Subiecte definitivat matematică 2023: barem și rezolvare pas cu pas

Pe scurt: proba scrisă de matematică de la definitivat a avut loc pe 19 iulie 2023 și a durat 4 ore. Subiectul I (60 de puncte), de specialitate, are patru probleme, fiecare cu cerințe de 7 și de 8 puncte: o progresie aritmetică cu trei termeni în progresie geometrică, un trapez, un polinom de gradul al treilea cu rădăcini nenegative și un șir de integrale cu logaritm. Subiectul al II-lea (30 de puncte), de metodică, cere trei itemi pentru o evaluare la finalul unității „Intervale de numere reale. Inecuații în ℝ” de la clasa a VIII-a. Se adaugă 10 puncte din oficiu. Mai jos găsești subiectul de la definitivat matematică 2023, transcris exact, baremul oficial (publicat atunci de CNPEE, Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație), rezolvarea fiecărei cerințe și un exemplu de răspuns la metodică.

Actualizat: 17 octombrie 2026.

Pe pagină: Cum a arătat proba · Subiectul oficial · Baremul · Rezolvarea pas cu pas · Metodica · Întrebări

Cum a arătat proba din 2023

Lucrarea o notează doi evaluatori, separat, după barem; nota la proba scrisă e media celor două note, cu două zecimale, fără rotunjire, iar dacă diferența dintre ele trece de un punct, un al treilea evaluator recorectează lucrarea și nota devine media celor trei (OMEC nr. 5434/2020, art. 35, în forma de azi). Proba din 2023 s-a dat după metodologia sesiunii 2023. Baremul din 2023 avea o regulă mai strictă decât cele din 2021–2022 și 2024–2026: „Nu se acordă punctaje intermediare, altele decât cele precizate explicit în barem.” Nota finală și nota necesară la scris: pagina definitivatului la matematică și calculatorul de medie la definitivat.

De unde avem documentele. Arhiva oficială a sesiunii era pe subiecte2023.edu.ro, o gazdă care nu mai răspunde: la 17.10.2026 numele ei de domeniu nu mai există. Am folosit copia arhivei oficiale păstrată de Internet Archive (web.archive.org), verificată de noi pe 17.10.2026: DEFINITIVAT_2023.zip, captura din 17 iulie 2024 (aproximativ 25 MB, toate disciplinele). Ce am verificat:

• arhiva are exact dimensiunea și data de modificare a fișierului de pe serverul oficial, așa cum le-a înregistrat Internet Archive (24.865.867 de octeți, 19 iulie 2023), și se dezarhivează fără erori;
• fișierele de matematică, Def_109_Matematica_2023_var_03_LRO.pdf (subiectul) și Def_109_Matematica_2023_bar_03_LRO.pdf (baremul), poartă antetul Ministerului Educației și al CNPEE și au fost create pe 19 iulie 2023, ziua probei;
• amprenta SHA-256 a arhivei este 46111f8949039788f0e9f2202464b7471d05ec9f14ef7291231a62fd3ac15bdf.

Am transcris Varianta 3, adică varianta pe care CNPEE a publicat-o în arhiva oficială.

Exersează în condiții de examen: dă-ți 4 ore, lucrează doar pe subiectul oficial (îl poți tipări), apoi verifică-te pe barem și citește rezolvarea unde n-ai luat tot punctajul.

Subiectul oficial (Varianta 3)

Examenul național pentru definitivare în învățământul preuniversitar, 19 iulie 2023. Probă scrisă. Matematică. Varianta 3.

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de patru ore.

Subiectul I (60 de puncte)

1. Se consideră progresia aritmetică $(a_n{)}_{n\ge 1}$, cu rația diferită de zero și $S_n=a_1+a_2+\dots +a_n$, pentru orice număr natural nenul $n$.

• (7p) a) Arătați că $2S_{25}=25(a_5+a_{21})$.
• (8p) b) Determinați numerele $a_1$, $a_3$ și $a_{10}$, știind că acestea sunt în progresie geometrică în această ordine și că suma lor este egală cu $134$.

2. Se consideră trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB>CD$ și punctul $M$ aparținând laturii $AB$ astfel încât $\Delta AMC\equiv \Delta DMB$.

• (7p) a) Arătați că punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$.
• (8p) b) Demonstrați că $\frac{CN}{MN}=\frac{OD}{MD}$, unde $AC\cap DB=\{O\}$ și $AD\cap BC=\{N\}$.

3. Se consideră polinomul $f=X^3-X^2+aX+b$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale, $a-b\ne -2$.

• (7p) a) Determinați numărul real $b$, știind că $\frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_2}+\frac{1}{1+x_3}=1$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.
• (8p) b) Știind că rădăcinile $x_1$, $x_2$ și $x_3$ ale polinomului $f$ sunt numere reale mai mari sau egale cu zero, demonstrați că $a+b\le \frac{8}{27}$.

4. Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln (x+1)$.

• (7p) a) Arătați că $f(x)\le x$, pentru orice $x\in (-1,+\infty )$.
• (8p) b) Se consideră numărul real $a\in (0,1)$. Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n={\int }_a^1\frac{f\left(x^{2n}\right)}{x^n}dx$. Demonstrați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0$.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Următoarea secvență face parte din programa școlară de matematică pentru clasa a VIII-a.

Competențe specifice și exemple de activități de învățare

Clasa a VIII-a

1.1. Recunoașterea apartenenței unui număr real la o mulțime

• Reprezentarea pe axa numerelor a intervalelor de numere reale
• Reprezentarea pe axa numerelor a intervalelor făcând legătura între tipurile de intervale și submulțimile dreptei
• Identificarea apartenenței unui element la o mulțime definită printr-o proprietate a elementelor ei

2.1. Efectuarea unor operații cu intervale numerice reprezentate pe axa numerelor sau cu mulțimi definite printr-o proprietate a elementelor ei

• Reprezentarea pe axa numerelor a intersecției a două intervale
• Reprezentarea pe axa numerelor a reuniunii a două intervale cu intersecția nevidă
• Verificarea faptului că un număr este soluția unei inecuații
• Verificarea apartenenței unui obiect la o mulțime pe baza unei/unor proprietăți a/ale elementelor acesteia

3.1. Utilizarea unor procedee matematice pentru operații cu intervale și rezolvarea inecuațiilor în $\mathbb{R}$

• Aproximarea numerelor reale pentru reprezentarea unor intervale
• Reprezentarea unui interval sub forme echivalente (notație, reprezentarea pe axa numerelor)
• Transformarea unei inecuații într-o inecuație echivalentă folosind proprietățile relației de ordine

4.1. Folosirea terminologiei aferente noțiunilor de mulțime, de interval numeric și de inecuații

• Utilizarea terminologiei specifice intervalelor de numere reale în contexte interdisciplinare
• Rezolvarea unei inecuații de forma $\left|ax+b\right|<c$, $(\le )$, unde $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, $b$, $c\in \mathbb{R}$
• Selectarea, dintr-o mulțime dată, a elementelor care verifică o condiție suplimentară

5.1. Interpretarea unei situații date utilizând intervale și inecuații

• Rezolvarea unor inecuații de forma $ax+b<0$, $(>,\le ,\ge )$, unde $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, $b\in \mathbb{R}$
• Descrierea mulțimii soluțiilor unei probleme printr-o proprietate care le caracterizează
• Rezolvarea de inecuații de forma $\frac{a}{bx+c}<0$, $(>,\le ,\ge )$, unde $a,b\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, $c\in \mathbb{R}$

6.1. Rezolvarea unor situații date, utilizând intervale numerice sau inecuații

• Estimarea erorii unui calcul aproximativ cu numere reale
• Utilizarea de estimări pentru a compara/ordona numere reale în diferite contexte
• Modelarea unei situații concrete utilizând inecuații studiate
• Interpretarea soluțiilor unei inecuații în rezolvarea unor probleme concrete

[...]

Notă: Conținuturile vor fi abordate din perspectiva competențelor specifice. Activitățile de învățare sugerate oferă o imagine posibilă privind contextele de formare/dezvoltare a acestor competențe.

(Programa școlară pentru disciplina Matematică, OMEN nr. 3393/28.02.2017)

Pentru o evaluare la finalul unității de învățare „Intervale de numere reale. Inecuații în $\mathbb{R}$”, folosind informațiile din secvența precedentă, elaborați trei itemi: un item de tip completare, un item de tip alegere multiplă și un item de tip întrebare structurată.

În elaborarea itemilor veți avea în vedere următoarele aspecte:

• menționarea competenței specifice evaluate;
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat;
• respectarea formatului fiecărui tip de item elaborat;
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare);
• corectitudinea științifică a informației de specialitate.

Baremul oficial de evaluare și de notare

Examenul național pentru definitivare în învățământul preuniversitar, 19 iulie 2023. Probă scrisă. Matematică. Barem de evaluare și de notare. Varianta 3.

Reguli generale, din barem:

• Se punctează orice modalitate de rezolvare corectă a cerințelor.
• Nu se acordă punctaje intermediare, altele decât cele precizate explicit în barem. Nu se acordă fracțiuni de punct.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.

Subiectul I (60 de puncte)

1. a)

• $2S_{25}=25(a_1+a_{25})=$ — 3p
• $=25(a_5-4r+a_{21}+4r)=25(a_5+a_{21})$, unde $r$ este rația progresiei aritmetice — 4p

1. b)

• $a_3=a_1+2r$, $a_{10}=a_1+9r$ și, cum $a_3^2=a_1{a}_{10}$, obținem $(a_1+2r{)}^2=a_1(a_1+9r)$ — 3p
• $4r^2=5a_{1}r$ și, cum $r\ne 0$, obținem $4r=5a_1$ — 2p
• Cum $a_1+a_3+a_{10}=134$, obținem $a_1=8$, $a_3=28$ și $a_{10}=98$ — 3p

2. a)

• $\Delta AMC\equiv \Delta DMB\Rightarrow AC=DB$, deci $ABCD$ este trapez isoscel $\Rightarrow \sphericalangle DAM=\sphericalangle CBM$ — 4p
• Triunghiurile $AMD$ și $BMC$ sunt isoscele cu vârful în $M$, deci $\Delta AMD\equiv \Delta BMC$, de unde obținem $MA=MB$ — 3p

2. b)

• $ABCD$ trapez isoscel $\Rightarrow OA=OB$ și, cum $M$ este mijlocul lui $AB$, obținem $OM\perp AB$; $\Delta ANB$ isoscel, punctul $M$ este mijlocul lui $AB\Rightarrow NM\perp AB$, deci punctele $N$, $O$ și $M$ sunt coliniare — 3p
• $MA=MC=MB\Rightarrow MC=\frac{AB}{2}$, deci triunghiul $ACB$ este dreptunghic în $C$ — 2p
• $\Delta NCO\sim \Delta NMB\Rightarrow \frac{CN}{MN}=\frac{OC}{BM}$ și, cum $OC=OD$ și $BM=MD$, obținem $\frac{CN}{MN}=\frac{OD}{MD}$ — 3p

3. a)

• $x_1+x_2+x_3=1$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=a$, $x_1{x}_2{x}_3=-b$ — 3p
• $\frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_2}+\frac{1}{1+x_3}=\frac{3+2(x_1+x_2+x_3)+(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)}{1+(x_1+x_2+x_3)+(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)+x_1{x}_2{x}_3}=\frac{5+a}{2+a-b}$ și, cum $\frac{5+a}{2+a-b}=1$, obținem $b=-3$ — 4p

3. b)

• $a+b=f(1)=(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)$ — 2p
• Cum $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt numere reale mai mari sau egale cu zero și $x_1+x_2+x_3=1$, rezultă $1-x_1\ge 0$, $1-x_2\ge 0$ și $1-x_3\ge 0$ — 2p
• $\sqrt[3]{(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)}\le \frac{(1-x_1)+(1-x_2)+(1-x_3)}{3}=\frac{2}{3}$, deci $a+b\le {\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{8}{27}$ — 4p

4. a)

• $g:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\ln (x+1)-x$, $g^{\prime }(x)=\frac{-x}{x+1}$, $x\in (-1,+\infty )$; pentru $x\in (-1,0]$, $g^{\prime }(x)\ge 0$, deci funcția $g$ este crescătoare pe $(-1,0]$; pentru $x\in [0,+\infty )$, $g^{\prime }(x)\le 0$, deci funcția $g$ este descrescătoare pe $[0,+\infty )$ — 4p
• Cum $g(0)=0$, rezultă $g(x)\le 0$, pentru orice $x\in (-1,+\infty )$, deci $f(x)\le x$, pentru orice $x\in (-1,+\infty )$ — 3p

4. b)

• $0<a\le x\le 1\Rightarrow \frac{f\left(x^{2n}\right)}{x^n}\ge 0$, deci $I_n\ge 0$, pentru orice număr natural $n$ — 3p
• $f\left(x^{2n}\right)\le x^{2n}$, pentru orice $x\in [a,1]$, deci $I_n\le {\int }_a^1{x}^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}{|}_a^1=\frac{1}{n+1}\left(1-a^{n+1}\right)<\frac{1}{n+1}$, pentru orice număr natural $n$ — 3p
• Cum $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n+1}=0$, obținem $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0$ — 2p

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Itemul de tip completare elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• respectarea formatului itemului — 2p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 3p
• corectitudinea științifică a informației de specialitate — 3p

Itemul de tip alegere multiplă elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• respectarea formatului itemului — 2p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 3p
• corectitudinea științifică a informației de specialitate — 3p

Itemul de tip întrebare structurată elaborat:

• menționarea competenței/competențelor specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• respectarea formatului itemului — 2p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 3p
• corectitudinea științifică a informației de specialitate — 3p

Rezolvarea noastră, pas cu pas

Urmăm baremul și completăm pașii pe care el îi lasă subînțeleși: congruența care dă $MA=MB$, de ce triunghiurile $NCO$ și $NMB$ sunt asemenea, de ce numitorul de la 3.a nu se anulează. Îi scriem pentru rigoare; punctajul se acordă după barem. Toate rezultatele le-am verificat cu un program de calcul simbolic.

Subiectul I.1: progresia aritmetică și cea geometrică

a) Suma primilor 25 de termeni este $S_{25}=\frac{25(a_1+a_{25})}{2}$, deci $2S_{25}=25(a_1+a_{25})$. Cu $r$ rația, $a_1=a_5-4r$ și $a_{25}=a_{21}+4r$, așa că $a_1+a_{25}=a_5+a_{21}$ (termenii egal depărtați de capete au aceeași sumă) și $2S_{25}=25(a_5+a_{21})$.

b) Trei numere sunt în progresie geometrică, în această ordine, când pătratul celui din mijloc este produsul celorlalte: $a_3^2=a_1{a}_{10}$, adică $(a_1+2r{)}^2=a_1(a_1+9r)$. Desfăcând, $a_1^2+4a_{1}r+4r^2=a_1^2+9a_{1}r$, deci $4r^2=5a_{1}r$. Cum $r\ne 0$, împărțim prin $r$: $4r=5a_1$, adică $r=\frac{5a_1}{4}$.

Suma: $a_1+a_3+a_{10}=3a_1+11r=3a_1+\frac{55a_1}{4}=\frac{67a_1}{4}=134$, deci $a_1=8$, $r=10$, $a_3=28$ și $a_{10}=98$. Verificare: $28^2=784=8\cdot 98$, iar rația progresiei geometrice este $\frac{28}{8}=\frac{98}{28}=\frac{7}{2}$.

Subiectul I.2: trapezul isoscel

a) Din $\Delta AMC\equiv \Delta DMB$ (cu vârfurile în ordinea scrisă) avem $AC=DB$, $MA=MD$ și $MC=MB$.

• Un trapez cu diagonalele congruente e isoscel, deci $AD=BC$ și unghiurile de la baza mare sunt congruente: $\sphericalangle DAB\equiv \sphericalangle CBA$.
• Triunghiul $AMD$ e isoscel ($MA=MD$), deci $\sphericalangle MDA\equiv \sphericalangle MAD$; triunghiul $BMC$ e isoscel ($MB=MC$), deci $\sphericalangle MCB\equiv \sphericalangle MBC$. Toate patru unghiurile sunt egale cu unghiul de la baza mare.
• Triunghiurile $AMD$ și $BMC$ au $AD=BC$ și unghiurile alăturate acestor laturi congruente, deci sunt congruente (cazul unghi–latură–unghi) și $MA=MB$.

Așadar $M$ e mijlocul lui $AB$.

b) Cum $AB\ne CD$, laturile neparalele se intersectează într-un punct $N$, de partea bazei mici: $D$ e între $A$ și $N$, iar $C$ între $B$ și $N$.

• Coliniaritatea. În trapezul isoscel, $OA=OB$ (triunghiurile $ABD$ și $BAC$ sunt congruente), deci $O$ e pe mediatoarea lui $AB$. Triunghiul $ANB$ e isoscel ($\sphericalangle NAB\equiv \sphericalangle NBA$), deci și $N$ e pe mediatoarea lui $AB$. Mediatoarea trece prin mijlocul $M$, deci $N$, $O$, $M$ sunt pe aceeași dreaptă, perpendiculară pe $AB$.
• Unghiul drept. Din a), $MA=MB=MC=MD$, deci $C$ (și $D$) e pe cercul de diametru $AB$, iar $\sphericalangle ACB=90^{\circ }$. Cum $C$ e între $B$ și $N$, și $\sphericalangle NCO=\sphericalangle NCA=90^{\circ }$.
• Asemănarea. Triunghiurile $NCO$ și $NMB$ au câte un unghi drept ($\sphericalangle NCO$ și $\sphericalangle NMB$) și unghiul din $N$ comun, deci $\Delta NCO\sim \Delta NMB$ și $\frac{CN}{MN}=\frac{OC}{MB}$. Dar $OC=OD$ (trapez isoscel) și $MB=MD$, deci $\frac{CN}{MN}=\frac{OD}{MD}$.

Subiectul I.3: polinomul cu rădăcini nenegative

a) Relațiile lui Viète pentru $X^3-X^2+aX+b$: $x_1+x_2+x_3=1$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=a$, $x_1{x}_2{x}_3=-b$. Numitorul comun este $$(1+x_1)(1+x_2)(1+x_3)=1+1+a-b=2+a-b,$$ nenul tocmai din ipoteza $a-b\ne -2$. (Altfel spus, $(1+x_1)(1+x_2)(1+x_3)=-f(-1)$, iar ipoteza spune că $-1$ nu e rădăcină a lui $f$.) Numărătorul este $(1+x_2)(1+x_3)+(1+x_1)(1+x_3)+(1+x_1)(1+x_2)=3+2\cdot 1+a=5+a$. Din $\frac{5+a}{2+a-b}=1$ rezultă $5+a=2+a-b$, deci $b=-3$, oricare ar fi $a$.

b) Polinomul e monic, deci $f(X)=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)$ și $f(1)=(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)$. Pe de altă parte, $f(1)=1-1+a+b=a+b$.

Rădăcinile sunt nenegative și au suma $1$, deci fiecare e cel mult $1$, iar numerele $1-x_k$ sunt nenegative, cu suma $3-1=2$. Inegalitatea mediilor (geometrică ≤ aritmetică) pentru trei numere nenegative dă $$\sqrt[3]{(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)}\le \frac{2}{3},\text{deci}a+b\le \frac{8}{27}.$$ Egalitatea se atinge pentru $x_1=x_2=x_3=\frac{1}{3}$, adică $f={\left(X-\frac{1}{3}\right)}^3$, cu $a=\frac{1}{3}$, $b=-\frac{1}{27}$ (și $a-b=\frac{10}{27}\ne -2$), deci $\frac{8}{27}$ e chiar valoarea maximă.

Subiectul I.4: logaritmul și șirul de integrale

a) Fie $g(x)=\ln (x+1)-x$ pe $(-1,+\infty )$. Atunci $g^{\prime }(x)=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}$: pozitivă pe $(-1,0)$, negativă pe $(0,+\infty )$. Deci $g$ crește până în $0$ și scade după, iar maximul ei este $g(0)=0$. Rezultă $g(x)\le 0$, adică $\ln (x+1)\le x$, pe tot domeniul.

b) Pe $[a,1]$, cu $0<a<1$, avem $x>0$ și $x^{2n}\ge 0$, deci $f\left(x^{2n}\right)=\ln \left(1+x^{2n}\right)\ge 0$ și integrandul e nenegativ: $I_n\ge 0$. Din a), aplicată numărului $x^{2n}>-1$, $f\left(x^{2n}\right)\le x^{2n}$, deci $\frac{f\left(x^{2n}\right)}{x^n}\le x^n$ și $$0\le I_n\le {\int }_a^1{x}^{n}dx=\frac{1-a^{n+1}}{n+1}<\frac{1}{n+1}.$$ Cum $\frac{1}{n+1}\to 0$, din criteriul cleștelui, $I_n\to 0$.

Unde se pierd puncte la specialitate

În 2023 baremul nu acorda alte punctaje intermediare decât cele precizate explicit, așa că punctajul fiecărui rând de mai jos nu se împarte:

• I.1.b: egalitatea $(a_1+2r{)}^2=a_1(a_1+9r)$ (3 puncte), simplificarea prin $r$, cu $r\ne 0$, până la $4r=5a_1$ (2 puncte), cele trei numere $8$, $28$, $98$ (3 puncte).
• I.2.a: trapezul isoscel din diagonalele congruente (4 puncte), apoi triunghiurile isoscele $AMD$ și $BMC$ și congruența lor (3 puncte).
• I.2.b: coliniaritatea punctelor $N$, $O$, $M$ (3 puncte), unghiul drept din $C$ (2 puncte), asemănarea triunghiurilor $NCO$ și $NMB$ (3 puncte).
• I.3.b: semnul factorilor, $1-x_k\ge 0$, are rândul lui de 2 puncte, înaintea inegalității mediilor.
• I.4.b: marginea de jos, $I_n\ge 0$, valorează 3 puncte; fără ea, majorarea $I_n<\frac{1}{n+1}$ nu ajunge pentru limită.

Din rigoare (baremul nu le cere): congruența unghi–latură–unghi a triunghiurilor $AMD$ și $BMC$ și poziția punctului $N$, de partea bazei mici, la I.2; de ce numitorul $2+a-b$ nu se anulează (ipoteza $a-b\ne -2$) la I.3.a; faptul că $\frac{8}{27}$ se și atinge, la I.3.b. Sunt în rezolvare pentru o demonstrație întreagă; nota se dă după barem.

Subiectul al II-lea: modelul nostru de răspuns la metodică

Baremul nu conține itemi-model; punctează orice item care îndeplinește cele cinci criterii. Mai jos e o variantă de răspuns, construită pe fiecare criteriu. Cei trei itemi alcătuiesc o probă scurtă pentru finalul unității „Intervale de numere reale. Inecuații în ℝ”, cu 20 + 20 + 50 = 90 de puncte și 10 din oficiu, pe care o poți folosi și la clasă.

Ce acoperă itemii. Unitatea are trei conținuturi: mulțimile definite printr-o proprietate, intervalele cu operațiile lor și inecuațiile de gradul întâi. Am ales o inecuație cu coeficientul lui $x$ negativ, o inecuație cu modul (activitate dată explicit în secvență, la 4.1) și o situație practică în care se modelează, se rezolvă și se interpretează o inecuație, cu un interval la final.

Itemul 1, de tip completare (20 de puncte)

• Competența specifică: 5.1. Interpretarea unei situații date utilizând intervale și inecuații.
• Activitatea din programă: „Rezolvarea unor inecuații de forma $ax+b<0$, $(>,\le ,\ge )$, unde $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, $b\in \mathbb{R}$”.
• Itemul: Completați spațiul punctat cu răspunsul corect. Cel mai mare număr întreg care verifică inecuația $-3x+11\ge 0$ este egal cu $\dots \dots$
• Răspunsul așteptat (barem): $3$ — 20 de puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.
• Formatul: un enunț incomplet, cu un singur loc gol, la final; răspunsul e un singur număr întreg.
• De ce e corect: $-3x\ge -11$; împărțind la $-3$, sensul inegalității se schimbă: $x\le \frac{11}{3}=3,(6)$. Cel mai mare întreg din $\left(-\infty ,\frac{11}{3}\right]$ este $3$. Greșelile tipice: $4$ (rotunjirea lui $3,(6)$ în sus); fără schimbarea sensului, elevul obține $x\ge \frac{11}{3}$ și nu mai găsește un „cel mai mare” număr, ceea ce îl obligă să-și verifice calculul.

Itemul 2, de tip alegere multiplă (20 de puncte)

• Competența specifică: 4.1. Folosirea terminologiei aferente noțiunilor de mulțime, de interval numeric și de inecuații.

• Activitatea din programă: „Rezolvarea unei inecuații de forma $\left|ax+b\right|<c$, $(\le )$, unde $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, $b$, $c\in \mathbb{R}$”.

• Itemul: Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect. Mulțimea soluțiilor reale ale inecuației $\left|2x-1\right|\le 5$ este:

  A. $[-2,3]$ B. $(-2,3)$ C. $(-\infty ,3]$ D. $[-3,2]$

• Răspunsul așteptat (barem): A — 20 de puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.

• Formatul: o premisă și patru variante, una singură corectă; fiecare variantă greșită vine dintr-o greșeală anume.

• De ce e corect: $\left|2x-1\right|\le 5⟺-5\le 2x-1\le 5⟺-4\le 2x\le 6⟺-2\le x\le 3$, adică intervalul închis $[-2,3]$. Distractorii: B (capetele excluse, deși inegalitatea e nestrictă), C (doar inegalitatea $2x-1\le 5$, fără cealaltă), D (semnul lui $1$ schimbat, ca la $\left|2x+1\right|\le 5$).

Itemul 3, de tip întrebare structurată (50 de puncte)

Materialul comun: O sală de sport oferă două abonamente lunare. Abonamentul A costă $100$ de lei pe lună, cu intrări nelimitate. Abonamentul B costă $40$ de lei pe lună, plus $8$ lei pentru fiecare intrare. Notăm cu $x$ numărul de intrări dintr-o lună.

• a) Scrieți inecuația care exprimă faptul că, pentru $x$ intrări, abonamentul B nu costă mai mult decât abonamentul A.
• b) Determinați mulțimea numerelor de intrări pentru care abonamentul B nu costă mai mult decât abonamentul A.
• c) Ana merge la sală de cel puțin $8$ și cel mult $13$ ori pe lună. Arătați că, pentru Ana, costul abonamentului B aparține intervalului $[104,144]$ și stabiliți ce abonament îi convine.

Răspunsul așteptat (barem):

• a) $40+8x\le 100$ — 10 puncte;
• b) $8x\le 60$ — 5 puncte; $x\le 7,5$ — 5 puncte; $x$ e număr natural, deci $x\in \{0,1,2,\dots ,7\}$ — 10 puncte;
• c) din $8\le x\le 13$: $64\le 8x\le 104$ — 5 puncte; $104\le 40+8x\le 144$, deci costul aparține intervalului $[104,144]$ — 5 puncte; cum $104>100$, abonamentul B costă mai mult decât A pentru orice număr de intrări al Anei, deci îi convine abonamentul A — 10 puncte.

Formatul: un material comun și trei cerințe legate de el, cu dificultate crescătoare; c) se rezolvă independent de b), deci o greșeală la b) nu blochează c). Fiecare cerință are competența și activitatea ei, din blocul aceleiași competențe.

De ce e corect: a) traduce „nu costă mai mult” prin „$\le$”. b) Soluția inecuației este $x\le 7,5$, dar numărul de intrări e natural, deci mulțimea e finită, cu 8 elemente. c) Adunând $40$ la toți membrii dublei inegalități, sensul se păstrează; tot intervalul $[104,144]$ e la dreapta lui $100$, deci comparația e valabilă pentru fiecare lună a Anei.

Proba la clasă și standardele din 2026

Standardele naționale de evaluare au apărut în Monitorul Oficial nr. 674 bis din 14.08.2026 (OMEC nr. 4615/04.08.2026), la peste trei ani după proba din 19 iulie 2023, așa că baremul nu le-a putut folosi. La clasă contează din 2026–2027. Fiecare item, lângă standardul cel mai apropiat (descriptorii de la paginile 928–929 ale Monitorului):

Potrivirea dintre competența declarată (din activitatea secvenței) și standard nu e mereu aceeași: la itemul 1, activitatea e la 5.1, dar standardul care descrie rezolvarea inecuației e la VIII.CS.3.1; la 3 a), activitatea de modelare e la 6.1, iar descriptorul „cel mult egal” e la VIII.CS.5.1. Descriptorii tuturor claselor: standardele de evaluare la matematică.

Greșeli frecvente la Subiectul al II-lea

• Trei itemi pe același conținut, de exemplu trei inecuații: evaluarea e la finalul întregii unități, deci e bine ca itemii să atingă și intervalele, și mulțimile definite printr-o proprietate.
• La întrebarea structurată, o singură competență pentru toate cerințele: baremul vorbește chiar de „competenței/competențelor”; dacă declari mai multe, dă pentru fiecare activitatea din blocul ei.
• Cerințe înlănțuite la întrebarea structurată, în care o greșeală la b) face imposibil c): e bine ca fiecare cerință să poată fi rezolvată și separat.
• Completare cu mai multe răspunsuri bune („un număr care verifică inecuația $x<2$ este …”): rândul „respectarea formatului” cere, de regulă, un singur răspuns corect.
• Două variante corecte la alegerea multiplă, de exemplu $[-2,3]$ și $\{x\in \mathbb{R}\mid -2\le x\le 3\}$ printre variante: tot rândul de format. Distractorii buni vin din greșeli reale (capete incluse sau nu, sensul inegalității).
• Baremul doar cu rezultatul final: răspunsul așteptat valorează 3 puncte din 10, iar o întrebare structurată se notează mai ușor și mai corect cu puncte pe fiecare cerință și pe etape.

Materiale pentru unitate

• Competențele și conținuturile clasei a VIII-a: programa clasei a VIII-a.
• Lecțiile capitolului: intervale mărginite, intervale nemărginite, intersecția intervalelor, reuniunea intervalelor, noțiunea de inecuație, rezolvarea prin transformări echivalente, probleme cu inecuații.
• Teste pe capitol pentru elevi: mulțimi și intervale, rezolvarea inecuațiilor, probleme cu inecuații.
• Aceeași unitate a fost cerută și la titularizarea din 2022, cu cinci itemi: titularizare matematică 2022.

Întrebări frecvente

Unde găsesc subiectul și baremul oficial de la definitivat matematică 2023?

Gazda oficială, subiecte2023.edu.ro, nu mai răspunde la 17.10.2026. Arhiva oficială DEFINITIVAT_2023.zip (aproximativ 25 MB, cu toate disciplinele) se găsește în copia păstrată de Internet Archive (web.archive.org), captura din 17 iulie 2024, pe care am verificat-o: dimensiunea și data fișierului coincid cu cele de pe serverul oficial, iar PDF-urile au antetul CNPEE și data probei. Fișierele de matematică sunt Def_109_Matematica_2023_var_03_LRO.pdf și Def_109_Matematica_2023_bar_03_LRO.pdf. Pe pagina aceasta sunt transcrise integral.

Din ce clasă a fost metodica la definitivat matematică 2023?

Din clasa a VIII-a. Secvența vine din programa școlară a clasei a VIII-a (OMEN nr. 3393/28.02.2017): competențele 1.1–6.1 și capitolul „Intervale de numere reale. Inecuații în ℝ”. Se cer trei itemi, de completare, de alegere multiplă și o întrebare structurată, pentru o evaluare la finalul unității.

Unde se pierd cele mai multe puncte la definitivatul la matematică din 2023?

În 2023 baremul nu dădea alte punctaje intermediare decât cele scrise, deci contează fiecare rând. La progresii, simplificarea prin rație, care cere ca rația să fie nenulă. La trapez, coliniaritatea punctelor N, O, M și unghiul drept din C, înaintea asemănării. La polinom, faptul că factorii 1 − x sunt nenegativi, înaintea inegalității mediilor. La limita integralelor, marginea de jos, I(n) ≥ 0. La metodică, un răspuns neunic la completare sau două variante corecte la alegerea multiplă pierd din punctele de format.

Mai departe

• Definitivat matematică: subiecte, programă și nota finală: etapele examenului, nota finală și toți anii.
• Definitivat matematică 2024 și 2022: probele vecine, rezolvate la fel.
• Calculatorul de medie la definitivat: nota finală și nota necesară la proba scrisă.
• Titularizare matematică 2023: proba din același an la titularizare.

Sursele

• Subiectul și baremul: Ministerul Educației, Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, „Examenul național pentru definitivare în învățământul preuniversitar, 19 iulie 2023, Probă scrisă, Matematică, Varianta 3”, subiect și barem, arhiva DEFINITIVAT_2023.zip de pe subiecte2023.edu.ro, în copia păstrată de Internet Archive (captura din 17.07.2024, SHA-256 46111f8949039788f0e9f2202464b7471d05ec9f14ef7291231a62fd3ac15bdf).
• Metodologia: OMEC nr. 5434/2020 (Metodologia-cadru de organizare și desfășurare a examenului național pentru definitivare în învățământul preuniversitar), modificată prin OME nr. 5722/2022, art. 35, în forma publicată pe definitivat.edu.ro.
• Programa școlară de matematică pentru gimnaziu: anexa 2 la OMEN nr. 3393/28.02.2017.
• Standardele de evaluare: anexa 29 la OMEC nr. 4615/04.08.2026, Monitorul Oficial, Partea I, nr. 674 bis din 14.08.2026, p. 928–929.

Verificat de noi pe 17.10.2026: subiectul și baremul le-am citit pe imaginea paginilor, pentru că textul extras din PDF pierde simbolurile: congruența $\Delta AMC\equiv \Delta DMB$ din enunț, semnul $\ne$ din condiția $a-b\ne -2$, $\mathbb{R}$ și semnele de inegalitate din secvența din programă apar corect numai în imagine, iar simbolurile de triunghi din baremul de la I.2, invers, numai în text. Rezolvarea, inclusiv geometria pe coordonate, cei trei itemi și suma punctajelor lor sunt recalculate cu un program de calcul simbolic.