Subiecte titularizare matematică 2022: barem și rezolvare pas cu pas

Pe scurt: proba scrisă de matematică de la titularizarea din 2022 (concursul național de ocupare a posturilor didactice) s-a dat pe 13 iulie 2022 și a durat 4 ore. Are trei subiecte de câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Subiectele I și II sunt de specialitate: o expresie cu numere complexe, geometrie sintetică în triunghiul dreptunghic (bisectoare, centrul cercului înscris), un grup în care $x^n=e$ și o funcție cu logaritm (asimptota oblică, tangenta, limita unui șir de arii). Subiectul al III-lea e de didactică: o probă de evaluare cu cinci itemi la finalul unității „Intervale de numere reale. Inecuații în ℝ” de la clasa a VIII-a, cu un avantaj și un dezavantaj pentru fiecare tip de item. Pe pagină: subiectul transcris exact, baremul oficial publicat de Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE) și rezolvarea noastră completă, cu un model de răspuns la didactică.

Actualizat: 17 octombrie 2026.

Pe pagină: Structura probei · Subiectul · Baremul oficial · Rezolvarea · Didactica: model de răspuns · Întrebări frecvente

Structura probei din 2022

Baremul din 2022 precizează că nota se obține împărțind la 10 punctajul total al lucrării. Proba s-a dat după metodologia sesiunii 2022. Cum se combină notele celor doi evaluatori și cum intră nota la proba scrisă în media de repartizare, după regulile sesiunii 2026, e explicat pe pagina titularizării la matematică. Media se poate calcula cu calculatorul de medie la titularizare.

De unde avem documentele. Arhiva oficială a sesiunii 2022 era pe subiecte2022.edu.ro, o gazdă care nu mai răspunde: la 17.10.2026 numele ei de domeniu nu mai există. Am folosit copia arhivei oficiale păstrată de Internet Archive (web.archive.org), verificată de noi pe 17.10.2026: Titularizare_2022.zip, captura din 20 iunie 2023 (aproximativ 30 MB, toate disciplinele). Ce am verificat:

• copia are exact dimensiunea fișierului de pe serverul oficial, așa cum a înregistrat-o Internet Archive (30.457.201 octeți), iar serverul îl modificase ultima oară pe 13 iulie 2022, ziua probei; arhiva se dezarhivează fără erori;
• fișierele de matematică, Tit_109_Matematica_P_2022_var_03_LRO.pdf (subiectul) și Tit_109_Matematica_P_2022_bar_03_LRO.pdf (baremul), poartă antetul Ministerului Educației și al CNPEE și au fost create pe 13 iulie 2022;
• amprenta SHA-256 a arhivei este 2435b4dc3156d6da4eafd47a53ddcaff2906851c15cd11da73613bd6b84b53d0.

Am transcris Varianta 3, adică varianta pe care CNPEE a publicat-o în arhiva oficială. Pe pagină e proba reală din 13 iulie 2022, nu un model de subiect.

Exersează în condiții de examen: pornește un cronometru de 4 ore, rezolvă doar secțiunea Subiectul oficial (o poți și tipări), apoi compară, cerință cu cerință, cu baremul și cu rezolvarea.

Subiectul oficial (Varianta 3)

Concursul național de ocupare a posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate din învățământul preuniversitar, 13 iulie 2022. Probă scrisă. Matematică. Varianta 3.

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de patru ore.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Se consideră expresia $E(z)=\frac{z}{z^2+3z+1}$, unde $z\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}$.

• (5p) a) Determinați numerele $z\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}$ pentru care $E(z)=\frac{1}{3}$.
• (5p) b) Arătați că, pentru orice $z\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}$ cu proprietatea $|z|=1$, numărul $E(z)$ este real.
• (5p) c) Demonstrați că, dacă $E(z)$ este număr real, atunci $|z|=1$.

2. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$. Bisectoarele $BM$ și $CN$, cu $M\in AC$, $N\in AB$, ale unghiurilor $ABC$, respectiv $ACB$, se intersectează în $I$. Punctul $P$ este mijlocul segmentului $MN$ și punctul $D$ este situat pe $BC$ astfel încât $MD\perp BC$.

• (5p) a) Arătați că semidreapta $MB$ este bisectoarea unghiului $AMD$.
• (5p) b) Demonstrați că $AI=DI$.
• (5p) c) Demonstrați că dreptele $PI$ și $BC$ sunt perpendiculare.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră numărul natural $n$, $n\ge 2$ și $(G,\circ )$ un grup cu proprietatea că $x^n=e$, pentru orice $x\in G$, unde $e$ este elementul neutru al grupului $(G,\circ )$ și $x^k=\underset{\text{de }k\text{ ori }x}{\underbrace{x\circ x\circ \dots \circ x}}$, $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

• (5p) a) Arătați că, dacă $x\in G$, atunci simetricul lui $x$ în raport cu legea de compoziție „$\circ$” este $x^{n-1}$.
• (5p) b) Demonstrați că, dacă $n=2$, atunci grupul $(G,\circ )$ este comutativ.
• (5p) c) Se consideră $f:\mathbb{Q}\to G$, un morfism de la grupul $(\mathbb{Q},+)$ la grupul $(G,\circ )$. Arătați că $f(x)=e$, pentru orice număr rațional $x$.

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\ln \frac{x^2+1}{x^2+2}$.

• (5p) a) Arătați că $f^{\prime }(x)=1+\frac{2x}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+2\right)}$, $x\in \mathbb{R}$.
• (5p) b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$, care este paralelă cu asimptota oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.
• (5p) c) Pentru fiecare $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, se notează cu $S_n$ aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)-x+\ln \left(x^2+2\right)$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=n$. Demonstrați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{1}{n}{S}_n\right)=+\infty$.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Următoarea secvență face parte din programa școlară de matematică pentru clasa a VIII-a.

Competențe specifice și exemple de activități de învățare

Clasa a VIII-a

1.1. Recunoașterea apartenenței unui număr real la o mulțime

• Reprezentarea pe axa numerelor a intervalelor de numere reale
• Reprezentarea pe axa numerelor a intervalelor făcând legătura între tipurile de intervale și submulțimile dreptei
• Identificarea apartenenței unui element la o mulțime definită printr-o proprietate a elementelor ei

2.1. Efectuarea unor operații cu intervale numerice reprezentate pe axa numerelor sau cu mulțimi definite printr-o proprietate a elementelor ei

• Reprezentarea pe axa numerelor a intersecției a două intervale
• Reprezentarea pe axa numerelor a reuniunii a două intervale cu intersecția nevidă
• Verificarea faptului că un număr este soluția unei inecuații
• Verificarea apartenenței unui obiect la o mulțime pe baza unei/unor proprietăți a/ale elementelor acesteia

3.1. Utilizarea unor procedee matematice pentru operații cu intervale și rezolvarea inecuațiilor în $\mathbb{R}$

• Aproximarea numerelor reale pentru reprezentarea unor intervale
• Reprezentarea unui interval sub forme echivalente (notație, reprezentarea pe axa numerelor)
• Transformarea unei inecuații într-o inecuație echivalentă folosind proprietățile relației de ordine

4.1. Folosirea terminologiei aferente noțiunilor de mulțime, de interval numeric și de inecuații

• Utilizarea terminologiei specifice intervalelor de numere reale în contexte interdisciplinare
• Rezolvarea unei inecuații de forma $|ax+b|<c$ $(\le )$, unde $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, $b,c\in \mathbb{R}$
• Selectarea, dintr-o mulțime dată, a elementelor care verifică o condiție suplimentară

5.1. Interpretarea unei situații date utilizând intervale și inecuații

• Rezolvarea unor inecuații de forma $ax+b<0$, $(>,\le ,\ge )$, unde $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, $b\in \mathbb{R}$
• Descrierea mulțimii soluțiilor unei probleme printr-o proprietate care le caracterizează
• Rezolvarea de inecuații de forma $\frac{a}{bx+c}<0$, $(>,\le ,\ge )$, unde $a,b\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, $c\in \mathbb{R}$

6.1. Rezolvarea unor situații date, utilizând intervale numerice sau inecuații

• Estimarea erorii unui calcul aproximativ cu numere reale
• Utilizarea de estimări pentru a compara/ordona numere reale în diferite contexte
• Modelarea unei situații concrete utilizând inecuații studiate
• Interpretarea soluțiilor unei inecuații în rezolvarea unor probleme concrete

[…]

Notă: Conținuturile vor fi abordate din perspectiva competențelor specifice. Activitățile de învățare sugerate oferă o imagine posibilă privind contextele de formare/dezvoltare a acestor competențe.

(Programa școlară pentru disciplina Matematică, OMEN nr. 3393/28.02.2017)

Folosind informațiile din secvența de mai sus, în vederea evaluării formării/dezvoltării competențelor specifice precizate, elaborați o probă de evaluare la finalul unității de învățare „Intervale de numere reale. Inecuații în $\mathbb{R}$”, care să cuprindă cinci itemi: un item de completare, un item cu răspuns scurt, un item de tip alegere multiplă, un item de tip întrebare structurată și un item de tip rezolvare de probleme.

Pentru fiecare item propus:

• menționați competența specifică evaluată;
• menționați activitatea de învățare în cadrul căreia ați utiliza acest item;
• precizați un avantaj al utilizării acestui tip de item;
• precizați un dezavantaj al utilizării acestui tip de item;
• respectați formatul tipului de item;
• respectați corectitudinea științifică, inclusiv a răspunsului așteptat.

Baremul oficial de evaluare și de notare

Concursul național de ocupare a posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate din învățământul preuniversitar, 13 iulie 2022. Probă scrisă. Matematică. Varianta 3. Barem de evaluare și de notare.

Reguli generale, din barem:

• Se punctează orice modalitate de rezolvare corectă a cerințelor, în limita punctajului maxim corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.

Subiectul I (30 de puncte)

1. a)

• $\frac{z}{z^2+3z+1}=\frac{1}{3}$, deci $z^2+1=0$ — 3p
• $z_1=i$, $z_2=-i$, care convin — 2p

1. b)

• $|z|=1$, deci $z\overline{z}=1$, de unde obținem $\overline{z}=\frac{1}{z}$ — 2p
• $\overline{E(z)}=\frac{\overline{z}}{{\overline{z}}^2+3\overline{z}+1}=\frac{\frac{1}{z}}{\frac{1}{z^2}+\frac{3}{z}+1}=\frac{z}{z^2+3z+1}=E(z)$, deci $E(z)\in \mathbb{R}$, pentru orice $z\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}$ cu proprietatea $|z|=1$ — 3p

1. c)

• $E(z)\in \mathbb{R}\Rightarrow E(z)=\overline{E(z)}\Rightarrow \frac{z}{z^2+3z+1}=\frac{\overline{z}}{{\overline{z}}^2+3\overline{z}+1}\Rightarrow {\overline{z}}^2\cdot z+3z\cdot \overline{z}+z=z^2\cdot \overline{z}+3\overline{z}\cdot z+\overline{z}$ — 2p
• $\overline{z}\cdot z\left(\overline{z}-z\right)+\left(z-\overline{z}\right)=0\Rightarrow \left(\overline{z}\cdot z-1\right)\left(\overline{z}-z\right)=0$ și, cum $\overline{z}\ne z$, obținem $\overline{z}\cdot z=1$, deci $|z|=1$ — 3p

2. a)

• Semidreapta $BM$ este bisectoarea $\sphericalangle ABC\Rightarrow \sphericalangle ABM\equiv \sphericalangle DBM$ — 2p
• Cum unghiurile $ABM$ și $AMB$ sunt complementare și unghiurile $DBM$ și $DMB$ sunt complementare, obținem $\sphericalangle AMB\equiv \sphericalangle DMB$, deci semidreapta $MB$ este bisectoarea unghiului $AMD$ — 3p

2. b)

• Semidreapta $BM$ este bisectoarea $\sphericalangle ABC$, $MA\perp AB$ și $MD\perp BC$, deci $MA=MD$ — 2p
• $\Delta AMI\equiv \Delta DMI$, deoarece $AM=DM$, $MI=MI$ și $\sphericalangle AMI\equiv \sphericalangle DMI$, deci $AI=DI$ — 3p

2. c)

• Pentru $E\in BC$ astfel încât $NE\perp BC$ obținem că $\Delta ANI\equiv \Delta ENI$, deci $AI=EI$, de unde obținem $EI=DI$, deci $IQ\perp BC$, unde punctul $Q$ este mijlocul segmentului $DE$ — 3p
• $PQ$ este linie mijlocie în trapezul $DMNE$, deci $PQ\parallel MD\Rightarrow PQ\perp BC$, de unde obținem că punctele $P$, $I$ și $Q$ sunt coliniare, deci $PI\perp BC$ — 2p

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. a)

• $x\circ x^{n-1}=x\circ \underset{\text{de }n-1\text{ ori }x}{\underbrace{x\circ x\circ \dots \circ x}}=\underset{\text{de }n\text{ ori }x}{\underbrace{x\circ x\circ \dots \circ x}}=x^n=e$, pentru orice $x\in G$ — 2p
• $x^{n-1}\circ x=\underset{\text{de }n-1\text{ ori }x}{\underbrace{x\circ x\circ \dots \circ x}}\circ x=\underset{\text{de }n\text{ ori }x}{\underbrace{x\circ x\circ \dots \circ x}}=x^n=e$, pentru orice $x\in G$, deci $x^{n-1}$ este simetricul lui $x$ în raport cu legea de compoziție „$\circ$” — 3p

1. b)

• $x^2=e$, pentru orice $x\in G$, deci $(x\circ y{)}^2=e$, pentru orice $x,y\in G$ — 2p
• $x\circ y\circ x\circ y=e\Rightarrow x^2\circ y\circ x\circ y=x\circ e\Rightarrow y\circ x\circ y=x\Rightarrow x\circ y=y\circ x$, pentru orice $x,y\in G$, deci grupul $(G,\circ )$ este comutativ — 3p

1. c)

• $x\in \mathbb{Q}\Rightarrow f(x)=f\left(n\cdot \frac{x}{n}\right)=f\left(\underset{\text{de }n\text{ ori }\frac{x}{n}}{\underbrace{\frac{x}{n}+\frac{x}{n}+\dots +\frac{x}{n}}}\right)=\underset{\text{de }n\text{ ori }f\left(\frac{x}{n}\right)}{\underbrace{f\left(\frac{x}{n}\right)\circ f\left(\frac{x}{n}\right)\circ \dots \circ f\left(\frac{x}{n}\right)}}={\left(f\left(\frac{x}{n}\right)\right)}^n$ — 3p
• Cum $f\left(\frac{x}{n}\right)\in G\Rightarrow {\left(f\left(\frac{x}{n}\right)\right)}^n=e$, deci $f(x)=e$, pentru orice număr rațional $x$ — 2p

2. a)

• $f^{\prime }(x)={\left(x+\ln \left(x^2+1\right)-\ln \left(x^2+2\right)\right)}^{\prime }=1+\frac{2x}{x^2+1}-\frac{2x}{x^2+2}=$ — 3p
• $=1+2x\left(\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+2}\right)=1+\frac{2x}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+2\right)}$, $x\in \mathbb{R}$ — 2p

2. b)

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+\ln \frac{x^2+1}{x^2+2}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{1}{x}\ln \frac{x^2+1}{x^2+2}\right)=1$, deci panta asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ este egală cu $1$ — 2p
• $f^{\prime }(a)=1\iff a=0$ și, cum $f(0)=\ln \frac{1}{2}$, obținem că $y=x+\ln \frac{1}{2}$ este ecuația tangentei la graficul funcției $f$, care este paralelă cu asimptota oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ — 3p

2. c)

• $g(x)=\ln \left(x^2+1\right)\Rightarrow S_n={\int }_0^n\left|g(x)\right|dx={\int }_0^n\ln \left(x^2+1\right)dx=x\ln \left(x^2+1\right){|}_0^n-{\int }_0^n\frac{2x^2}{x^2+1}dx=$ — 2p
• $=n\ln \left(n^2+1\right)-2n+2\mathrm{arctg}n$, deci $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{1}{n}{S}_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\ln \left(n^2+1\right)-2+\frac{2}{n}\mathrm{arctg}n\right)=+\infty$ — 3p

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Itemul de completare elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• precizarea unui avantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• precizarea unui dezavantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• respectarea corectitudinii științifice, inclusiv a răspunsului așteptat — 1p

Itemul cu răspuns scurt elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• precizarea unui avantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• precizarea unui dezavantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• respectarea corectitudinii științifice, inclusiv a răspunsului așteptat — 1p

Itemul de tip alegere multiplă elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• precizarea unui avantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• precizarea unui dezavantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• respectarea corectitudinii științifice, inclusiv a răspunsului așteptat — 1p

Itemul de tip întrebare structurată elaborat:

• menționarea competenței/competențelor specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• precizarea unui avantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• precizarea unui dezavantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• respectarea corectitudinii științifice, inclusiv a răspunsului așteptat — 1p

Itemul de tip rezolvare de probleme elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• precizarea unui avantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• precizarea unui dezavantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• respectarea corectitudinii științifice, inclusiv a răspunsului așteptat — 1p

Rezolvarea noastră, pas cu pas

Rezolvările urmează baremul. Acolo unde baremul sare o justificare (de ce o expresie are sens, unde se află punctele în figură, de ce o dreaptă e chiar asimptotă), o scriem, din rigoare: corectorul notează după barem, dar demonstrația e completă abia cu ea. Fiecare rezultat de mai jos a fost refăcut independent, prin calcul simbolic.

Subiectul I.1: expresia cu numere complexe

De ce e bine definită $E$. Ecuația $z^2+3z+1=0$ are discriminantul $9-4=5>0$, deci rădăcinile ei, $\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$, sunt reale. Pentru $z\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}$ numitorul nu se anulează, iar $E(z)$ are sens. La fel și ${\overline{z}}^2+3\overline{z}+1\ne 0$, pentru că și $\overline{z}$ e nereal.

a) $\frac{z}{z^2+3z+1}=\frac{1}{3}⟺3z=z^2+3z+1⟺z^2=-1$, deci $z=i$ sau $z=-i$. Ambele numere sunt nereale, deci convin.

b) Din $|z|=1$ avem $z\overline{z}=|z{|}^2=1$, deci $\overline{z}=\frac{1}{z}$. Conjugata unui cât e câtul conjugatelor, deci $$\overline{E(z)}=\frac{\overline{z}}{{\overline{z}}^2+3\overline{z}+1}=\frac{\frac{1}{z}}{\frac{1}{z^2}+\frac{3}{z}+1}=\frac{z}{1+3z+z^2}=E(z),$$ după amplificarea cu $z^2$. Un număr egal cu conjugatul său e real.

c) Dacă $E(z)\in \mathbb{R}$, atunci $E(z)=\overline{E(z)}$. Numitorii sunt nenuli (vezi mai sus), deci putem înmulți „în cruce”: $$z\left({\overline{z}}^2+3\overline{z}+1\right)=\overline{z}\left(z^2+3z+1\right)⟺z{\overline{z}}^2+z-\overline{z}{z}^2-\overline{z}=0⟺\left(z\overline{z}-1\right)\left(\overline{z}-z\right)=0.$$ Cum $z\notin \mathbb{R}$, $\overline{z}\ne z$, deci $z\overline{z}=1$, adică $|z|=1$.

O cale scurtă, pentru verificare. $E(z)\ne 0$ (căci $z\ne 0$), iar $\frac{1}{E(z)}=z+3+\frac{1}{z}$. Cu $z=x+iy$, $y\ne 0$, partea imaginară a lui $z+\frac{1}{z}$ este $y\left(1-\frac{1}{x^2+y^2}\right)$, nulă exact când $x^2+y^2=1$. Deci, pentru $z$ nereal, $E(z)$ e real exact când $|z|=1$: b) și c) sunt cele două sensuri ale aceleiași echivalențe.

Subiectul I.2: bisectoarele în triunghiul dreptunghic

Notații și figura. Fie $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$. Unghiurile $B$ și $C$ sunt ascuțite, deci piciorul perpendicularei din $M$ pe $BC$ cade pe segmentul $BC$: punctul $D$ e pe latura $BC$. $I$ e centrul cercului înscris, pe segmentele $BM$ și $CN$.

a) În triunghiul $ABM$, dreptunghic în $A$, unghiurile $ABM$ și $AMB$ sunt complementare. În triunghiul $DBM$, dreptunghic în $D$, unghiurile $DBM$ și $DMB$ sunt complementare. Cum $\sphericalangle ABM\equiv \sphericalangle DBM$ ($BM$ e bisectoare), rezultă $\sphericalangle AMB\equiv \sphericalangle DMB$. Punctele $A$ și $D$ sunt de o parte și de alta a dreptei $BM$ (bisectoarea separă laturile $BA$ și $BC$), deci semidreapta $MB$ e bisectoarea unghiului $AMD$.

b) $M$ e pe bisectoarea unghiului $ABC$, deci e egal depărtat de laturile lui: $MA=MD$ ($MA\perp AB$, pentru că unghiul $A$ e drept, și $MD\perp BC$). Triunghiurile $AMI$ și $DMI$ au $AM=DM$, latura comună $MI$ și $\sphericalangle AMI\equiv \sphericalangle DMI$ (din a), pentru că $I$ e pe segmentul $MB$). Din cazul LUL, $\Delta AMI\equiv \Delta DMI$, deci $AI=DI$.

Ce mai rezultă, util la c). Triunghiurile dreptunghice $ABM$ și $DBM$ sunt congruente (ipotenuza comună, unghiuri ascuțite congruente), deci $BD=BA=c$.

c) Fie $E$ piciorul perpendicularei din $N$ pe $BC$. Exact ca la a) și b), pentru bisectoarea $CN$: $\Delta ANI\equiv \Delta ENI$, deci $AI=EI$, și $CE=CA=b$. Atunci $ID=IA=IE$.

Unde sunt $D$ și $E$, pe care baremul nu le discută. Pe segmentul $BC$: $BD=c$ și $BE=a-b$. Din inegalitatea triunghiului, $a<b+c$, deci $a-b<c$: punctul $E$ e între $B$ și $D$, iar $$DE=c-(a-b)=b+c-a>0.$$ Deci $D\ne E$, iar triunghiul $IDE$ e isoscel cu baza $DE$. Mediana $IQ$ din vârf, cu $Q$ mijlocul lui $DE$, e și înălțime: $IQ\perp BC$.

Dreptele $MD$ și $NE$ sunt ambele perpendiculare pe $BC$, deci paralele, iar $D\ne E$: patrulaterul $DMNE$ e un trapez cu bazele $MD$ și $NE$ (dreptunghi, dacă $MD=NE$, adică $b=c$). Segmentul $PQ$ unește mijloacele laturilor neparalele $MN$ și $DE$, deci e linie mijlocie: $PQ\parallel MD$, adică $PQ\perp BC$. Prin $Q$ trece o singură perpendiculară pe $BC$, deci dreptele $PQ$ și $IQ$ coincid: $P$, $I$, $Q$ sunt coliniare și $PI\perp BC$. ($P\ne I$: altfel $I$ ar fi pe $MN$, iar dreapta $MI=MB$ ar conține pe $N$, deci $N=B$, imposibil.)

O privire în plus. $BQ=BE+\frac{DE}{2}=(a-b)+\frac{b+c-a}{2}=\frac{a+c-b}{2}$, adică lungimea tangentei din $B$ la cercul înscris. Deci $Q$ e chiar punctul în care cercul înscris atinge latura $BC$, iar $IQ\perp BC$ e raza dusă în punctul de contact.

Subiectul al II-lea.1: grupul, simetricul și morfismele

a) Cum $n\ge 2$, $n-1\ge 1$ și $x^{n-1}$ are sens. Legea e asociativă, deci parantezele se pot omite: $x\circ x^{n-1}=x^n=e$ și $x^{n-1}\circ x=x^n=e$. Un element care compus cu $x$ în ambele ordini dă $e$ este simetricul lui $x$ (unic într-un grup), deci simetricul lui $x$ este $x^{n-1}$.

b) Pentru $n=2$, $x\circ x=e$ pentru orice $x$. Fie $x,y\in G$. Din $(x\circ y{)}^2=e$: $x\circ y\circ x\circ y=e$. Compunem la stânga cu $x$ și la dreapta cu $y$: $$\underset{e}{\underbrace{x\circ x}}\circ y\circ x\circ \underset{e}{\underbrace{y\circ y}}=x\circ e\circ y⟺y\circ x=x\circ y.$$ Baremul face aceeași trecere în doi pași (întâi la stânga, apoi la dreapta). Altfel: din a), fiecare element e propriul simetric, deci $x\circ y=(x\circ y{)}^{-1}=y^{-1}\circ x^{-1}=y\circ x$.

c) Fie $x\in \mathbb{Q}$. Atunci $\frac{x}{n}\in \mathbb{Q}$. Un morfism transformă suma în compunere, $f(u+v)=f(u)\circ f(v)$, iar prin inducție $f(u_1+\dots +u_n)=f(u_1)\circ \dots \circ f(u_n)$. Deci $$f(x)=f\left(\frac{x}{n}+\dots +\frac{x}{n}\right)={\left(f\left(\frac{x}{n}\right)\right)}^n=e,$$ pentru că $f\left(\frac{x}{n}\right)\in G$ și orice element al lui $G$ ridicat la puterea $n$ dă $e$. Singurul morfism de la $(\mathbb{Q},+)$ la un astfel de grup este cel constant $e$. Exemplu de grup din enunț: $({\mathbb{Z}}_n,+)$, în care $n\cdot \hat{x}=\hat{0}$.

Subiectul al II-lea.2: funcția cu logaritm

Fracția $\frac{x^2+1}{x^2+2}$ e strict pozitivă, deci $f$ e definită pe $\mathbb{R}$, iar $f(x)=x+\ln \left(x^2+1\right)-\ln \left(x^2+2\right)$.

a) $f^{\prime }(x)=1+\frac{2x}{x^2+1}-\frac{2x}{x^2+2}=1+2x\cdot \frac{\left(x^2+2\right)-\left(x^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+2\right)}=1+\frac{2x}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+2\right)}$.

b) Panta: $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=1+\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}\ln \frac{x^2+1}{x^2+2}=1+0\cdot \ln 1=1$.

Din rigoare: asimptota există. Enunțul presupune că graficul are asimptotă oblică spre $+\infty$, iar baremul calculează doar panta. Ordonata la origine este $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(f(x)-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \frac{x^2+1}{x^2+2}=\ln 1=0$, finită, deci asimptota oblică spre $+\infty$ este dreapta $y=x$.

Tangenta în punctul de abscisă $a$ e paralelă cu asimptota exact când are panta $1$: $f^{\prime }(a)=1⟺\frac{2a}{\left(a^2+1\right)\left(a^2+2\right)}=0⟺a=0$. Cum $f(0)=\ln \frac{1}{2}$, tangenta este $$y=x+\ln \frac{1}{2},\text{adica˘ }y=x-\ln 2.$$ Ea e unică și diferită de asimptota $y=x$ (ordonata la origine $-\ln 2\ne 0$), deci e chiar paralelă cu ea, nu confundată.

c) $g(x)=x+\ln \left(x^2+1\right)-\ln \left(x^2+2\right)-x+\ln \left(x^2+2\right)=\ln \left(x^2+1\right)$. Cum $x^2+1\ge 1$, $g(x)\ge 0$, deci aria este integrala lui $g$ (de aceea modulul din barem dispare). Integrăm prin părți: $$S_n={\int }_0^n\ln \left(x^2+1\right)dx=x\ln \left(x^2+1\right){|}_0^n-{\int }_0^n\frac{2x^2}{x^2+1}dx=n\ln \left(n^2+1\right)-{\int }_0^n\left(2-\frac{2}{x^2+1}\right)dx,$$ deci $S_n=n\ln \left(n^2+1\right)-2n+2\mathrm{arctg}n$. Atunci $$\frac{1}{n}{S}_n=\ln \left(n^2+1\right)-2+\frac{2\mathrm{arctg}n}{n}.$$ Cum $0<\mathrm{arctg}n<\frac{\pi }{2}$, ultimul termen tinde la $0$, iar $\ln \left(n^2+1\right)\to +\infty$. Deci $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}{S}_n=+\infty$.

Unde se pierd puncte la specialitate

Aici sunt doar pașii pe care baremul îi punctează explicit:

• I.1.a: rândul de 2 puncte se încheie cu „care convin”: soluțiile $\pm i$ trebuie confruntate cu condiția $z\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}$.
• I.1.c: rândul de 3 puncte cere $\overline{z}\ne z$ înainte de împărțirea la $\overline{z}-z$; fără el, concluzia $|z|=1$ nu rezultă.
• I.2.c: rândul de 3 puncte cere punctul ajutător $E$ și egalitatea $EI=DI$; rândul de 2 puncte cere coliniaritatea lui $P$, $I$, $Q$, nu doar $PQ\perp BC$.
• II.1.c: rândul de 3 puncte cere scrierea lui $x$ ca sumă de $n$ termeni egali cu $\frac{x}{n}$ și trecerea prin morfism la ${\left(f\left(\frac{x}{n}\right)\right)}^n$.
• II.2.b: rândul de 2 puncte cere panta asimptotei, calculată ca limită; tangenta cu panta $1$ ia restul de 3 puncte.
• II.2.c: rândul de 2 puncte cere simplificarea $g(x)=\ln \left(x^2+1\right)$ și integrarea prin părți.

Din rigoare (baremul nu le cere): de ce numitorii lui $E$ sunt nenuli pentru $z$ nereal (I.1); poziția punctelor $D$ și $E$ pe latura $BC$ și $D\ne E$, adică $DE=b+c-a>0$ (I.2.c); ordonata la origine a asimptotei, $n=0$ (II.2.b); $g\ge 0$, de unde aria fără modul (II.2.c). Le-am scris în rezolvare pentru o demonstrație completă; corectorul notează după barem.

Subiectul al III-lea: modelul nostru de răspuns la didactică

Baremul oficial nu dă itemi-model: punctează orice probă corectă, după cele șase criterii de mai sus, câte 1 punct fiecare. Mai jos e un model de răspuns, gândit să îndeplinească fiecare criteriu din barem. Cerința e o probă de evaluare la finalul unității „Intervale de numere reale. Inecuații în ℝ”, așa că am construit-o ca pe un test real: 90 de puncte plus 10 din oficiu (nota = punctajul / 10), pe care îl poți da la clasă.

Cum se construiește un răspuns de 6 puncte pe item în formatul din 2022:

• competența specifică și activitatea de învățare se aleg din secvența dată și se copiază cuvânt cu cuvânt; activitatea e din blocul aceleiași competențe. Toată secvența e din unitatea „Intervale de numere reale. Inecuații în ℝ”, deci orice activitate din ea se desfășoară în unitatea cerută;
• avantajul și dezavantajul sunt ale tipului de item, nu ale itemului concret, și se scriu la fiecare item. Fiecare valorează 1 punct;
• răspunsul așteptat intră la criteriul „corectitudinea științifică, inclusiv a răspunsului așteptat” (1 punct), așa că itemul are nevoie de un răspuns unic, verificat;
• itemul rămâne în conținuturile secvenței: mulțimi definite printr-o proprietate, intervale, intersecția și reuniunea lor, inecuații de forma $ax+b\ge 0$. Inecuațiile cu modul de forma $|ax+b|\le c$ nu sunt în lista de conținuturi, dar sunt o activitate a competenței 4.1, deci un item cu ele rămâne în secvență dacă citează acea activitate. Inecuațiile de gradul al doilea și sistemele de inecuații nu apar în secvență.

Tipurile de itemi, pe scurt. Programa de concurs numește doar tema („Tipologia itemilor”), fără o clasificare. În clasificarea obișnuită din docimologie, alegerea multiplă e un item obiectiv. Completarea, răspunsul scurt și întrebarea structurată sunt semiobiective. Rezolvarea de probleme e un item subiectiv. Avantajele și dezavantajele de mai jos sunt formulări pe care le poți adapta.

Itemul 1, de completare (10 puncte)

• Competența specifică evaluată: 1.1. Recunoașterea apartenenței unui număr real la o mulțime.
• Activitatea de învățare: „Identificarea apartenenței unui element la o mulțime definită printr-o proprietate a elementelor ei”.
• Itemul: Completați spațiul punctat cu răspunsul corect. Cel mai mic număr întreg care aparține mulțimii $A=\left\{x\in \mathbb{R}\mid -\sqrt{7}<x\le 4\right\}$ este $\dots \dots$.
• Răspunsul așteptat (barem): $-2$ — 10 puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.
• Avantajul tipului de item: se corectează repede și obiectiv, pentru că răspunsul e unic.
• Dezavantajul tipului de item: verifică doar rezultatul; nu arată cum a comparat elevul pe $-\sqrt{7}$ cu numerele întregi.
• De ce e corect: $4<7<9$, deci $2<\sqrt{7}<3$ și $-3<-\sqrt{7}<-2$. Numărul $-3$ nu verifică $-\sqrt{7}<x$, iar $-2$ îl verifică (și $-2\le 4$). Deci cel mai mic întreg din $A$ este $-2$. Mulțimea e dată printr-o proprietate a elementelor ei, exact ca în activitate.

Itemul 2, cu răspuns scurt (10 puncte)

• Competența specifică evaluată: 2.1. Efectuarea unor operații cu intervale numerice reprezentate pe axa numerelor sau cu mulțimi definite printr-o proprietate a elementelor ei.
• Activitatea de învățare: „Reprezentarea pe axa numerelor a intersecției a două intervale”.
• Itemul: Se consideră intervalele $A=[-3,5)$ și $B=(1,8]$. Scrieți, sub formă de interval, mulțimea $A\cap B$.
• Răspunsul așteptat (barem): $A\cap B=(1,5)$ — 10 puncte; un capăt greșit (de exemplu $[1,5)$ sau $(1,5]$) sau orice alt răspuns — 0 puncte.
• Avantajul tipului de item: elevul produce singur răspunsul, nu îl recunoaște dintr-o listă.
• Dezavantajul tipului de item: acoperă o singură cerință mică și nu arată raționamentul (reprezentarea pe axă rămâne pe ciornă).
• De ce e corect: $x\in A\cap B⟺-3\le x<5$ și $1<x\le 8⟺1<x<5$. Capetele: $1\notin B$, deci intervalul e deschis la stânga; $5\notin A$, deci e deschis la dreapta. Reprezentarea pe axă a celor două intervale arată porțiunea comună, adică exact activitatea citată.

Itemul 3, de tip alegere multiplă (10 puncte)

• Competența specifică evaluată: 3.1. Utilizarea unor procedee matematice pentru operații cu intervale și rezolvarea inecuațiilor în ℝ.

• Activitatea de învățare: „Transformarea unei inecuații într-o inecuație echivalentă folosind proprietățile relației de ordine”.

• Itemul: Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect. Mulțimea soluțiilor reale ale inecuației $6-3x\ge 0$ este:

  A. $(-\infty ,2]$ B. $[2,+\infty )$ C. $(-\infty ,-2]$ D. $[-2,+\infty )$

• Răspunsul așteptat (barem): A — 10 puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.

• Avantajul tipului de item: diagnostichează greșeala: fiecare distractor arată o confuzie anume.

• Dezavantajul tipului de item: răspunsul se poate ghici (25 %), iar distractorii plauzibili se construiesc greu.

• De ce e corect: $6-3x\ge 0⟺-3x\ge -6⟺x\le 2$; împărțirea la numărul negativ $-3$ schimbă sensul inegalității. Fiecare distractor vine dintr-o greșeală anume: B împarte la $-3$ fără să schimbe sensul; C trece $6$ în membrul drept fără să-i schimbe semnul ($-3x\ge 6$), apoi schimbă corect sensul; D face ambele greșeli. Inecuația e de forma $ax+b\ge 0$ din lista de conținuturi.

Itemul 4, de tip întrebare structurată (30 de puncte)

• Competențele specifice evaluate: 4.1. Folosirea terminologiei aferente noțiunilor de mulțime, de interval numeric și de inecuații (a, c); 2.1. Efectuarea unor operații cu intervale numerice reprezentate pe axa numerelor sau cu mulțimi definite printr-o proprietate a elementelor ei (b).
• Activitățile de învățare, câte una pentru fiecare subîntrebare:
  • a), 4.1: „Rezolvarea unei inecuații de forma $|ax+b|<c$ $(\le )$, unde $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, $b,c\in \mathbb{R}$”;
  • b), 2.1: „Reprezentarea pe axa numerelor a reuniunii a două intervale cu intersecția nevidă”;
  • c), 4.1: „Selectarea, dintr-o mulțime dată, a elementelor care verifică o condiție suplimentară”.
• Itemul: Se consideră mulțimile $A=\left\{x\in \mathbb{R}\mid |2x-1|\le 5\right\}$ și $B=\left\{x\in \mathbb{R}\mid 2x+3>0\right\}$.
  • a) Arătați că $A=[-2,3]$.
  • b) Scrieți mulțimea $B$ sub formă de interval și reprezentați pe axa numerelor mulțimea $A\cup B$.
  • c) Determinați numerele întregi din mulțimea $A$ care verifică inegalitatea $2x+3>0$.
• Răspunsul așteptat (barem):
  • a) $|2x-1|\le 5⟺-5\le 2x-1\le 5$ — 4 puncte; $-4\le 2x\le 6$ — 3 puncte; $-2\le x\le 3$, deci $A=[-2,3]$ — 3 puncte.
  • b) $2x+3>0⟺x>-\frac{3}{2}$, deci $B=\left(-\frac{3}{2},+\infty \right)$ — 4 puncte; reprezentarea pe axă (capătul $-2$ marcat plin, intervalele suprapuse) și $A\cup B=[-2,+\infty )$ — 6 puncte.
  • c) numerele întregi din $A$ sunt $-2,-1,0,1,2,3$ — 4 puncte; dintre ele, $-2$ nu verifică inegalitatea ($2\cdot (-2)+3=-1$), celelalte o verifică; răspuns: $-1,0,1,2,3$ — 6 puncte.
• Avantajul tipului de item: evaluează gradat două competențe pe același material.
• Dezavantajul tipului de item: subîntrebările legate pot transmite o greșeală de la una la alta; de aceea a) dă rezultatul, iar c) se poate rezolva din el, fără b).
• De ce respectă formatul: materialul comun (cele două mulțimi) e urmat de trei subîntrebări gradate: rezolvarea unei inecuații cu modul (a), o operație cu intervale reprezentată pe axă (b), selectarea elementelor care verifică o condiție (c). Intersecția $A\cap B=\left(-\frac{3}{2},3\right]$ e nevidă, cum cere activitatea de la b).

Itemul 5, de tip rezolvare de probleme (30 de puncte)

• Competența specifică evaluată: 6.1. Rezolvarea unor situații date, utilizând intervale numerice sau inecuații.
• Activitatea de învățare: „Modelarea unei situații concrete utilizând inecuații studiate”.
• Itemul: Elevii unei clase pleacă într-o excursie. Închirierea autocarului costă $600$ de lei pentru tot grupul, iar biletul la muzeu costă $25$ de lei de elev. Toate cheltuielile se împart în mod egal între elevii participanți. Autocarul are $40$ de locuri pentru elevi.
  • a) Calculați cât plătește fiecare elev, dacă participă $24$ de elevi.
  • b) Arătați că, dacă participă $n$ elevi, fiecare plătește $25+\frac{600}{n}$ lei.
  • c) Determinați toate valorile posibile ale numărului de elevi participanți, astfel încât fiecare să plătească cel mult $45$ de lei.
  • d) Poate ajunge suma plătită de fiecare elev la cel mult $35$ de lei? Justificați.
• Răspunsul așteptat (barem):
  • a) cheltuielile totale: $600+24\cdot 25=1200$ de lei — 3 puncte; fiecare plătește $1200:24=50$ de lei — 3 puncte.
  • b) cheltuielile totale: $600+25n$ lei — 3 puncte; $\frac{600+25n}{n}=25+\frac{600}{n}$ lei — 3 puncte.
  • c) inecuația $25+\frac{600}{n}\le 45$ — 3 puncte; $\frac{600}{n}\le 20$ și, cum $n>0$, $600\le 20n$, adică $n\ge 30$ — 5 puncte; cu restricția $n\le 40$ (locurile din autocar): valorile posibile sunt $30,31,\dots ,40$ (între $30$ și $40$ de elevi) — 4 puncte.
  • d) $25+\frac{600}{n}\le 35⟺600\le 10n⟺n\ge 60$ — 3 puncte; $60>40$, deci nu, cu autocarul dat — 3 puncte.
• Avantajul tipului de item: evaluează modelarea și interpretarea rezultatului în context (aici, restricția locurilor din autocar).
• Dezavantajul tipului de item: corectarea e mai subiectivă și cere un barem pe etape; rezolvarea durează mai mult.
• De ce e corect: la c), pentru $n=30$ fiecare plătește $25+20=45$ de lei, iar pentru $n=29$, $25+\frac{600}{29}>45$. Mulțimea soluțiilor problemei e $\{30,31,\dots ,40\}$, adică soluțiile inecuației care sunt numere naturale cel mult egale cu $40$: interpretarea e partea de modelare. Înmulțirea cu $n>0$ păstrează sensul și duce inecuația la forma $ax+b\ge 0$ din lista de conținuturi.

Dacă dai testul la clasă: legătura cu standardele din 2026

Standardele naționale de evaluare au fost aprobate prin OMEC nr. 4615/04.08.2026 și publicate în Monitorul Oficial nr. 674 bis/14.08.2026, deci la peste patru ani după proba din 13 iulie 2022. Baremul din 2022 nu le cere. Se aplică însă la clasă din anul școlar 2026–2027. Încadrarea de mai jos e a noastră, după descriptorii clasei a VIII-a din Monitorul Oficial (paginile 928–929):

Încadrarea pe standarde nu coincide peste tot cu competența declarată. La itemul 2, descriptorul cere intervale reprezentate pe axa numerelor, iar itemul le dă în notație (axa rămâne pe ciornă), deci potrivirea e parțială. La 4 c), competența din programă e 4.1 (activitatea „Selectarea … a elementelor care verifică o condiție suplimentară”), dar descriptorul cel mai apropiat e la VIII.CS.1.1. La itemul 1, capătul $-\sqrt{7}$ cere în plus compararea unui număr irațional cu numere întregi. La itemul 5, descriptorul Avansat vorbește de „contexte complexe”; problema excursiei e mai simplă. Standardele tuturor claselor sunt pe pagina standardelor de evaluare la matematică.

Greșeli frecvente la Subiectul al III-lea, în formatul din 2022

• Avantajul sau dezavantajul scris doar o dată, pentru toată proba: baremul le punctează la fiecare item.
• Avantaj al itemului concret, nu al tipului („e ușor pentru elevi”): criteriul cere avantajul utilizării acestui tip de item.
• Competența și activitatea din blocuri diferite: de exemplu, competența 6.1 cu activitatea „Transformarea unei inecuații…”, care e în blocul 3.1.
• Item în afara unității: o inecuație de gradul al doilea sau un sistem de inecuații.
• Capetele intervalelor: un răspuns scris cu paranteza greșită e greșit; baremul itemului trebuie să spună asta.
• Completare cu mai multe răspunsuri corecte sau alegere multiplă cu două variante corecte.
• Întrebare structurată fără material comun sau baremul doar cu rezultatul final, la itemii 4 și 5.

Materiale pentru unitate

• Programa clasei a VIII-a, cu toate competențele: programa de matematică la clasa a VIII-a.
• Lecțiile unității: Mulțimi definite printr-o proprietate a elementelor, Apartenența unui număr real la un interval, Intervale numerice mărginite, Intervale nemărginite, Intersecția intervalelor, Reuniunea intervalelor, Rezolvarea inecuațiilor prin transformări echivalente, Probleme care se rezolvă cu inecuații, Recapitulare: numere reale, intervale și inecuații.
• Teste pentru elevi: mulțimi și intervale, intersecția și reuniunea intervalelor, rezolvarea inecuațiilor și mulțimea soluțiilor și probleme cu inecuații.

Întrebări frecvente

Unde se pierd cele mai multe puncte la titularizarea la matematică din 2022?

Pe pașii pe care baremul îi punctează explicit. La I.1.c, pe observația că z nu e real, deci conjugatul lui e diferit de el, înainte de a simplifica prin diferența lor. La I.2.c, pe punctul ajutător E, piciorul perpendicularei din N, și pe coliniaritatea punctelor P, I și Q. La II.2.b, pe panta asimptotei oblice, calculată ca limită. La didactică, când avantajul și dezavantajul lipsesc la unii itemi sau nu sunt ale tipului de item: baremul le punctează cu câte 1 punct la fiecare item.

Unde găsesc subiectul și baremul oficial de la titularizare matematică 2022?

Gazda oficială a sesiunii, subiecte2022.edu.ro, nu mai răspunde. Arhiva oficială Titularizare_2022.zip (aproximativ 30 MB, cu toate disciplinele) există în copia păstrată de Internet Archive, captura din 20 iunie 2023. Fișierele de matematică sunt Tit_109_Matematica_P_2022_var_03_LRO.pdf (subiectul) și Tit_109_Matematica_P_2022_bar_03_LRO.pdf (baremul). Pe pagina asta, amândouă sunt transcrise integral.

Din ce clasă a fost Subiectul al III-lea la titularizare matematică 2022?

Din clasa a VIII-a. Subiectul dă o secvență din programa școlară de matematică (OMEN nr. 3393/28.02.2017), competențele specifice 1.1–6.1 și conținuturile unității „Intervale de numere reale. Inecuații în ℝ”. Cere o probă de evaluare cu cinci itemi la finalul unității: de completare, cu răspuns scurt, de tip alegere multiplă, de tip întrebare structurată și de tip rezolvare de probleme, cu un avantaj și un dezavantaj pentru fiecare tip.

Se pot folosi inecuațiile cu modul în proba de evaluare din 2022?

Da, dacă itemul citează activitatea potrivită. Lista de conținuturi a unității cuprinde doar inecuațiile de forma ax + b ≥ 0, dar secvența dată în subiect are la competența 4.1 activitatea „Rezolvarea unei inecuații de forma |ax+b| < c (≤)”. Un item cu o astfel de inecuație, legat de competența 4.1 și de această activitate, rămâne în secvență.

Mai departe

• Titularizare matematică: toate subiectele, programa și media: pagina examenului, cu tabelul pe ani.
• Titularizare matematică 2023 și 2021: probele vecine, rezolvate la fel.
• Titularizare matematică 2026: cea mai recentă probă.
• Calculatorul de medie la titularizare: media de repartizare din nota la proba scrisă și nota la inspecție.
• Programa școlară de matematică: programele în vigoare la toate clasele.

Sursele

• Subiectul și baremul: Ministerul Educației, Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, „Concursul național de ocupare a posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate din învățământul preuniversitar, 13 iulie 2022, Probă scrisă, Matematică, Varianta 3”, subiect și barem, arhiva Titularizare_2022.zip de pe subiecte2022.edu.ro, în copia păstrată de Internet Archive (captura din 20.06.2023, SHA-256 2435b4dc3156d6da4eafd47a53ddcaff2906851c15cd11da73613bd6b84b53d0).
• Programa școlară: OMEN nr. 3393/28.02.2017, Anexa nr. 2.
• Programa de concurs în vigoare la 17.10.2026: Programa pentru disciplina Matematică, Concursul național de ocupare a posturilor didactice (București, 2020), aprobată prin OMEC nr. 5975/09.11.2020.
• Standardele: OMEC nr. 4615/04.08.2026, anexa nr. 29, Monitorul Oficial, Partea I, nr. 674 bis/14.08.2026, paginile 928–929.

Verificat de noi pe 17.10.2026: transcrierea subiectului și a baremului e comparată cu imaginea fiecărei pagini a PDF-urilor din arhivă, inclusiv formulele: modulul $|z|$ de la I.1.b–c, conjugatele din barem, modulul din activitatea competenței 4.1 și modulul din integrala de la II.2.c apar corect doar în imagine. Simbolul de triunghi lipsește din imaginea baremului la I.2.b–c și a fost confirmat din stratul de text. Fiecare rezultat al rezolvării a fost refăcut prin calcul simbolic (scriptul de control, inclusiv geometria pe triunghiuri dreptunghice aleatoare, răspunsurile itemilor de didactică și suma punctajelor lor).