Subiect Bac matematică pedagogic, model 2024 — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2024 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $0, 25 : 0, 5 + \frac{1}{2} = 1$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 4 x$ . Determinați numerele naturale $n$ pentru care $f (n) \geq n^{2} - 8$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2 lo g_{2} (3 x - 1) = 36$

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o scumpire cu $20%$ , prețul unui produs crește cu $80$ de lei. Calculați prețul final al produsului.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (- 1, 2)$ , $B (1, m)$ și $C (3, 6)$ , unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ , astfel încât punctul $C$ să fie simetricul punctului $A$ față de punctul $B$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $sin 3 0^{\circ} \cdot cos 4 5^{\circ} - \frac{1}{2} \cdot sin 4 5^{\circ} = 0$ .

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = \frac{1}{2} x y - x - y + 4$ .

1. (5 puncte) Arătați că $2 \circ 1 = 2$ .

2. (5 puncte) Demonstrați că $x \circ y = \frac{1}{2} (x - 2) (y - 2) + 2$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

3. (5 puncte) Arătați că $e = 4$ este elementul neutru al legii de compoziție „ $\circ$ ”.

4. (5 puncte) Arătați că numărul $N = m \circ n$ este natural par, pentru orice numere naturale nenule pare $m$ și $n$ .

5. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x \circ x = 4$ .

6. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $4^{x} \circ 8^{x} = 2$ .

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $A = (- 1 3 32)$ , $I_{2} = (1001)$ , $O_{2} = (0000)$ și $B (a) = (a + 1 3 3 a + 4)$ , unde $a$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $B (1) - B (0) = I_{2}$ .

2. (5 puncte) Arătați că $B (- 1) \cdot B (- 4) = 9 I_{2}$ .

3. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $det (B (a)) = a$ .

4. (5 puncte) Demonstrați că matricea $C (n) = B (n) - A$ este inversabilă, pentru orice număr natural $n$ .

5. (5 puncte) Determinați numărul real $a$ , știind că $A \cdot A = B (a)$ .

6. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ , $a \geq 0$ , pentru care $B (a) - B (a) = O_{2}$ .

Barem și răspunsuri

Rezolvările sunt împărțite pe cele 36 de rânduri ale baremului, câte două pentru fiecare cerință. La capătul unui rând, cifra îngroșată arată câte puncte din 5 i se cuvin. Oficiul de 10 puncte rămâne în afara rezolvărilor.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu zecimale și fracții.

Zecimalele se scriu ca fracții: $0, 25 = \frac{25}{100}$ și $0, 5 = \frac{5}{10}$ . Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei, deci $0, 25 : 0, 5 = \frac{25}{100} \cdot \frac{10}{5} = \frac{250}{500} = 0, 5$ și $0, 25 : 0, 5 + \frac{1}{2} = 0, 5 + \frac{1}{2} (3 p) .$ Cum $0, 5 = \frac{1}{2}$ , suma este $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — inecuație cu o funcție de gradul al doilea.

Inegalitatea $f (n) \geq n^{2} - 8$ înseamnă $n^{2} - 4 n \geq n^{2} - 8$ . Termenii $n^{2}$ se reduc și rămâne $- 4 n \geq - 8$ ; împărțirea la $- 4$ schimbă sensul inegalității, așa că $n \leq 2$ (2 p). Numerele naturale care nu depășesc $2$ sunt $0$ , $1$ și $2$ (zero este număr natural), deci $n = 0$ , $n = 1$ sau $n = 2$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmul există când $3 x - 1 > 0$ , adică $x > \frac{1}{3}$ . Cum $36 = 6$ , ecuația este $2 lo g_{2} (3 x - 1) = 6$ , deci $lo g_{2} (3 x - 1) = 3$ . Această egalitate spune că $3 x - 1$ este puterea a treia a lui $2$ : $3 x - 1 = 2^{3} (3 p) .$ Rezultă $3 x = 9$ și $x = 3$ . Valoarea respectă condiția $x > \frac{1}{3}$ (argumentul logaritmului este $3 \cdot 3 - 1 = 8 > 0$ ), deci $x = 3$ convine (2 p). Verificare: $2 lo g_{2} 8 = 2 \cdot 3 = 6 = 36$ .

Exercițiul 4. (5 p) — procent și preț final.

Fie $x$ prețul inițial, în lei. Scumpirea este $20%$ din $x$ și valorează $80$ de lei: $\frac{20}{100} \cdot x = 80 (2 p) .$ Se înmulțește cu $\frac{100}{20} = 5$ și rezultă $x = 80 \cdot 5 = 400$ de lei. Prețul final este prețul inițial la care se adaugă scumpirea: $400 + 80 = 480$ de lei (3 p).

Exercițiul 5. (5 p) — simetricul unui punct în reper.

Punctul $C$ este simetricul lui $A$ față de $B$ exact când $B$ este mijlocul segmentului $A C$ (3 p). Coordonatele lui $B$ sunt semisumele coordonatelor lui $A$ și $C$ . Pe abscisă, $\frac{- 1 + 3}{2} = 1$ , ceea ce se potrivește cu abscisa dată a lui $B$ ; pe ordonată, $m = \frac{2 + 6}{2} = 4$ , deci $m = 4$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — valori de sinus și cosinus.

Valorile sunt $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ și $cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ (3 p). Expresia devine $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2}{4} - \frac{2}{4} = 0$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — legea de compoziție: valoarea pe o pereche.

Se pun $x = 2$ și $y = 1$ în definiția legii: $2 \circ 1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 - 2 - 1 + 4 (3 p) .$ Calculul dă $1 - 2 - 1 + 4 = 2$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — legea de compoziție: forma cu paranteze.

Constanta $4$ din definiție se scrie $2 + 2$ . Primii patru termeni ai legii se grupează cu factorul comun $y - 2$ : $x \circ y = \frac{1}{2} x y - x - y + 2 + 2 = \frac{1}{2} x (y - 2) - (y - 2) + 2 = (y - 2) (\frac{1}{2} x - 1) + 2 (3 p) .$ Factorul $\frac{1}{2} x - 1$ este egal cu $\frac{1}{2} (x - 2)$ , deci $x \circ y = \frac{1}{2} (x - 2) (y - 2) + 2$ , pentru toate perechile reale $(x, y)$ (2 p). Desfăcând parantezele se regăsește definiția: $\frac{1}{2} (x y - 2 x - 2 y + 4) + 2 = \frac{1}{2} x y - x - y + 4$ .

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — legea de compoziție: elementul neutru.

Pentru $e = 4$ , prima egalitate cerută este $x \circ 4 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 4 - x - 4 + 4 = 2 x - x = x, pentru orice x real (2 p) .$ A doua este $4 \circ x = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot x - 4 - x + 4 = 2 x - x = x$ , tot pentru orice $x$ real. Ambele ordini dau pe $x$ , așa că $e = 4$ îndeplinește definiția elementului neutru (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — legea de compoziție: număr natural par.

Un număr natural nenul par este dublul unui număr natural nenul: $m = 2 k$ și $n = 2 p$ , cu $k$ și $p$ numere naturale nenule (2 p). În forma cu paranteze, factorii $m - 2$ și $n - 2$ devin $2 k - 2 = 2 (k - 1)$ și $2 p - 2 = 2 (p - 1)$ , deci $N$ este jumătate din produsul dintre dublul lui $k - 1$ și dublul lui $p - 1$ , la care se adaugă $2$ . Simplificând, $N = 2 (k - 1) (p - 1) + 2$ . Cum $k \geq 1$ și $p \geq 1$ , numerele $k - 1$ și $p - 1$ sunt naturale, iar produsul lor $t = (k - 1) (p - 1)$ este natural. Atunci $N = 2 t + 2 = 2 (t + 1)$ este un număr natural, multiplu de $2$ , adică par (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — legea de compoziție: ecuație de gradul al doilea.

Pentru $y = x$ , forma cu paranteze dă $x \circ x = \frac{1}{2} (x - 2)^{2} + 2$ , deci ecuația este $\frac{1}{2} (x - 2)^{2} + 2 = 4 (2 p) .$ Se scade $2$ din ambii membri și se înmulțește cu $2$ : $(x - 2)^{2} = 4$ . Un pătrat egal cu $4$ provine din $x - 2 = 2$ sau din $x - 2 = - 2$ , adică $x = 4$ sau $x = 0$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — legea de compoziție: ecuație exponențială.

Cu forma cu paranteze, ecuația $4^{x} \circ 8^{x} = 2$ este $\frac{1}{2} (4^{x} - 2) (8^{x} - 2) + 2 = 2$ . Termenul $2$ se reduce, iar un produs înjumătățit este nul doar când produsul este nul; cu $4 = 2^{2}$ și $8 = 2^{3}$ , ecuația este echivalentă cu $(2^{2 x} - 2) (2^{3 x} - 2) = 0 (3 p) .$ Un produs este nul când un factor este nul. Din $2^{2 x} = 2$ rezultă $2 x = 1$ , adică $x = \frac{1}{2}$ , iar din $2^{3 x} = 2$ rezultă $3 x = 1$ , adică $x = \frac{1}{3}$ . Soluțiile sunt $x = \frac{1}{2}$ și $x = \frac{1}{3}$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — diferența a două matrice.

Parametrul apare doar pe diagonală: pentru $a = 1$ acolo stau $1 + 1 = 2$ și $1 + 4 = 5$ , iar pentru $a = 0$ stau $0 + 1 = 1$ și $0 + 4 = 4$ ; în afara diagonalei rămâne $3$ . Așadar $B (1) - B (0) = (2335) - (1334) (3 p) .$ Diferența se face element cu element: $(2 - 1 3 - 3 3 - 3 5 - 4) = (1001) = I_{2}$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — produsul a două matrice.

$B (- 1) = (- 1 + 1 3 3 - 1 + 4) = (0333)$ și $B (- 4) = (- 4 + 1 3 3 - 4 + 4) = (- 3 3 30)$ (3 p). Elementele produsului, linie cu coloană, sunt $0 \cdot (- 3) + 3 \cdot 3 = 9$ , $0 \cdot 3 + 3 \cdot 0 = 0$ , $3 \cdot (- 3) + 3 \cdot 3 = 0$ și $3 \cdot 3 + 3 \cdot 0 = 9$ , deci $B (- 1) \cdot B (- 4) = (9009) = 9 I_{2} (2 p) .$

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — determinantul ca funcție de parametru.

$det (B (a)) = (a + 1) (a + 4) - 3 \cdot 3 = a^{2} + 5 a + 4 - 9 = a^{2} + 5 a - 5 (3 p) .$ Ecuația $det (B (a)) = a$ este $a^{2} + 5 a - 5 = a$ . Se trece $a$ în membrul stâng; trinomul rezultat, cu termenii $a^{2}$ , $4 a$ și $- 5$ , are doi factori, $a + 5$ și $a - 1$ , iar produsul lor este nul pentru $a = - 5$ sau $a = 1$ (2 p). Verificare: $det (B (1)) = 2 \cdot 5 - 9 = 1$ și $det (B (- 5)) = (- 4) (- 1) - 9 = - 5$ .

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — inversabilitatea unei matrice.

Diferența se face element cu element: $C (n) = B (n) - A = (n + 1 - (- 1) 3 - 3 3 - 3 n + 4 - 2) = (n + 2 0 0 n + 2)$ , iar $det (C (n)) = (n + 2) (n + 2) - 0 \cdot 0 = (n + 2)^{2} (3 p) .$ Pentru $n$ natural, $n + 2 \geq 2$ , deci $(n + 2)^{2} \geq 4$ și $det (C (n)) \neq = 0$ . O matrice pătratică cu determinantul nenul este inversabilă; aici inversa este $\frac{1}{n + 2} I_{2}$ . Prin urmare $det (C (n)) \neq = 0$ , iar $C (n)$ este inversabilă pentru orice $n$ natural (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — pătratul unei matrice și identificarea parametrului.

Elementele produsului $A \cdot A$ , linie cu coloană, sunt $(- 1) (- 1) + 3 \cdot 3 = 10$ , $(- 1) \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 3$ , $3 \cdot (- 1) + 2 \cdot 3 = 3$ și $3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 13$ : $A \cdot A = (103313) (2 p) .$ Două matrice sunt egale când elementele de pe aceleași locuri sunt egale. Din $(103313) = (a + 1 3 3 a + 4)$ rezultă $a + 1 = 10$ și $a + 4 = 13$ ; ambele dau $a = 9$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — egalitate de matrice cu radical în parametru.

Pentru ca $a$ să fie definit, $a \geq 0$ . Egalitatea $B (a) - B (a) = O_{2}$ spune că $B (a) = B (a)$ , cu $a \geq 0$ (2 p). Matricele $B (a)$ și $B (a)$ au aceleași elemente constante, deci diferă doar prin parametru, iar egalitatea revine la $a = a$ . Se notează $t = a \geq 0$ , deci $a = t^{2}$ , iar $t^{2} = t$ dă $t = 0$ sau $t = 1$ . Atunci $a = 0$ sau $a = 1$ , ambele cu $a \geq 0$ , deci convin (3 p).

Pentru părinți și profesori

Pagina rezolvă foaia marcată „Model” pentru proba E. c) de matematică M_pedagogic din anul 2024, cu trei ore de lucru și 18 cerințe a câte 5 puncte, adică 90 de puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu. Fiecare enunț urmează textul oficial, iar rezolvările sunt scrise de Matepolis, câte una pentru fiecare rând punctat al foii de evaluare.

Versiunea urmată. Arhiva oficială cu modelele pe 2024 a fost creată la 12.12.2023 și conține o corectură: la cerința 4 din subiectul al II-lea se cere acum „numere naturale nenule pare”, iar baremul scrie „numere naturale nenule” pentru $k$ și $p$ . O copie mai veche a foii, din 26 octombrie 2023, nu avea cuvântul „nenule”. Pagina urmează varianta republicată; despre rostul cuvântului se vorbește la cerința II.4.

Ce cuprinde modelul. Subiectul I are șase cerințe independente: un calcul cu zecimale, o inecuație cu o funcție de gradul al doilea în numere naturale, o ecuație logaritmică, o scumpire, un punct simetric în reper și o expresie cu sinus și cosinus. Subiectul al II-lea este o singură problemă despre legea $x \circ y = \frac{1}{2} x y - x - y + 4$ pe mulțimea numerelor reale. Subiectul al III-lea este o singură problemă despre matricele $A$ , $I_{2}$ , $O_{2}$ și familia $B (a)$ .

Unde se află materia în programa de examen. În programa M_pedagogic (OMEN 4430/2014), clasa a IX-a are funcția de gradul al doilea și valorile sinusului și cosinusului. Clasa a X-a aduce logaritmii, ecuațiile logaritmice, procentele și calculul cu coordonatele punctelor în reperul cartezian. Legile de compoziție se studiază în clasa a XI-a, iar matricele, determinantul și inversabilitatea în clasa a XII-a. Pentru logaritmi se poate reciti Logaritmul produsului: reguli de calcul, tehnologic, iar pentru inversabilitate Inversa 2×2: formula pe scurt, liceu tehnologic.

Capcane, cu dovada lor.

Exercițiul 1: câtul $0, 25 : 0, 5$ nu este produsul $0, 25 \cdot 0, 5 = 0, 125$ ; împărțirea la un număr subunitar mărește deîmpărțitul, iar rezultatul corect, $0, 5$ , este mai mare decât $0, 25$ .
Exercițiul 2: împărțirea la $- 4$ schimbă sensul inegalității; pentru $n = 3$ se obține $f (3) = - 3$ , mai mic decât $3^{2} - 8 = 1$ , deci $3$ nu convine. În schimb $n = 0$ este natural și convine: $f (0) = 0$ , iar $0^{2} - 8 = - 8$ .
Exercițiul 3: din $lo g_{2} (3 x - 1) = 3$ rezultă $3 x - 1 = 2^{3}$ , iar $2^{3}$ este $8$ , nu produsul $3 \cdot 2 = 6$ .
Exercițiul 4: cei $400$ de lei sunt prețul inițial; prețul final al produsului este $400 + 80 = 480$ de lei.
Exercițiul 5: dacă $C$ ar fi mijlocul segmentului $A B$ , abscisa lui $C$ ar fi $\frac{- 1 + 1}{2} = 0$ , nu $3$ ; simetria față de $B$ face din $B$ mijlocul lui $A C$ .
Exercițiul 6: $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ; cu valoarea $\frac{3}{2}$ , care aparține lui $sin 6 0^{\circ}$ , diferența ar fi $\frac{6}{4} - \frac{2}{4}$ , număr nenul.
Cerința II.3: o verificare cu un singur număr nu ajunge. Pentru $x = 0$ se obține $0 \circ 4 = \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot 4 - 0 - 4 + 4 = 0$ , dar elementul neutru cere egalitatea pentru toți $x$ reali și în ambele ordini.
Cerința II.4: cuvântul „nenule” contează. Numărul $0$ este natural și par, dar $0 \circ 6 = - 2$ nu este natural; prin urmare enunțul fără „nenule” ar fi fals pentru $m = 0$ și $n = 6$ .
Cerința II.5: ecuația $(x - 2)^{2} = 4$ are două soluții; cine reține doar $x - 2 = 2$ pierde valoarea $x = 0$ , deși $0 \circ 0 = 4$ .
Cerința II.6: puterea lui $8$ se scrie ca putere a lui $2$ înmulțind exponentul cu $3$ , nu adunându-l cu $3$ ; pentru $x = 1$ avem $8^{1} = 8 = 2^{3 \cdot 1}$ , iar adunarea ar da $2^{1 + 3} = 16$ .
Cerința III.3: dacă produsul secundar $3 \cdot 3 = 9$ s-ar aduna în loc să se scadă, ecuația ar rămâne fără soluții reale (discriminantul ar fi $- 36$ ), deși ecuația corectă are două.
Cerința III.4: pentru $n = - 2$ matricea $C (- 2)$ este $O_{2}$ și nu se inversează; de aceea contează că $n$ este natural.
Cerința III.5: ridicarea la pătrat a elementelor lui $A$ dă $(1994)$ , care nu este produsul $A \cdot A$ .
Cerința III.6: nu orice $a \geq 0$ convine; pentru $a = 4$ se obține $B (4) - B (2) = (2002)$ , care nu este $O_{2}$ , fiindcă $4 = 2$ este diferit de $4$ .

Despre litere. În problema cu legea, $x$ și $y$ sunt numere reale arbitrare în forma cu paranteze, $x$ este arbitrar și la elementul neutru, iar în ultimele două cerințe $x$ devine necunoscută (litera $y$ nu mai apare acolo). Numerele $m$ și $n$ din cerința despre numărul natural par sunt naturale nenule pare, scrise $m = 2 k$ și $n = 2 p$ . În problema cu matrice, $a$ este parametrul lui $B (a)$ și, în unele cerințe, necunoscuta; $n$ din cerința despre inversabilitate este un număr natural oarecare, nu o necunoscută.