Subiect Bac matematică pedagogic, sesiunea specială 2020 (varianta 1) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2020 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați rația progresiei geometrice $(b_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $b_1=2$ și $b_4=-2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+3$. Arătați că $f(0)=f(6)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_3(x-2)=1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A=\{1,2,3,7,8,9\}$, acesta să fie mai mic sau egal cu media aritmetică a elementelor mulțimii $A$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră dreptele $d_1$ și $d_2$ de ecuații $y=3x-1$, respectiv $y=ax+5$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că dreptele $d_1$ și $d_2$ sunt perpendiculare.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$ și punctul $D\in AC$, piciorul bisectoarei unghiului $B$. Știind că $BD=CD$, arătați că $m(\sphericalangle ACB)=30^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=x+ay+5$, unde $a$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că, pentru orice număr real $a$, $4\ast 0=9$.

2. (5 puncte) Demonstrați că, pentru $a=1$, legea de compoziție „$\ast$” este asociativă.

3. (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care legea de compoziție „$\ast$” este comutativă.

4. (5 puncte) Arătați că, dacă legea de compoziție „$\ast$” are element neutru, atunci $a=1$.

5. (5 puncte) Pentru $a=1$, determinați numerele reale $x$ pentru care $\left(x\ast x^2\right)\ast \left(x\ast x^2\right)=15$.

6. (5 puncte) Pentru $a=-3$, determinați numerele reale $x$ pentru care $4^x\ast 2^x=3$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)$, $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $O_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$.

1. (5 puncte) Arătați că $\det A=9$.

2. (5 puncte) Arătați că $(A-I_2)(A-9I_2)=O_2$.

3. (5 puncte) Se consideră matricea $B=A-5I_2$. Demonstrați că suma elementelor matricei $B\cdot B$ este divizibilă cu $2^5$

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det (aA+I_2)=0$.

5. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $A\cdot M=M\cdot A$, unde $M=\left(\begin{array}{cc}x& 1\\ y& 2\end{array}\right)$.

6. (5 puncte) Demonstrați că $\det (A+x{I}_2)+\det (A-x{I}_2)\ge 18$, pentru orice număr real $x$.

Barem și răspunsuri

Fiecare soluție urmează rândurile foii de evaluare, iar la capătul unui rând stau, îngroșate, punctele lui. Un rând valorează 1, 2 sau 3 puncte, iar rândurile unei cerințe însumează 5 puncte; cele 18 cerințe totalizează 90 de puncte, la care oficiul adaugă 10, pentru 100.

Exercițiul 1. (5 p) — rația unei progresii geometrice.

Într-o progresie geometrică fiecare termen este termenul precedent înmulțit cu rația $q$, deci $b_2=b_{1}q$, $b_3=b_1{q}^2$ și $b_4=b_1{q}^3$. Cu $b_1=2$ și $b_4=-2$ se obține $$2q^3=-2\text{(3 p)}.$$ Împărțind la $2$ rezultă $q^3=-1$. Funcția $t\mapsto t^3$ primește fiecare valoare cel mult o dată, iar $(-1{)}^3=-1$, deci $\mathbf{q}=-1$ (2 p). Termenii sunt atunci $2,-2,2,-2$, iar al patrulea este $-2$, cum cere enunțul.

Exercițiul 2. (5 p) — două valori egale ale unei funcții de gradul al doilea.

Cele două valori se calculează pe rând. În $0$ termenii cu $x$ se anulează și rămâne termenul liber: $f(0)=0^2-6\cdot 0+3=3$ (2 p). În $6$: $f(6)=6^2-6\cdot 6+3=36-36+3=3$. Ambele valori sunt $3$, deci $f(0)=f(6)$ (3 p). Pe axa $Ox$, punctele $0$ și $6$ au mijlocul în $3$, iar $x=3$ este axa parabolei $y=x^2-6x+3$; de aceea valorile coincid.

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmul ${\log }_{3}y$ este exponentul la care se ridică $3$ ca să se obțină $y$, așa că egalitatea ${\log }_3(x-2)=1$ spune că $x-2=3^1$, adică $$x-2=3\text{(3 p)}.$$ Logaritmul există numai pentru $x-2>0$, adică $x>2$. Din $x-2=3$ rezultă $x=5$, iar $5>2$, deci $\mathbf{x}=5$ convine; verificare: ${\log }_{3}3=1$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate cu media aritmetică.

Un număr se alege dintre elementele mulțimii $A$, care are $6$ elemente, așa că sunt $6$ cazuri posibile (2 p). Suma elementelor este $1+2+3+7+8+9=30$, deci media aritmetică este $30:6=5$. Elementele care nu depășesc $5$ sunt $1$, $2$ și $3$ (numărul $5$ nu aparține lui $A$), deci sunt $3$ cazuri favorabile (2 p). Probabilitatea este câtul numărului cazurilor favorabile la numărul cazurilor posibile: $$p=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\text{(1 p)}.$$

Exercițiul 5. (5 p) — drepte perpendiculare.

Ambele ecuații sunt scrise sub forma $y=mx+n$, iar coeficientul lui $x$ este panta. Pantele sunt deci $m_{d_1}=3$ și $m_{d_2}=a$ (2 p). Pentru două drepte neverticale, perpendicularitatea este echivalentă cu faptul că pantele au produsul $-1$. Rezultă $3\cdot a=-1$, de unde $$\mathbf{a}=-\frac{1}{3}\text{(3 p)}.$$

Exercițiul 6. (5 p) — unghiul $ACB$, cu un triunghi isoscel și o bisectoare.

Punctul $D$ se află pe $AC$, deci unghiul $\sphericalangle DCB$ este chiar $\sphericalangle ACB$. În triunghiul $BDC$ laturile egale $BD$ și $CD$ sunt opuse unghiurilor $\sphericalangle DCB$ și $\sphericalangle DBC$, deci aceste unghiuri sunt egale: $m(\sphericalangle DBC)=m(\sphericalangle ACB)$. Segmentul $BD$ este bisectoarea unghiului $B$, deci $m(\sphericalangle DBC)=\frac{1}{2}m(\sphericalangle ABC)$. Așadar $$m(\sphericalangle ACB)=m(\sphericalangle DBC)=\frac{1}{2}m(\sphericalangle ABC)\text{(3 p)}.$$ Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, deci unghiurile $B$ și $C$ au suma $90^{\circ }$. Notând $m(\sphericalangle ACB)=u$, avem $m(\sphericalangle ABC)=2u$ și $2u+u=90^{\circ }$, deci $m(\sphericalangle ACB)=30^{\circ }$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — lege cu parametru: valoarea pentru o pereche.

În definiția legii se pun $x=4$ și $y=0$: $$4\ast 0=4+a\cdot 0+5\text{(3 p)}.$$ Produsul $a\cdot 0$ este $0$ oricare ar fi numărul real $a$, deci $4\ast 0=4+5=9$, pentru orice $a$ real (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — lege cu parametru: asociativitatea la $a=1$.

Pentru $a=1$ legea este $x\ast y=x+y+5$. Asociativitatea înseamnă $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ pentru toate numerele reale $x$, $y$, $z$; membrii se evaluează unul câte unul. În primul, rezultatul lui $x\ast y$ ocupă locul primului operand al celei de-a doua operații: $$(x\ast y)\ast z=(x+y+5)\ast z=x+y+5+z+5=x+y+z+10\text{(3 p)}.$$ Pentru celălalt membru, $y\ast z=y+z+5$, iar acest rezultat devine al doilea operand: $x\ast (y\ast z)=x\ast (y+z+5)=x+y+z+5+5=x+y+z+10$. Membrii coincid pentru toate tripletele reale $(x,y,z)$, deci legea este asociativă (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — lege cu parametru: comutativitatea.

Comutativitatea înseamnă $x\ast y=y\ast x$ pentru toate numerele reale $x$ și $y$. Cum $y\ast x=y+ax+5$, egalitatea cerută este $$x+ay+5=y+ax+5,\text{pentru orice }x\text{ și }y\text{(2 p)}.$$ Se reduce $5$ și se trec toți termenii în același membru: $x-y+ay-ax=0$, adică $(x-y)-a(x-y)=0$, deci $(1-a)(x-y)=0$ sau, după înmulțirea cu $-1$, $(a-1)(x-y)=0$. Condiția cuprinde și perechile cu $x\ne y$; pentru $x=1$ și $y=0$ avem $x-y=1$, deci rămâne $a-1=0$. Așadar $\mathbf{a}=1$ (3 p). La $a=1$ legea este într-adevăr comutativă: $x+y+5=y+x+5$.

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — lege cu parametru: dacă există element neutru, atunci $a=1$.

Presupunem că există un element neutru $u$ pentru lege, adică $u\ast x=x$ și $x\ast u=x$ pentru orice $x$ real. Prima egalitate, la $x=0$, dă $u\ast 0=0$, adică $u+a\cdot 0+5=0$; termenul $a\cdot 0$ este $0$, deci $\mathbf{u}=-5$ (2 p). A doua egalitate, tot la $x=0$, dă $0\ast u=0$, adică $0\ast (-5)=0$. Cum $0\ast (-5)=0+a\cdot (-5)+5=-5a+5$, rezultă $-5a+5=0$ și $\mathbf{a}=1$ (3 p). Pașii folosesc două egalități particulare, deci ei dovedesc exact implicația din enunț: element neutru $\Rightarrow$ $a=1$. Reciproca nu se cere, dar este adevărată: pentru $a=1$, $x\ast (-5)=x-5+5=x$ și $(-5)\ast x=-5+x+5=x$, pentru orice $x$.

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — ecuație cu o compunere repetată, la $a=1$.

Pentru $a=1$ legea este $x\ast y=x+y+5$. Mai întâi $x\ast x^2=x+x^2+5$; notând acest număr cu $t$, expresia din enunț este $t\ast t=t+t+5=2t+5$. Prin urmare $$\left(x\ast x^2\right)\ast \left(x\ast x^2\right)=\left(x+x^2+5\right)\ast \left(x+x^2+5\right)=2\left(x+x^2+5\right)+5=2x^2+2x+15\text{(2 p)},$$ pentru orice $x$ real. Din $2x^2+2x+15=15$ se obține $2x^2+2x=0$, deci $2x(x+1)=0$. Produsul $2x(x+1)$ se anulează doar când $x=0$ sau $x+1=0$, adică $\mathbf{x}=0$ sau $\mathbf{x}=-1$ (3 p). La ambele valori membrul stâng este $15$.

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — ecuație cu puteri și o lege cu $a=-3$.

Pentru $a=-3$ legea este $x\ast y=x-3y+5$. Primul operand este $4^x$ și al doilea $2^x$, deci $4^x\ast 2^x=4^x-3\cdot 2^x+5$. În ecuația $4^x\ast 2^x=3$ se scade $3$ din fiecare membru, iar ea devine $$4^x-3\cdot 2^x+2=0\text{(2 p)}.$$ Termenul $4^x$ este $2^x\cdot 2^x$, iar $-3\cdot 2^x$ se scrie $-2\cdot 2^x-2^x$. Primii doi termeni au factorul $2^x$ și dau produsul dintre $2^x$ și $2^x-2$, iar ultimii doi, $-2^x+2$, sunt opusul lui $2^x-2$; așadar $2^x-2$ este factor comun, iar ecuația este $$\left(2^x-1\right)\left(2^x-2\right)=0.$$ Rezultă $2^x=1$ sau $2^x=2$, de unde $\mathbf{x}=0$ sau $\mathbf{x}=1$ (3 p). Cele două valori, $1$ și $2$, sunt pozitive, ca orice putere a lui $2$, deci niciuna nu se respinge.

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinantul unei matrice de ordin $2$.

Pentru o matrice $\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$ determinantul este $ps-qr$, adică produsul de pe diagonala principală minus produsul de pe cealaltă: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right|=5\cdot 5-4\cdot 4\text{(3 p)}.$$ Atunci $\det A=25-16=9$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — un produs de două matrice egal cu $O_2$.

Diagonala lui $I_2$ conține numai $1$, iar în rest are $0$, deci $A-I_2=\left(\begin{array}{cc}5-1& 4\\ 4& 5-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 4& 4\end{array}\right)$, iar $9I_2$ are $9$ pe diagonală: $$A-9I_2=\left(\begin{array}{cc}5-9& 4\\ 4& 5-9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-4& 4\\ 4& -4\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Fiecare element al produsului este suma produselor dintre linia primului factor și coloana celui de-al doilea: $$(A-I_2)(A-9I_2)=\left(\begin{array}{cc}4\cdot (-4)+4\cdot 4& 4\cdot 4+4\cdot (-4)\\ 4\cdot (-4)+4\cdot 4& 4\cdot 4+4\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=O_2\text{(3 p)}.$$ Niciuna dintre cele două matrice nu este $O_2$, dar produsul lor este.

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — suma elementelor unui produs de matrice și divizibilitatea ei.

Matricea $B=A-5I_2$ are $0$ pe diagonală: $B=\left(\begin{array}{cc}0& 4\\ 4& 0\end{array}\right)$. Produsul $B\cdot B$ se calculează tot cu liniile înmulțite cu coloanele: $$B\cdot B=\left(\begin{array}{cc}0\cdot 0+4\cdot 4& 0\cdot 4+4\cdot 0\\ 4\cdot 0+0\cdot 4& 4\cdot 4+0\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}16& 0\\ 0& 16\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Suma elementelor este $16+0+0+16=32$, iar $2^5=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32$. Suma este deci $1\cdot 2^5$, număr divizibil cu $2^5$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — determinantul $\det (aA+I_2)$ ca expresie în $a$.

Fiecare element al lui $A$ se înmulțește cu $a$, iar la rezultat se adaugă $I_2$ element cu element: $aA+I_2=\left(\begin{array}{cc}5a+1& 4a\\ 4a& 5a+1\end{array}\right)$. Determinantul este $$\det (aA+I_2)=(5a+1)(5a+1)-4a\cdot 4a=25a^2+10a+1-16a^2=9a^2+10a+1\text{(3 p)},$$ pentru orice $a$ real. Ecuația $9a^2+10a+1=0$ are discriminantul $\Delta =10^2-4\cdot 9\cdot 1=64$, deci $a=\frac{-10\pm 8}{18}$, adică $\mathbf{a}=-1$ sau $\mathbf{a}=-\frac{1}{9}$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice care comută.

Fiecare linie a primului factor se înmulțește cu fiecare coloană a celui de-al doilea: $$A\cdot M=\left(\begin{array}{cc}5x+4y& 5\cdot 1+4\cdot 2\\ 4x+5y& 4\cdot 1+5\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5x+4y& 13\\ 4x+5y& 14\end{array}\right),$$ $$M\cdot A=\left(\begin{array}{cc}x\cdot 5+1\cdot 4& x\cdot 4+1\cdot 5\\ y\cdot 5+2\cdot 4& y\cdot 4+2\cdot 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5x+4& 4x+5\\ 5y+8& 4y+10\end{array}\right)\text{(2 p)},$$ cu $x$ și $y$ numere reale. Matricele sunt egale dacă au aceleași elemente pe poziții corespunzătoare: $5x+4y=5x+4$, $13=4x+5$, $4x+5y=5y+8$, iar a patra egalitate, împărțită la $2$, este $7=2y+5$. Din prima ecuație rezultă $y=1$, din a doua $x=2$, iar ultimele două ecuații confirmă aceleași valori: din $4x+5y=5y+8$ rezultă $x=2$, iar din a patra, $7=2y+5$, rezultă $y=1$. Deci $\mathbf{x}=2$ și $\mathbf{y}=1$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — o inegalitate cu doi determinanți.

Pe diagonala principală se adună, respectiv se scade, numărul $x$, iar elementele $4$ rămân: $$A+x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}5+x& 4\\ 4& 5+x\end{array}\right),A-x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}5-x& 4\\ 4& 5-x\end{array}\right)\text{(2 p)},$$ pentru orice număr real $x$. Determinanții se calculează fiecare separat, apoi se adună; $(5+x{)}^2+(5-x{)}^2=50+2x^2$: $$\det (A+x{I}_2)+\det (A-x{I}_2)=(5+x{)}^2-16+(5-x{)}^2-16=2x^2+18\text{(3 p)}.$$ Pătratul $x^2$ nu este negativ, deci $2x^2\ge 0$, iar $2x^2+18\ge 18$ pentru orice $x$ real, iar valoarea $18$ se atinge numai la $x=0$.

Pentru părinți și profesori

Varianta 1 a probei E. c) de matematică M_pedagogic, din sesiunea specială a Bacalaureatului 2020 (filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare), este rezolvată integral mai jos. Lucrarea cuprinde trei subiecte cu câte șase cerințe de 5 puncte, adică 90 de puncte pentru cele 18 cerințe, și se scrie în trei ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. Enunțurile urmează textul foii oficiale; rezolvările, avertismentele și întrebările de ghidaj sunt scrise de Matepolis, iar rândurile punctate reproduc împărțirea foii de evaluare.

Ce cuprinde varianta. Subiectul I începe cu rația unei progresii geometrice din $b_1=2$ și $b_4=-2$, apoi cere egalitatea $f(0)=f(6)$ pentru $f(x)=x^2-6x+3$, ecuația ${\log }_3(x-2)=1$, o probabilitate în mulțimea $A=\{1,2,3,7,8,9\}$, valoarea lui $a$ pentru două drepte perpendiculare și un unghi de $30^{\circ }$ într-un triunghi dreptunghic cu o bisectoare. Al doilea subiect pornește de la legea $x\ast y=x+ay+5$, cu parametrul $a$: cerința II.1 are un rezultat valabil pentru orice $a$, cerința II.2 cere asociativitatea la $a=1$, cerința II.3 află $a$ din comutativitate, cerința II.4 pleacă de la existența elementului neutru, iar cerințele II.5 și II.6 sunt ecuații la $a=1$, respectiv $a=-3$. Al treilea subiect se sprijină pe matricea $A=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)$, alături de $I_2$ și $O_2$ din cadru, și cere determinantul lui $A$, un produs egal cu $O_2$, suma elementelor lui $B\cdot B$, ecuația $\det (aA+I_2)=0$, comutarea cu o matrice $M$ și o inegalitate cu doi determinanți.

Locul în programă. Potrivit programei de examen M_pedagogic din OMEN 4430/2014, aplicată începând cu Bacalaureatul din 2015, în clasa a IX-a se învață progresiile, funcția de gradul al doilea și rezolvarea triunghiului dreptunghic; în clasa a X-a, logaritmii, probabilitățile și condiția de perpendicularitate a dreptelor; în clasa a XI-a, legile de compoziție; în clasa a XII-a, matricele și determinanții. Exercițiul 6 folosește și proprietăți ale triunghiului isoscel și ale bisectoarei, care nu apar printre conținuturile programei de liceu, ci se învață în gimnaziu. Pentru rația din itemul 1 se poate relua lecția Progresia geometrică în epurarea apei, tehnologic, iar pentru produsele din cerințele III.2, III.3 și III.5, lecția Bac tehnologic: produsul de matrice, pe exemple.

Capcane, cu cifrele lor.

• Exercițiul 1: de la $b_1$ la $b_4$ sunt trei înmulțiri cu rația, nu patru; cu patru ar rezulta $2q^4=-2$, adică $q^4=-1$, care nu are nicio rădăcină reală.
• Exercițiul 3: egalitatea ${\log }_3(x-2)=1$ nu înseamnă $x-2=1$, fiindcă ${\log }_{3}1=0$; argumentul este $3$, pentru că ${\log }_{3}3=1$.
• Exercițiul 4: mulțimea $A$ are $6$ elemente, nu $9$, deoarece lipsesc $4$, $5$ și $6$; cu $9$ cazuri posibile s-ar obține $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$, iar probabilitatea corectă este $\frac{1}{2}$.
• Exercițiul 5: la $a=3$ ambele drepte au panta $3$ (taie axa $Oy$ în $-1$ și în $5$), deci sunt paralele, nu perpendiculare; la $a=-3$ produsul pantelor este $-9$, nu $-1$.
• Cerința II.2: un singur triplet nu dovedește asociativitatea, care se cere pentru toate tripletele $(x,y,z)$; pentru $a=2$ legea nu este asociativă, fiindcă $(0\ast 0)\ast 1=12$, iar $0\ast (0\ast 1)=19$.
• Cerința II.3: pentru $x=y$ egalitatea $x+ay+5=y+ax+5$ se verifică indiferent de $a$, deci nu oferă nicio informație despre $a$; pentru $a=2$ se obține $1\ast 0=6$, dar $0\ast 1=7$.
• Cerința II.5: dacă ecuația $2x^2+2x=0$ se împarte la $x$, se pierde soluția $x=0$, care verifică ecuația inițială, $2\cdot 0+0+15=15$.
• Cerința II.6: puterea $4^x$ nu este produsul $2\cdot 2^x$; la $x=2$ avem $4^2=16$, iar $2\cdot 2^2=8$.
• Cerința III.2: două matrice diferite de $O_2$ pot avea produsul $O_2$; înmulțirea pe poziții ar da $\left(\begin{array}{cc}-16& 16\\ 16& -16\end{array}\right)$, nu $O_2$.
• Cerința III.4: $\det (aA+I_2)$ nu este $a\cdot \det A+1$; la $a=-1$ determinantul este $0$, iar $a\cdot \det A+1=-8$.
• Cerința III.6: suma determinanților nu este determinantul sumei; $\det \left((A+x{I}_2)+(A-x{I}_2)\right)=\det (2A)=36$, pe când la $x=0$ suma celor doi determinanți este $18$.

Despre litere. Exercițiul 1: $b_n$ este progresia dată, iar $q$ este rația, notată în rezolvare. Exercițiul 2: $x$ este variabila funcției $f$. Exercițiul 3: $x$ este necunoscuta. Exercițiul 4: $A$ este mulțimea dată. Exercițiul 5: $d_1$ și $d_2$ sunt dreptele date, $a$ este numărul căutat, iar $m_{d_1}$ și $m_{d_2}$ sunt pantele, notate în rezolvare. Exercițiul 6: $A$, $B$, $C$ sunt vârfurile triunghiului, $D$ este piciorul bisectoarei, iar $u$ notează în rezolvare măsura unghiului $ACB$. Subiectul al II-lea: variabilele $x$ și $y$ din definiția legii parcurg orice numere reale; $a$ este un parametru oarecare la cerința II.1, are valoarea dată $1$ la cerințele II.2 și II.5 și $-3$ la cerința II.6, este necunoscuta de la cerința II.3 și este numărul de arătat la cerința II.4; la cerința II.4, $u$ este elementul neutru presupus, notat în rezolvare; la cerința II.5, $t$ notează în rezolvare numărul $x\ast x^2$; la cerința II.6, $t$ notează $2^x$ numai în ghidaj, nu și în rezolvarea de mai jos. Subiectul al III-lea: $A$, $I_2$ și $O_2$ sunt matricele date; $B$ este definită în cerința III.3, iar $M$ în cerința III.5; $a$ de la cerința III.4 este necunoscuta acelui item și nu are legătură cu parametrul legii din subiectul al II-lea; $x$ și $y$ sunt necunoscutele de la cerința III.5, iar la cerința III.6 numărul real $x$ este arbitrar.