Subiecte definitivat matematică 2025: barem și rezolvare pas cu pas

Pe scurt: proba scrisă de matematică de la definitivat s-a dat pe 8 iulie 2025 și a durat 4 ore. Subiectul I (60 de puncte), de specialitate, are patru probleme, fiecare cu o cerință de 7 puncte și una de 8: o familie de funcții de gradul al doilea, un pătrat cu două drepte perpendiculare, o lege de compoziție cu radical de ordinul trei și o funcție convexă cu o arie. Subiectul al II-lea (30 de puncte), de metodică, cere trei itemi pentru o evaluare la finalul unității „Patrulaterul” de la clasa a VII-a. Se adaugă 10 puncte din oficiu. Mai jos sunt subiectul de la definitivat matematică 2025, transcris exact, baremul oficial (publicat de CNCE, Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare), rezolvarea fiecărei cerințe și un exemplu de răspuns la metodică.

Actualizat: 17 octombrie 2026.

Pe pagină: Cum a arătat proba · Modelul pentru 2026 · Subiectul oficial · Baremul · Rezolvarea pas cu pas · Metodica · Întrebări

Cum a arătat proba din 2025

Fiecare lucrare e notată de doi evaluatori, independent, după barem. Nota la proba scrisă e media celor două note, cu două zecimale și fără rotunjire; dacă ele diferă cu mai mult de un punct, lucrarea o recorectează un al treilea evaluator și nota devine media celor trei (OMEC nr. 5434/2020, art. 35, în forma de azi). Proba din 2025 s-a dat după metodologia sesiunii 2025. Cum intră nota la scris în nota finală și ce notă îți trebuie pentru 8 găsești pe pagina definitivatului la matematică și în calculatorul de medie la definitivat.

Ambele fișiere sunt în arhiva ZIP a sesiunii, pe subiecte2025.edu.ro (adresa merge doar pe http; arhiva are aproximativ 21 MB și cuprinde toate disciplinele): Def_109_Matematica_2025_var_02_LRO.pdf (subiectul) și Def_109_Matematica_2025_bar_02_LRO.pdf (baremul). Am transcris Varianta 2, adică varianta pe care CNCE a publicat-o în arhiva oficială.

Modelul pentru 2026 repetă proba aceasta, cu alt antet; detaliile sunt mai jos, la modelul pentru 2026.

Exersează în condiții de examen: pune ceasul la 4 ore, lucrează doar pe subiectul oficial (îl poți tipări), apoi punctează-te singur cu baremul și recitește rezolvarea la cerințele unde n-ai luat tot punctajul.

Modelul pentru 2026: identic cu proba din 2025

Modelul de subiect publicat pentru definitivatul la matematică din 2026 are exact cerințele și baremul probei de pe pagina aceasta (Varianta 2 din 8 iulie 2025): aceleași patru probleme la Subiectul I, aceeași secvență de la clasa a VII-a și aceeași cerință de metodică la Subiectul al II-lea. Diferă doar antetul: data „14 iulie 2026” și cuvântul „Model” în locul variantei. Am comparat cuvânt cu cuvânt subiectul și baremul modelului cu cele din 2025, apoi am citit pe imagine fiecare formulă și fiecare punctaj al modelului; singurele deosebiri în afara antetului sunt de tipografie (unele activități din secvență sunt culese parțial drept, parțial cursiv).

• Unde îl găsești: arhiva Modele_Definitivat_2026.zip, pe subiecte2026.edu.ro (doar pe http; aproximativ 41 MB, toate disciplinele), cu fișierele Def_109_Matematica_2026_var_model.pdf (subiectul) și Def_109_Matematica_2026_bar_model.pdf (baremul).
• Când a apărut: PDF-ul modelului a fost creat pe 27.11.2025 (data din proprietățile fișierului), iar arhiva are pe server data 15.12.2025; data din antet e data planificată a probei.
• Textul și rezolvarea: sunt cele de mai jos, de la subiectul oficial, barem și rezolvare până la metodică.

Modelul nu a fost proba: proba dată pe 14 iulie 2026 a avut alte cerințe, cu metodica la clasa a VI-a; e rezolvată pe pagina definitivatului din 2026.

Subiectul oficial (Varianta 2)

Examenul național pentru definitivare în învățământul preuniversitar, 8 iulie 2025. Probă scrisă. Matematică. Varianta 2.

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de patru ore.

Subiectul I (60 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=m{x}^2+2(m+1)x+m+2$, unde $m$ este număr real nenul.

• (7p) a) Arătați că $-1$ este soluție a ecuației $f(x)=0$, pentru orice număr real nenul $m$.
• (8p) b) Demonstrați că, pentru orice număr real nenul $m$, vârful parabolei asociate funcției $f$ aparține dreptei de ecuație $y=x+1$.

2. Se consideră pătratul $ABCD$. Punctele $E$ și $F$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $BC$, iar dreptele $DE$ și $AF$ se intersectează în punctul $N$.

• (7p) a) Arătați că dreptele $AF$ și $DE$ sunt perpendiculare.
• (8p) b) Demonstrați că triunghiul $CNB$ este isoscel.

3. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=\sqrt[3]{x^3+y^3}$.

• (7p) a) Arătați că $-2$ este simetricul lui $2$ în raport cu legea de compoziție „$\ast$”.
• (8p) b) Determinați numerele întregi $n$ pentru care $\sqrt[3]{7}\ast n>n+1$.

4. Se consideră funcția $f:(-4,4)\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-\sqrt{16-x^2}$.

• (7p) a) Arătați că funcția $f$ este convexă.
• (8p) b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=2$ și $x=2\sqrt{3}$ are aria mai mică decât $\frac{5}{4}$.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Următoarea secvență face parte din programa școlară de matematică pentru clasa a VII-a.

Competențe specifice și exemple de activități de învățare

Clasa a VII-a

1.4. Identificarea patrulaterelor particulare în configurații geometrice date

• Identificarea patrulaterelor pe corpuri geometrice sau pe desfășurări ale acestora
• Recunoașterea patrulaterelor în cotidian (în sala de clasă, mediul înconjurător etc.)
• Identificarea patrulaterelor particulare în mediul înconjurător
• Identificarea paralelogramelor particulare într-o reprezentare geometrică dată
• Identificarea pătratelor dintr-o mulțime de dreptunghiuri și romburi

2.4. Descrierea patrulaterelor utilizând definiții și proprietăți ale acestora, în configurații geometrice date

• Recunoașterea patrulaterelor convexe în configurații geometrice date
• Descrierea unor proprietăți ale laturilor, unghiurilor și diagonalelor unor patrulatere particulare
• Recunoașterea paralelogramelor particulare pe baza unor proprietăți precizate
• Recunoașterea trapezului isoscel sau a trapezului dreptunghic

3.4. Utilizarea proprietăților patrulaterelor în rezolvarea unor probleme

• Demonstrarea proprietăților paralelogramelor particulare utilizând metode variate
• Utilizarea definiției și a proprietăților liniei mijlocii în trapez în rezolvarea de probleme
• Utilizarea liniei mijlocii pentru a demonstra paralelismul unor drepte
• Justificarea unor proprietăți ale patrulaterelor pe baza simetriei

4.4. Exprimarea în limbaj geometric a noțiunilor legate de patrulatere

• Construcția cu ajutorul instrumentelor geometrice a unor patrulatere utilizând definiția sau proprietăți ale acestora
• Transpunerea în desen a unei configurații geometrice referitoare la patrulatere descrise matematic
• Evidențierea liniei mijlocii în trapez pe baza definiției/proprietăților acesteia
• Evidențierea centrelor/axelor de simetrie pentru patrulaterele studiate
• Caracterizarea tipului de simetrie pentru patrulaterele studiate

5.4. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării calculării unor lungimi de segmente, a unor măsuri de unghiuri și a unor arii

• Rezolvarea unor probleme utilizând proprietățile paralelogramelor particulare și ale trapezului
• Analizarea unor metode alternative de rezolvare a problemelor de geometrie utilizând proprietăți ale patrulaterelor particulare
• Determinarea axei/centrului de simetrie a/al unei figuri (intuitiv sau/și prin demonstrație)
• Analizarea și construcția unor figuri cu simetrie axială sau centrală
• Deducerea formulei ariei unui paralelogram, folosind formula ariei dreptunghiului
• Deducerea formulei ariei unui triunghi, folosind formula ariei paralelogramului

6.4. Modelarea unor situații date prin reprezentări geometrice cu patrulatere

• Analizarea unei situații practice care necesită aplicarea proprietăților patrulaterelor particulare studiate
• Observarea diferenței dintre condițiile necesare și cele suficiente pentru ca un paralelogram să fie un paralelogram particular
• Estimarea perimetrului unui poligon sau a ariei unui poligon prin descompunere în figuri cunoscute

[...]

Notă: Conținuturile vor fi abordate din perspectiva competențelor specifice. Activitățile de învățare sugerate oferă o imagine posibilă privind contextele de formare/dezvoltare a acestor competențe.

(Programa școlară pentru disciplina Matematică, OMEN nr. 3393/28.02.2017)

Pentru o evaluare la finalul unității de învățare „Patrulaterul”, folosind informațiile din secvența precedentă, elaborați trei itemi: un item de tip completare, un item de tip alegere multiplă și un item de tip rezolvare de probleme.

În elaborarea itemilor veți avea în vedere următoarele aspecte:

• menționarea competenței specifice evaluate;
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat;
• respectarea formatului fiecărui tip de item elaborat;
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare);
• corectitudinea științifică a informației de specialitate.

Baremul oficial de evaluare și de notare

Examenul național pentru definitivare în învățământul preuniversitar, 8 iulie 2025. Probă scrisă. Matematică. Barem de evaluare și de notare. Varianta 2.

Reguli generale, din barem:

• Se punctează orice modalitate de rezolvare corectă a cerințelor, în limita punctajului maxim corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.

Subiectul I (60 de puncte)

1. a)

• $f(-1)=m(-1{)}^2+2(m+1)(-1)+m+2=$ — 3p
• $=m-2m-2+m+2=0$, pentru orice număr real nenul $m$, deci $-1$ este soluție a ecuației $f(x)=0$ — 4p

1. b)

• $x_V=-\frac{m+1}{m}$, pentru orice număr real nenul $m$ — 3p
• $y_V=-\frac{1}{m}$, pentru orice număr real nenul $m$ — 3p
• Obținem $y_V=x_V+1$, deci $V$, vârful parabolei, aparține dreptei de ecuație $y=x+1$, pentru orice număr real nenul $m$ — 2p

2. a)

• $\Delta DAE\equiv \Delta ABF\Rightarrow \sphericalangle ADE\equiv \sphericalangle EAN$ — 3p
• $\sphericalangle ADE+\sphericalangle AEN=90^{\circ }$, de unde obținem $\sphericalangle EAN+\sphericalangle AEN=90^{\circ }$, rezultă că $\sphericalangle ANE=90^{\circ }$, deci $AF\perp DE$ — 4p

2. b)

• $AF\cap DC=\{M\}$ și, cum $F$ este mijlocul segmentului $BC$, iar $FC\parallel AD$, rezultă că $FC$ este linie mijlocie în $\Delta AMD\Rightarrow C$ este mijlocul segmentului $DM$ — 3p
• $CN$ este mediană în triunghiul $DNM$, dreptunghic în $N$ — 2p
• $CN=\frac{DM}{2}=DC$, deci $CN=BC$, de unde obținem că $\Delta CNB$ este isoscel — 3p

3. a)

• $x\ast 0=0\ast x=x$, pentru orice număr real $x$, deci $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$” — 3p
• $(-2)\ast 2=\sqrt[3]{-8+8}=0$ și $2\ast (-2)=\sqrt[3]{8-8}=0$, deci $-2$ este simetricul lui $2$ în raport cu legea de compoziție „$\ast$” — 4p

3. b)

• $\sqrt[3]{7}\ast n=\sqrt[3]{7+n^3}$, pentru orice număr întreg $n$ — 3p
• $\sqrt[3]{7+n^3}>n+1\iff n^2+n-2<0$ — 2p
• $n\in (-2,1)$ și, cum $n$ este număr întreg, obținem $n=-1$ și $n=0$ — 3p

4. a)

• $f^{\prime }(x)=1+\frac{x}{\sqrt{16-x^2}}$, $x\in (-4,4)$ — 2p
• $f^{\prime \prime }(x)=\frac{\sqrt{16-x^2}+\frac{x^2}{\sqrt{16-x^2}}}{16-x^2}=\frac{16}{\left(16-x^2\right)\sqrt{16-x^2}}$, $x\in (-4,4)$ — 3p
• $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$, pentru orice $x\in (-4,4)$, de unde obținem că funcția $f$ este convexă — 2p

4. b)

• Cum $f(x)\le 0$, pentru orice $x\in \left[2,2\sqrt{2}\right]$ și $f(x)\ge 0$, pentru orice $x\in \left[2\sqrt{2},2\sqrt{3}\right]$, obținem $\mathcal{A}={\int }_2^{2\sqrt{3}}\left|f(x)\right|dx={\int }_2^{2\sqrt{2}}\left(-f(x)\right)dx+{\int }_{2\sqrt{2}}^{2\sqrt{3}}f(x)dx$ — 2p
• ${\int }_2^{2\sqrt{2}}\left(-f(x)\right)dx={\int }_2^{2\sqrt{2}}\left(-x+\sqrt{16-x^2}\right)dx=\left(-\frac{x^2}{2}+\frac{x\sqrt{16-x^2}}{2}+8\arcsin \frac{x}{4}\right){|}_2^{2\sqrt{2}}=2-2\sqrt{3}+\frac{2\pi }{3}$; ${\int }_{2\sqrt{2}}^{2\sqrt{3}}f(x)dx={\int }_{2\sqrt{2}}^{2\sqrt{3}}\left(x-\sqrt{16-x^2}\right)dx=\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x\sqrt{16-x^2}}{2}-8\arcsin \frac{x}{4}\right){|}_{2\sqrt{2}}^{2\sqrt{3}}=6-2\sqrt{3}-\frac{2\pi }{3}$ — 4p
• $\mathcal{A}=8-4\sqrt{3}$ și, cum $27<16\sqrt{3}$, obținem $\mathcal{A}<\frac{5}{4}$ — 2p

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Itemul de tip completare elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• respectarea formatului itemului — 2p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 3p
• corectitudinea științifică a informației de specialitate — 3p

Itemul de tip alegere multiplă elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• respectarea formatului itemului — 2p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 3p
• corectitudinea științifică a informației de specialitate — 3p

Itemul de tip rezolvare de probleme elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• respectarea formatului itemului — 2p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 3p
• corectitudinea științifică a informației de specialitate — 3p

Rezolvarea noastră, pas cu pas

Mergem pe firul baremului și completăm ce lipsește dintr-o demonstrație întreagă: de ce se intersectează dreptele $AF$ și $DC$, de ce se poate trece la cuburi în inecuația de la 3.b, de unde vine semnul funcției la 4.b. Le scriem pentru rigoare; nota se dă după barem. Fiecare rezultat l-am verificat cu un program de calcul simbolic.

Subiectul I.1: parabola cu parametru

a) Înlocuim $x=-1$: $f(-1)=m-2(m+1)+m+2=m-2m-2+m+2=0$. Rezultatul nu depinde de $m$, deci $-1$ e rădăcină pentru orice $m\ne 0$. Altfel spus, $f(x)=(x+1)(mx+m+2)$, iar a doua rădăcină este $-\frac{m+2}{m}$.

b) Pentru $m\ne 0$, $f$ e de gradul al doilea, cu $a=m$, $b=2(m+1)$, $c=m+2$. Discriminantul este $$\Delta =4(m+1{)}^2-4m(m+2)=4\left(m^2+2m+1-m^2-2m\right)=4.$$ Coordonatele vârfului: $x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{m+1}{m}$ și $y_V=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{1}{m}$. Atunci $x_V+1=\frac{-m-1+m}{m}=-\frac{1}{m}=y_V$, deci vârful se află pe dreapta $y=x+1$, oricare ar fi $m$ nenul.

Observație. Dreapta $y=x+1$ trece prin punctul $(-1,0)$ de la a): toate parabolele familiei trec prin acel punct, iar vârfurile lor se plimbă pe o dreaptă fixă prin el.

Subiectul I.2: pătratul și dreptele perpendiculare

Notăm cu $\ell$ latura pătratului.

a) Triunghiurile $DAE$ și $ABF$ sunt dreptunghice în $A$, respectiv în $B$, cu $DA=AB=\ell$ și $AE=BF=\frac{\ell }{2}$. Din cazul de congruență cateta–cateta, $\Delta DAE\equiv \Delta ABF$, deci $\sphericalangle ADE\equiv \sphericalangle BAF$, adică $\sphericalangle ADE\equiv \sphericalangle EAN$. În triunghiul $DAE$, $m(\sphericalangle ADE)+m(\sphericalangle AED)=90^{\circ }$. Înlocuind, $m(\sphericalangle EAN)+m(\sphericalangle AEN)=90^{\circ }$, deci în triunghiul $AEN$ unghiul din $N$ are $90^{\circ }$: $AF\perp DE$.

b) Punctul $M$. Dreapta $AF$ nu e paralelă cu $DC$: dacă ar fi, ar fi paralelă și cu $AB$, ceea ce nu se poate, pentru că $F\notin AB$. Fie $M$ intersecția lor. În triunghiul $AMD$, segmentul $FC$ are capetele pe laturile $AM$ și $DM$ și este paralel cu $AD$, deci, din teorema lui Thales, $\frac{MC}{MD}=\frac{FC}{AD}=\frac{1}{2}$. Așadar $C$ este mijlocul lui $DM$ (iar $FC$ e linie mijlocie, cum scrie baremul) și $DM=2\ell$.

Mediana. Punctul $N$ e pe dreapta $AM$, iar $DN\perp AM$ (de la a)), deci triunghiul $DNM$ e dreptunghic în $N$. Mediana din vârful unghiului drept e jumătate din ipotenuză: $CN=\frac{DM}{2}=\ell =BC$. Triunghiul $CNB$ are $CN=CB$, deci e isoscel.

Verificare pe coordonate. Cu $A(0,0)$, $B(2,0)$, $C(2,2)$, $D(0,2)$ ies $N\left(\frac{4}{5},\frac{2}{5}\right)$, $M(4,2)$ și $CN=2=CB$.

Subiectul I.3: legea cu radical de ordinul trei

a) Simetricul se definește față de elementul neutru, deci întâi îl găsim. Pentru orice $x$ real, $x\ast 0=\sqrt[3]{x^3+0}=x$ și $0\ast x=x$, deci $e=0$. Apoi $(-2)\ast 2=\sqrt[3]{-8+8}=0=e$ și $2\ast (-2)=\sqrt[3]{8-8}=0=e$, deci $-2$ este simetricul lui $2$. (Legea e comutativă, așa că una dintre egalități ar ajunge, dacă precizăm comutativitatea.)

b) $\sqrt[3]{7}\ast n=\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{7}\right)}^3+n^3}=\sqrt[3]{7+n^3}$. Funcția $t\mapsto t^3$ e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci pentru numere reale $u>v⟺u^3>v^3$; inegalitatea se poate ridica la cub fără să-și schimbe sensul: $$\sqrt[3]{7+n^3}>n+1⟺7+n^3>(n+1{)}^3⟺7>3n^2+3n+1⟺n^2+n-2<0⟺(n+2)(n-1)<0.$$ Deci $n\in (-2,1)$, iar numerele întregi din acest interval sunt $n=-1$ și $n=0$. Verificare: pentru $n=-1$, $\sqrt[3]{6}>0$; pentru $n=0$, $\sqrt[3]{7}>1$; pentru $n=1$, $\sqrt[3]{8}=2$, care nu e mai mare decât $2$.

Subiectul I.4: funcția convexă și aria

a) Pe $(-4,4)$, $16-x^2>0$, deci $f$ e derivabilă de două ori. $f^{\prime }(x)=1+\frac{x}{\sqrt{16-x^2}}$, iar $$f^{\prime \prime }(x)=\frac{\sqrt{16-x^2}+\frac{x^2}{\sqrt{16-x^2}}}{16-x^2}=\frac{16}{\left(16-x^2\right)\sqrt{16-x^2}}>0,$$ deci $f$ este convexă pe $(-4,4)$.

b) Semnul lui $f$. Pe $[2,2\sqrt{3}]$ avem $x>0$, deci $f(x)\le 0⟺x\le \sqrt{16-x^2}⟺x^2\le 16-x^2⟺x\le 2\sqrt{2}$. Așadar $f\le 0$ pe $[2,2\sqrt{2}]$ și $f\ge 0$ pe $[2\sqrt{2},2\sqrt{3}]$, iar aria se împarte în două integrale.

Primitiva. Cu formula $\int \sqrt{16-x^2}dx=\frac{x\sqrt{16-x^2}}{2}+8\arcsin \frac{x}{4}+C$, o primitivă a lui $f$ este $F(x)=\frac{x^2}{2}-\frac{x\sqrt{16-x^2}}{2}-8\arcsin \frac{x}{4}$. Valorile ei:

• $F(2)=2-2\sqrt{3}-\frac{4\pi }{3}$ (pentru că $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ și $\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$);
• $F(2\sqrt{2})=4-4-2\pi =-2\pi$ ($\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$);
• $F(2\sqrt{3})=6-2\sqrt{3}-\frac{8\pi }{3}$ ($\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}$).

Atunci $${\int }_2^{2\sqrt{2}}\left(-f\right)=F(2)-F(2\sqrt{2})=2-2\sqrt{3}+\frac{2\pi }{3},{\int }_{2\sqrt{2}}^{2\sqrt{3}}f=F(2\sqrt{3})-F(2\sqrt{2})=6-2\sqrt{3}-\frac{2\pi }{3}.$$ Suma este $\mathcal{A}=8-4\sqrt{3}\approx 1,072$. Comparația: $8-4\sqrt{3}<\frac{5}{4}⟺\frac{27}{4}<4\sqrt{3}⟺27<16\sqrt{3}$, iar ambii membri fiind pozitivi, $27^2=729<768=256\cdot 3$. Deci $\mathcal{A}<\frac{5}{4}$.

Unde se pierd puncte la specialitate

Aici sunt doar pașii pe care baremul îi punctează explicit:

• I.1.b: abscisa vârfului (3 puncte) și ordonata lui (3 puncte) au rânduri separate; concluzia $y_V=x_V+1$ mai valorează 2 puncte.
• I.2.b: trei rânduri: $C$ mijlocul lui $DM$ (3 puncte), $CN$ mediană în triunghiul dreptunghic $DNM$ (2 puncte), $CN=\frac{DM}{2}=DC=BC$ (3 puncte).
• I.3.a: elementul neutru $e=0$ are un rând al lui, de 3 puncte; calculul $(-2)\ast 2=0$ singur nu le aduce.
• I.3.b: reducerea la $n^2+n-2<0$ (2 puncte) și alegerea numerelor întregi, $-1$ și $0$, din interval (3 puncte).
• I.4.a: concluzia „$f^{\prime \prime }\ge 0$, deci $f$ convexă” e un rând de 2 puncte, separat de calculul lui $f^{\prime \prime }$.
• I.4.b: semnul lui $f$ pe cele două intervale, cu aria scrisă ca sumă de două integrale (2 puncte), și comparația finală $27<16\sqrt{3}$ (2 puncte).

Din rigoare (baremul nu le cere): existența punctului $M$ și teorema lui Thales care dă $C$ mijlocul lui $DM$ la I.2.b; monotonia funcției $t\mapsto t^3$, care permite ridicarea la cub a inegalității la I.3.b; de ce $f\le 0$ exact pe $[2,2\sqrt{2}]$ la I.4.b. Le-am scris în rezolvare ca demonstrația să fie completă, dar punctajul se dă după barem.

Subiectul al II-lea: modelul nostru de răspuns la metodică

Baremul nu dă itemi-model; acordă punctele oricărui item care îndeplinește cele cinci criterii. Mai jos e o variantă de răspuns, făcută să bifeze fiecare criteriu. Cei trei itemi alcătuiesc o probă scurtă pentru finalul unității „Patrulaterul”, punctată cu 20 + 20 + 50 = 90 de puncte, plus 10 din oficiu, pe care o poți da și la clasă.

Ce cere unitatea. Capitolul „Patrulaterul” are cinci conținuturi: patrulaterul convex, paralelogramul, paralelogramele particulare, trapezul și ariile. O evaluare la final nu se face cu trei itemi pe același conținut, așa că am luat câte unul pe trapez și linia mijlocie, pe paralelogramele particulare și pe arii. Teorema lui Pitagora e în alt capitol al clasei a VII-a („Relații metrice în triunghiul dreptunghic”), de aceea niciun item nu o folosește.

Itemul 1, de tip completare (20 de puncte)

• Competența specifică: 3.4. Utilizarea proprietăților patrulaterelor în rezolvarea unor probleme.
• Activitatea din programă: „Utilizarea definiției și a proprietăților liniei mijlocii în trapez în rezolvarea de probleme”.
• Itemul: Completați spațiul punctat cu răspunsul corect. Trapezul $ABCD$ are bazele $AB$ și $CD$, cu $AB=14$ cm, iar linia mijlocie a trapezului are lungimea de $11$ cm. Lungimea bazei $CD$ este egală cu $\dots \dots$ cm.
• Răspunsul așteptat (barem): $8$ — 20 de puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.
• Formatul: un enunț incomplet, cu un singur loc de completat, la final; răspunsul e un singur număr, iar unitatea de măsură e dată.
• De ce e corect: linia mijlocie a trapezului are lungimea egală cu semisuma bazelor: $\frac{14+CD}{2}=11$, deci $CD=22-14=8$ cm. Răspunsurile greșite tipice spun ce n-a înțeles elevul: $3$ și $25$ vin amândouă din confuzia „linia mijlocie e diferența bazelor”, citită într-un sens sau în celălalt: $14-CD=11$ dă $CD=3$, iar $CD-14=11$ dă $CD=25$.

Itemul 2, de tip alegere multiplă (20 de puncte)

• Competența specifică: 2.4. Descrierea patrulaterelor utilizând definiții și proprietăți ale acestora, în configurații geometrice date.

• Activitatea din programă: „Recunoașterea paralelogramelor particulare pe baza unor proprietăți precizate”.

• Itemul: Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect. În paralelogramul $ABCD$, diagonalele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$. Paralelogramul $ABCD$ este sigur dreptunghi dacă:

  A. $AB=BC$ B. $AC\perp BD$ C. $AC=BD$ D. $AO=OC$

• Răspunsul așteptat (barem): C — 20 de puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.

• Formatul: o premisă și patru variante, una singură corectă; fiecare variantă greșită corespunde unei confuzii precise.

• De ce e corect: un paralelogram cu diagonalele congruente este dreptunghi, deci C e corectă. Celelalte nu ajung: A și B fac din paralelogram un romb, care poate să nu aibă unghiuri drepte (le alege elevul care încurcă proprietățile rombului cu ale dreptunghiului); D e adevărată în orice paralelogram, pentru că diagonalele se înjumătățesc (o alege elevul care confundă o proprietate a tuturor paralelogramelor cu una care le deosebește). Un pătrat îndeplinește A și B, dar un romb care nu e pătrat le îndeplinește și el, de aceea ele nu garantează dreptunghiul.

Itemul 3, de tip rezolvare de probleme (50 de puncte)

• Competența specifică: 6.4. Modelarea unor situații date prin reprezentări geometrice cu patrulatere.
• Activitatea din programă: „Analizarea unei situații practice care necesită aplicarea proprietăților patrulaterelor particulare studiate”.
• Itemul: Grădina lui Andrei are forma trapezului dreptunghic $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AD\perp AB$, $AB=30$ m, $CD=18$ m și $AD=12$ m. Andrei construiește un gard interior $CE$, cu $E$ pe latura $AB$ și $CE\perp AB$. Pe dreptunghiul $AECD$ cultivă legume, iar pe triunghiul $EBC$ seamănă gazon. Un sac de semințe de gazon ajunge pentru $25{\text{ m}}^2$. Aflați aria grădinii și numărul minim de saci de semințe de care are nevoie Andrei.
• Răspunsul așteptat (barem):
  • aria trapezului: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{(AB+CD)\cdot AD}{2}$ — 5 puncte;
  • ${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{(30+18)\cdot 12}{2}=288{\text{ m}}^2$ — 5 puncte;
  • $AECD$ are unghiurile din $A$, $E$ și $D$ drepte ($AD\perp AB$, $CE\perp AB$, iar $CD\parallel AB$ dă $CD\perp AD$), deci e dreptunghi — 10 puncte;
  • $AE=CD=18$ m și $CE=AD=12$ m, deci $EB=30-18=12$ m — 10 puncte;
  • aria triunghiului dreptunghic $EBC$: $\frac{EB\cdot CE}{2}=\frac{12\cdot 12}{2}=72{\text{ m}}^2$ — 10 puncte;
  • doi saci acoperă $50{\text{ m}}^2<72{\text{ m}}^2$, deci nu ajung — 5 puncte;
  • trei saci acoperă $75{\text{ m}}^2\ge 72{\text{ m}}^2$, deci îi trebuie cel puțin $3$ saci — 5 puncte.
• Formatul: o situație practică nouă, în care elevul alege figurile, calculează ariile și interpretează rezultatul ($72:25=2,88$ nu e un număr de saci; răspunsul e $3$). Baremul e pe etape, ca un răspuns parțial să primească puncte parțiale.
• De ce e corect: ariile ies exact: dreptunghiul $AECD$ are $18\cdot 12=216{\text{ m}}^2$, triunghiul $72{\text{ m}}^2$, iar suma lor e chiar aria trapezului, $288{\text{ m}}^2$, ceea ce dă elevului o verificare. Lungimile folosite rezultă din dreptunghi, fără teorema lui Pitagora, care nu face parte din unitate.

Proba la clasă și standardele din 2026

Standardele naționale de evaluare au apărut în Monitorul Oficial nr. 674 bis din 14.08.2026 (OMEC nr. 4615/04.08.2026), la peste un an după proba din 8 iulie 2025; baremul de atunci nu avea cum să le folosească. La clasă însă contează din 2026–2027. Mai jos, fiecare item e pus lângă standardul cel mai apropiat, după descriptorii de la paginile 917–920 ale Monitorului:

La itemul 2, competența declarată (2.4) acoperă recunoașterea dreptunghiului; standardele așază întrebarea „ce condiție e suficientă” și la VII.CS.6.4. Descriptorii tuturor claselor: standardele de evaluare la matematică.

Greșeli frecvente la Subiectul al II-lea

• Trei itemi pe același conținut, de exemplu trei calcule de arie: evaluarea e la finalul întregii unități, deci e bine ca itemii să acopere conținuturi diferite (trapez, paralelograme particulare, arii).
• Itemi care cer teorema lui Pitagora: ea e în capitolul „Relații metrice în triunghiul dreptunghic”, deci itemul iese din unitatea evaluată. Alege date din care lungimile rezultă direct din proprietățile patrulaterelor.
• Competența dintr-un bloc, activitatea din altul: rândul de barem cere doar menționarea unei activități, dar itemul rămâne coerent numai cu activitatea din blocul competenței; ia-o de acolo.
• Completare cu mai multe răspunsuri bune („un patrulater cu diagonalele congruente este …” acceptă dreptunghi, pătrat, trapez isoscel): rândul „respectarea formatului” cere, de regulă, un singur răspuns corect.
• Două variante corecte la alegerea multiplă, de exemplu „romb” și „pătrat” la o întrebare despre diagonale perpendiculare: tot rândul de format. Construiește distractorii din confuzii reale, ca alegerea lor să-ți spună ceva despre elev.
• Baremul doar cu rezultatul final la problemă: răspunsul așteptat valorează 3 puncte din 10, iar o problemă se notează mai ușor și mai corect cu un barem pe etape.

Materiale pentru unitate

• Competențele și conținuturile clasei a VII-a: programa clasei a VII-a.
• Lecțiile capitolului: patrulaterul convex, paralelogramul, când un patrulater e paralelogram, dreptunghiul, rombul, pătratul, trapezul, linia mijlocie în trapez, aria trapezului.
• Teste pe capitol pentru elevi: paralelograme particulare, trapezul și linia mijlocie, arii.

Întrebări frecvente

Unde găsesc subiectul și baremul oficial de la definitivat matematică 2025?

În arhiva DEFINITIVAT_2025.zip de pe subiecte2025.edu.ro: fișierul Def_109_Matematica_2025_var_02_LRO.pdf e subiectul, iar Def_109_Matematica_2025_bar_02_LRO.pdf e baremul. Pe pagina aceasta le găsești transcrise pe amândouă, integral.

Din ce clasă a fost metodica la definitivat matematică 2025?

Din clasa a VII-a. Secvența vine din programa școlară a clasei a VII-a (OMEN nr. 3393/28.02.2017): competențele 1.4–6.4 și capitolul „Patrulaterul”. Se cer trei itemi, de completare, de alegere multiplă și de rezolvare de probleme, pentru o evaluare la finalul unității.

Modelul de definitivat pentru 2026 e același cu proba din 2025?

Da. Modelul publicat pentru sesiunea 2026 are aceleași patru probleme la Subiectul I, aceeași secvență de la clasa a VII-a și același barem ca Varianta 2 din 2025. S-a schimbat doar antetul, care poartă data probei din 2026 și cuvântul „Model”. Modelul e în arhiva Modele_Definitivat_2026.zip de pe subiecte2026.edu.ro, publicat înainte de sesiune (PDF creat pe 27.11.2025). Proba reală din 14 iulie 2026 a fost alta.

Unde se pierd cele mai multe puncte la definitivatul la matematică din 2025?

Pe rândurile pe care baremul le punctează separat. La legea de compoziție, elementul neutru e = 0 valorează 3 puncte, înaintea calculului cu −2. La pătrat, punctajul de la b) se împarte pe trei pași: C mijlocul lui DM, mediana în triunghiul dreptunghic DNM și egalitatea CN = BC. La arie, semnul funcției pe cele două intervale și comparația finală 27 < 16√3 au câte 2 puncte. La metodică, un răspuns neunic la completare sau două variante corecte la alegerea multiplă pierd din punctele de format.

Mai departe

• Definitivat matematică: subiecte, programă și nota finală: cum decurge examenul, nota finală și toți anii.
• Modelul pentru 2026: aceleași cerințe ca proba din 2025, cu alt antet.
• Definitivat matematică 2026 și 2024: probele vecine, rezolvate la fel.
• Calculatorul de medie la definitivat: nota finală și nota necesară la proba scrisă.
• Titularizare matematică 2025: proba din același an la titularizare.

Sursele

• Subiectul și baremul (CNCE, Ministerul Educației și Cercetării): „Examenul național pentru definitivare în învățământul preuniversitar, 8 iulie 2025, Probă scrisă, Matematică, Varianta 2”, subiect și barem, arhiva DEFINITIVAT_2025.zip de pe subiecte2025.edu.ro.
• Metodologia: OMEC nr. 5434/2020 (Metodologia-cadru de organizare și desfășurare a examenului național pentru definitivare în învățământul preuniversitar), modificată prin OME nr. 5722/2022, art. 35, în forma publicată pe definitivat.edu.ro.
• Programa școlară de matematică pentru gimnaziu: anexa 2 la OMEN nr. 3393/28.02.2017.
• Standardele de evaluare: anexa 29 la OMEC nr. 4615/04.08.2026, Monitorul Oficial, Partea I, nr. 674 bis din 14.08.2026, p. 917–920.

Verificat de noi pe 17.10.2026: subiectul și baremul le-am citit pe imaginea paginilor oficiale, pentru că textul extras din PDF pierde simboluri care contează aici: radicalul de ordinul trei din legea de compoziție și semnul de paralelism din baremul de la I.2.b apar numai în imagine, iar simbolul de triunghi din baremul de la I.2, invers, numai în text; fiecare rezultat al rezolvării, geometria pe coordonate, răspunsurile celor trei itemi și suma punctajelor lor le-am refăcut cu un program de calcul simbolic.