Subiect Bac matematică tehnologic, sesiunea specială 2018 (varianta 3) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2018 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\sqrt{3}\left(2-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-\sqrt{6}\right)=0$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2$. Determinați numerele reale $a$, știind că $f(a)=a$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{7x-5}=4^x$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A=\{1,2,3,4,5\}$, acesta să verifice relația $2^n\le 16$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(1,2)$, $N(4,3)$ și $P(6,1)$. Determinați lungimea segmentului $MQ$, unde $Q$ este mijlocul segmentului $NP$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin 30^{\circ }+\sin 45^{\circ }-\cos 60^{\circ }-\cos 45^{\circ }=0$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A(x)=\left(\begin{array}{cc}x& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(2))=5$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $A(x)\cdot A(y)=3I_2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul întreg $p$ pentru care $\det \left(A(p)\cdot A(p)+I_2\right)=5$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=xy-(x+y)+2$.

a) (5 puncte) Arătați că $2\ast 2=2$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $x\ast y=(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Calculați $1\ast 2\ast 3\ast \dots \ast 2018$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x(x+2)}{{\left(x^2+2x+2\right)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=-1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $1\le f(x)+f(y)\le 3$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-6x^2+12x+5$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(f(x)-x^3\right)dx=9$.

b) (5 puncte) Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este o funcție convexă pe $\mathbb{R}$.

c) (5 puncte) Arătați că ${\int }_2^4\frac{3}{f^{\prime }(x)+12}dx=\frac{\pi }{8}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). Itemii 1–3 și 5–6 au câte două rânduri punctate; itemul 4 are trei (1 + 2 + 2); la itemii 7–10, fiecare subpunct de 5 p se împarte în două rânduri. Împărțirea punctelor urmează documentul oficial al sesiunii speciale 2018 (Varianta 3), cu o excepție semnalată la itemul 8.c); redactarea rezolvărilor, probele și explicațiile sunt ale noastre.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu radicali.

Fiecare factor din fața parantezei se înmulțește cu cei doi termeni: $\sqrt{3}\cdot 2=2\sqrt{3}$, $\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{6}$, $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$ și $\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{12}$: $$\sqrt{3}\left(2-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-\sqrt{6}\right)=2\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{6}-\sqrt{12}\text{(3 p)}.$$ Se scrie $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$, iar termenii $-\sqrt{6}$ și $+\sqrt{6}$ se reduc: $$2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=0\text{(2 p)}.$$

(Probă: $\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ este tocmai opusul lui $\sqrt{3}\cdot 2$. Capcană: dacă $\sqrt{12}$ se lasă ca $\sqrt{12}$, suma $2\sqrt{3}-\sqrt{12}$ nu pare nulă, deși $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — numerele $a$ cu $f(a)=a$.

Se înlocuiește $x$ cu $a$ în $f(x)=x^2-2$: $$f(a)=a^2-2\text{(2 p)}.$$ Egalitatea $f(a)=a$ devine $a^2-a-2=0$, adică $(a-2)(a+1)=0$: $$\mathbf{a}=-1\text{ sau }\mathbf{a}=2\text{(3 p)}.$$

(Probă: $f(2)=4-2=2$ și $f(-1)=1-2=-1$. Capcană: dacă ecuația se scrie $a^2-2=0$, adică $f(a)=0$, se obține $a=\pm \sqrt{2}$, iar $f\left(\sqrt{2}\right)=0\ne \sqrt{2}$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Baza $4$ este a doua putere a lui $2$, deci $4^x$ devine $2^{2x}$. Două puteri ale lui $2$ sunt egale doar când exponenții sunt egali: $$2^{7x-5}=2^{2x}⟺7x-5=2x\text{(3 p)}.$$ Rezultă $5x=5$, deci $$\mathbf{x}=1\text{(2 p)}.$$

(Probă: $2^{7-5}=2^2=4=4^1$. Capcană: dacă bazele $2$ și $4$ nu se aduc la aceeași bază și se egalează totuși exponenții, $7x-5=x$, se obține $x=\frac{5}{6}$, pentru care $2^{5/6}\ne 4^{5/6}$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Mulțimea $A=\{1,2,3,4,5\}$ are cinci elemente, deci se poate alege în $5$ feluri (1 p).

Puterile lui $2$ sunt $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$ și $2^5=32$. Relația $2^n\le 16$ este adevărată pentru $n=1,2,3,4$ și falsă pentru $n=5$, deci sunt $4$ alegeri favorabile (2 p).

Probabilitatea este raportul dintre alegerile favorabile și cele posibile: $$p=\frac{4}{5}\text{(2 p)}.$$

(Probă: funcția $2^n$ crește, iar $16=2^4$, deci $2^n\le 16$ înseamnă $n\le 4$. Capcană: dacă se numără și $n=5$, se obține $\frac{5}{5}=1$, evenimentul sigur, deși $2^5=32>16$.)

Exercițiul 5. (5 p) — lungimea unui segment.

Mijlocul $Q$ al segmentului $NP$, cu $N(4,3)$ și $P(6,1)$, are coordonatele semisumelor: $$Q\left(\frac{4+6}{2},\frac{3+1}{2}\right)=Q(5,2)\text{(2 p)}.$$ Distanța de la $M(1,2)$ la $Q(5,2)$ este $$MQ=\sqrt{(5-1{)}^2+(2-2{)}^2}=\sqrt{16}=4\text{(3 p)}.$$

(Probă: $M$ și $Q$ au aceeași ordonată, $2$, deci $MQ=5-1=4$. Capcană: semisuma lăsată fără împărțirea la $2$ dă punctul $(10,4)$, la distanța $\sqrt{9^2+2^2}=\sqrt{85}$ de $M$.)

Exercițiul 6. (5 p) — o expresie trigonometrică.

Sinusul unui unghi este cosinusul complementului lui, iar $30^{\circ }$ și $60^{\circ }$ sunt complementare, la fel ca $45^{\circ }$ cu el însuși, deci $$\sin 30^{\circ }=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2},\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{(2 p)}.$$ Suma devine $$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=0\text{(3 p)}.$$

(Probă: $30^{\circ }+60^{\circ }=90^{\circ }$ și $45^{\circ }+45^{\circ }=90^{\circ }$, deci ambele perechi sunt unghiuri complementare. Capcană: dacă $\cos 60^{\circ }$ se ia egal cu $\frac{\sqrt{3}}{2}$, valoarea lui $\cos 30^{\circ }$, suma devine $\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\ne 0$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matricele $A(x)$.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=2$ și se aplică formula determinantului: $$A(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 2\end{array}\right),\det (A(2))=2\cdot 2-1\cdot (-1)\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(2))=4+1=5\text{(2 p)}.$$

(Capcană: dacă produsul $1\cdot (-1)=-1$ se scade ca $-1$, în loc de $-(-1)=+1$, se obține $4-1=3$.)

b) (5 p) Se înmulțește linie cu coloană: $$A(x)\cdot A(y)=\left(\begin{array}{cc}xy-1& x+2\\ -y-2& 3\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Matricea $3I_2$ are $3$ pe diagonală și $0$ în rest; egalitatea elementelor dă $x+2=0$ și $-y-2=0$, deci $x=-2$ și $y=-2$, iar elementul rămas se verifică: $xy-1=4-1=3$: $$\mathbf{x}=-2,\mathbf{y}=-2\text{(2 p)}.$$

(Probă: $A(-2)=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$, iar $A(-2)\cdot A(-2)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$. Capcană: produsul element cu element, $\left(\begin{array}{cc}xy& 1\\ 1& 4\end{array}\right)$, nu este produsul de matrice și nu poate egala $3I_2$, fiindcă are $1$ în loc de $0$ în afara diagonalei.)

c) (5 p) Din b) cu $x=y=p$: $A(p)\cdot A(p)=\left(\begin{array}{cc}{p}^2-1& p+2\\ -p-2& 3\end{array}\right)$; se adună $I_2$ și se calculează determinantul: $$A(p)\cdot A(p)+I_2=\left(\begin{array}{cc}{p}^2& p+2\\ -p-2& 4\end{array}\right),\det =4p^2+(p+2{)}^2=5p^2+4p+4\text{(2 p)}.$$ Ecuația $5p^2+4p+4=5$ dă $5p^2+4p-1=0$, cu soluțiile $p=-1$ și $p=\frac{1}{5}$; $p$ este întreg, așa că $$\mathbf{p}=-1\text{(3 p)}.$$

(Probă: $A(-1)\cdot A(-1)+I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 4\end{array}\right)$, cu determinantul $4+1=5$. Capcană: $p=\frac{1}{5}$ verifică ecuația, fiindcă $5\cdot \frac{1}{25}+\frac{4}{5}-1=0$, dar nu este număr întreg.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție asociativă.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=2$ și $y=2$ în definiția legii: $$2\ast 2=2\cdot 2-(2+2)+2\text{(3 p)}.$$ $$2\ast 2=4-4+2=2\text{(2 p)}.$$

(Probă: prin forma de la b), $2\ast 2=(2-1)(2-1)+1=2$. Capcană: dacă semnul din fața parantezei $(x+y)$ se ignoră, se obține $4+4+2=10$.)

b) (5 p) Se desfac parantezele și se scrie ultimul termen ca $1+1$: $$x\ast y=xy-x-y+2=(xy-x-y+1)+1\text{(2 p)}.$$ Primii trei termeni și $1$ formează un produs: $xy-x-y+1=x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1)$, deci $$x\ast y=(\mathbf{x}-1)(\mathbf{y}-1)+1,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$

(Probă: $3\ast 4=12-7+2=7$ și $(3-1)(4-1)+1=7$. Capcană: $(x-1)(y-1)$ se desface $xy-x-y+1$, nu $xy-x-y-1$; cu semn greșit, forma ar diferi de $x\ast y$ prin $2$.)

c) (5 p) Din b), pentru orice $x$ real, $$1\ast x=(1-1)(x-1)+1=1\text{(3 p)}.$$

⚠️ Divergență față de documentul oficial. Primul rând punctat al subpunctului 8.c) conține scrierea „$1\ast x=x$, pentru orice număr real $x$”. Scrierea nu e corectă: din 8.b), $1\ast 2=(1-1)(2-1)+1=1$, nu $2$. Documentul își continuă calculul cu rezultatul $1$, corect. Pagina păstrează rândul de 3 puncte, dar cu egalitatea corectă, $1\ast x=1$.

Legea fiind asociativă, produsul se grupează $1\ast (2\ast 3\ast \dots \ast 2018)$, iar $1\ast (\text{orice numa˘r})=1$: $$1\ast 2\ast 3\ast \dots \ast 2018=1\ast \left(2\ast 3\ast \dots \ast 2018\right)=1\text{(2 p)}.$$

(Probă: $1\ast 2\ast 3=(1\ast 2)\ast 3=1\ast 3=1$. Observație: numărul $1$ nu este element neutru, fiindcă $1\ast 2=1\ne 2$; elementul neutru al legii este $2$, căci $x\ast 2=(x-1)\cdot 1+1=x$. Capcană: dacă $1$ s-ar lua drept neutru, produsul ar deveni $2\ast 3\ast \dots \ast 2018$ și calculul ar rămâne neterminat.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivata unui cât, tangentă, margini.

a) (5 p) Se aplică derivata câtului, cu $u=x^2+x+1$, $u^{\prime }=2x+1$, $v=x^2+2x+2$, $v^{\prime }=2x+2$: $$f^{\prime }(x)=\frac{(2x+1)\left(x^2+2x+2\right)-\left(x^2+x+1\right)(2x+2)}{{\left(x^2+2x+2\right)}^2}\text{(3 p)}.$$ Primul produs din numărător este $2x^3+5x^2+6x+2$, al doilea este $2x^3+4x^2+4x+2$, iar diferența lor este $x^2+2x$: $$f^{\prime }(x)=\frac{x^2+2x}{{\left(x^2+2x+2\right)}^2}=\frac{\mathbf{x}(\mathbf{x}+2)}{{\left({\mathbf{x}}^2+2x+2\right)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f^{\prime }(1)=\frac{3}{25}$, iar din forma factorizată $\frac{1\cdot 3}{25}=\frac{3}{25}$. Capcană: câtul derivatelor, $\frac{u^{\prime }}{v^{\prime }}$, nu este derivata câtului; la $x=0$ ar da $\frac{1}{2}$, iar $f^{\prime }(0)=0$.)

b) (5 p) Se calculează ordonata punctului și panta tangentei în $x=-1$: $$f(-1)=\frac{1-1+1}{1-2+2}=1,f^{\prime }(-1)=\frac{(-1)\cdot 1}{1^2}=-1\text{(2 p)}.$$ Tangenta are ecuația $y-f(-1)=f^{\prime }(-1)(x+1)$, adică $y-1=-(x+1)$: $$\mathbf{y}=-\mathbf{x}\text{(3 p)}.$$

(Probă: punctul $(-1,1)$ verifică ecuația, fiindcă $-(-1)=1$. Capcană: dacă panta se ia $1$ în loc de $-1$, ecuația ar fi $y=x+2$, cu panta $1\ne f^{\prime }(-1)$.)

c) (5 p) Semnul lui $f^{\prime }$ este cel al produsului $x(x+2)$: pozitiv pentru $x<-2$ și $x>0$, negativ pe $(-2,0)$. Deci $f$ crește pe $(-\infty ,-2]$, scade pe $[-2,0]$ și crește pe $[0,+\infty )$ (2 p).

Valorile din puncte de extrem sunt $f(-2)=\frac{3}{2}$ și $f(0)=\frac{1}{2}$, iar limita lui $f$ spre $\pm \infty$ este $1$, între ele. Pe $(-\infty ,-2]$ valorile urcă de la $1$ la $\frac{3}{2}$, pe $[-2,0]$ coboară de la $\frac{3}{2}$ la $\frac{1}{2}$, iar pe $[0,+\infty )$ urcă de la $\frac{1}{2}$ spre $1$. Atunci $\frac{1}{2}\le f(x)\le \frac{3}{2}$ pentru orice $x$, la fel pentru $y$, și adunând cele două duble inegalități: $$1\le f(x)+f(y)\le 3,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: cu $u=x+1$, $f(x)=\frac{u^2-u+1}{u^2+1}=1-\frac{u}{u^2+1}$, iar $\frac{|u|}{u^2+1}\le \frac{1}{2}$ fiindcă $u^2+1\ge 2|u|$: media aritmetică a numerelor $u^2$ și $1$ este cel puțin media lor geometrică, $|u|$. Marginile sunt atinse: $f(0)+f(0)=1$ și $f(-2)+f(-2)=3$. Capcană: concluzia nu se poate trage dintr-o singură margine; dubla inegalitate cere și minimul $\frac{1}{2}$, și maximul $\frac{3}{2}$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale, convexitate, arctangentă.

a) (5 p) Termenul $x^3$ se reduce în diferența $f(x)-x^3=-6x^2+12x+5$, iar o primitivă a acesteia este $-2x^3+6x^2+5x$: $${\int }_0^1\left(f(x)-x^3\right)dx=(-2x^3+6x^2+5x){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=(-2+6+5)-0=9\text{(2 p)}.$$

(Probă: derivata lui $-2x^3+6x^2+5x$ este $-6x^2+12x+5$. Capcană: dacă $x^3$ nu se scade și se integrează $f$ întreagă, rezultatul este $\frac{1}{4}-2+6+5=\frac{37}{4}\ne 9$.)

b) (5 p) Fie $F$ o primitivă a lui $f$. Atunci $F^{\prime }=f$, iar $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$ și $$F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)=3x^2-12x+12\text{(3 p)}.$$ Se scoate $3$ factor comun, iar parantezele formează un pătrat: $$F^{\prime \prime }(x)=3\left(x^2-4x+4\right)=3(x-2{)}^2\ge 0,\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Derivata a doua fiind nenegativă pe tot $\mathbb{R}$, orice primitivă $F$ a lui $f$ este convexă pe $\mathbb{R}$.

(Probă: două primitive ale lui $f$ diferă printr-o constantă, iar derivata a doua a unei constante este $0$, deci $F^{\prime \prime }$ este aceeași pentru toate. Capcană: convexitatea cere $F^{\prime \prime }\ge 0$, nu $F^{\prime }\ge 0$; $F^{\prime }=f$ nu este pozitivă pe $\mathbb{R}$, fiindcă $f(-1)=-14$.)

c) (5 p) Cum $f^{\prime }(x)=3(x-2{)}^2$, numitorul este $f^{\prime }(x)+12=3(x-2{)}^2+12=3\left((x-2{)}^2+4\right)$, deci integrandul este $\frac{1}{(x-2{)}^2+4}$, cu primitiva $\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x-2}{2}$: $${\int }_2^4\frac{3}{f^{\prime }(x)+12}dx={\int }_2^4\frac{dx}{(x-2{)}^2+4}=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x-2}{2}{|}_2^4\text{(3 p)}.$$ Valorile sunt $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$ și $\mathrm{arctg}0=0$: $$\frac{1}{2}\left(\mathrm{arctg}1-\mathrm{arctg}0\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{8}\text{(2 p)}.$$

(Probă: derivata lui $\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x-2}{2}$ este $\frac{1}{2}\cdot \frac{1/2}{1+(x-2{)}^2/4}=\frac{1}{(x-2{)}^2+4}$. Capcană: dacă factorul $\frac{1}{2}$ din fața primitivei se uită, rezultatul este $\mathrm{arctg}1-\mathrm{arctg}0=\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{8}$.)

Pentru părinți și profesori

Pagina reia proba E.c) la matematică M_tehnologic din sesiunea specială a Bacalaureatului 2018, Varianta 3, dată elevilor filierei tehnologice (profilurile servicii, resurse și tehnic, la toate calificările profesionale). În antetul foii oficiale sunt trecute Ministerul Educației Naționale și Centrul Național de Evaluare și Examinare. Cerințele sunt copiate fără nicio modificare; soluțiile, probele și ghidajul sunt ale noastre, iar din documentul oficial de notare sunt păstrate doar rândurile punctate.

Două abateri de la tiparul rândurilor.

1. La cerința 4, documentul oficial are trei rânduri punctate, de 1, 2 și 2 puncte, în timp ce la toate celelalte cerințe și subpuncte sunt două; lucrarea are deci 37 de rânduri, cu suma tot 90.
2. La subpunctul 8.c), primul rând punctat al documentului oficial conține o scriere greșită, $1\ast x=x$; din 8.b) rezultă $1\ast x=1$. Concluzia documentului, produsul egal cu $1$, este corectă. Pagina păstrează punctele rândului (3 p) și pune la locul lui egalitatea corectă, cu semnalare în text.

Alcătuirea lucrării. Cerințele însumează 90 de puncte, împărțite în trei subiecte egale, și se adaugă 10 puncte din oficiu; timpul este de trei ore.

Cerințele și clasa lor din programa de examen

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Programa de examen numește la clasa a X-a funcția exponențială, ecuațiile exponențiale și probabilitatea evenimentelor egal probabile (aceasta din urmă în blocul „Matematici financiare”). Inegalitatea $2^n\le 16$ nu e numită; pentru $n\in \{1,2,3,4,5\}$ se rezolvă calculând puterile lui $2$.
• Nota 2. În geometria clasei a X-a, programa de examen pomenește coordonatele punctelor și distanța dintre ele, dar nu și mijlocul unui segment, pe care cerința îl folosește. Programa nouă pentru clasele a IX-a și a X-a așază mijlocul segmentului în geometria analitică a clasei a IX-a.
• Nota 3. Legea de compoziție internă aparține capitolului „Grupuri” din programa clasei a XII-a; enunțul declară legea asociativă, iar asociativitatea îi permite să grupeze termenii la 8.c).
• Nota 4. La 10.c), primitiva unei fracții cu numărător constant și numitor de gradul $2$ intră în integralele ${\int }_a^b\frac{P(x)}{Q(x)}dx$ cu $\mathrm{grad}Q\le 2$ din clasa a XII-a; funcțiile trigonometrice inverse, deci și $\mathrm{arctg}$, sunt trecute în programa de examen la clasa a X-a; convexitatea (10.b) se studiază cu derivata a doua, la clasa a XI-a.

Ce are special această variantă. La Subiectul I, $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ închide suma de la cerința 1, iar punctele $M(1,2)$ și $Q(5,2)$ au aceeași ordonată, deci $MQ$ este orizontal. La Subiectul al II-lea, ecuația $A(x)\cdot A(y)=3I_2$ are o singură soluție, $x=y=-2$, iar la 7.c) formula produsului de la 7.b) dă $A(p)\cdot A(p)$ fără alt calcul. Legea $x\ast y=(x-1)(y-1)+1$ are elementul neutru $2$ și, în plus, $1\ast x=1$ pentru orice $x$; de aceea produsul de la 8.c) se reduce la $1$, oricâți termeni ar avea. La Subiectul al III-lea, $f(x)=1-\frac{u}{u^2+1}$ cu $u=x+1$, iar marginile $1$ și $3$ de la 9.c) sunt atinse (în $x=y=0$ și în $x=y=-2$); $f(x)-x^3$ elimină termenul cu $x^3$ la 10.a), iar $f^{\prime }(x)+12=3\left((x-2{)}^2+4\right)$ pregătește $\mathrm{arctg}$ la 10.c).

Timpul. Din 180 de minute, dacă rezervi 15 pentru recitire, rămân 165 de minute, adică 110 secunde pentru fiecare dintre cele 90 de puncte ale cerințelor. Cerințele 1–6 pot fi făcute mai repede decât atât, iar câștigul se mută la subpunctele c).

Nota. Nota este totalul împărțit la $10$. Nota $8$ cere $80$ de puncte în total, adică $70$ din cele $90$ ale cerințelor, la care se adaugă cele $10$ din oficiu.

Greșeli de redactare de evitat: la 2, păstrarea unei singure soluții din $a^2-2=a$; la 3, bazele $2$ și $4$ lăsate diferite când se egalează exponenții; la 4, numărarea lui $n=5$, deși $2^5=32>16$; la 7.b), înmulțirea matricelor element cu element; la 7.c), valoarea $p=\frac{1}{5}$ păstrată, deși $p$ este întreg; la 9.c), reținerea doar a unei margini, deși dubla inegalitate cere ambele; la 10.c), factorul $\frac{1}{2}$ din primitiva lui $\mathrm{arctg}$ uitat.

Cum lucrezi. Încearcă fiecare cerință singur, cu timp măsurat, apoi compară cu rândurile punctate de mai jos. Dacă un rând nu ți-a ieșit, tabelul de mai sus îți spune clasa și tema la care te întorci. Ghidajul fiecărei cerințe cuprinde câte un pas pentru fiecare rând punctat.

Formule folosite în varianta 3

• Subiectul I. $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ pentru $a,b\ge 0$; $a^m=a^n$ cu $a>0$, $a\ne 1$ cere $m=n$; mijlocul segmentului cu capetele $(x_1,y_1)$ și $(x_2,y_2)$ este $\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$; sinusul unui unghi ascuțit este cosinusul complementului lui.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; la un produs $P\cdot Q$, elementul de pe poziția $(i,j)$ se obține adunând produsele elementelor liniei $i$ din $P$ cu ale coloanei $j$ din $Q$; o lege asociativă permite scrierea $x\ast y\ast z$ fără paranteze.
• Subiectul al III-lea. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; tangenta în $x_0$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; $F$ este convexă pe $\mathbb{R}$ când $F^{\prime \prime }\ge 0$; pentru $k>0$, o primitivă a lui $\frac{1}{(x-c{)}^2+k^2}$ este $\frac{1}{k}\mathrm{arctg}\frac{x-c}{k}$.

Despre litere. Litera $f$ denumește trei funcții: $x^2-2$ la cerința 2, fracția $\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+2}$ la 9 și polinomul $x^3-6x^2+12x+5$ la 10. Litera $A$ este mulțimea $\{1,2,3,4,5\}$ la cerința 4 și matricea $A(x)$ la 7; $M$, $N$, $P$ și $Q$ sunt puncte la 5, iar $p$ este numărul întreg de la 7.c). Literele $x$ și $y$ sunt necunoscutele de la 7.b) și numerele reale oarecare ale legii de la 8.

„Itemul” din titluri este cerința din documentul oficial.