Subiect Bac matematică pedagogic, iunie 2017 (varianta 2) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2017 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^3-\frac{1}{4}\right):\frac{7}{8}=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$ pentru care $f(1)+f(-1)=2$, unde $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+a$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_6\left(x^2+2\right)={\log }_6(3x)$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Prețul unui obiect este $300$ de lei. Determinați prețul obiectului după ce se ieftinește de două ori, succesiv, cu câte $10\%$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $O(0,0)$, $A(-3,2)$ și $B(3,2)$. Determinați distanța de la punctul $O$ la punctul $M$, unde $M$ este mijlocul segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați aria triunghiului $ABC$, știind că $m(\sphericalangle C)=45^{\circ }$ și $AB=AC=2\sqrt{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=x+y-6$.

1. (5 puncte) Arătați că $6\ast 0=0$.

2. (5 puncte) Arătați că legea de compoziție „$\ast$” este comutativă.

3. (5 puncte) Verificați dacă $e=6$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast x\ast x=x$.

5. (5 puncte) Arătați că $1\ast 2\ast 3\ast 4\ast 5\ast 6\ast 7\ast 8\ast 9\ast 10=1$.

6. (5 puncte) Determinați numerele naturale pare nenule $n$ pentru care $\underset{\text{de }6\text{ ori }n}{\underbrace{n\ast n\ast \dots \ast n}}<6$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{cc}a& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=-5$.

2. (5 puncte) Demonstrați că $A(-a)+A(a)=2A(0)$, pentru orice număr real $a$.

3. (5 puncte) Arătați că inversa matricei $A(3)$ este matricea $\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -4& 3\end{array}\right)$.

4. (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care matricea $A(a)$ este inversabilă.

5. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $A\left(a^2\right)-4A(a)+3A(1)=O_2$, unde $O_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$.

6. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det (A(a)+A(2))=a^2-15$.

Barem și răspunsuri

Rezolvările păstrează împărțirea pe rânduri a foii oficiale: cifra îngroșată din paranteză este numărul de puncte al rândului. Fiecare cerință are două rânduri, de 3 + 2 sau de 2 + 3 puncte.

Exercițiul 1. (5 p) — o expresie cu putere și împărțire de fracții.

Puterea este ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$. Cu numitorul comun $8$, $1=\frac{8}{8}$ și $\frac{1}{4}=\frac{2}{8}$, deci paranteza are valoarea $$1+\frac{1}{8}-\frac{1}{4}=\frac{8}{8}+\frac{1}{8}-\frac{2}{8}=\frac{7}{8}\text{(3 p)}.$$ Împărțirea la o fracție se face înmulțind cu inversa ei: $\frac{7}{8}:\frac{7}{8}=\frac{7}{8}\cdot \frac{8}{7}=1$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — parametrul unei funcții de gradul I.

Înlocuim $x$ cu $1$ și cu $-1$ în $f(x)=x+a$: $f(1)=1+a$ și $f(-1)=-1+a$ (2 p).

Suma lor este $(1+a)+(-1+a)=2a$, deci egalitatea $f(1)+f(-1)=2$ devine $2a=2$, adică $\mathbf{a}=1$. Verificare: cu $a=1$, $f(1)=2$ și $f(-1)=0$, iar $2+0=2$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică în baza $6$.

Argumentele logaritmilor trebuie să fie pozitive: $x^2+2>0$ pentru orice $x$ real, iar $3x>0$ cere $x>0$. Logaritmii sunt în aceeași bază, deci ecuația se reduce la egalitatea argumentelor, $x^2+2=3x$; trecând pe $3x$ în membrul stâng cu semnul schimbat, obținem $$x^2+2=3x⟺x^2-3x+2=0\text{(3 p)}.$$ Din $\Delta =9-8=1$ rezultă rădăcinile $\frac{3\pm 1}{2}$, deci $\mathbf{x}=1$ sau $\mathbf{x}=2$. Ambele valori sunt pozitive, așadar convin: pentru $x=1$ ambii logaritmi sunt ${\log }_{6}3$, iar pentru $x=2$ ambii sunt ${\log }_{6}6$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — două ieftiniri succesive cu câte $10\%$.

Prima ieftinire scade prețul cu $10\%\cdot 300=30$ de lei, deci prețul devine $300-10\%\cdot 300=270$ de lei (3 p).

A doua ieftinire se aplică prețului nou, de $270$ de lei: $270-10\%\cdot 270=270-27=243$ de lei (2 p).

Exercițiul 5. (5 p) — distanța de la origine la mijlocul unui segment.

Coordonatele mijlocului sunt semisumele coordonatelor capetelor: $x_M=\frac{-3+3}{2}=0$ și $y_M=\frac{2+2}{2}=2$, deci $M(0,2)$ (3 p).

Distanța de la $O(0,0)$ la $M(0,2)$ este $OM=\sqrt{(0-0{)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{4}=2$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — aria unui triunghi isoscel dreptunghic.

Din $AB=AC$ rezultă că unghiurile alăturate bazei $BC$ sunt egale: $m(\sphericalangle B)=m(\sphericalangle C)=45^{\circ }$. Suma unghiurilor este $180^{\circ }$, deci $m(\sphericalangle A)=180^{\circ }-45^{\circ }-45^{\circ }=90^{\circ }$. Așadar $ABC$ are unghiul drept în $A$; catetele sunt $AB$ și $AC$, iar aria este jumătatea produsului lor: $${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}}{2}\text{(3 p)}.$$ Produsul este $2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=4\cdot 3=12$, iar $\frac{12}{2}=6$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — o compunere calculată din definiție.

Punem $x=6$ și $y=0$ în $x\ast y=x+y-6$: $$6\ast 0=6+0-6\text{(3 p)}.$$ Rămâne $6-6=0$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — comutativitatea legii.

Din definiție, $x\ast y=x+y-6$. Ordinea termenilor unei sume nu schimbă suma, deci $$x\ast y=x+y-6=y+x-6\text{(3 p)}.$$ Ultima expresie este $y\ast x$, scrisă după definiție. Deci $x\ast y=y\ast x$ pentru orice numere reale $x$ și $y$, iar legea „$\ast$” este comutativă (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — verificarea elementului neutru $e=6$.

Un element neutru trebuie să lase pe orice $x$ neschimbat și când stă în dreapta, și când stă în stânga. În dreapta: $x\ast 6=x+6-6=x$ (2 p).

În stânga: $6\ast x=6+x-6=x$. Așadar $6\ast x=x=x\ast 6$ pentru orice număr real $x$; prin urmare numărul $6$ joacă rolul de element neutru pentru această lege (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — o ecuație cu trei operanzi egali.

Compunem de la stânga: $x\ast x=x+x-6=2x-6$, iar $x\ast x\ast x=(2x-6)\ast x=(2x-6)+x-6=3x-12$ (2 p).

Ecuația $x\ast x\ast x=x$ devine $3x-12=x$, adică $2x=12$ și $\mathbf{x}=6$. Verificare: $6\ast 6=6+6-6=6$, apoi $6\ast 6=6$, deci $6\ast 6\ast 6=6$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — compunerea a zece numere.

Enunțul declară legea asociativă, deci operanzii pot fi grupați câte doi: $1\ast 2=1+2-6=-3$, $3\ast 4=1$, $5\ast 6=5$, $7\ast 8=9$ și $9\ast 10=13$. Compunerea devine $$(1\ast 2)\ast (3\ast 4)\ast (5\ast 6)\ast (7\ast 8)\ast (9\ast 10)=(-3)\ast 1\ast 5\ast 9\ast 13\text{(3 p)}.$$ Grupăm din nou: $(-3)\ast 1=-8$ și $5\ast 9=8$, deci rămâne $(-8)\ast 8\ast 13$. Apoi $(-8)\ast 8=-6$, iar $(-6)\ast 13=-6+13-6=1$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — o inecuație cu șase operanzi egali.

Compunând succesiv, $n\ast n=2n-6$, apoi $(2n-6)\ast n=3n-12$, $(3n-12)\ast n=4n-18$, $(4n-18)\ast n=5n-24$ și $(5n-24)\ast n=6n-30$. Deci compunerea cu șase operanzi $n$ este $6n-30$ (2 p).

Inegalitatea $6n-30<6$ dă $6n<36$, adică $n<6$. Numerele naturale pare nenule mai mici decât $6$ sunt $\mathbf{n}=2$ și $\mathbf{n}=4$: numărul $0$ nu este nenul, iar valoarea $6$ a lui $n$ dă $6\cdot 6-30=6$, care nu este mai mic decât $6$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinantul lui $A(1)$.

Cu $a=1$ în definiție, $A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$, iar determinantul ei este $\det (A(1))=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right|=1\cdot 3-4\cdot 2$ (3 p).

Rămâne $3-8=-5$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — suma $A(-a)+A(a)$.

Înlocuind $a$ cu $-a$ se schimbă doar elementul din stânga sus: $A(-a)=\left(\begin{array}{cc}-a& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$. Matricele se adună pe poziții: $$A(-a)+A(a)=\left(\begin{array}{cc}-a+a& 2+2\\ 4+4& 3+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 4\\ 8& 6\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Fiecare element al sumei este dublul elementului corespunzător din $A(0)=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$, deci suma este $2\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 4& 3\end{array}\right)=2A(0)$, oricare ar fi numărul real $a$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — inversa matricei $A(3)$.

În definiția lui $A(a)$ se pune $a=3$ în stânga sus, deci prima linie a lui $A(3)$ este $3,2$, iar a doua este $4,3$. Înmulțim $A(3)$, la dreapta, cu matricea din enunț; produsul are elementele $3\cdot 3+2\cdot (-4)=1$, $3\cdot (-2)+2\cdot 3=0$, $4\cdot 3+3\cdot (-4)=0$ și $4\cdot (-2)+3\cdot 3=1$: $$A(3)\cdot \left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -4& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -4& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9-8& -6+6\\ 12-12& -8+9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2\text{(2 p)}.$$ În ordinea inversă, matricea din enunț înmulțește pe $A(3)$ la stânga, iar elementele produsului sunt $3\cdot 3+(-2)\cdot 4=1$, $3\cdot 2+(-2)\cdot 3=0$, $(-4)\cdot 3+3\cdot 4=0$ și $(-4)\cdot 2+3\cdot 3=1$: $$\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -4& 3\end{array}\right)\cdot A(3)=\left(\begin{array}{cc}9-8& 6-6\\ -12+12& -8+9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2.$$ Ambele produse sunt $I_2$, așadar matricea $\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -4& 3\end{array}\right)$ din enunț este inversa lui $A(3)$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — valorile lui $a$ pentru care $A(a)$ este inversabilă.

Determinantul este $\det (A(a))=\left|\begin{array}{cc}a& 2\\ 4& 3\end{array}\right|=3a-4\cdot 2=3a-8$ (2 p).

Matricea $A(a)$ este inversabilă tocmai pentru valorile lui $a$ cu determinantul nenul. Aici $3a-8\ne 0$ înseamnă $a\ne \frac{8}{3}$, deci $A(a)$ este inversabilă pentru $\mathbf{a}\in \mathbb{R}\setminus \left\{\frac{8}{3}\right\}$, iar la valoarea $\frac{8}{3}$ a lui $a$ nu este (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — o ecuație matriceală cu $O_2$.

Matricele se combină pe poziții, cu $A\left(a^2\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}^2& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$, $4A(a)=\left(\begin{array}{cc}4a& 8\\ 16& 12\end{array}\right)$ și $3A(1)=\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 12& 9\end{array}\right)$. Stânga sus dă $a^2-4a+3$, dreapta sus $2-8+6=0$, stânga jos $4-16+12=0$, iar dreapta jos $3-12+9=0$: $$A\left(a^2\right)-4A(a)+3A(1)=\left(\begin{array}{cc}{a}^2-4a+3& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Egalitatea cu $O_2$ cere elementele corespunzătoare egale. Trei dintre ele sunt deja $0$, deci rămâne $a^2-4a+3=0$, cu $\Delta =16-12=4$ și rădăcinile $\frac{4\pm 2}{2}$, adică $\mathbf{a}=1$ sau $\mathbf{a}=3$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — o ecuație cu determinantul unei sume.

Suma se face întâi, pe poziții: $A(a)+A(2)=\left(\begin{array}{cc}a+2& 4\\ 8& 6\end{array}\right)$. Determinantul ei este $$\det (A(a)+A(2))=\left|\begin{array}{cc}a+2& 4\\ 8& 6\end{array}\right|=6(a+2)-4\cdot 8=6a+12-32=6a-20\text{(2 p)}.$$ Ecuația $6a-20=a^2-15$ se aduce la $a^2-6a+5=0$, cu $\Delta =36-20=16$ și rădăcinile $\frac{6\pm 4}{2}$, adică $\mathbf{a}=1$ sau $\mathbf{a}=5$. Verificare: pentru $a=1$ ambii membri sunt $-14$, iar pentru $a=5$ ambii sunt $10$ (3 p).

Pentru părinți și profesori

Aceasta este varianta 2 a probei din iunie 2017 la matematică M_pedagogic (proba E. c, filiera vocațională, specializarea învățător-educatoare). Elevul primește trei subiecte obligatorii, fiecare cu șase cerințe de 5 puncte, și lucrează trei ore; cerințele aduc 90 de puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu. Enunțurile sunt reproduse după foaia oficială, iar rezolvările și ghidajul sunt ale Matepolis, cu rândurile punctate ale baremului păstrate ca etape.

Ce cere foaia. Subiectul I cuprinde o expresie numerică cu o putere și o împărțire de fracții, parametrul $a$ al unei funcții de gradul I, o ecuație logaritmică, prețul după două ieftiniri de câte $10\%$, distanța de la origine la mijlocul unui segment și aria unui triunghi isoscel cu un unghi de $45^{\circ }$. Subiectul II pornește de la legea $x\ast y=x+y-6$, declarată asociativă, și cere o valoare, comutativitatea, verificarea elementului neutru $6$, o ecuație cu trei operanzi egali, o compunere de zece numere și o inecuație cu șase operanzi egali. Subiectul III folosește matricea $A(a)$, cu $a$ în stânga sus, și cere un determinant, o sumă, o inversă verificată, inversabilitatea, o ecuație matriceală și o ecuație cu determinant.

Programa, pe clase. Programa M_pedagogic din OMEN 4430/2014 se aplică de la Bacalaureatul din 2015, deci și acestei variante din 2017. Clasa a IX-a cuprinde operațiile cu numere reale, funcția de gradul I și rezolvarea triunghiului dreptunghic. Clasa a X-a cuprinde logaritmii, ecuațiile logaritmice, procentele și calculele din reper, între care distanța dintre două puncte și mijlocul unui segment. Clasa a XI-a cuprinde legile de compoziție, iar clasa a XII-a matricele, determinantul și inversa. Pentru ecuația logaritmică se poate relua lecția Bac tehnologic: ecuații exponențiale și logaritmice.

Capcane, cu dovada lor.

• Exercițiul 1: puterea ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3$ înseamnă trei factori $\frac{1}{2}$, deci este $\frac{1}{8}$, nu $\frac{3}{2}$. Cu $\frac{3}{2}$ în loc de $\frac{1}{8}$ câtul din enunț ar ieși $\frac{18}{7}$, nu $1$.
• Exercițiul 3: dacă $3x$ trece în stânga fără schimbarea semnului, ecuația obținută are rădăcinile $-1$ și $-2$, iar pentru $x=-1$ avem $3x=-3$, număr fără logaritm.
• Exercițiul 4: două ieftiniri de $10\%$ nu înseamnă una de $20\%$. Cu $20\%$ din $300$ de lei s-ar ajunge la $240$ de lei, nu la $243$.
• Exercițiul 5: mijlocul lui $AB$ este $M(0,2)$, iar mijlocul lui $OA$ ar fi $\left(-\frac{3}{2},1\right)$, la distanța $\frac{\sqrt{13}}{2}$ de $O$, nu $2$.
• Exercițiul 6: unghiul dintre laturile $AB$ și $AC$ este $A$, de $90^{\circ }$, nu $C$. Cu $\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin 45^{\circ }$ ar ieși $3\sqrt{2}$, nu $6$.
• Cerința II.3: egalitatea $x\ast 6=x$ nu ajunge. Legea $x\diamond y=x$ are $x\diamond 5=x$ pentru orice $x$, dar $5\diamond 2=5$, nu $2$, deci $5$ nu este neutru.
• Cerința II.4: legea scade $6$ la fiecare compunere, iar $x\ast x\ast x$ are două compuneri. Cu un singur $6$ scăzut, ecuația ar avea soluția $x=3$, dar $3\ast 3\ast 3=-3$, nu $3$.
• Cerința II.5: zece numere se compun în nouă pași, deci se scad $9\cdot 6=54$. Suma $1+2+\dots +10=55$ dă $55-54=1$; cu un singur $6$ scăzut ar ieși $49$.
• Cerința II.6: pentru $n=0$ avem $6n-30<6$, dar $0$ nu este nenul, iar pentru $n=6$ avem $6n-30=6$, nu mai mic decât $6$.
• Cerința III.2: $A(-a)$ nu este $-A(a)$. Matricea $-A(a)$ are toate elementele cu semn schimbat, $\left(\begin{array}{cc}-a& -2\\ -4& -3\end{array}\right)$, pe când $A(-a)$ schimbă doar elementul din stânga sus.
• Cerința III.4: pentru $a=\frac{8}{3}$ matricea $A(a)$ are determinantul $0$, deci nu este inversabilă.
• Cerința III.5: $A\left(a^2\right)$ nu este pătratul lui $A(a)$. Matricea $A\left(a^2\right)$ are $a^2$ doar în stânga sus, iar ${\left(A(a)\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+8& 2a+6\\ 4a+12& 17\end{array}\right)$.
• Cerința III.6: determinantul sumei nu este suma determinantelor. Pentru $a=1$, $\det (A(1)+A(2))=-14$, dar $\det A(1)+\det A(2)=-7$.

Rolul literelor. Parametrul $a$ din itemul 2 este și necunoscuta problemei, iar $x$ este variabila funcției $f$. În itemul 3, $x$ este necunoscuta ecuației logaritmice. În itemul 5, $A$ și $B$ sunt puncte cu coordonate date, $M$ este mijlocul lui $AB$, iar $O$ este originea reperului; în itemul 6, $A$, $B$ și $C$ sunt vârfurile triunghiului. Litera $O$ apare și ca $O_2$, matricea nulă din cerința III.5. În Subiectul II, $x$ și $y$ sunt numere reale oarecare la cerința II.2, $x$ devine necunoscută la cerința II.4, numărul $e=6$ este dat în enunț la cerința II.3 și doar se verifică, iar $n$ din cerința II.6 este numărul natural căutat. În Subiectul III, $a$ este parametrul matricei $A(a)$; el este oarecare la cerința III.2 și necunoscut la cerințele III.4, III.5 și III.6.