Subiecte definitivat matematică 2021: barem și rezolvare pas cu pas

Pe scurt: la definitivat, proba scrisă de matematică s-a dat pe 14 iulie 2021, cu 4 ore de lucru. Subiectul I (60 de puncte), de specialitate, are patru probleme de câte 7 + 8 puncte: o ecuație de gradul al doilea cu parametru, o bisectoare cu proiecțiile unui punct, o lege de compoziție pe inelul ${\mathbb{Z}}_8$ și o funcție rațională cu o integrală. Subiectul al II-lea (30 de puncte), de metodică, cere trei itemi, pentru trei competențe diferite, la finalul unității „Funcții” de la clasa a VIII-a. Se adaugă 10 puncte din oficiu. Găsești aici subiectul de la definitivat matematică 2021, transcris exact, baremul oficial (publicat de CNPEE, Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație), rezolvarea fiecărei cerințe și un exemplu de răspuns la metodică.

Actualizat: 17 octombrie 2026.

Pe pagină: Cum a arătat proba · Subiectul oficial · Baremul · Rezolvarea pas cu pas · Metodica · Întrebări

Cum a arătat proba din 2021

Proba din 2021 s-a dat după metodologia sesiunii 2021 (OMEC nr. 5434/2020, înainte de modificarea din 2022). Azi, nota la proba scrisă e media notelor date de doi evaluatori, cu două zecimale, fără rotunjire, cu al treilea evaluator la o diferență de peste un punct (art. 35, în forma de azi); nota finală și nota necesară la scris sunt pe pagina definitivatului la matematică și în calculatorul de medie la definitivat. Metodica din 2021 se deosebește de cea din 2022–2026: fiecare dintre cei trei itemi trebuia să evalueze altă competență, iar baremul avea patru criterii pe item (competența 2 puncte, formatul 2, răspunsul așteptat 3, corectitudinea științifică 3), fără activitatea de învățare.

De unde avem documentele. Arhiva oficială a sesiunii era pe subiecte2021.edu.ro, o gazdă care nu mai răspunde: la 17.10.2026 numele ei de domeniu nu mai există. Am folosit copia arhivei oficiale păstrată de Internet Archive (web.archive.org), verificată de noi pe 17.10.2026: DEFINITIVAT_2021.zip, captura din 17 iulie 2024 (aproximativ 19 MB, toate disciplinele). Ce am verificat:

• arhiva are exact dimensiunea și data de modificare a fișierului de pe serverul oficial, așa cum le-a înregistrat Internet Archive (18.582.032 de octeți, 19 iulie 2021), și se dezarhivează fără erori;
• fișierele de matematică, Def_109_Matematica_P_2021_var_03_LRO.pdf (subiectul) și Def_109_Matematica_P_2021_bar_03_LRO.pdf (baremul), poartă antetul Ministerului Educației și al CNPEE și au fost create pe 14 iulie 2021, ziua probei;
• amprenta SHA-256 a arhivei este dd4829debb1f1801541d160bfce03ea705bf8edb212df4da31afa9e2fa3f794e.

Am transcris Varianta 3, adică varianta pe care CNPEE a publicat-o în arhiva oficială.

Exersează în condiții de examen: pune ceasul la 4 ore, rezolvă numai subiectul oficial (se poate tipări), apoi punctează-te cu baremul și recitește rezolvarea acolo unde ai pierdut puncte.

Subiectul oficial (Varianta 3)

Examenul național de definitivare în învățământ, 14 iulie 2021. Probă scrisă. Matematică. Varianta 3.

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de patru ore.

Subiectul I (60 de puncte)

1. Se consideră $x_1$ și $x_2$ soluțiile ecuației $x^2+x+m=0$, unde $m$ este număr real nenul.

• (7p) a) Arătați că, dacă una dintre soluțiile ecuației este număr întreg, atunci numărul $m$ este întreg, divizibil cu $2$.
• (8p) b) Determinați numărul real nenul $m$ pentru care $\frac{x_1^2+1}{x_1^3+x_1^2}+\frac{x_2^2+1}{x_2^3+x_2^2}=-\frac{1}{4}$.

2. Se consideră triunghiul $ABC$ și semidreapta $AD$, bisectoarea unghiului $BAC$, $D\in BC$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AD$, iar punctele $N$ și $P$ sunt proiecțiile punctului $M$ pe dreptele $AB$, respectiv $AC$.

• (7p) a) Arătați că segmentele $AN$ și $AP$ sunt congruente.
• (8p) b) Demonstrați că, dacă $AC=3AN$, atunci triunghiul $CDN$ este isoscel.

3. Pe inelul $({\mathbb{Z}}_8,+,\cdot )$ se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=\hat{2}xy+\hat{6}x+\hat{6}y+\hat{7}$.

• (7p) a) Arătați că $x\ast y=\hat{2}\left(x+\hat{3}\right)\left(y+\hat{3}\right)+\hat{5}$, pentru orice $x,y\in {\mathbb{Z}}_8$.
• (8p) b) Determinați $x\in {\mathbb{Z}}_8$ pentru care $x\ast x\ast x\ast x=x$.

4. Se consideră funcția $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x^3+2}$.

• (7p) a) Arătați că funcția $f$ este strict descrescătoare pe $(1,+\infty )$.
• (8p) b) Demonstrați că ${\int }_0^1{f}^2(x)dx=\frac{1}{18}$.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Următoarea secvență face parte din programa școlară de matematică pentru clasa a VIII-a.

Competențe specifice și exemple de activități de învățare

Clasa a VIII-a

1.3. Identificarea unor dependențe funcționale în diferite situații date

• Completarea unui șir numeric când regula de construire este dată explicit
• Determinarea unei reguli de construire a unui șir când se cunosc câțiva termeni
• Identificarea unor dependențe funcționale în diferite situații concrete
• Exprimarea unor dependențe funcționale în diverse forme (tabele, grafice, formule)

2.3. Descrierea unei dependențe funcționale într-o situație dată, folosind diagrame, tabele sau formule

• Determinarea elementelor unei funcții (domeniu de definiție, mulțimea în care funcția ia valori, lege de corespondență)
• Corelarea elementelor unor funcții cu situații practice
• Sortarea și organizarea unor date după criterii de tip dependență funcțională

3.3. Reprezentarea în diverse moduri a unor funcții cu scopul caracterizării acestora

• Reprezentarea grafică a unor funcții numerice
• Determinarea unor puncte care aparțin graficului unei funcții numerice
• Determinarea intersecțiilor graficului unei funcții numerice cu axele de coordonate
• Determinarea indicatorilor tendinței centrale a unui set de date

4.3. Utilizarea unui limbaj specific pentru formularea unor opinii referitoare la diferite dependențe funcționale

• Formularea unor presupuneri matematice despre o funcție/despre regula de construire a unui șir
• Utilizarea unor exemple sau contraexemple pentru a susține un argument în contextul funcțiilor
• Utilizarea unui limbaj specific pentru a interpreta un grafic sau o dependență funcțională
• Ilustrarea grafică a indicatorilor tendinței centrale a unui set de date

5.3. Analizarea unor funcții în context intra și interdisciplinar

• Determinarea coordonatelor punctului de intersecție a graficelor a două funcții și interpretarea acestora ca soluție a unui sistem de două ecuații de gradul I cu două necunoscute
• Determinarea unei funcții care îndeplinește condiții date
• Verificarea coliniarității a trei sau a mai multor puncte, cunoscând coordonatele lor

6.3. Modelarea cu ajutorul funcțiilor a unor fenomene din viața reală

• Rezolvarea unor probleme din cotidian cu ajutorul funcțiilor
• Interpretarea unor fenomene din cotidian descrise cu ajutorul funcțiilor
• Interpretarea unei reprezentări grafice a indicatorilor tendinței centrale a unui set de date

[…]

Notă: Conținuturile vor fi abordate din perspectiva competențelor specifice. Activitățile de învățare sugerate oferă o imagine posibilă privind contextele de formare/dezvoltare a acestor competențe.

(Programa școlară pentru disciplina Matematică, OMEN nr. 3393/28.02.2017)

Pentru o evaluare la finalul unității de învățare „Funcții”, a trei dintre competențele specifice precizate în secvența de mai sus, elaborați trei itemi: un item de tip alegere multiplă, un item de tip întrebare structurată și un item de tip rezolvare de probleme.

În elaborarea itemilor se vor avea în vedere următoarele aspecte:

• menționarea competenței specifice evaluate;
• respectarea formatului fiecărui item elaborat;
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) pentru fiecare dintre itemii elaborați;
• corectitudinea științifică a informației de specialitate.

Baremul oficial de evaluare și de notare

Examenul național de definitivare în învățământ, 14 iulie 2021. Probă scrisă. Matematică. Barem de evaluare și de notare. Varianta 3.

Reguli generale, din barem:

• Se punctează orice modalitate de rezolvare corectă a cerințelor, în limita punctajului maxim corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.

Subiectul I (60 de puncte)

1. a)

• Dacă $x_1=k$, $k\in \mathbb{Z}$, este soluție a ecuației, atunci $k^2+k+m=0\Rightarrow m=-k^2-k$ și, cum $k\in \mathbb{Z}$, obținem $m\in \mathbb{Z}$ — 4p
• $m=-k(k+1)$, deci numărul întreg $m$ este divizibil cu $2$ — 3p

1. b)

• $x_1^3+x_1^2=-m{x}_1$, $x_2^3+x_2^2=-m{x}_2$, $x_1+x_2=-1$, $m\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ — 3p
• $x_1{x}_2=m\Rightarrow \frac{x_1^2+1}{x_1^3+x_1^2}+\frac{x_2^2+1}{x_2^3+x_2^2}=-\frac{1}{m}\left(\frac{x_1^2+1}{x_1}+\frac{x_2^2+1}{x_2}\right)=\frac{m+1}{m^2}$, $m\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ — 3p
• $\frac{m+1}{m^2}=-\frac{1}{4}\iff m^2+4m+4=0$, de unde obținem $m=-2$ — 2p

2. a)

• $AD$ este bisectoarea unghiului $BAC$, deci $\sphericalangle BAD\equiv \sphericalangle CAD$ — 2p
• Triunghiurile $MAN$ și $MAP$ sunt dreptunghice, au latura $AM$ comună și $\sphericalangle MAN\equiv \sphericalangle MAP$ — 3p
• $\Delta MAN\equiv \Delta MAP$, de unde obținem $AN\equiv AP$ — 2p

2. b)

• Dacă $DQ\perp AC$, $Q\in AC$, obținem că $MP\parallel DQ$ și, cum $AM=MD$, obținem că $MP$ este linie mijlocie în $\Delta ADQ$, deci punctul $P$ este mijlocul segmentului $AQ$ — 3p
• $AP=PQ$, $AN=AP$ și $AC=3AN$, deci $PQ=QC$ și, cum $DQ\perp AC$, obținem că triunghiul $DPC$ este isoscel, deci $DP=DC$ — 3p
• $\Delta ADN\equiv \Delta ADP$, deci $DN=DP$, de unde obținem că $DN=DC$, deci triunghiul $CDN$ este isoscel — 2p

3. a)

• $x\ast y=\hat{2}xy+\hat{6}x+\hat{6}y+\hat{2}+\hat{5}=$ — 3p
• $=\hat{2}x\left(y+\hat{3}\right)+\hat{6}\left(y+\hat{3}\right)+\hat{5}=\left(y+\hat{3}\right)\left(\hat{2}x+\hat{6}\right)+\hat{5}=\hat{2}\left(x+\hat{3}\right)\left(y+\hat{3}\right)+\hat{5}$, pentru orice $x,y\in {\mathbb{Z}}_8$ — 4p

3. b)

• $x\ast x=\hat{2}{\left(x+\hat{3}\right)}^2+\hat{5}$, pentru orice $x\in {\mathbb{Z}}_8$ — 3p
• $x\ast x\ast x\ast x=\hat{8}{\left(x+\hat{3}\right)}^4+\hat{5}=\hat{0}+\hat{5}=\hat{5}$, pentru orice $x\in {\mathbb{Z}}_8$ — 3p
• $x\ast x\ast x\ast x=x\iff x=\hat{5}$ — 2p

4. a)

• $f^{\prime }(x)=\frac{x^3+2-3x^3}{{\left(x^3+2\right)}^2}=\frac{2\left(1-x^3\right)}{{\left(x^3+2\right)}^2}$, $x\in [0,+\infty )$ — 4p
• Cum $x^3>1$, pentru orice $x>1$, obținem că $f^{\prime }(x)<0$, pentru orice $x\in (1,+\infty )$, deci funcția $f$ este strict descrescătoare pe $(1,+\infty )$ — 3p

4. b)

• ${\int }_0^1{f}^2(x)dx={\int }_0^1\frac{x^2}{{\left(x^3+2\right)}^2}dx=\frac{1}{3}{\int }_0^1\frac{3x^2}{{\left(x^3+2\right)}^2}dx=$ — 3p
• $=\frac{1}{3}{\int }_0^1\frac{{\left(x^3+2\right)}^{\prime }}{{\left(x^3+2\right)}^2}dx=\frac{1}{3}\cdot \frac{-1}{x^3+2}{|}_0^1=$ — 3p
• $=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{18}$ — 2p

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Itemul de tip alegere multiplă elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 2p
• respectarea formatului itemului — 2p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 3p
• corectitudinea științifică a informației de specialitate — 3p

Itemul de tip întrebare structurată elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 2p
• respectarea formatului itemului — 2p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 3p
• corectitudinea științifică a informației de specialitate — 3p

Itemul de tip rezolvare de probleme elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 2p
• respectarea formatului itemului — 2p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 3p
• corectitudinea științifică a informației de specialitate — 3p

Rezolvarea noastră, pas cu pas

Urmăm baremul și scriem în plus ce lipsește pentru o demonstrație întreagă: de ce numitorii de la 1.b nu se anulează, unde cade punctul $Q$ la 2.b, de ce $x\ast x\ast x\ast x$ nu depinde de $x$. Le adăugăm pentru rigoare; corectorul punctează după barem. Rezultatele le-am verificat cu un program de calcul simbolic.

Subiectul I.1: ecuația cu parametru

a) Fie $k$ o soluție întreagă. Din $k^2+k+m=0$ rezultă $m=-k^2-k=-k(k+1)$, care e întreg. Numerele $k$ și $k+1$ sunt consecutive, deci unul e par, iar produsul lor e divizibil cu $2$; la fel și $m$.

b) Numitorii. $x_k^3+x_k^2=x_k^2(x_k+1)$. Cum $x_1{x}_2=m\ne 0$, nicio rădăcină nu e $0$; iar $-1$ e rădăcină doar dacă $1-1+m=0$, adică $m=0$, exclus. Deci expresia are sens pentru orice $m\ne 0$ (pentru $m>\frac{1}{4}$ rădăcinile sunt complexe, dar calculul rămâne valabil).

Din $x_k^2+x_k+m=0$, înmulțind cu $x_k$: $x_k^3+x_k^2=-m{x}_k$. Atunci $$\sum _{k=1}^2\frac{x_k^2+1}{-m{x}_k}=-\frac{1}{m}\left(x_1+x_2+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right)=-\frac{1}{m}\left(-1+\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}\right)=-\frac{1}{m}\left(-1-\frac{1}{m}\right)=\frac{m+1}{m^2}.$$ Din $\frac{m+1}{m^2}=-\frac{1}{4}$: $4m+4=-m^2$, adică $(m+2{)}^2=0$, deci $m=-2$. Verificare: pentru $m=-2$, rădăcinile sunt $1$ și $-2$, iar $\frac{2}{2}+\frac{5}{-4}=-\frac{1}{4}$.

Subiectul I.2: bisectoarea și proiecțiile

a) Triunghiurile $MAN$ și $MAP$ sunt dreptunghice în $N$ și $P$, au ipotenuza $AM$ comună și $\sphericalangle MAN\equiv \sphericalangle MAP$ (bisectoarea). Din cazul ipotenuză–unghi ascuțit, $\Delta MAN\equiv \Delta MAP$, deci $AN=AP$.

b) Punctul $Q$. Fie $Q$ proiecția lui $D$ pe $AC$. Unghiul $DAC$ are jumătate din măsura unghiului $A$, deci e ascuțit, iar $Q$ e pe semidreapta $AC$. Cum $MP\perp AC$ și $DQ\perp AC$, $MP\parallel DQ$; în triunghiul $ADQ$, $M$ e mijlocul lui $AD$, deci $P$ e mijlocul lui $AQ$ și $AQ=2AP=2AN$. Din ipoteză, $AC=3AN>AQ$, deci $Q$ e între $P$ și $C$, iar $QC=AC-AQ=AN=PQ$.

Triunghiul $DPC$. $DQ$ e perpendiculară pe $PC$ în mijlocul lui (din $PQ=QC$), deci e mediatoarea lui $PC$ și $DP=DC$.

Concluzia. Triunghiurile $ADN$ și $ADP$ au $AN=AP$, latura $AD$ comună și unghiurile din $A$ congruente, deci sunt congruente (latură–unghi–latură) și $DN=DP$. Așadar $DN=DP=DC$, iar triunghiul $CDN$ e isoscel, cu $DN=DC$.

Există astfel de triunghiuri? Condiția $AC=3AN$ se scrie $AB+AC=3AB{\cos }^2\frac{A}{2}$; de exemplu, pentru $m(\sphericalangle A)=60^{\circ }$ ea devine $AC=\frac{5}{4}AB$. Am verificat pe coordonate, pe mai multe triunghiuri, că atunci $DN=DC$.

Subiectul I.3: legea de compoziție pe clasele de resturi modulo 8

a) În ${\mathbb{Z}}_8$, $\hat{7}=\hat{2}+\hat{5}$ și $\hat{6}\cdot \hat{3}=\widehat{18}=\hat{2}$. Atunci $$\hat{2}xy+\hat{6}x+\hat{6}y+\hat{2}+\hat{5}=\hat{2}x\left(y+\hat{3}\right)+\hat{6}\left(y+\hat{3}\right)+\hat{5}=\left(y+\hat{3}\right)\left(\hat{2}x+\hat{6}\right)+\hat{5}=\hat{2}\left(x+\hat{3}\right)\left(y+\hat{3}\right)+\hat{5}.$$ (Al doilea pas folosește $\hat{2}x\cdot \hat{3}=\hat{6}x$ și $\hat{6}\cdot \hat{3}=\hat{2}$.)

b) Notăm $u=x+\hat{3}$. Din a), $(x\ast y)+\hat{3}=\hat{2}(x+\hat{3})(y+\hat{3})+\hat{8}=\hat{2}(x+\hat{3})(y+\hat{3})$: adunarea lui $\hat{3}$ transformă legea în „dublul produsului”. Legea e asociativă, deci $x\ast x\ast x\ast x$ nu depinde de paranteze, iar $$\left(x\ast x\ast x\ast x\right)+\hat{3}=\hat{2}\cdot \hat{2}\cdot \hat{2}\cdot u^4=\hat{8}{u}^4=\hat{0}.$$ Deci $x\ast x\ast x\ast x=-\hat{3}=\hat{5}$, pentru orice $x\in {\mathbb{Z}}_8$, iar ecuația $x\ast x\ast x\ast x=x$ are soluția unică $x=\hat{5}$. Verificare directă: $\hat{5}\ast \hat{5}=\hat{2}\cdot \hat{0}+\hat{5}=\hat{5}$, deci $\hat{5}$ e idempotent.

Subiectul I.4: funcția rațională și integrala

a) $f^{\prime }(x)=\frac{(x^3+2)-x\cdot 3x^2}{(x^3+2{)}^2}=\frac{2(1-x^3)}{(x^3+2{)}^2}$. Pentru $x>1$, $x^3>1$, deci $f^{\prime }(x)<0$ și $f$ e strict descrescătoare pe $(1,+\infty )$. (Pe $[0,1]$ e crescătoare, iar $f(1)=\frac{1}{3}$ e maximul ei.)

b) $f^2(x)=\frac{x^2}{(x^3+2{)}^2}$. Cu $t=x^3+2$, $dt=3x^{2}dx$, capetele devin $2$ și $3$: $${\int }_0^1{f}^2(x)dx=\frac{1}{3}{\int }_2^3\frac{dt}{t^2}=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{t}\right){|}_2^3=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{18}.$$

Unde se pierd puncte la specialitate

Aici sunt doar pașii pe care baremul îi punctează explicit:

• I.1.a: faptul că $m$ e întreg (4 puncte) și divizibilitatea cu 2 din $m=-k(k+1)$ (3 puncte) sunt rânduri separate.
• I.1.b: relațiile $x_k^3+x_k^2=-m{x}_k$ și $x_1+x_2=-1$ (3 puncte), expresia $\frac{m+1}{m^2}$ (3 puncte), ecuația și $m=-2$ (2 puncte).
• I.2.b: $P$ mijlocul lui $AQ$, prin linia mijlocie (3 puncte), triunghiul isoscel $DPC$ (3 puncte), congruența triunghiurilor $ADN$ și $ADP$ (2 puncte).
• I.3.b: $x\ast x$ (3 puncte), $x\ast x\ast x\ast x=\hat{5}$ pentru orice $x$ (3 puncte), soluția $x=\hat{5}$ (2 puncte).
• I.4.a: derivata (4 puncte) și semnul ei pe $(1,+\infty )$ (3 puncte).

Din rigoare (baremul nu le cere): motivul pentru care numitorii de la I.1.b sunt nenuli; poziția lui $Q$ pe latura $AC$, între $P$ și $C$, de care depinde $QC=AC-AQ$ la I.2.b; observația că $(x\ast y)+\hat{3}=\hat{2}(x+\hat{3})(y+\hat{3})$, care explică de ce rezultatul nu depinde de $x$ la I.3.b. Sunt scrise în rezolvare pentru o demonstrație întreagă; punctajul se dă după barem.

Subiectul al II-lea: modelul nostru de răspuns la metodică

Baremul din 2021 nu propune itemi; punctează orice item care îndeplinește cele patru criterii: competența (2 puncte), formatul (2), răspunsul așteptat (3) și corectitudinea științifică (3). Cerința avea o condiție în plus: cei trei itemi evaluează trei competențe diferite din secvență. Mai jos e o variantă, construită pe fiecare criteriu: trei itemi pentru finalul unității „Funcții”, punctați cu 20 + 30 + 40 = 90 de puncte, plus 10 din oficiu, pe care îi poți folosi și la clasă. Activitatea de învățare nu se cerea în 2021; o trecem totuși, ca itemul să fie complet pentru clasă.

Itemul 1, de tip alegere multiplă (20 de puncte)

• Competența specifică: 3.3. Reprezentarea în diverse moduri a unor funcții cu scopul caracterizării acestora.

• Activitatea din programă (pentru clasă): „Determinarea indicatorilor tendinței centrale a unui set de date”.

• Itemul: Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect. Temperaturile maxime dintr-o săptămână, în grade Celsius, au fost: $9$, $7$, $12$, $0$, $10$, $7$, $11$. Mediana acestui set de date este:

  A. $7$ B. $8$ C. $9$ D. $12$

• Răspunsul așteptat (barem): C — 20 de puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.

• Formatul: o premisă și patru variante, una singură corectă; fiecare distractor este alt indicator al aceluiași set de date.

• De ce e corect: ordonate crescător, valorile sunt $0,7,7,9,10,11,12$; sunt 7 valori, deci mediana e a patra, $9$. Distractorii sunt ceilalți indicatori, confundați cu mediana: A e modul ($7$ apare de două ori), B e media ($56:7=8$), D e amplitudinea ($12-0=12$). Elevul care ia valoarea din mijloc fără să ordoneze datele obține $0$, care nu e printre variante și îl obligă să-și refacă raționamentul.

Itemul 2, de tip întrebare structurată (30 de puncte)

• Competența specifică: 5.3. Analizarea unor funcții în context intra și interdisciplinar.
• Materialul comun: Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1$ și $g(x)=-2x+7$.
• a) Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f$ și $g$. (Activitatea: „Determinarea coordonatelor punctului de intersecție a graficelor a două funcții și interpretarea acestora ca soluție a unui sistem de două ecuații de gradul I cu două necunoscute”.)
• b) Verificați dacă punctele $A(0,1)$, $B(2,3)$ și $C(5,6)$ aparțin graficului funcției $f$ și dacă sunt coliniare. (Activitatea: „Verificarea coliniarității a trei sau a mai multor puncte, cunoscând coordonatele lor”.)
• c) Știind că graficele funcțiilor $f$ și $g$ se intersectează în punctul $(2,3)$, determinați aria triunghiului format de graficele celor două funcții și axa $Ox$.
• Răspunsul așteptat (barem):
  • a) $x+1=-2x+7$, deci $x=2$ — 5 puncte; $y=f(2)=3$, punctul $(2,3)$ — 5 puncte;
  • b) $f(0)=1$, $f(2)=3$, $f(5)=6$, deci toate trei punctele sunt pe graficul lui $f$ — 5 puncte; graficul e o dreaptă, deci punctele sunt coliniare — 5 puncte;
  • c) intersecțiile cu axa $Ox$: $f(x)=0$ pentru $x=-1$, $g(x)=0$ pentru $x=\frac{7}{2}$ — 5 puncte; triunghiul are baza $\frac{7}{2}-(-1)=\frac{9}{2}$ și înălțimea $3$ (ordonata punctului $(2,3)$), deci aria $\frac{1}{2}\cdot \frac{9}{2}\cdot 3=\frac{27}{4}$ — 5 puncte.
• Formatul: trei cerințe pe același material, fiecare rezolvabilă separat: c) dă punctul de intersecție, deci o greșeală la a) nu blochează c).
• De ce e corect: la a), perechea $(2,3)$ verifică ambele legi: $2+1=3$ și $-4+7=3$. La b), coliniaritatea rezultă din faptul că graficul unei funcții de forma $ax+b$ e o dreaptă. La c), vârfurile triunghiului sunt $(-1,0)$, $\left(\frac{7}{2},0\right)$ și $(2,3)$; înălțimea din $(2,3)$ pe axa $Ox$ este $3$, iar aria $\frac{27}{4}=6,75$ (unități de arie).

Itemul 3, de tip rezolvare de probleme (40 de puncte)

• Competența specifică: 6.3. Modelarea cu ajutorul funcțiilor a unor fenomene din viața reală.
• Activitatea din programă (pentru clasă): „Rezolvarea unor probleme din cotidian cu ajutorul funcțiilor”.
• Itemul: Firma de taxi A cere $8$ lei la pornire și $3$ lei pentru fiecare kilometru, iar firma B cere $2$ lei la pornire și $4$ lei pentru fiecare kilometru. Aflați pentru câți kilometri cele două firme cer același preț și precizați ce firmă este mai avantajoasă pentru o cursă de $10$ km.
• Răspunsul așteptat (barem):
  • prețul la firma A: $f(x)=3x+8$, unde $x$ e numărul de kilometri — 5 puncte;
  • prețul la firma B: $g(x)=4x+2$ — 5 puncte;
  • ecuația $3x+8=4x+2$ — 5 puncte;
  • $x=6$ km — 5 puncte;
  • prețul comun: $f(6)=g(6)=26$ de lei — 5 puncte;
  • $f(10)=38$ de lei — 5 puncte;
  • $g(10)=42$ de lei — 5 puncte;
  • pentru $10$ km, firma A e mai avantajoasă — 5 puncte.
• Formatul: o situație din viața de zi cu zi, modelată cu două funcții de forma $ax+b$; elevul scrie legile, rezolvă o ecuație și interpretează rezultatul. Baremul pe etape permite puncte parțiale.
• De ce e corect: $3\cdot 6+8=26=4\cdot 6+2$. Pentru $x>6$, $g(x)-f(x)=x-6>0$, deci de la 6 km în sus firma A e mai ieftină; pentru 10 km diferența e de $4$ lei.

Proba la clasă și standardele din 2026

Standardele naționale de evaluare au apărut în Monitorul Oficial nr. 674 bis din 14.08.2026 (OMEC nr. 4615/04.08.2026), la peste cinci ani după proba din 14 iulie 2021; baremul de atunci nu le putea folosi. La clasă se aplică din 2026–2027. Fiecare item, lângă standardul cel mai apropiat (descriptorii de la paginile 931–933 ale Monitorului):

La itemul 1, competența declarată (3.3, cea al cărei bloc conține activitatea despre indicatorii tendinței centrale) diferă de standardul care descrie acești indicatori (VIII.CS.1.3). Descriptorii tuturor claselor: standardele de evaluare la matematică.

Greșeli frecvente la Subiectul al II-lea

• Aceeași competență la doi itemi: în 2021 cerința spunea „a trei dintre competențele specifice”, deci fiecare item își are competența lui.
• Itemi doar pe funcția liniară: unitatea „Funcții” cuprinde și funcțiile pe mulțimi finite (diagrame, tabele) și indicatorii tendinței centrale; o evaluare la final poate atinge și statistica.
• Cerințe înlănțuite la întrebarea structurată, în care o greșeală la a) blochează restul: e bine ca fiecare cerință să poată fi rezolvată separat.
• Două variante corecte la alegerea multiplă (de exemplu, două puncte care sunt amândouă pe grafic): rândul „respectarea formatului”.
• Baremul doar cu rezultatul final la problemă: răspunsul așteptat valora 3 puncte din 10, iar o problemă se notează mai ușor și mai corect cu un barem pe etape.

Materiale pentru unitate

• Competențele și conținuturile clasei a VIII-a: programa clasei a VIII-a.
• Lecțiile capitolului: noțiunea de funcție, moduri de descriere a unei funcții, graficul unei funcții, funcția liniară, graficul funcției liniare, lecturi grafice, aplicații în viața reală, media unui set de date.
• Teste pe capitol pentru elevi: funcția liniară și graficul, graficul unei funcții, frecvența și media.

Întrebări frecvente

Unde găsesc subiectul și baremul oficial de la definitivat matematică 2021?

Gazda oficială, subiecte2021.edu.ro, nu mai răspunde la 17.10.2026. Arhiva oficială DEFINITIVAT_2021.zip (aproximativ 19 MB, cu toate disciplinele) se găsește în copia păstrată de Internet Archive (web.archive.org), captura din 17 iulie 2024, pe care am verificat-o: dimensiunea și data fișierului coincid cu cele de pe serverul oficial, iar PDF-urile au antetul CNPEE și data probei. Fișierele de matematică sunt Def_109_Matematica_P_2021_var_03_LRO.pdf și Def_109_Matematica_P_2021_bar_03_LRO.pdf. Pe pagina aceasta sunt transcrise integral.

Din ce clasă a fost metodica la definitivat matematică 2021?

Din clasa a VIII-a. Secvența vine din programa școlară a clasei a VIII-a (OMEN nr. 3393/28.02.2017): competențele 1.3–6.3 și capitolul „Funcții”. Se cer trei itemi, de alegere multiplă, întrebare structurată și rezolvare de probleme, pentru trei competențe diferite din secvență.

Unde se pierd cele mai multe puncte la definitivatul la matematică din 2021?

Pe rândurile pe care baremul le punctează separat. La ecuația cu parametru, faptul că m e întreg și divizibilitatea cu 2 au rânduri distincte. La bisectoare, punctajul de la b) are trei pași: mijlocul lui AQ, triunghiul isoscel DPC și congruența triunghiurilor ADN și ADP. Pe inelul Z8, rezultatul x∗x∗x∗x = 5, adevărat pentru orice x, înaintea soluției. La metodică, în 2021 rândul pentru menționarea competenței valora 2 puncte pe item, iar cerința cerea trei competențe diferite.

Mai departe

• Definitivat matematică: subiecte, programă și nota finală: etapele examenului, nota finală și toți anii.
• Definitivat matematică 2022: proba din anul următor, rezolvată la fel.
• Calculatorul de medie la definitivat: nota finală și nota necesară la proba scrisă.
• Titularizare matematică 2021: proba din același an la titularizare.

Sursele

• Subiectul și baremul: Ministerul Educației, Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, „Examenul național de definitivare în învățământ, 14 iulie 2021, Probă scrisă, Matematică, Varianta 3”, subiect și barem, arhiva DEFINITIVAT_2021.zip de pe subiecte2021.edu.ro, în copia păstrată de Internet Archive (captura din 17.07.2024, SHA-256 dd4829debb1f1801541d160bfce03ea705bf8edb212df4da31afa9e2fa3f794e).
• Metodologia: OMEC nr. 5434/2020 (Metodologia-cadru de organizare și desfășurare a examenului național pentru definitivare în învățământul preuniversitar); forma de azi, cu modificările aduse prin OME nr. 5722/2022, art. 35, e publicată pe definitivat.edu.ro.
• Programa școlară de matematică pentru gimnaziu: anexa 2 la OMEN nr. 3393/28.02.2017.
• Standardele de evaluare: anexa 29 la OMEC nr. 4615/04.08.2026, Monitorul Oficial, Partea I, nr. 674 bis din 14.08.2026, p. 931–933.

Verificat de noi pe 17.10.2026: am citit subiectul și baremul pe imaginea paginilor oficiale; simbolurile de triunghi din baremul de la I.2 lipsesc din imagine și le-am confirmat din textul extras din PDF, iar căciulițele claselor de resturi din ${\mathbb{Z}}_8$ și exponentul din $f^2$ le-am luat din imagine. Rezolvarea, geometria pe coordonate, cei trei itemi și suma punctajelor lor sunt recalculate cu un program de calcul simbolic.