Subiecte definitivat matematică 2024: barem și rezolvare pas cu pas

Pe scurt: la definitivat, proba scrisă de matematică a fost pe 24 iulie 2024, cu 4 ore de lucru. Subiectul I (60 de puncte), de specialitate, are patru probleme a câte 7 + 8 puncte: o funcție de gradul al doilea cu parametru, un triunghi dreptunghic isoscel cu medianele lui, un polinom de gradul al treilea și o funcție polinomială cu o arie. Subiectul al II-lea (30 de puncte), de metodică, cere trei itemi pentru o evaluare la finalul unității „Arii și volume ale unor corpuri geometrice” de la clasa a VIII-a. Se adaugă 10 puncte din oficiu. Pagina dă subiectul de la definitivat matematică 2024, transcris exact, baremul oficial (atunci îl publica CNPEE, Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație), rezolvarea fiecărei cerințe și un exemplu de răspuns la metodică.

Actualizat: 17 octombrie 2026.

Pe pagină: Cum a arătat proba · Subiectul oficial · Baremul · Rezolvarea pas cu pas · Metodica · Întrebări

Cum a arătat proba din 2024

Doi evaluatori corectează lucrarea separat, după barem. Nota la proba scrisă e media notelor lor, cu două zecimale, fără rotunjire; la o diferență de peste un punct între ei, un al treilea evaluator recorectează lucrarea, iar nota devine media celor trei (OMEC nr. 5434/2020, art. 35, în forma de azi). Proba din 2024 s-a dat după metodologia sesiunii 2024. Formula notei finale și nota necesară la scris sunt pe pagina definitivatului la matematică; le poți calcula în calculatorul de medie la definitivat.

Subiectul și baremul sunt în arhiva ZIP a sesiunii, pe subiecte2024.edu.ro (doar pe http; aproximativ 19 MB, toate disciplinele într-o singură arhivă): Def_109_Matematica_2024_var_02_LRO.pdf (subiectul) și Def_109_Matematica_2024_bar_02_LRO.pdf (baremul). Am transcris Varianta 2, adică varianta pe care CNPEE a publicat-o în arhiva oficială.

Exersează în condiții de examen: rezervă-ți 4 ore, rezolvă numai subiectul oficial (se poate tipări), apoi corectează-te pe barem și citește rezolvarea la cerințele unde ai pierdut puncte.

Subiectul oficial (Varianta 2)

Examenul național pentru definitivare în învățământul preuniversitar, 24 iulie 2024. Probă scrisă. Matematică. Varianta 2.

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de patru ore.

Subiectul I (60 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-(a-2)x-a+2$, unde $a$ este număr real.

• (7p) a) Determinați numerele reale $a$ pentru care axa $Ox$ este tangentă la graficul funcției $f$.
• (8p) b) Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care soluțiile ecuației $f(x)=0$ sunt numere reale distincte și strict mai mici decât zero.

2. Se consideră triunghiul dreptunghic $ABC$, cu $AB=AC$. Punctele $D$ și $E$ sunt mijloacele laturilor $BC$, respectiv $AB$. Dreptele $AD$ și $CE$ se intersectează în punctul $G$, iar punctul $F$ aparține dreptei $AC$ astfel încât dreptele $CE$ și $DF$ sunt perpendiculare.

• (7p) a) Arătați că raportul ariilor triunghiurilor $ADE$ și $ABC$ este egal cu $\frac{1}{4}$.
• (8p) b) Demonstrați că dreptele $EF$ și $BG$ sunt paralele.

3. Se consideră polinomul $f=X^3+X^2+aX+a$, unde $a$ este număr real.

• (7p) a) Arătați că polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X+1$, pentru orice număr real $a$.
• (8p) b) Determinați numerele reale $a$ pentru care $x_1^{2024}+x_2^{2024}+x_3^{2024}=3$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

4. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+3x^2-2$.

• (7p) a) Arătați că $\left|f(x)\right|\le 2$, pentru orice $x\in [-3,1]$.
• (8p) b) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g:[1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{1}{f(x)}$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=2$.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Următoarea secvență face parte din programa școlară de matematică pentru clasa a VIII-a.

Competențe specifice și exemple de activități de învățare

Clasa a VIII-a

1.5. Identificarea corpurilor geometrice și a elementelor metrice necesare pentru calcularea ariei sau a volumului acestora

• Identificarea și numirea corpurilor geometrice (cub; paralelipiped dreptunghic; prisma dreaptă cu baza: triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat; cilindru circular drept; con circular drept) dintr-un set de corpuri date sau în cotidian
• Identificarea înălțimii în corpurile geometrice studiate
• Identificarea elementelor corpurilor geometrice în configurații spațiale și pe desfășurări (diagonale, vârfuri, muchii, fețe)
• Construirea, din diferite materiale, a corpurilor geometrice studiate

2.5. Prelucrarea unor date caracteristice ale corpurilor geometrice studiate în vederea calculării unor elemente ale acestora

• Desfășurarea în plan a piramidei/prismei și caracterizarea figurilor plane obținute
• Alegerea celei mai potrivite unități de măsură pentru un anumit context
• Determinarea lungimii unui segment sau a măsurii unui unghi într-o situație practică

3.5. Alegerea metodei adecvate pentru calcularea unor caracteristici numerice ale corpurilor geometrice

• Calcularea ariei laterale și a ariei totale ale unor corpuri geometrice (paralelipiped dreptunghic, cub, prismă triunghiulară regulată, prismă patrulateră regulată, piramidă triunghiulară regulată, piramidă patrulateră regulată, cilindru circular drept, con circular drept), utilizând desfășurarea lor
• Calcularea ariilor și volumelor folosind decupări, descompuneri, pavaje, rețele
• Determinarea ariei laterale, a ariei totale și a volumului corpurilor geometrice studiate prin aplicarea directă a formulelor de calcul

4.5. Utilizarea unor termeni și expresii specifice pentru descrierea proprietăților figurilor și corpurilor geometrice

• Precizarea proiecțiilor pe un plan a unor puncte, drepte și segmente, în corpurile geometrice studiate
• Calcularea, în corpurile geometrice studiate, a distanței de la un punct la o dreaptă/un plan
• Calcularea, în corpurile geometrice studiate, a lungimii proiecției unui segment pe un plan

5.5. Analizarea condițiilor necesare pentru ca o configurație geometrică spațială să verifice anumite cerințe date

• Calcularea măsurii unghiului a două plane în diverse configurații spațiale, inclusiv în corpurile geometrice studiate
• Calcularea unor distanțe și măsuri de unghiuri pe fețele sau în interiorul corpurilor: distanța de la un vârf la o muchie sau la o diagonală a bazei, distanța de la un vârf al bazei la o față laterală, distanța de la centrul bazei la o muchie sau o față laterală, unghiul unei muchii cu o față laterală sau bază, unghiul a două fețe ale unei piramide, unghiul a două muchii ale unui corp studiat
• Determinarea unor elemente ale corpurilor geometrice când se cunosc aria laterală, aria totală, volumul sau alte elemente ale acestora

6.5. Interpretarea informațiilor referitoare la distanțe, arii și volume după modelarea printr-o configurație spațială a unei situații date din cotidian

• Estimarea rezultatelor unor calcule referitoare la distanțe, măsuri de unghiuri, arii și volume
• Rezolvarea unor probleme având conținut practic legate de proiecții de puncte, drepte, segmente în corpurile geometrice studiate și în cotidian
• Argumentarea demersului de rezolvare a unei probleme de geometrie în spațiu

[...]

Notă: Conținuturile vor fi abordate din perspectiva competențelor specifice. Activitățile de învățare sugerate oferă o imagine posibilă privind contextele de formare/dezvoltare a acestor competențe.

(Programa școlară pentru disciplina Matematică, OMEN nr. 3393/28.02.2017)

Pentru o evaluare la finalul unității de învățare „Arii și volume ale unor corpuri geometrice”, folosind informațiile din secvența precedentă, elaborați trei itemi: un item de tip completare, un item de tip alegere multiplă și un item de tip rezolvare de probleme.

În elaborarea itemilor veți avea în vedere următoarele aspecte:

• menționarea competenței specifice evaluate;
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat;
• respectarea formatului fiecărui tip de item elaborat;
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare);
• corectitudinea științifică a informației de specialitate.

Baremul oficial de evaluare și de notare

Examenul național pentru definitivare în învățământul preuniversitar, 24 iulie 2024. Probă scrisă. Matematică. Barem de evaluare și de notare. Varianta 2.

Reguli generale, din barem:

• Se punctează orice modalitate de rezolvare corectă a cerințelor, în limita punctajului maxim corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.

Subiectul I (60 de puncte)

1. a)

• $\Delta =0$, deci $a^2-4=0$ — 3p
• $a=2$ sau $a=-2$ — 4p

1. b)

• $\Delta >0$, $x_1+x_2<0$, $x_1{x}_2>0$, unde $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile ecuației $f(x)=0$ — 3p
• $a^2-4>0$; $a-2<0$; $-a+2>0$ — 3p
• $a\in (-\infty ,-2)$ — 2p

2. a)

• $AD$ este mediană în $\Delta ABC$, deci ${\mathcal{A}}_{ADB}=\frac{{\mathcal{A}}_{ABC}}{2}$ — 3p
• $DE$ este mediană în $\Delta ADB$, deci ${\mathcal{A}}_{ADE}=\frac{{\mathcal{A}}_{ADB}}{2}=\frac{{\mathcal{A}}_{ABC}}{4}$, de unde obținem $\frac{{\mathcal{A}}_{ADE}}{{\mathcal{A}}_{ABC}}=\frac{1}{4}$ — 4p

2. b)

• $DN\parallel CE$, $N\in AB$, deci $DN$ este linie mijlocie în $\Delta BEC$, de unde obținem că punctul $N$ este mijlocul segmentului $BE$ — 2p
• $DF\perp CE$, deci $DF\perp DN$ și, cum $AD\perp BC$, obținem $\sphericalangle FDA=\sphericalangle NDB$; cum $\sphericalangle FAD=\sphericalangle NBD$ și $AD=DB$, obținem $\Delta ADF\equiv \Delta BDN$, deci $AF=BN=\frac{AB}{4}=\frac{AC}{4}$ — 3p
• Cum punctul $G$ este centrul de greutate al $\Delta ABC$, rezultă că punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$, unde $BG\cap AC=\{M\}$; punctul $F$ este mijlocul segmentului $AM$, deci $EF$ este linie mijlocie în $\Delta ABM$, de unde obținem $EF\parallel BG$ — 3p

3. a)

• $f(-1)=(-1{)}^3+(-1{)}^2+a\cdot (-1)+a=$ — 3p
• $=-1+1-a+a=0$, deci polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X+1$, pentru orice număr real $a$ — 4p

3. b)

• $x_1=-1$ și $f=(X+1)\left(X^2+a\right)$, pentru orice număr real $a$ — 2p
• $x_2^2=x_3^2=-a$, deci $x_1^{2024}+x_2^{2024}+x_3^{2024}=(-1{)}^{2024}+(-a{)}^{1012}+(-a{)}^{1012}=1+2a^{1012}$ — 3p
• $a^{1012}=1$ și, cum $a$ este număr real, obținem $a=-1$ sau $a=1$ — 3p

4. a)

• $f^{\prime }(x)=3x^2+6x$, $x\in \mathbb{R}$; $f^{\prime }(x)=0\iff x=-2$ sau $x=0$; pentru $x\in [-3,-2]$, $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[-3,-2]$; pentru $x\in [-2,0]$, $f^{\prime }(x)\le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[-2,0]$; pentru $x\in [0,1]$, $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[0,1]$ — 3p
• $f(-3)=-2$, $f(-2)=2$, $f(0)=-2$ și $f(1)=2$, deci $-2\le f(x)\le 2$, pentru orice $x\in [-3,1]$, de unde obținem $\left|f(x)\right|\le 2$, pentru orice $x\in [-3,1]$ — 4p

4. b)

• $g(x)\ge 0$, pentru orice $x\in [1,2]$, deci $\mathcal{A}={\int }_1^{2}g(x)dx={\int }_1^2\frac{1}{(x+1)\left(x^2+2x-2\right)}dx=$ — 3p
• $=-\frac{1}{3}{\int }_1^2\frac{1}{x+1}dx+\frac{1}{3}{\int }_1^2\frac{x+1}{x^2+2x-2}dx=$ — 2p
• $=-\frac{1}{3}\ln (x+1){|}_1^2+\frac{1}{6}\ln \left(x^2+2x-2\right){|}_1^2=-\frac{1}{3}\ln \frac{3}{2}+\frac{1}{6}\ln 6=\frac{1}{6}\ln \frac{8}{3}$ — 3p

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Itemul de tip completare elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• respectarea formatului itemului — 2p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 3p
• corectitudinea științifică a informației de specialitate — 3p

Itemul de tip alegere multiplă elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• respectarea formatului itemului — 2p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 3p
• corectitudinea științifică a informației de specialitate — 3p

Itemul de tip rezolvare de probleme elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• respectarea formatului itemului — 2p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 3p
• corectitudinea științifică a informației de specialitate — 3p

Rezolvarea noastră, pas cu pas

Urmăm baremul și adăugăm ce trebuie pentru o demonstrație întreagă: unde cade punctul $F$ pe dreapta $AC$, de ce funcția $g$ e pozitivă pe $[1,2]$, ce se întâmplă cu rădăcinile complexe la 3.b. Le scriem pentru rigoare; corectorul punctează după barem. Toate rezultatele le-am verificat cu un program de calcul simbolic.

Subiectul I.1: parabola tangentă la Ox

Discriminantul ecuației $f(x)=0$ este $$\Delta =(a-2{)}^2-4(-a+2)=(a-2{)}^2+4(a-2)=(a-2)(a+2)=a^2-4.$$

a) Axa $Ox$ e tangentă la parabolă exact când ecuația $f(x)=0$ are o rădăcină dublă, adică $\Delta =0$: $a^2-4=0$, deci $a=2$ sau $a=-2$. Verificare: pentru $a=2$, $f(x)=x^2$ (vârful în $(0,0)$); pentru $a=-2$, $f(x)=x^2+4x+4=(x+2{)}^2$ (vârful în $(-2,0)$).

b) Rădăcinile sunt reale și distincte când $\Delta >0$. Două numere reale sunt amândouă strict negative exact când suma lor e negativă și produsul pozitiv (produsul pozitiv înseamnă același semn, iar suma negativă alege semnul minus). Din relațiile lui Viète, $x_1+x_2=a-2$ și $x_1{x}_2=-a+2$. Condițiile:

• $a^2-4>0$, adică $a\in (-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )$;
• $a-2<0$ și $-a+2>0$, adică $a<2$.

Intersecția este $a\in (-\infty ,-2)$. De exemplu, pentru $a=-3$, $f(x)=x^2+5x+5$, cu rădăcinile $\frac{-5\pm \sqrt{5}}{2}$, ambele negative.

Subiectul I.2: triunghiul dreptunghic isoscel

Triunghiul are $AB=AC$, deci unghiul drept e în $A$, iar unghiurile $B$ și $C$ au câte $45^{\circ }$. Mediana $AD$ e și înălțime și bisectoare, iar $AD=BD=DC=\frac{BC}{2}$.

a) O mediană împarte un triunghi în două triunghiuri cu aceeași arie (au baze egale și aceeași înălțime). $AD$ e mediană în triunghiul $ABC$, deci ${\mathcal{A}}_{ADB}=\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{ABC}$. $DE$ e mediană în triunghiul $ADB$, deci ${\mathcal{A}}_{ADE}=\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{ADB}=\frac{1}{4}{\mathcal{A}}_{ABC}$. (Rezultatul nu folosește faptul că triunghiul e dreptunghic isoscel.)

b) Punctul $N$. Paralela prin $D$ la $CE$ taie latura $AB$ într-un punct $N$. În triunghiul $BEC$, $D$ e mijlocul lui $BC$ și $DN\parallel CE$, deci $N$ e mijlocul lui $BE$ (reciproca liniei mijlocii) și $BN=\frac{BE}{2}=\frac{AB}{4}$.

Congruența. Din $DF\perp CE$ și $DN\parallel CE$ rezultă $DF\perp DN$. Unghiurile $FDA$ și $NDB$ sunt amândouă complementare cu unghiul $ADN$ (pentru că $\sphericalangle ADB=90^{\circ }$ și $\sphericalangle FDN=90^{\circ }$), deci sunt congruente. Mai departe, $\sphericalangle FAD=\sphericalangle NBD=45^{\circ }$ și $AD=DB$, deci $\Delta ADF\equiv \Delta BDN$ (cazul unghi–latură–unghi) și $AF=BN=\frac{AB}{4}=\frac{AC}{4}$.

Poziția lui $F$. Ca $F$ să fie mijlocul lui $AM$, nu ajunge $AF=\frac{AC}{4}$: trebuie ca $F$ să fie pe semidreapta $AC$, nu de cealaltă parte a lui $A$. Rotația de $90^{\circ }$ în jurul lui $D$ care duce $B$ în $A$ duce și $A$ în $C$ (pentru că $DB=DA=DC$ și $DA\perp DB$, $DC\perp DA$), deci duce latura $BA$ în latura $AC$. Imaginea lui $N$ e un punct al laturii $AC$ aflat pe perpendiculara în $D$ pe $DN$, adică chiar $F$. Așadar $F$ e pe latura $AC$, la un sfert din ea, lângă $A$. Pe coordonate, cu $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(0,4)$, ies $D(2,2)$, $E(2,0)$, $F(0,1)$ și $M(0,2)$.

Concluzia. $G$ e intersecția a două mediane, deci centrul de greutate; atunci $BG$ e a treia mediană și $M$, intersecția ei cu $AC$, e mijlocul lui $AC$. Cum $AF=\frac{AC}{4}=\frac{AM}{2}$ și $F$ e între $A$ și $M$, $F$ e mijlocul lui $AM$. În triunghiul $ABM$, $E$ și $F$ sunt mijloacele laturilor $AB$ și $AM$, deci $EF$ e linie mijlocie: $EF\parallel BM$, adică $EF\parallel BG$.

Subiectul I.3: polinomul și puterile rădăcinilor

a) Din teorema lui Bézout, $f$ e divizibil cu $X+1$ exact când $f(-1)=0$. Iar $f(-1)=-1+1-a+a=0$, pentru orice $a$. Se vede și direct: $f=X^2(X+1)+a(X+1)=(X+1)\left(X^2+a\right)$.

b) Din descompunere, o rădăcină este $x_1=-1$, iar $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile lui $X^2+a$, deci $x_2^2=x_3^2=-a$. Egalitatea e adevărată și când $a>0$, caz în care $x_{2,3}=\pm i\sqrt{a}$ sunt complexe: tot $x^2=-a$. Atunci $$x_1^{2024}+x_2^{2024}+x_3^{2024}=1+{\left(x_2^2\right)}^{1012}+{\left(x_3^2\right)}^{1012}=1+2(-a{)}^{1012}=1+2a^{1012}.$$ Condiția devine $a^{1012}=1$. Exponentul e par, iar $a$ e real, deci $|a|=1$: $a=1$ sau $a=-1$. Verificare: pentru $a=-1$ rădăcinile sunt $-1,1,-1$; pentru $a=1$ sunt $-1,i,-i$; în ambele cazuri suma puterilor 2024 este $1+1+1=3$.

Subiectul I.4: funcția polinomială și aria

a) $f^{\prime }(x)=3x^2+6x=3x(x+2)$ se anulează în $-2$ și $0$. Pe $[-3,-2]$, $f^{\prime }\ge 0$; pe $[-2,0]$, $f^{\prime }\le 0$; pe $[0,1]$, $f^{\prime }\ge 0$. Deci pe $[-3,1]$ minimul lui $f$ se atinge într-unul dintre punctele $-3$ și $0$, iar maximul într-unul dintre punctele $-2$ și $1$. Valorile: $f(-3)=-27+27-2=-2$, $f(-2)=-8+12-2=2$, $f(0)=-2$, $f(1)=1+3-2=2$. Așadar $-2\le f(x)\le 2$ pe $[-3,1]$, adică $|f(x)|\le 2$.

b) Semnul lui $g$. $f(x)=(x+1)\left(x^2+2x-2\right)$; rădăcinile factorului al doilea sunt $-1\pm \sqrt{3}$, iar $-1+\sqrt{3}\approx 0,73<1$. Deci pe $[1,+\infty )$ ambii factori sunt pozitivi, $f(x)>0$ și $g=\frac{1}{f}$ e bine definită și pozitivă. (Același lucru rezultă din monotonie: $f$ e crescătoare pe $[0,+\infty )$ și $f(1)=2$.)

Descompunerea în fracții simple. Căutăm $\frac{1}{(x+1)(x^2+2x-2)}=\frac{\alpha }{x+1}+\frac{\beta (x+1)}{x^2+2x-2}$. Aducând la același numitor, $1=\alpha \left(x^2+2x-2\right)+\beta (x+1{)}^2$. Pentru $x=-1$: $1=-3\alpha$, deci $\alpha =-\frac{1}{3}$. Coeficientul lui $x^2$ dă $\alpha +\beta =0$, deci $\beta =\frac{1}{3}$. Verificare: $-\frac{1}{3}\left(x^2+2x-2\right)+\frac{1}{3}\left(x^2+2x+1\right)=1$.

Integrala. Cum $(x^2+2x-2{)}^{\prime }=2(x+1)$, $$\mathcal{A}=-\frac{1}{3}\ln (x+1){|}_1^2+\frac{1}{6}\ln \left(x^2+2x-2\right){|}_1^2=-\frac{1}{3}\ln \frac{3}{2}+\frac{1}{6}\ln \frac{6}{1}=\frac{1}{6}\left(\ln 6-2\ln \frac{3}{2}\right)=\frac{1}{6}\ln \frac{8}{3}.$$ Numeric, $\mathcal{A}\approx 0,163$.

Unde se pierd puncte la specialitate

Aici sunt doar pașii pe care baremul îi punctează explicit:

• I.1.b: cele trei condiții, $\Delta >0$, suma negativă și produsul pozitiv, au un rând de 3 puncte; scrierea lor în funcție de $a$ alt rând de 3 puncte; intersecția, $a\in (-\infty ,-2)$, 2 puncte.
• I.2.b: punctajul se împarte în trei: $N$ mijlocul lui $BE$ (2 puncte), congruența triunghiurilor $ADF$ și $BDN$ cu $AF=\frac{AC}{4}$ (3 puncte), apoi centrul de greutate, $F$ mijlocul lui $AM$ și linia mijlocie $EF$ (3 puncte).
• I.3.b: descompunerea $f=(X+1)(X^2+a)$ (2 puncte), suma $1+2a^{1012}$ (3 puncte) și ambele valori, $a=1$ și $a=-1$ (3 puncte).
• I.4.a: monotonia pe cele trei intervale (3 puncte) și cele patru valori $f(-3)$, $f(-2)$, $f(0)$, $f(1)$ (4 puncte).
• I.4.b: scrierea ariei ca integrala lui $g$, cu $g\ge 0$ pe $[1,2]$ (3 puncte), și descompunerea în fracții simple (2 puncte).

Din rigoare (baremul nu le cere): poziția lui $F$ pe latura $AC$, fără de care $AF=\frac{AC}{4}$ nu dă mijlocul lui $AM$, la I.2.b; motivul pentru care $g\ge 0$ pe $[1,2]$ (factorul $x^2+2x-2$ are rădăcinile $-1\pm \sqrt{3}$, mai mici decât 1) și calculul coeficienților fracțiilor simple la I.4.b; faptul că egalitatea $x^2=-a$ rămâne adevărată și pentru rădăcinile complexe, la I.3.b. Sunt scrise în rezolvare pentru o demonstrație întreagă; notarea se face după barem.

Subiectul al II-lea: modelul nostru de răspuns la metodică

Baremul nu propune itemi; dă puncte oricărui item care îndeplinește cele cinci criterii. Iată un răspuns posibil, gândit pe fiecare criteriu. Cei trei itemi formează o probă scurtă pentru finalul unității „Arii și volume ale unor corpuri geometrice”, cu 20 + 20 + 50 = 90 de puncte și 10 din oficiu; se poate da și la clasă.

Ce acoperă itemii. Unitatea are trei conținuturi: distanțe și unghiuri în corpuri, ariile și volumele corpurilor (prisme, piramide, cilindru, con, trunchiuri), sfera. Am ales un item pe volumul unei prisme, unul pe elementele unei prisme și o problemă practică pe cilindru, cu o estimare.

Itemul 1, de tip completare (20 de puncte)

• Competența specifică: 3.5. Alegerea metodei adecvate pentru calcularea unor caracteristici numerice ale corpurilor geometrice.
• Activitatea din programă: „Determinarea ariei laterale, a ariei totale și a volumului corpurilor geometrice studiate prin aplicarea directă a formulelor de calcul”.
• Itemul: Completați spațiul punctat cu răspunsul corect. O prismă patrulateră regulată are latura bazei de $4$ cm și înălțimea de $9$ cm. Volumul prismei este egal cu $\dots \dots$ cm³.
• Răspunsul așteptat (barem): $144$ — 20 de puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.
• Formatul: un enunț incomplet, cu un singur loc gol, la final; unitatea de măsură e dată, deci răspunsul e un număr.
• De ce e corect: baza unei prisme patrulatere regulate e un pătrat, cu aria $4^2=16$ cm², iar volumul prismei e aria bazei înmulțită cu înălțimea: $16\cdot 9=144$ cm³. Greșelile tipice se recunosc după răspuns: $36$ (latura în loc de aria bazei, $4\cdot 9$), $48$ (formula piramidei, $\frac{16\cdot 9}{3}$).

Itemul 2, de tip alegere multiplă (20 de puncte)

• Competența specifică: 1.5. Identificarea corpurilor geometrice și a elementelor metrice necesare pentru calcularea ariei sau a volumului acestora.

• Activitatea din programă: „Identificarea elementelor corpurilor geometrice în configurații spațiale și pe desfășurări (diagonale, vârfuri, muchii, fețe)”.

• Itemul: Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect. Numărul muchiilor unei prisme hexagonale regulate este:

  A. $6$ B. $8$ C. $12$ D. $18$

• Răspunsul așteptat (barem): D — 20 de puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.

• Formatul: o premisă și patru variante, dintre care exact una corectă; fiecare distractor e un alt număr asociat aceluiași corp.

• De ce e corect: prisma are două baze hexagonale, cu câte $6$ muchii fiecare, și $6$ muchii laterale: $6+6+6=18$. Distractorii: A numără doar muchiile laterale (sau ale unei baze), B e numărul fețelor ($2+6$), C e numărul vârfurilor ($6+6$). Verificare cu relația lui Euler pentru poliedre: $V-M+F=12-18+8=2$.

Itemul 3, de tip rezolvare de probleme (50 de puncte)

• Competența specifică: 6.5. Interpretarea informațiilor referitoare la distanțe, arii și volume după modelarea printr-o configurație spațială a unei situații date din cotidian.
• Activitatea din programă: „Estimarea rezultatelor unor calcule referitoare la distanțe, măsuri de unghiuri, arii și volume”.
• Itemul: Un rezervor de apă are forma unui cilindru circular drept, cu raza bazei de $50$ cm și înălțimea de $1,2$ m. Rezervorul este plin cu apă până la trei sferturi din înălțime. Andrei vrea să ude grădina cu $30$ de stropitori a câte $20$ de litri. Arătați, fără a calcula o valoare aproximativă a lui $\pi$ cu zecimale, că apa din rezervor îi ajunge.
• Răspunsul așteptat (barem):
  • transformarea în decimetri: $r=5$ dm, $h=12$ dm (și $1{\text{ dm}}^3=1$ l) — 5 puncte;
  • formula volumului cilindrului: $V=\pi r^{2}h$ — 5 puncte;
  • $V=\pi \cdot 25\cdot 12=300\pi {\text{ dm}}^3$ — 10 puncte;
  • apa: $\frac{3}{4}\cdot 300\pi =225\pi {\text{ dm}}^3=225\pi$ litri — 10 puncte;
  • necesarul: $30\cdot 20=600$ litri — 5 puncte;
  • estimarea: $\pi >3$, deci $225\pi >675>600$ — 10 puncte;
  • concluzia: apa îi ajunge lui Andrei — 5 puncte.
• Formatul: o situație din viața de zi cu zi, în care elevul alege unitatea potrivită, calculează un volum și compară rezultatul cu necesarul printr-o estimare. Baremul e pe etape, ca un răspuns parțial să primească puncte parțiale.
• De ce e corect: volumul apei este $225\pi \approx 706,9$ litri, mai mult decât cei $600$ de litri. Estimarea $\pi >3$ ajunge pentru comparație, pentru că și cu $3$ în loc de $\pi$ rezultă $675$ de litri; elevul vede astfel de ce nu are nevoie de mai multe zecimale. Cilindrul circular drept e în lista de conținuturi a unității.

Proba la clasă și standardele din 2026

Standardele naționale de evaluare au fost publicate în Monitorul Oficial nr. 674 bis din 14.08.2026 (OMEC nr. 4615/04.08.2026), la peste doi ani după proba din 24 iulie 2024, deci baremul nu le putea folosi. La clasă se aplică din 2026–2027. Mai jos, fiecare item lângă standardul cel mai apropiat, după descriptorii de la paginile 937–938 ale Monitorului:

La itemul 2 potrivirea e parțială: descriptorul vorbește despre muchiile concurente într-un vârf, iar itemul cere toate muchiile corpului. Descriptorii tuturor claselor: standardele de evaluare la matematică.

Greșeli frecvente la Subiectul al II-lea

• Trei itemi pe același corp sau pe aceeași formulă: evaluarea e la finalul întregii unități, deci e bine ca itemii să atingă conținuturi diferite (prisme, piramide, corpuri rotunde, distanțe în corpuri).
• Date care duc la rezultate greu de verificat la un item de completare: dacă itemul 1 ar cere volumul unui cilindru cu raza bazei de $4$ cm și înălțimea de $9$ cm, răspunsul unic e $144\pi$ cm³; „aproximativ 452” lasă loc la rotunjiri diferite. La corpurile rotunde, răspunsul se cere de regulă în funcție de $\pi$.
• Competența dintr-un bloc, activitatea din altul: rândul de barem cere doar menționarea activității, însă un item coerent își ia activitatea din blocul competenței.
• Completare cu mai multe răspunsuri bune („un corp cu 6 fețe este …”: cub, paralelipiped, prismă patrulateră): rândul „respectarea formatului” cere, de regulă, un singur răspuns corect.
• Două variante corecte la alegerea multiplă: tot rândul de format. Distractorii buni vin din confuzii reale (fețe, vârfuri, muchii).
• Baremul doar cu rezultatul final la problemă: răspunsul așteptat valorează 3 puncte din 10, iar o problemă se notează mai ușor și mai corect cu un barem pe etape.

Materiale pentru unitate

• Competențele și conținuturile clasei a VIII-a: programa clasei a VIII-a.
• Lecțiile capitolului: prisma dreaptă, aria și volumul prismei, paralelipipedul și cubul, piramida regulată, volumul piramidei, cilindrul, conul, sfera, distanțe și unghiuri în corpuri.
• Teste pe capitol pentru elevi: arii, volume, distanțe, cilindrul și conul.

Întrebări frecvente

Unde găsesc subiectul și baremul oficial de la definitivat matematică 2024?

În arhiva Definitivat_2024.zip de pe subiecte2024.edu.ro: Def_109_Matematica_2024_var_02_LRO.pdf e subiectul, iar Def_109_Matematica_2024_bar_02_LRO.pdf e baremul. Pe pagina aceasta sunt transcrise amândouă, integral.

Din ce clasă a fost metodica la definitivat matematică 2024?

Din clasa a VIII-a. Secvența vine din programa școlară a clasei a VIII-a (OMEN nr. 3393/28.02.2017): competențele 1.5–6.5 și capitolul „Arii și volume ale unor corpuri geometrice”. Se cer trei itemi, de completare, de alegere multiplă și de rezolvare de probleme, pentru o evaluare la finalul acestei unități.

Unde se pierd cele mai multe puncte la definitivatul la matematică din 2024?

Pe rândurile pe care baremul le punctează separat. La funcția de gradul al doilea, cele trei condiții pentru rădăcini negative distincte și apoi intersecția lor. La geometrie, punctajul de la b) are trei pași: mijlocul lui BE, congruența triunghiurilor ADF și BDN, apoi linia mijlocie EF. La polinom, ambele valori, a = 1 și a = −1. La arie, faptul că g e pozitivă pe [1, 2] și descompunerea în fracții simple. La metodică, un răspuns neunic la completare sau două variante corecte la alegerea multiplă pierd din punctele de format.

Mai departe

• Definitivat matematică: subiecte, programă și nota finală: etapele examenului, nota finală și toți anii.
• Definitivat matematică 2025 și 2023: probele vecine, rezolvate la fel.
• Calculatorul de medie la definitivat: nota finală și nota de care ai nevoie la proba scrisă.
• Titularizare matematică 2024: proba din același an la titularizare.

Sursele

• Subiectul și baremul (CNPEE, Ministerul Educației): „Examenul național pentru definitivare în învățământul preuniversitar, 24 iulie 2024, Probă scrisă, Matematică, Varianta 2”, subiect și barem, arhiva Definitivat_2024.zip de pe subiecte2024.edu.ro.
• Metodologia: OMEC nr. 5434/2020 (Metodologia-cadru de organizare și desfășurare a examenului național pentru definitivare în învățământul preuniversitar), modificată prin OME nr. 5722/2022, art. 35, în forma publicată pe definitivat.edu.ro.
• Programa școlară de matematică pentru gimnaziu: anexa 2 la OMEN nr. 3393/28.02.2017.
• Standardele de evaluare: anexa 29 la OMEC nr. 4615/04.08.2026, Monitorul Oficial, Partea I, nr. 674 bis din 14.08.2026, p. 937–938.

Verificat de noi pe 17.10.2026: am citit subiectul și baremul pe imaginea paginilor oficiale. Textul extras din PDF pierde modulul din enunțul de la 4.a ($|f(x)|\le 2$ apare doar în imagine) și semnele de paralelism din barem, iar simbolurile $\Delta$ (discriminantul și triunghiurile din barem) apar, invers, doar în text. Rezolvarea, geometria pe coordonate, răspunsurile celor trei itemi și suma punctajelor lor le-am recalculat cu un program de calcul simbolic.