Subiect Bac matematică pedagogic, simulare 2026 — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2026 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $0,25\cdot 6+\left(3-0,5\right):5=2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x-3$ și numărul real $m$, ordonata punctului de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Oy$. Calculați $f(m)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x=2\sqrt{2x}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o scumpire cu $20\%$, un obiect costă $600$ de lei. Obiectul este scumpit din nou, cu $5\%$. Calculați diferența dintre prețul obiectului după cele două scumpiri și prețul înainte de cele două scumpiri.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,3)$, $B(4,6)$ și $C$, astfel încât $A$ este mijlocul segmentului $BC$. Determinați lungimea segmentului $OC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $DEF$, dreptunghic în $D$, cu $DE=3$ și $\sin F=\frac{1}{3}$. Arătați că $DF=6\sqrt{2}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=(x-4y)(y-4x)+4$.

1. (5 puncte) Arătați că $1\ast 3=15$.

2. (5 puncte) Arătați că legea de compoziție „$\ast$” este comutativă.

3. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast 0=0$.

4. (5 puncte) Arătați că $x\ast (x+1)=9x(x+1)$, pentru orice număr real $x$.

5. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $(x-1)\ast x=(x+1)\ast (x+2)$.

6. (5 puncte) Determinați numerele reale $m$ pentru care $x\ast (mx)=4$, pentru orice număr real $x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A(x)=\left(\begin{array}{cc}x& 2-x\\ x-1& 3-x\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $\det \left(A(4)\right)=2$.

2. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $A(3)+3A(x)=4A(6)$.

3. (5 puncte) Arătați că $A(5)\cdot \left(3I_2-A(5)\right)=2I_2$.

4. (5 puncte) Arătați că $\det \left(A(0)\cdot A(1)-A(x)\right)=0$, pentru orice număr real $x$.

5. (5 puncte) Arătați că numărul $N=\det \left(A(n)+n{I}_2\right)$ este natural par, pentru orice număr natural $n$.

6. (5 puncte) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $A(5)\cdot X=A(0)+3X$.

Barem și răspunsuri

Suma cerințelor este 90 de puncte; împreună cu oficiul de 10 puncte, lucrarea ajunge la 100. Cifra îngroșată din paranteză este partea din cele 5 puncte pe care o primește rândul încheiat acolo; ordinea rândurilor este cea din foaia oficială.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu numere zecimale.

Produsul $0,25\cdot 6$ este $1,5$, iar paranteza $3-0,5$ este $2,5$, astfel încât expresia devine $$0,25\cdot 6+\left(3-0,5\right):5=1,5+2,5:5\text{(3 p)}.$$ Câtul $2,5:5$ este $0,5$, iar $1,5+0,5=2$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea, valoarea într-un punct.

Graficul întâlnește $Oy$ acolo unde $x=0$, în punctul de ordonată $f(0)=0-0-3$, deci $m=-3$ (2 p). Cerința este $f(m)=f(-3)=(-3{)}^2-2\cdot (-3)-3=9+6-3=12$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Ambii membri ai ecuației $x=2\sqrt{2x}$ se ridică la pătrat: $x^2=4\cdot 2x=8x$, adică $$x^2-8x=0\text{(3 p)}.$$ Factorul comun $x$ dă $x(x-8)=0$, deci $x=0$ sau $x=8$. Ridicarea la pătrat poate aduce soluții străine, de aceea urmează verificarea: $x=0$ dă $2\sqrt{0}=0$, iar $x=8$ dă $2\sqrt{16}=8$. Ambele convin: $\mathbf{x}=0$ și $\mathbf{x}=8$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — două scumpiri succesive.

Fie $p$ prețul în lei dinainte de prima scumpire. Cu $20\%$ în plus, prețul ajunge la $600$: $p+\frac{20}{100}\cdot p=600$, adică $\frac{120}{100}\cdot p=600$, de unde $p=500$ (2 p). A doua scumpire adaugă $5\%$ din $600$, adică $30$ de lei, deci prețul final ajunge la $630$ de lei. Diferența cerută este $630-500=130$ de lei (3 p).

Exercițiul 5. (5 p) — capătul unui segment cunoscând mijlocul.

Dacă $A$ este mijlocul lui $BC$, fiecare coordonată a lui $A$ este semisuma coordonatelor lui $B$ și $C$: $3=\frac{4+x_C}{2}$ și $3=\frac{6+y_C}{2}$. Rezultă $x_C=2$ și $y_C=0$, deci $$C(2,0)\text{(3 p)}.$$ Ordonata lui $C$ fiind nulă, segmentul $OC$ stă pe axa absciselor: $OC=\sqrt{2^2+0^2}=2$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — triunghi dreptunghic și sinus.

Unghiul drept fiind $D$, ipotenuza este $EF$, iar cateta din fața unghiului $F$ este $DE$. Așadar $\sin F=\frac{DE}{EF}$, adică $\frac{3}{EF}=\frac{1}{3}$, de unde $$EF=9\text{(3 p)}.$$ Teorema lui Pitagora în $DEF$ dă $D{F}^2=E{F}^2-D{E}^2=81-9=72$. Cum $72=36\cdot 2$, rezultă $DF=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — legea de compoziție: valoarea pe o pereche.

Se înlocuiește $x=1$ și $y=3$ în definiția legii: $$1\ast 3=(1-4\cdot 3)(3-4\cdot 1)+4\text{(3 p)}.$$ Parantezele sunt $-11$ și $-1$, iar $(-11)(-1)+4=11+4=15$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — legea de compoziție: comutativitatea.

Cu operanzii în ordine inversă, definiția dă $y\ast x=(y-4x)(x-4y)+4$. Cei doi factori sunt aceiași ca în $x\ast y$, doar așezați invers, iar înmulțirea numerelor reale nu depinde de ordine: $$y\ast x=(x-4y)(y-4x)+4\text{(3 p)}.$$ Partea dreaptă este chiar $x\ast y$. Relația $y\ast x=x\ast y$ se verifică pentru toate perechile reale $(x,y)$, deci legea este comutativă (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — legea de compoziție: ecuație cu un operand nul.

Cu $y=0$: $x\ast 0=(x-0)(0-4x)+4$, adică $$x\ast 0=-4x^2+4\text{(3 p)}.$$ Ecuația $-4x^2+4=0$ înseamnă $x^2=1$, deci $\mathbf{x}=-1$ sau $\mathbf{x}=1$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — legea de compoziție: o identitate pentru orice $x$.

Cu $y=x+1$, primul factor este $x-4(x+1)=-3x-4$, iar al doilea $(x+1)-4x=1-3x$: $$x\ast (x+1)=(-3x-4)(1-3x)+4\text{(3 p)}.$$ Produsul se desface în $-3x+9x^2-4+12x$, iar cu $+4$ rămâne $9x^2+9x=9x(\mathbf{x}+1)$, pentru fiecare $x$ real (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — legea de compoziție: ecuație cu doi termeni.

Identitatea $t\ast (t+1)=9t(t+1)$, adevărată pentru orice $t$ real, se folosește de două ori: cu $t=x-1$ se obține $(x-1)\ast x=9(x-1)x$, iar cu $t=x+1$ se obține $(x+1)\ast (x+2)=9(x+1)(x+2)$ (3 p). Ecuația este $9x(x-1)=9(x+1)(x+2)$, adică $9x^2-9x=9x^2+27x+18$. Termenii în $x^2$ se anulează, rămâne $-36x=18$, deci $\mathbf{x}=-\frac{1}{2}$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — legea de compoziție: parametru și condiție pentru orice $x$.

Cu $y=mx$: $x-4mx=x(1-4m)$ și $mx-4x=x(m-4)$, deci $$x\ast (mx)=x^2(1-4m)(m-4)+4\text{(2 p)}.$$ Egalitatea cu $4$ cere $x^2(1-4m)(m-4)=0$ pentru fiecare $x$. Luând, de pildă, $x=1$, rămâne $(1-4m)(m-4)=0$, iar un produs nul are un factor nul: $\mathbf{m}=\frac{1}{4}$ sau $\mathbf{m}=4$. Cu oricare dintre cele două valori, factorul în $m$ se anulează, așa că egalitatea rămâne adevărată pentru fiecare $x$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinant de ordinul doi.

Matricea $A(4)$ are elementele $4$, $2-4=-2$, $4-1=3$ și $3-4=-1$. Determinantul ei este $$\det \left(A(4)\right)=4\cdot (-1)-(-2)\cdot 3\text{(3 p)}.$$ Rezultă $-4+6=2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — ecuație matriceală cu o necunoscută scalară.

Avem $A(3)=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 0\end{array}\right)$ și $A(6)=\left(\begin{array}{cc}6& -4\\ 5& -3\end{array}\right)$. Mutând $A(3)$ în dreapta, ecuația devine $3A(x)=4A(6)-A(3)$ (2 p). Calculul dă $4A(6)-A(3)=\left(\begin{array}{cc}21& -15\\ 18& -12\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{cc}7& -5\\ 6& -4\end{array}\right)=3A(7)$. Din $3A(x)=3A(7)$ rezultă $\mathbf{x}=7$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — produs de matrice.

Se pornește de la $A(5)=\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ 4& -2\end{array}\right)$ și $3I_2-A(5)=\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ -4& 5\end{array}\right)$. Regula linie × coloană dă, pe fiecare loc al produsului, o sumă de doi termeni: $$A(5)\cdot \left(3I_2-A(5)\right)=\left(\begin{array}{cc}-10+12& 15-15\\ -8+8& 12-10\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Sumele devin $2$, $0$, $0$, $2$, deci produsul este $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=2{\mathbf{I}}_2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — determinant nul pentru orice $x$.

Cu $A(0)=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -1& 3\end{array}\right)$ și $A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$, produsul este $A(0)\cdot A(1)=\left(\begin{array}{cc}0& 4\\ -1& 5\end{array}\right)$. Scăzând $A(x)$ element cu element: $$A(0)\cdot A(1)-A(x)=\left(\begin{array}{cc}-x& x+2\\ -x& x+2\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Matricea are rândurile egale, iar determinantul ei este $(-x)(x+2)-(x+2)(-x)=0$, pentru fiecare $x$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — un determinant care dă un număr natural par.

Prin adunarea lui $n{I}_2$, numărul $n$ se adaugă doar pe diagonală: $A(n)+n{I}_2=\left(\begin{array}{cc}2n& 2-n\\ n-1& 3\end{array}\right)$. Pe diagonala principală produsul este $6n$, iar din el se scade produsul celor două elemente de pe cealaltă diagonală, $2-n$ și $n-1$. La desfacerea parantezelor, pătratul $n^2$ trece cu semnul plus, termenii în $n$ dau $6n-3n=3n$, iar constanta devine $+2$, deci $$N=n^2+3n+2\text{(2 p)}.$$ Trinomul se descompune în $(n+1)(n+2)$. Factorii sunt numere naturale care se succed, iar dintre ele exact unul se împarte la $2$; produsul este așadar un număr natural par; afirmația se verifică pentru fiecare $n$ natural (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — ecuație matriceală cu necunoscuta o matrice.

Termenul $3X$ trece în stânga ca $3I_{2}X$, iar ecuația se scrie $\left(A(5)-3I_2\right)X=A(0)$. Matricea $A(5)-3I_2=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 4& -5\end{array}\right)$ are determinantul $-10+12=2\ne 0$, deci admite inversă, și anume $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}-5& 3\\ -4& 2\end{array}\right)=-\frac{1}{2}A(5)$. Înmulțind la stânga cu inversa: $$X=-\frac{1}{2}A(5)\cdot A(0)\text{(3 p)}.$$ Produsul $A(5)\cdot A(0)$ este $\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right)$, deci $X=\left(\begin{array}{cc}-\frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\\ -1& -1\end{array}\right)$ (2 p).

Pentru părinți și profesori

Pagina rezolvă foaia marcată „Simulare” din 2026, pentru proba E. c) la matematică M_pedagogic. Fiecare dintre cele 18 cerințe valorează 5 puncte, deci lucrarea are 90 de puncte din cerințe. Candidații lucrează trei ore. Enunțurile urmează textul oficial cuvânt cu cuvânt, iar soluțiile sunt ale Matepolis; rândurile punctate ale documentului de evaluare apar ca etape, în ordinea lor. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Subiect cu subiect. Primul subiect începe cu un calcul cu zecimale și continuă cu o funcție cu termen pătratic, o ecuație cu radical, două scumpiri succesive, un mijloc de segment dat invers (se cunoaște mijlocul, se caută un capăt) și un triunghi dreptunghic cu un sinus dat. Al doilea subiect folosește legea $x\ast y=(x-4y)(y-4x)+4$ și o rezolvă de la o valoare numerică la o condiție cu parametrul $m$, valabilă pentru orice $x$. Al treilea subiect lucrează cu familia $A(x)$ și ajunge, în ultima cerință, la o ecuație cu necunoscuta o matrice.

Programa. Programa de examen M_pedagogic (OMEN 4430/2014) pune funcția pătratică și rezolvarea triunghiului dreptunghic în clasa a IX-a, ecuațiile cu radicali, procentele și reperul cartezian în clasa a X-a; clasa a XI-a aduce legile de compoziție, iar a XII-a matricele, determinanții și matricele inversabile. Pentru ultima cerință se potrivește lecția Ecuații matriceale: pe ce parte, pentru tehnologic.

Cinci încurcături și proba lor numerică.

• Exercițiul 2: $m$ este ordonata punctului în care graficul întâlnește $Oy$, adică $f(0)=-3$, nu abscisa $0$. Cu $m=0$ s-ar ajunge la $f(0)=-3$, în timp ce cerința este $f(m)=f(-3)=12$.
• Exercițiul 3: împărțirea ecuației $x^2=8x$ la $x$ lasă doar $x=8$ și pierde soluția $0$, care convine, fiindcă $2\sqrt{2\cdot 0}=0$.
• Exercițiul 4: procentele succesive nu se adună. Dacă cele două scumpiri ar fi tratate ca una singură, de $25\%$ din $500$ de lei, ar rezulta $125$ de lei; a doua scumpire se calculează însă din prețul de după prima, iar diferența corectă este $130$ de lei.
• Exercițiul 6: $\sqrt{81-9}$ nu este $\sqrt{81}-\sqrt{9}$; a doua expresie este $6$, în timp ce $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$.
• Cerința III.4: determinantul unei diferențe nu este diferența determinanților. Aici $\det \left(A(0)\cdot A(1)\right)=4$ și $\det A(x)=2$ pentru orice $x$, iar $4-2=2$, nu $0$.

Fir între cerințe. Cerința II.5 se sprijină pe egalitatea din cerința II.4, folosită de două ori. În cerința III.6, inversa $-\frac{1}{2}A(5)$ provine din rezultatul cerinței III.3, $A(5)\cdot \left(3I_2-A(5)\right)=2I_2$. Pe site, fiecare cerință are rezolvarea ei, așa că egalitățile necesare sunt rescrise acolo unde se folosesc.