Subiect Bac matematică pedagogic, simulare 2018 — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2018 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați a $2018$-a zecimală a numărului $\frac{40}{11}$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x+2$. Determinați valoarea minimă a funcției $f$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^x-2^x=12$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o majorare cu $10\%$, urmată de o reducere cu $10\%$, prețul unui televizor este $990$ de lei. Calculați prețul inițial al televizorului.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,2)$, $B(-1,5)$, $C(-3,4)$ și $D(a,4)$. Determinați numărul real $a$, știind că vectorii $\overrightarrow{AD}$ și $\overrightarrow{CB}$ sunt coliniari.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ cu $AB=10$, $AC=24$ și $BC=26$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy-4x-4y+20$.

1. (5 puncte) Calculați $2\ast 3$.

2. (5 puncte) Demonstrați că $x\ast y=(x-4)(y-4)+4$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

3. (5 puncte) Demonstrați că legea de compoziție „$\ast$” este asociativă.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast (x+1)=6$.

5. (5 puncte) Determinați valorile reale $x$ pentru care $x\ast x\le 8$.

6. (5 puncte) Calculați $2^0\ast 2^1\ast 2^2\ast \dots \ast 2^{2018}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricea $A(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale.

1. (5 puncte) Calculați $\det (A(1,1))$.

2. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ și $y$, știind că $A(x,y)-A(3,1)=A(1,1)$.

3. (5 puncte) Arătați că $6A(3,1)-A(3,1)\cdot A(3,1)=10A(1,0)$.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că $\det (A(a,b))=0$.

5. (5 puncte) Rezolvați ecuația matriceală $A(1,1)\cdot X=A(1,0)$.

6. (5 puncte) Determinați perechile de numere naturale $(m,n)$, știind că matricea $A(m,-n)$ este inversa matricei $A(m,n)$.

Barem și răspunsuri

Rândurile de mai jos urmează foaia oficială de evaluare: fiecare cerință are două rânduri, iar numărul îngroșat din paranteză spune câte puncte din cele 5 aduce rândul respectiv. Cele 18 cerințe însumează 90 de puncte, iar oficiul mai adaugă 10.

Exercițiul 1. (5 p) — a 2018-a zecimală a unei fracții.

Împărțim $40$ la $11$: $40=3\cdot 11+7$, apoi $70=6\cdot 11+4$, apoi $40=3\cdot 11+7$. Restul $7$ s-a întors, deci cifrele $6$ și $3$ se repetă la nesfârșit, iar $$\frac{40}{11}=\text{3,(63)}\text{(3 p)}.$$ Zecimalele se succed $6,3,6,3,\dots$: cele de rang impar sunt $6$, cele de rang par sunt $3$. Numărul $2018=2\cdot 1009$ este par, deci a $2018$-a zecimală este $3$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — minimul unei parabole.

Coeficienții sunt $a=1$, $b=-3$ și $c=2$, iar discriminantul este $\Delta =b^2-4ac=9-8$, adică $$\Delta =1\text{(2 p)}.$$ Cum $a=1>0$, graficul este o parabolă cu ramurile în sus, iar cea mai mică valoare a funcției se află în vârf. Ea este $-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{1}{4}$. Pentru control, vârful este în $x=\frac{3}{2}$, iar $f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+2=-\frac{1}{4}$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială de gradul al doilea.

Mutăm totul într-o parte: $4^x-2^x-12=0$. Fiindcă $4^x$ este pătratul lui $2^x$, expresia din stânga are în $2^x$ aspectul unui trinom, iar trinomul se scrie ca produs de doi factori: $$\left(2^x-4\right)\left(2^x+3\right)=0\text{(3 p)}.$$ Înmulțind factorii se regăsește pătratul lui $2^x$, adică $4^x$, și termenul liber $3\cdot (-4)=-12$, iar suma $3+(-4)=-1$ este coeficientul lui $2^x$. Un produs este $0$ doar când un factor este $0$. Al doilea factor nu se anulează, fiindcă orice putere a lui $2$ este pozitivă. Rămâne $2^x=4=2^2$, de unde $\mathbf{x}=2$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — o majorare urmată de o reducere cu același procent.

Fie $x$ prețul inițial, în lei. După majorare prețul este $x+\frac{10}{100}\cdot x$; reducerea se calculează din acest preț nou și se scade din el: $$\left(x+\frac{10}{100}\cdot x\right)-\frac{10}{100}\cdot \left(x+\frac{10}{100}\cdot x\right)=990\text{(3 p)}.$$ Prima paranteză este $\frac{11}{10}x$, iar după reducere rămân $\frac{9}{10}\cdot \frac{11}{10}x=\frac{99}{100}x$. Din $\frac{99}{100}x=990$ rezultă $x=990\cdot \frac{100}{99}$, deci televizorul costa la început $1000$ de lei (2 p).

Exercițiul 5. (5 p) — vectori coliniari într-un reper cartezian.

Coordonatele unui vector se află scăzând coordonatele punctului de plecare din cele ale punctului de sosire: $\overrightarrow{AD}=(a-1)\vec{i}+(4-2)\vec{j}$ și $\overrightarrow{CB}=(-1+3)\vec{i}+(5-4)\vec{j}$, adică $$\overrightarrow{AD}=(a-1)\vec{i}+2\vec{j},\overrightarrow{CB}=2\vec{i}+\vec{j}\text{(2 p)}.$$ Vectorii sunt coliniari exact când coordonatele lor sunt proporționale. În cazul de față $$\frac{a-1}{2}=\frac{2}{1}⟺a=5\text{(3 p)}.$$ Verificare: pentru $a=5$, $\overrightarrow{AD}=4\vec{i}+2\vec{j}=2\overrightarrow{CB}$. Deci $\mathbf{a}=5$.

Exercițiul 6. (5 p) — raza cercului circumscris, la un triunghi cu laturile date.

Pătratele laturilor sunt $A{B}^2=100$, $A{C}^2=576$, $B{C}^2=676$, iar $100+576=676$. Cu reciproca lui Pitagora se trage concluzia: $$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2\Rightarrow △ABC\text{ este dreptunghic ıˆn }A\text{(2 p)}.$$ Un unghi drept cu vârful pe cerc subîntinde un diametru, deci $BC$ trece prin centrul cercului circumscris, iar raza este jumătate din $BC$: $$R=\frac{BC}{2}=\frac{26}{2}=13\text{(3 p)}.$$

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — lege de compoziție: valoarea unei compuneri.

În definiție se pun $x=2$ și $y=3$: $$2\ast 3=2\cdot 3-4\cdot 2-4\cdot 3+20=6-8-12+20\text{(3 p)}.$$ Termenii pozitivi dau $6+20=26$, iar cei negativi $8+12=20$, așa că rezultatul este $26-20=6$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — lege de compoziție: forma factorizată.

Pornim de la legea dată și scriem termenul liber $20$ ca $16+4$: $$x\ast y=xy-4x-4y+16+4\text{(3 p)}.$$ Primii doi termeni au factorul comun $x$, iar ceilalți doi, $-4y+16$, au factorul comun $-4$: $$x\ast y=x(y-4)-4(y-4)+4=(x-4)(y-4)+4,$$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — lege de compoziție: asociativitatea.

Folosim forma factorizată din cerința II.2. Pentru prima grupare, primul operand al compunerii cu $z$ este $(x-4)(y-4)+4$, iar scăderea lui $4$ din el lasă produsul: $$(x\ast y)\ast z=\left((x-4)(y-4)+4\right)\ast z=(x-4)(y-4)(z-4)+4\text{(2 p)}.$$ Pentru a doua grupare, al doilea operand al compunerii cu $x$ este $(y-4)(z-4)+4$: $$x\ast (y\ast z)=x\ast \left((y-4)(z-4)+4\right)=(x-4)(y-4)(z-4)+4=(x\ast y)\ast z,$$ pentru orice trei numere reale $x$, $y$, $z$. Grupările diferite ajung la aceeași expresie, așa că legea este asociativă (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — lege de compoziție: ecuație cu al doilea operand $x+1$.

Cu forma factorizată, $x\ast (x+1)=(x-4)(x+1-4)+4=(x-4)(x-3)+4$. Egalitatea cerută se scrie $(x-4)(x-3)+4=6$. Desfăcând, $x^2-7x+12+4=6$, deci $$x^2-7x+10=0\text{(3 p)}.$$ Discriminantul este $49-40=9$, iar rădăcinile $\frac{7-3}{2}$ și $\frac{7+3}{2}$ dau $\mathbf{x}=2$ sau $\mathbf{x}=5$ (2 p). Controlul: $(2-4)(2-3)+4=6$ și $(5-4)(5-3)+4=6$.

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — lege de compoziție: o inecuație.

Compunerea unui număr cu el însuși este $x\ast x=(x-4{)}^2+4$, așa că inecuația se scrie $$(x-4{)}^2+4\le 8⟺(x-4{)}^2\le 4\text{(2 p)}.$$ Mutăm $4$ în membrul stâng și descompunem o diferență de pătrate: $(x-4{)}^2-4=(x-4-2)(x-4+2)$, adică $$(x-2)(x-6)\le 0⟺x\in [2,6]\text{(3 p)}.$$ Produsul a doi factori este negativ sau nul când factorii au semne opuse sau unul e nul, adică între rădăcinile $2$ și $6$, capetele incluse; astfel mulțimea soluțiilor este $[2,6]$.

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — lege de compoziție: compunere repetată.

Din forma factorizată, pentru orice $x$ și $y$ reale, ambele calcule $$x\ast 4=(x-4)(4-4)+4=4\text{ și }4\ast y=(4-4)(y-4)+4=4$$ au rezultatul $4$, deoarece apare factorul $4-4=0$ (2 p). Al treilea operand al compunerii este $2^2=4$. Legea fiind asociativă (cerința II.3), parantezele se pot așeza cum convine: $$2^0\ast 2^1\ast 2^2\ast \dots \ast 2^{2018}=\left(\left(2^0\ast 2^1\right)\ast 4\right)\ast \left(2^3\ast 2^4\ast \dots \ast 2^{2018}\right)=4\ast \left(2^3\ast 2^4\ast \dots \ast 2^{2018}\right)=4\text{(3 p)}.$$ Prima egalitate a lanțului regrupează operanzii prin asociativitate, a doua folosește $x\ast 4=4$, cu $x=2^0\ast 2^1$, iar a treia folosește $4\ast y=4$, cu $y$ egal cu compunerea celorlalți operanzi.

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: determinant de ordin 2.

Pentru $a=1$ și $b=1$, matricea este $A(1,1)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$. Din produsul elementelor de pe diagonala principală se scade produsul celor de pe diagonala secundară: $$\det (A(1,1))=1\cdot 1-1\cdot (-1)=1-(-1)\text{(3 p)}.$$ A scădea un număr negativ înseamnă a aduna opusul lui, deci rezultatul este $1+1=2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: o egalitate cu două necunoscute.

Scădem element cu element, apoi comparăm cu $A(1,1)$: $$A(x,y)-A(3,1)=\left(\begin{array}{cc}x-3& y-1\\ -y+1& x-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right).$$ Egalitatea a două matrice cere ca fiecare element să coincidă cu cel de pe aceeași poziție în cealaltă; diagonala principală și poziția din stânga jos dau $$x-3=1\text{ și }-y+1=-1\text{(3 p)}.$$ Din prima ecuație se află $\mathbf{x}=4$, din a doua $\mathbf{y}=2$ (2 p); împreună, $x+y=6$. Celelalte două poziții cer $y-1=1$ și $x-3=1$, adică aceleași valori.

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: un produs și un multiplu.

Avem $A(3,1)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 3\end{array}\right)$. Înmulțirea cu $6$ acționează pe fiecare element, iar în produsul $A(3,1)\cdot A(3,1)$ fiecare dintre cele patru elemente vine dintr-o pereche linie–coloană: se înmulțesc termenii corespunzători și se adună: $3\cdot 3+1\cdot (-1)=8$, $3\cdot 1+1\cdot 3=6$, $(-1)\cdot 3+3\cdot (-1)=-6$ și $(-1)\cdot 1+3\cdot 3=8$. Atunci $$6A(3,1)-A(3,1)\cdot A(3,1)=\left(\begin{array}{cc}18& 6\\ -6& 18\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}8& 6\\ -6& 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10& 0\\ 0& 10\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Matricea unitate se obține pentru $a=1$, $b=0$: $A(1,0)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$. Scoțând $10$ factor comun, rezultatul este $10\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=10A(1,0)$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: determinant nul.

Determinantul matricei $A(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$ este $$\det (A(a,b))=a\cdot a-b\cdot (-b)=a^2+b^2\text{(3 p)}.$$ Orice pătrat de număr real este pozitiv sau nul, deci suma $a^2+b^2$ se anulează numai dacă fiecare termen se anulează. Din $a^2+b^2=0$ rezultă $a^2=0$ și $b^2=0$, adică $\mathbf{a}=0$ și $\mathbf{b}=0$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: o ecuație matriceală.

Membrul drept este $A(1,0)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, adică matricea unitate $I_2$, iar $A(1,1)\cdot X=I_2$ cere ca $X$ să fie inversa lui $A(1,1)$. Din cerința III.1, $\det (A(1,1))=2\ne 0$, deci inversa există. Pentru o matrice $\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$ cu determinantul $d\ne 0$ inversa este $\frac{1}{d}\left(\begin{array}{cc}s& -q\\ -r& p\end{array}\right)$, iar aici $$\det (A(1,1))\ne 0\Rightarrow {\left(A(1,1)\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Înmulțind la stânga cu această inversă, $X={\left(A(1,1)\right)}^{-1}\cdot A(1,0)$, iar $A(1,0)$ lasă matricea neschimbată: $$X=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: când o matrice este inversa alteia.

Matricea $A(m,-n)$ este inversa lui $A(m,n)$ când produsul lor, în oricare ordine, este $I_2$. Cu $A(m,n)=\left(\begin{array}{cc}m& n\\ -n& m\end{array}\right)$ și $A(m,-n)=\left(\begin{array}{cc}m& -n\\ n& m\end{array}\right)$, produsul în prima ordine are elementele $m\cdot m+(-n)\cdot (-n)=m^2+n^2$, $m\cdot n+(-n)\cdot m=0$, $n\cdot m+m\cdot (-n)=0$ și $n\cdot n+m\cdot m=m^2+n^2$; la fel iese și în a doua ordine. Așadar $$A(m,-n)A(m,n)=A(m,n)A(m,-n)=I_2,\text{ deci }{m}^2+n^2=1\text{(3 p)}.$$ Dacă $m\ge 2$ sau $n\ge 2$, suma pătratelor ar fi cel puțin $4$; deci $m$ și $n$ sunt $0$ sau $1$. Din cele patru perechi posibile, suma pătratelor este $1$ pentru $(0,1)$ și $(1,0)$, dar $0$ pentru $(0,0)$ și $2$ pentru $(1,1)$. Perechile cerute sunt $(0,1)$ și $(1,0)$ (2 p).

Pentru părinți și profesori

Foaia de simulare din 2018, scrisă pentru clasa a XII-a, face parte din proba E. c) de matematică M_pedagogic (filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare) și nu poartă număr de variantă. Lucrarea cuprinde trei subiecte, fiecare de 30 de puncte, deci 18 cerințe a câte 5 puncte, și se rezolvă în trei ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. Cerințele sunt cele de pe foaia oficială; rezolvările, capcanele și întrebările ghidajului sunt scrise de Matepolis, iar punctele stau la capătul rândurilor foii de evaluare.

Pe scurt. Subiectul I amestecă șase teme: zecimala de rang $2018$ a fracției $\frac{40}{11}$, valoarea minimă a funcției $f(x)=x^2-3x+2$, ecuația $4^x-2^x=12$, prețul inițial după o majorare și o reducere cu $10\%$, coliniaritatea vectorilor $\overrightarrow{AD}$ și $\overrightarrow{CB}$, apoi raza cercului circumscris unui triunghi dat prin cele trei laturi. Al doilea subiect pornește de la legea $x\ast y=xy-4x-4y+20$: valoarea $2\ast 3$, forma factorizată, asociativitatea, ecuația $x\ast (x+1)=6$, inecuația $x\ast x\le 8$ și compunerea repetată $2^0\ast 2^1\ast \dots \ast 2^{2018}$. Al treilea subiect lucrează cu matricele $A(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$: două cerințe cu determinant, o egalitate de matrice cu necunoscute, un produs de verificat, o ecuație matriceală și o condiție de inversă.

Capitolele din programă. Programa de examen M_pedagogic din OMEN 4430/2014, aplicată începând cu Bacalaureatul din 2015, pune în clasa a IX-a parabola cu minimul ei, vectorii coliniari și triunghiul dreptunghic; clasa a X-a aduce ecuațiile exponențiale și procentele, clasa a XI-a legile de compoziție, iar clasa a XII-a matricele, determinanții și inversa unei matrice. Pentru vectori coliniari (itemul 5) se poate reciti lecția Vector înmulțit cu un număr, pentru tehnologic, iar pentru inversă (cerințele III.5 și III.6), lecția Inversa 2×2: formula pe scurt, liceu tehnologic.

Greșeli frecvente, cu numerele lor.

• Exercițiul 1: perioada $63$ are două cifre, deci zecimalele de rang impar sunt $6$, iar cele de rang par sunt $3$; rangul $2018$ este par, așa că zecimala nu este $6$, ci $3$ (cifra $6$ stă pe rangul $2017$).
• Exercițiul 2: $\Delta =1$ este discriminantul, nu valoarea minimă; minimul este $-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{1}{4}$.
• Exercițiul 3: al doilea factor al produsului nu se anulează în $\mathbb{R}$, deoarece orice putere a lui $2$ este pozitivă; singura soluție este $x=2$.
• Exercițiul 4: o majorare urmată de o reducere cu același procent nu readuce prețul la valoarea de început, fiindcă reducerea se face din prețul majorat: din $1000$ de lei se ajunge la $1100$, apoi la $990$, nu înapoi la $1000$.
• Exercițiul 5: proporția este $\frac{a-1}{2}=\frac{2}{1}$; scrisă cu coordonatele amestecate, $\frac{a-1}{1}=\frac{2}{2}$, ea ar da $a=2$, iar pentru $a=2$ vectorii $(1,2)$ și $(2,1)$ nu sunt coliniari.
• Exercițiul 6: $26$ este diametrul cercului, nu raza; raza este $26:2=13$.
• Cerința II.2: produsul $(-4)(-4)$ este $+16$, nu $-16$; de aceea termenul liber $20$ se scrie $16+4$.
• Cerința II.5: pentru $x$ între $2$ și $6$ produsul $(x-2)(x-6)$ are valori negative, iar în exteriorul intervalului valori pozitive; la $x=0$ el este $12$, deci $0$ nu este soluție.
• Cerința III.3: produsul $A(3,1)\cdot A(3,1)$ nu se obține ridicând elementele la pătrat: acestea ar da $\left(\begin{array}{cc}9& 1\\ 1& 9\end{array}\right)$, în timp ce produsul adevărat are $8$ pe diagonală și valorile $6$ și $-6$ în afara ei.
• Cerința III.4: determinantul este $a^2+b^2$, nu $a^2-b^2$; de aceea egalitatea $a=-b$ nu anulează determinantul decât pentru $a=b=0$: pentru $a=1$ și $b=-1$ el este $2$.
• Cerința III.6: perechea $(1,1)$ nu convine, deoarece $1^2+1^2=2$, nu $1$; perechile $(-1,0)$ și $(0,-1)$ au suma pătratelor $1$, dar nu sunt perechi de numere naturale.

Despre litere. În Subiectul I, $a$ apare cu roluri diferite: la itemul 2 este coeficientul $1$ al lui $x^2$ din formula $-\frac{\Delta }{4a}$, iar la itemul 5 este abscisa necunoscută a punctului $D$; $A$ este punct la itemul 5 și vârf de triunghi la itemul 6. La legea din al doilea subiect, $x$ și $y$ sunt variabilele ei, iar la cerințele II.4 și II.5 $x$ este necunoscuta. În al treilea subiect, $a$ și $b$ din cadru sunt oarecare, la cerința III.4 ele sunt necunoscutele, la cerința III.2 necunoscutele sunt $x$ și $y$, la cerința III.5 necunoscuta este matricea $X$, iar la cerința III.6 numerele naturale $m$ și $n$; matricea unitate $I_2$ nu apare în enunțurile oficiale, dar baremul oficial o folosește la cerința III.6.