punerea în ecuație până la rezolvare.

Itemul	Tipul	Conținutul din unitate	Competența	Punctaj
1	răspuns scurt	ecuația $a x + b = 0$ cu $a, b \in R$ , transformări echivalente	3.2	20 p
2	alegere multiplă	soluția unui sistem de ecuații liniare	2.2	20 p
3	întrebare structurată	sisteme de ecuații, probleme	1.2, 4.2, 6.2	50 p

Itemul 1, cu răspuns scurt (20 de puncte)

Competența specifică: 3.2. Utilizarea transformărilor echivalente în rezolvarea unor ecuații și sisteme de ecuații liniare.
Activitatea din programă: „Aducerea unor egalități la o formă mai simplă prin transformări echivalente”.
Itemul: Scrieți soluția reală a ecuației $3 x - 6 = 3$ .
Răspunsul așteptat (barem): $x = 1 + 23$ (sau orice scriere echivalentă, de exemplu $\frac{6 + 3}{3}$ ) — 20 de puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.
Formatul: o întrebare directă, la care elevul scrie doar rezultatul, fără rezolvare; răspunsul e unic.
De ce e corect: adunăm $6$ în ambii membri: $3 x = 6 + 3$ ; împărțim la $3 \neq = 0$ : $x = \frac{6 + 3}{3} = \frac{6}{3} + 1 = 23 + 1$ . Proba: $3 (1 + 23) - 6 = 3 + 6 - 6 = 3$ . Ecuația are coeficienți reali, cum prevede conținutul „ecuații de forma $a x + b = 0$ , unde $a, b \in R$ ”.

Itemul 2, de tip alegere multiplă (20 de puncte)

Competența specifică: 2.2. Utilizarea regulilor de calcul cu numere reale pentru verificarea soluțiilor unor ecuații sau sisteme de ecuații liniare.
Activitatea din programă: „Verificarea, prin calcul, a soluției unui sistem de ecuații liniare”.
Itemul: Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect. Soluția sistemului ${2 x + y = 7 x - y = 2$ este perechea:

A. $(2, 3)$ B. $(3, 1)$ C. $(1, 5)$ D. $(4, 2)$
Răspunsul așteptat (barem): B — 20 de puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.
Formatul: o premisă și patru variante, una singură corectă; distractorii verifică doar una dintre ecuații.
De ce e corect: $(3, 1)$ verifică ambele ecuații: $6 + 1 = 7$ și $3 - 1 = 2$ . Perechile $(2, 3)$ și $(1, 5)$ verifică doar prima ecuație ( $4 + 3 = 7$ , $2 + 5 = 7$ , dar $2 - 3 \neq = 2$ , $1 - 5 \neq = 2$ ), iar $(4, 2)$ doar pe a doua ( $4 - 2 = 2$ , dar $8 + 2 \neq = 7$ ). Le alege elevul care verifică o singură ecuație, adică exact greșeala pe care itemul o urmărește.

Itemul 3, de tip întrebare structurată (50 de puncte)

Materialul comun: La un spectacol, un bilet pentru adult costă $x$ lei, iar un bilet pentru copil costă $y$ lei. O familie cu $2$ adulți și $3$ copii a plătit $130$ de lei, iar o familie cu un adult și $2$ copii a plătit $75$ de lei.

Cerința	Competența specifică	Activitatea din programă
a)	1.2. Identificarea unei situații date rezolvabile prin ecuații sau sisteme de ecuații liniare	„Identificarea și notarea datelor cunoscute și a datelor necunoscute în cazul problemelor care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor sau sistemelor de ecuații”
b)	4.2. Redactarea rezolvării ecuațiilor și sistemelor de ecuații liniare	„Utilizarea metodelor de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare (metoda reducerii și metoda substituției)”
c)	6.2. Transpunerea matematică a unor situații date, utilizând ecuații și/sau sisteme de ecuații liniare	„Rezolvarea unor probleme având conținut practic, utilizând ecuații sau sisteme de ecuații liniare”

a) Scrieți sistemul de ecuații care corespunde datelor despre cele două familii.
b) Rezolvați sistemul de la a), prin metoda substituției sau prin metoda reducerii.
c) Știind că un bilet pentru adult costă $35$ de lei, iar unul pentru copil $20$ de lei, aflați câți adulți și câți copii erau într-un grup de $22$ de persoane care a plătit în total $500$ de lei.

Răspunsul așteptat (barem):

a) $2 x + 3 y = 130$ — 5 puncte; $x + 2 y = 75$ — 5 puncte;
b) eliminarea unei necunoscute (de exemplu, $x = 75 - 2 y$ , apoi $2 (75 - 2 y) + 3 y = 130$ ) — 10 puncte; $y = 20$ — 5 puncte; $x = 35$ — 5 puncte;
c) notațiile și sistemul: $a + c = 22$ , $35 a + 20 c = 500$ — 5 puncte; rezolvarea: $35 a + 20 (22 - a) = 500$ , $15 a = 60$ — 10 puncte; răspunsul: $4$ adulți și $18$ copii — 5 puncte.

Formatul: un material comun și trei cerințe cu dificultate crescătoare. Cerința c) dă prețurile, deci se poate rezolva și de cine a greșit la b).

De ce e corect: b) Proba: $2 \cdot 35 + 3 \cdot 20 = 130$ și $35 + 2 \cdot 20 = 75$ . c) $4 + 18 = 22$ și $4 \cdot 35 + 18 \cdot 20 = 140 + 360 = 500$ ; soluția e formată din numere naturale, deci are sens în context.

Proba la clasă și standardele din 2026

Standardele naționale de evaluare au apărut în Monitorul Oficial nr. 674 bis din 14.08.2026 (OMEC nr. 4615/04.08.2026), la peste patru ani după proba din 20 iulie 2022, deci baremul nu le avea. La clasă se aplică din 2026–2027. Fiecare item, lângă standardul cel mai apropiat (descriptorii de la paginile 914–916 ale Monitorului):

Item	Standard, clasa a VII-a	Nivelul la care se încadrează
1 (ecuația cu $3$ )	VII.CS.3.2 și VII.CS.4.2	De bază la 3.2: transformări echivalente pentru aducerea la forma $a x + b = 0$ , cu $a, b \in R$ ; Avansat la 4.2: „ecuații cu coeficienți reali”
2 (soluția sistemului)	VII.CS.2.2	Consolidat: „verifică, prin calcul, dacă o pereche de numere reale dată este soluție a unui sistem de ecuații liniare”
3 a)	VII.CS.6.2 și VII.CS.1.2	Consolidat la 6.2: „formulează sistemul de ecuații liniare corespunzător unei situații date, în care intervin două necunoscute”; Consolidat la 1.2: mărimile cunoscute și necunoscute
3 b)	VII.CS.4.2	De bază: metoda substituției sau a reducerii, cu coeficienți întregi, cu proba
3 c)	VII.CS.6.2	Consolidat: sistemul pentru o situație practică cu două necunoscute

La cerința 3 a), competența declarată (1.2, din activitate) și descriptorul cel mai potrivit (VII.CS.6.2) nu coincid; standardele pun formularea sistemului la 6.2. Descriptorii tuturor claselor: standardele de evaluare la matematică.

Greșeli frecvente la Subiectul al II-lea

Trei itemi pe același conținut, de exemplu trei ecuații: evaluarea e la finalul întregii unități, deci e bine ca itemii să atingă și sistemele, și problemele.
Itemul cu răspuns scurt, formulat ca întrebare directă: cerința din 2022 a fost „item cu răspuns scurt”; formulează-l ca întrebare, cum l-a numit subiectul (de exemplu „Scrieți soluția reală a ecuației…”), ca să nu lași loc de discuție la rândul de format.
O competență declarată, alta evaluată: la întrebarea structurată, fiecare cerință poate avea competența ei (baremul scrie „competenței/competențelor”), dar atunci fiecare primește și activitatea potrivită, din același bloc.
O singură greșeală care blochează tot itemul: dacă c) folosește rezultatul de la b), elevul care a greșit la b) nu mai poate arăta ce știe; dă în enunțul lui c) datele de care are nevoie.
Două variante corecte la alegerea multiplă: rândul „respectarea formatului”. Distractorii buni vin din greșeli reale (o pereche care verifică o singură ecuație).
Baremul doar cu rezultatul final: în 2022 răspunsul așteptat valora 2 puncte din 10 pe item; o întrebare structurată se notează mai ușor și mai corect cu puncte pe fiecare cerință și pe etape.

Materiale pentru unitate

Competențele și conținuturile clasei a VII-a: programa clasei a VII-a.
Lecțiile capitolului: ecuații echivalente, ecuația ax + b = 0, sisteme de două ecuații, metoda substituției, metoda reducerii, probleme rezolvate cu sisteme.
Teste pe capitol pentru elevi: ecuații liniare, sisteme: metode de rezolvare, probleme cu sisteme.

Întrebări frecvente

Unde găsesc subiectul și baremul oficial de la definitivat matematică 2022?

Gazda oficială, subiecte2022.edu.ro, nu mai răspunde la 17.10.2026. Arhiva oficială DEFINITIVAT_2022.zip (aproximativ 23 MB, cu toate disciplinele) se găsește în copia păstrată de Internet Archive (web.archive.org), captura din 20 iunie 2023, pe care am verificat-o: dimensiunea și data fișierului coincid cu cele de pe serverul oficial, iar PDF-urile au antetul CNPEE și data probei. Fișierele de matematică sunt Def_109_Matematica_P_2022_var_03_LRO.pdf și Def_109_Matematica_P_2022_bar_03_LRO.pdf. Pe pagina aceasta sunt transcrise integral.

Din ce clasă a fost metodica la definitivat matematică 2022?

Din clasa a VII-a. Secvența vine din programa școlară a clasei a VII-a (OMEN nr. 3393/28.02.2017): competențele 1.2–6.2 și capitolul „Ecuații și sisteme de ecuații liniare”. Se cer trei itemi, unul cu răspuns scurt, unul de alegere multiplă și o întrebare structurată, pentru o evaluare la finalul unității.

Unde se pierd cele mai multe puncte la definitivatul la matematică din 2022?

Pe rândurile pe care baremul le punctează separat. La ecuația cu parametru, încadrarea 2x + 1 între −3 și 3 și contradicția cu relația de la a). La dreptunghi, triunghiul echilateral DFB, apoi ortocentrul E. La polinom, restrângerea rădăcinilor întregi la −1 și 1, care valorează 4 puncte, și ambele valori ale lui a. La arie, integrarea prin părți și identificarea exponenților. La metodică, în 2022 fiecare criteriu valora 2 puncte, deci și rândul de format, care cere de exemplu un răspuns unic, valorează 2 puncte pe item.

Mai departe

Definitivat matematică: subiecte, programă și nota finală: etapele examenului, nota finală și toți anii.
Definitivat matematică 2023 și 2021: probele vecine, rezolvate la fel.
Calculatorul de medie la definitivat: nota finală și nota necesară la proba scrisă.
Titularizare matematică 2022: proba din același an la titularizare.

Sursele

Subiectul și baremul: Ministerul Educației, Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, „Examenul național pentru definitivare în învățământul preuniversitar, 20 iulie 2022, Probă scrisă, Matematică, Varianta 3”, subiect și barem, arhiva DEFINITIVAT_2022.zip de pe subiecte2022.edu.ro, în copia păstrată de Internet Archive (captura din 20.06.2023, SHA-256 77013d4e5e6b7d89741c65e678f488dcec6b4654e41935ea46d35594580296f2).
Metodologia: OMEC nr. 5434/2020 (Metodologia-cadru de organizare și desfășurare a examenului național pentru definitivare în învățământul preuniversitar); forma de azi, cu modificările aduse prin OME nr. 5722/2022 (după proba din 2022), art. 35, e publicată pe definitivat.edu.ro.
Programa școlară de matematică pentru gimnaziu: anexa 2 la OMEN nr. 3393/28.02.2017.
Standardele de evaluare: anexa 29 la OMEC nr. 4615/04.08.2026, Monitorul Oficial, Partea I, nr. 674 bis din 14.08.2026, p. 914–916.

Verificat de noi pe 17.10.2026: subiectul și baremul le-am citit pe imaginea paginilor oficiale; simbolurile de triunghi din baremul de la I.2 lipsesc din imagine și le-am confirmat din textul extras din PDF. Rezolvarea, geometria pe coordonate, cei trei itemi și suma punctajelor lor sunt recalculate cu un program de calcul simbolic.