Subiect Bac matematică tehnologic, model 2026 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2026 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\frac{1}{4}+3\cdot \left(\frac{3}{2}-\frac{1}{4}\right)=4$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x-9$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=a$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x-1}=x$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A$, numărul natural $n(n+1)$ să fie multiplu de $10$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(6,8)$, $B(8,4)$ și $M$, mijlocul segmentului $OA$. Arătați că triunghiul $OBM$ este isoscel.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC=6$ și $AC=3AB$. Arătați că $BC=2\sqrt{10}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $M(a)=\left(\begin{array}{cc}a+1& 4\\ -1& a-4\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (M(0))=0$.

b) (5 puncte) Arătați că $M(3)+2M(0)=3M(1)$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $M(a)\cdot M(0)=3M(0)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=xy+4(x+y)$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\circ 2=14$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\circ 3=x$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $2^x\circ 4=2^{x+4}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^2+4x+5}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{-2(x+2)}{{\left(x^2+4x+5\right)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^2-1\right)\cdot f(x)=1$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $5f(x)+f(-x)\le 2$, pentru orice $x\in [0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x^2+2x+1$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(f(x)-2x\right)dx=\frac{8}{3}$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^2\frac{1}{f(x)-5x^2}dx=\frac{\ln 5}{2}$.

c) (5 puncte) Determinați primitiva $G:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$ a funcției $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{f(x)-2x}{\sqrt{x}}$, pentru care $G(1)=5$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, împărțite pe două rânduri. Cifrele din paranteze, la fiecare pas, sunt cele ale rândurilor din baremul oficial al modelului 2026; textul rezolvărilor, al observațiilor și al probelor este scris de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu fracții.

Ordinea operațiilor: paranteza, apoi produsul, apoi suma. Cu numitorul comun $4$, $$\frac{3}{2}-\frac{1}{4}=\frac{6}{4}-\frac{1}{4}=\frac{5}{4},3\cdot \frac{5}{4}=\frac{15}{4}\text{(3 p)}.$$ Rămâne suma $$\frac{1}{4}+\frac{15}{4}=\frac{16}{4}=4\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: factorul $3$ se distribuie pe ambii termeni, $3\cdot \frac{3}{2}-3\cdot \frac{1}{4}=\frac{9}{2}-\frac{3}{4}=\frac{18-3}{4}=\frac{15}{4}$. Capcană: fracțiile se scad numărător din numărător, fără numitor comun, $\frac{3-1}{2}=1$; atunci iese $\frac{1}{4}+3\cdot 1=\frac{13}{4}$, nu $4$.)

Exercițiul 2. (5 p) — o funcție de gradul întâi.

Valoarea funcției în $a$ se obține înlocuind pe $x$ cu $a$: $$f(a)=4a-9,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.$$ Condiția $f(a)=a$ devine $4a-9=a$, adică $3a=9$, deci $$\mathbf{a}=3\text{(3 p)}.$$

(Probă: $f(3)=12-9=3$. Geometric, $a$ este abscisa punctului în care graficul lui $f$ taie dreapta $y=x$. Capcană: se rezolvă $f(a)=0$, adică $4a-9=0$, și iese $a=\frac{9}{4}$; dar $f\left(\frac{9}{4}\right)=0$, nu $\frac{9}{4}$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Radicalul există când $2x-1\ge 0$ și are valoare nenegativă, deci o soluție trebuie să aibă $x\ge 0$. Ridicând la pătrat ambii membri, $$2x-1=x^2,\text{ adica˘ }{x}^2-2x+1=0\text{(3 p)}.$$ Membrul stâng este $(x-1{)}^2$, deci $\mathbf{x}=1$, iar valoarea convine: $\sqrt{2\cdot 1-1}=\sqrt{1}=1$ (2 p).

(Verificarea nu se omite: ridicarea la pătrat poate aduce soluții care nu verifică ecuația inițială. Aceeași ridicare la pătrat ar da $x=1$ și pentru ecuația $\sqrt{2x-1}=-x$, unde $x=1$ nu convine, fiindcă $\sqrt{1}=1\ne -1$. Capcană: se scrie $\sqrt{2x-1}=x\Rightarrow 2x-1=x$ — se ridică la pătrat doar membrul stâng — și iese tot $x=1$, dar pe un drum greșit.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Un număr din $A$ se poate alege în $8$ moduri, câte unul pentru fiecare element: $8$ cazuri posibile (2 p).

Pentru $n=1,2,\dots ,8$, produsul $n(n+1)$ ia valorile $2,6,12,20,30,42,56,72$. Multipli ai lui $10$ sunt doar $20$ (pentru $n=4$) și $30$ (pentru $n=5$): $2$ cazuri favorabile din $8$, adică raportul $\frac{2}{8}$, deci $$\mathbf{p}=\frac{1}{4}\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: $10=2\cdot 5$, iar produsul a două numere consecutive este mereu par, deci trebuie doar un factor $5$; el apare când $n$ sau $n+1$ este multiplu de $5$, adică $n\in \{4,5\}$ în mulțimea dată. Capcană: numărul cazurilor posibile se ia $10$, după „multiplu de $10$", și iese $\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$; sau se cere ca și $n+1$ să fie în $A$, ceea ce lasă $7$ cazuri.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment, distanțe.

Punctul $O$ este originea, $O(0,0)$. Mijlocul lui $[OA]$ are coordonatele semisumelor, $M(3,4)$, iar $$OM=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{(3 p)}.$$ Punctele $B(8,4)$ și $M(3,4)$ au aceeași ordonată, deci $BM=|8-3|=5$. Cum $\mathbf{OM}=\mathbf{BM}=5$, triunghiul $OBM$ are două laturi egale și este isoscel, cu baza $[OB]$ (2 p).

(Triunghiul nu e degenerat: dreapta $OM$ are panta $\frac{4}{3}$, iar dreapta $OB$ are panta $\frac{1}{2}$, deci $O$, $B$, $M$ nu sunt coliniare. Altă cale: egalitatea $OM=MB$ spune că $M$ se află pe mediatoarea lui $[OB]$, adică pe dreapta $2x+y=10$, iar $2\cdot 3+4=10$. Capcană: se ia $M=A$ sau se uită împărțirea la $2$, și atunci $OM=10$, care nu mai e egal cu $BM$.)

Exercițiul 6. (5 p) — triunghi dreptunghic.

Din $AC=3AB$ și $AC=6$ rezultă $AB=\frac{6}{3}=2$ (2 p).

Ipotenuza este $BC$, iar teorema lui Pitagora dă $$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=2^2+6^2=40,\text{deci}BC=\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot 10}=2\sqrt{10}\text{(3 p)}.$$

(Probă: ${\left(2\sqrt{10}\right)}^2=4\cdot 10=40$. Capcană: ipotenuza se ia ca suma catetelor, $BC=8$, dar $8^2=64\ne 40$; sau se scade în loc să se adune, $B{C}^2=36-4=32$, de unde $BC=4\sqrt{2}$ — un număr mai mic decât cateta $AC=6$, fiindcă $32<36$, deci imposibil pentru o ipotenuză.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$ cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=0$ avem $a+1=1$ și $a-4=-4$: $$M(0)=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ -1& -4\end{array}\right),\det (M(0))=1\cdot (-4)-4\cdot (-1)\text{(3 p)}.$$ $$\det (M(0))=-4+4=0\text{(2 p)}.$$

(Rândul al doilea este opusul primului, deci determinantul se anulează. Capcană: semnul lui $-1$ se pierde și iese $1\cdot (-4)-4\cdot 1=-8$.)

b) (5 p) Se calculează $M(3)=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ -1& -1\end{array}\right)$ și $2M(0)=\left(\begin{array}{cc}2& 8\\ -2& -8\end{array}\right)$, deci $$M(3)+2M(0)=\left(\begin{array}{cc}6& 12\\ -3& -9\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Pe de altă parte $M(1)=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -1& -3\end{array}\right)$, deci $$3M(1)=\left(\begin{array}{cc}6& 12\\ -3& -9\end{array}\right)=M(3)+2M(0)\text{(2 p)}.$$

(De ce iese: $M(a)=a\cdot I_2+M(0)$, deci $M(a)$ crește „liniar" cu $a$, iar $M(3)+2M(0)=3I_2+3M(0)=3(I_2+M(0))=3M(1)$. Capcană: scalarul $2$ se pune doar pe prima linie a lui $M(0)$, și suma devine $\left(\begin{array}{cc}6& 12\\ -2& -5\end{array}\right)$, care nu mai e egală cu $3M(1)$.)

c) (5 p) Produsul, rând cu coloană, pentru orice număr real $a$: $$M(a)\cdot M(0)=\left(\begin{array}{cc}a-3& 4a-12\\ 3-a& 12-4a\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Cum $3M(0)=\left(\begin{array}{cc}3& 12\\ -3& -12\end{array}\right)$, egalitatea element cu element dă $a-3=3$, $4a-12=12$, $3-a=-3$ și $12-4a=-12$. Toate patru au soluția $$\mathbf{a}=6\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: din $M(a)=a\cdot I_2+M(0)$ rezultă $M(a)\cdot M(0)=a\cdot M(0)+M(0{)}^2$, iar $M(0{)}^2=\left(\begin{array}{cc}-3& -12\\ 3& 12\end{array}\right)=-3M(0)$, deci $M(a)\cdot M(0)=(a-3)M(0)$. Cum $M(0)\ne O_2$, egalitatea $(a-3)M(0)=3M(0)$ cere $a-3=3$. Capcană: înmulțirea element cu element, $\left(\begin{array}{cc}a+1& 16\\ 1& 16-4a\end{array}\right)$, nu este produsul matricelor.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=1$ și $y=2$ în definiție: $$1\circ 2=1\cdot 2+4(1+2)\text{(3 p)}.$$ $$1\circ 2=2+12=14\text{(2 p)}.$$

(Capcană: paranteza se pierde, $1\cdot 2+4\cdot 1+2=8$.)

b) (5 p) Oricare ar fi numărul real $x$, $$x\circ 3=3x+4(x+3)=7x+12\text{(3 p)}.$$ Ecuația $7x+12=x$ dă $6x=-12$, deci $\mathbf{x}=-2$ (2 p).

(Probă: $(-2)\circ 3=-6+4\cdot 1=-2$. Altă cale: legea se scrie $x\circ y=(x+4)(y+4)-16$, deci $x\circ 3=7(x+4)-16=7x+12$. Capcană: paranteza se pierde, $x\circ 3=3x+4x+3=7x+3$; ecuația $7x+3=x$ dă $x=-\frac{1}{2}$, dar $\left(-\frac{1}{2}\right)\circ 3=-\frac{3}{2}+10=\frac{17}{2}$, nu $-\frac{1}{2}$.)

c) (5 p) Se notează $t=2^x$, număr pozitiv. Primul argument al legii este $t$, al doilea este $4$: $$2^x\circ 4=4t+4(t+4)=8t+16\text{(2 p)}.$$ Puterea din dreapta, $2^{x+4}$, se desface în produsul dintre $2^x$ și $2^4$, deci este de $16$ ori $t$. Ecuația devine $8t+16=16t$, adică $8t=16$, deci $t=2$, adică $2^x=2$, și $$\mathbf{x}=1\text{(3 p)}.$$

(Probă: $2\circ 4=8+4\cdot 6=32=2^5$. Capcană: puterea se desface ca o sumă, $2^{x+4}=2^x+2^4$; atunci ecuația ar fi $8t+16=t+16$, adică $7t=0$, imposibil pentru $t>0$, ceea ce arată că desfacerea e greșită.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, monotonie.

a) (5 p) Numitorul, notat $u$, este pătratul lui $x+2$ plus $1$, deci este cel puțin $1$ și fracția are sens pe $\mathbb{R}$. Numărătorul $1$ are derivata $0$, iar $u^{\prime }=2x+4$; regula câtului dă $$f^{\prime }(x)=\frac{0\cdot u-1\cdot u^{\prime }}{u^2}=\frac{-(2x+4)}{{\left(x^2+4x+5\right)}^2}\text{(2 p)}.$$ Se scoate factorul $2$: $-(2x+4)=-2(x+2)$, deci $$f^{\prime }(x)=\frac{-2(x+2)}{{\left(x^2+4x+5\right)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Probă: panta medie pe $[0,1]$ este $f(1)-f(0)=\frac{1}{10}-\frac{1}{5}=-\frac{1}{10}$, iar formula dă $f^{\prime }(0)=-\frac{4}{25}$ și $f^{\prime }(1)=-\frac{3}{50}$; panta medie se află între cele două, ca la o funcție care coboară mai abrupt la început. Capcană: se uită minusul din fața lui $u^{\prime }$ și iese $\frac{2(x+2)}{u^2}$, cu semn greșit.)

b) (5 p) Pentru $x\ne 0$ se împart numărătorul și numitorul la $x^2$: $$\left(x^2-1\right)\cdot f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+4x+5}=\frac{1-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}}\text{(3 p)}.$$ Când $x\to +\infty$, fracțiile $\frac{1}{x^2}$, $\frac{4}{x}$ și $\frac{5}{x^2}$ tind la $0$, deci $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^2-1\right)\cdot f(x)=\frac{1-0}{1+0+0}=1\text{(2 p)}.$$

(Numărătorul și numitorul au același grad și coeficienții dominanți $1$ și $1$, deci limita este raportul lor. Capcană: se reține doar că $f(x)\to 0$ și se scrie limita $0$; dar factorul $x^2-1$ crește, iar produsul $\infty \cdot 0$ este o nedeterminare, nu $0$.)

c) (5 p) Numitorul lui $f^{\prime }$ este pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime }(x)$ este semnul lui $-(x+2)$: $f^{\prime }(x)>0$ pentru $x<-2$ și $f^{\prime }(x)<0$ pentru $x>-2$. Așadar $f$ crește pe $(-\infty ,-2]$ și scade pe $[-2,+\infty )$ (2 p).

Fie $x\ge 0$. Cum $0\le x$ și $f$ scade pe $[-2,+\infty )$, avem $f(x)\le f(0)=\frac{1}{5}$. Apoi $f$ are maximul global $f(-2)=1$, deci $f(-x)\le 1$. Atunci $$5f(x)+f(-x)\le 5\cdot \frac{1}{5}+1=2\text{(3 p)}.$$

(Altă cale, fără derivată: numitorul, pătratul lui $x+2$ plus $1$, este cel puțin $1$, deci $f\le 1$ pe $\mathbb{R}$; iar pentru $x\ge 0$ numitorul este cel puțin $5$, deci $f(x)\le \frac{1}{5}$. Inegalitatea nu devine egalitate pentru niciun $x\ge 0$: $f(x)=\frac{1}{5}$ cere $x=0$, iar $f(-x)=1$ cere $x=2$. Capcană: majorările se așază invers, $f(x)\le 1$ și $f(-x)\le \frac{1}{5}$; a doua e falsă, de pildă $f(-1)=\frac{1}{2}$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale și primitivă.

a) (5 p) Din $f(x)-2x=5x^2+1$, o primitivă este $\frac{5x^3}{3}+x$: $${\int }_0^1\left(f(x)-2x\right)dx={\int }_0^1\left(5x^2+1\right)dx=\left(\frac{5x^3}{3}+x\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{5}{3}+1=\frac{8}{3}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: $2x$ se adună în loc să se scadă, și integrala devine $\frac{14}{3}$; sau primitiva lui $5x^2$ se scrie $5x^3$, fără împărțirea la $3$, și rezultatul iese $6$.)

b) (5 p) Acum $f(x)-5x^2=2x+1$, iar ${\left(\frac{1}{2}\ln (2x+1)\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{2x+1}=\frac{1}{2x+1}$: $${\int }_0^2\frac{1}{2x+1}dx=\frac{1}{2}\ln (2x+1){|}_0^2\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{1}{2}\ln 5-\frac{1}{2}\ln 1=\frac{\ln 5}{2}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se uită factorul $\frac{1}{2}$ și iese $\ln 5$; sau se scrie $\ln 1=1$, cu rezultatul $\frac{\ln 5-1}{2}$ — dar $\ln 1=0$.)

c) (5 p) Pentru $x>0$, $$g(x)=\frac{5x^2+1}{\sqrt{x}}=5x\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=5x^{3/2}+x^{-1/2}.$$ Primitivele sunt $\frac{5x^{5/2}}{5/2}+\frac{x^{1/2}}{1/2}+C$, adică $$G(x)=2{\mathbf{x}}^2\sqrt{\mathbf{x}}+2\sqrt{\mathbf{x}}+\mathbf{C},\text{ unde }C\text{ este o constanta˘ reala˘}\text{(3 p)}.$$ Condiția $G(1)=5$ dă $2+2+C=5$, deci $C=1$ și $$\mathbf{G}(\mathbf{x})=2{\mathbf{x}}^2\sqrt{\mathbf{x}}+2\sqrt{\mathbf{x}}+1,x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Probă: derivata lui $2x^{5/2}$ este $5x^{3/2}$, adică $5x\sqrt{x}$, iar derivata lui $2\sqrt{x}$ este inversul lui $\sqrt{x}$. Capcană: se integrează numărătorul și se împarte rezultatul la $\sqrt{x}$, $\frac{5x^3/3+x}{\sqrt{x}}$ — dar derivata acestei funcții nu este $g$.)

Pentru părinți și profesori

Aici găsești modelul oficial de subiect la matematică pentru Bacalaureatul tehnologic 2026, împreună cu baremul lui. Documentul vine de la Ministerul Educației și Cercetării, prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare, și se numește în antet Proba E. c) — Matematică M_tehnologic, cu mențiunea „Model". Se adresează candidaților din filiera tehnologică: profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic, cu toate calificările profesionale. Pe acest site îl numim și M3. Enunțurile din secțiunea „Itemi" sunt cele din PDF, neschimbate; rezolvările, observațiile și ghidajul sunt scrise de noi, iar fiecare rând punctat al baremului își are corespondentul în pagină.

Structura lucrării. Lucrarea are șase cerințe scurte și patru probleme cu câte trei subpuncte. Antetul spune că toate subiectele sunt obligatorii, că timpul de lucru efectiv este de trei ore și că zece puncte se acordă din oficiu.

Ce cere fiecare cerință. Coloana „Clasa" arată unde stă subiectul în programa de examen.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Calculul cu fracții ordinare face parte din operațiile cu numere reale, cerute la examen în clasa a IX-a. Anexa 3 a programei școlare noi nu are o unitate despre numere reale; la noi, subiectul e în „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. Ecuațiile cu radicali (cerința 3) și cele exponențiale (cerința 8.c) se cer la examen în clasa a X-a, dar programa școlară nouă rezolvă ecuațiile doar pe grafic sau cu mijloace digitale. Metoda stă în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Cerințele 5 și 6 cad la altă clasă decât cea din programa școlară nouă: reperul cartezian, mijlocul și distanța dintre puncte sunt la examen în clasa a X-a, dar acolo se învață în clasa a IX-a; triunghiul dreptunghic e la examen în clasa a IX-a, iar în programa nouă urmează în clasa a X-a. Cele două programe împart materia diferit, iar pagina urmează clasa din programa de examen.
• Nota 4. La cerința 10.c) radicalul $\sqrt{x}$ se scrie ca putere cu exponent rațional, ceea ce programa de examen cere în clasa a X-a. Sugestiile metodologice ale programei noi cer ca puterile cu exponent real să fie introduse intuitiv, cu valori obținute pe calculator, deci fără calculul lor algebric. Metoda stă în „Supliment Bac M3 2027–2029: puteri, radicali, logaritmi".

Ce are modelul acesta. Subiectul I rămâne la numere mici. Cerința 4 e dată pe o mulțime cu opt elemente, enumerate în enunț, iar produsul $n(n+1)$ nu cere decât o listă de opt valori. La Subiectul al II-lea, matricea se poate scrie $M(a)=a\cdot I_2+M(0)$, iar $M(0)$ are o proprietate care scurtează calculul de la c). Legea $x\circ y=xy+4(x+y)$ se poate rescrie $(x+4)(y+4)-16$. Subiectul al III-lea folosește funcția $\frac{1}{(x+2{)}^2+1}$, cu maximul $1$ în $x=-2$: de acolo vin majorările de la 9.c).

Cum lucrezi modelul ca pe o probă întreagă.

• Timp. Setează trei ore și lucrează pe foaie, cu enunțurile deschise, fără baremul. Un plan de lucru propus (nu o regulă oficială): douăzeci de minute păstrate pentru recitire, patruzeci pentru Subiectul I și câte șaizeci pentru fiecare dintre Subiectele II și III; împreună, cele trei subiecte iau 160 de minute, adică cele 180 fără recitire.
• Regulile din antetul baremului. Orice rezolvare corectă își primește punctele, și atunci când drumul ei diferă de cel din barem. Punctele se dau întregi; o rezolvare neterminată poate primi puncte parțiale, în limita unui rând din barem. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.
• Cele zece puncte din oficiu. Nota $5$ înseamnă $50$ de puncte; scăzând oficiul rămân $40$ de puncte de adunat din cele $90$ ale cerințelor.
• Locuri unde se rupe redactarea. La cerința 3, verificarea soluției în ecuația cu radical. La cerința 4, numărul cazurilor posibile ($8$, nu $10$). La 8.c), desfacerea puterii $2^{x+4}$ într-un produs de puteri, înainte de a egala termenii. La 9.c), precizarea intervalului pe care crește sau scade funcția. La 10.c), constanta $C$ din primitivă, găsită abia din condiția $G(1)=5$.

Cum îți citești punctajul. Dacă n-ai ajuns la $40$ de puncte din $90$, pornește de la Subiectul I și de la subpunctele a) și b) ale celor patru probleme: se rezolvă prin înlocuire și calcul direct. Între $40$ și $65$ de puncte, ai baza; dacă îți lipsesc puncte, caută-le întâi la subpunctele c), unde apare o idee în plus față de calcul. Peste $65$ de puncte, rămân de lucrat ritmul și curățenia scrierii.

Formulele folosite în model, pe subiecte:

• Subiectul I. Fracțiile se aduc la același numitor înainte de a fi adunate sau scăzute; probabilitatea se obține împărțind numărul cazurilor favorabile la numărul celor posibile; mijlocul unui segment are drept coordonate semisumele coordonatelor capetelor, iar distanța dintre două puncte este rădăcina pătrată a sumei pătratelor diferențelor coordonatelor; într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor.
• Subiectul al II-lea. Determinantul matricei $\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$ este $ps-qr$; la produsul a două matrice se înmulțesc elementele unei linii a primului factor cu cele ale unei coloane a celui de-al doilea și se adună rezultatele; două matrice coincid dacă au aceleași elemente pe aceleași locuri; o putere cu exponentul $x+4$ se desparte într-un produs de două puteri.
• Subiectul al III-lea. Regula câtului, ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; o funcție crește acolo unde derivata ei este pozitivă și scade acolo unde este negativă; $\int \frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln |ax+b|+C$; radicalul din $x$ este puterea $\frac{1}{2}$ a lui $x$, iar inversul lui este puterea $-\frac{1}{2}$.

Despre litere. Litera $f$ desemnează aici trei funcții, câte una la cerințele 2, 9 și 10: $f(x)=4x-9$, $f(x)=\frac{1}{x^2+4x+5}$ și $f(x)=5x^2+2x+1$; fiecare se citește separat. Litera $A$ este mulțime la cerința 4, punct la cerința 5 și vârf de triunghi la cerința 6. Litera $M$ este mijlocul unui segment la cerința 5 și o matrice la cerința 7. Litera $a$ este necunoscută la cerințele 2 și 7.c), iar la 7.a) și 7.b) este înlocuită cu valori numerice.

În titlurile de mai jos, „itemul" este cuvântul din barem pentru o cerință; în clasă îi spunem, simplu, „cerința".