Subiect Bac matematică pedagogic, iunie 2026, rezervă (varianta 7) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2026 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\sqrt{6}\left(2+3\sqrt{6}\right)-\sqrt{36}-\sqrt{24}=12$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x+16$. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2+3x-15}=x$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A=\{0,1,2,\dots ,9\}$, $n^3$ să fie număr natural de două cifre.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,4)$ și $B(5,2)$. Determinați distanța dintre punctele $B$ și $M$, unde $M$ este mijlocul segmentului $OA$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sqrt{3}\sin 30^{\circ }+2\cos 60^{\circ }-\sin 60^{\circ }=1$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=\frac{xy}{4}+8-x-y$.

1. (5 puncte) Arătați că $1\ast 4=4$.

2. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\ast 5=6$.

3. (5 puncte) Arătați că $x\ast y=\frac{1}{4}(x-4)(y-4)+4$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

4. (5 puncte) Arătați că, dacă $x$ și $y$ sunt numere reale pentru care $x\ast (y+1)=(x-1)\ast y$, atunci $x+y=8$.

5. (5 puncte) Arătați că, dacă $x\in [4,+\infty )$ și $y\in [4,+\infty )$, atunci $x\ast y\in [4,+\infty )$.

6. (5 puncte) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale pentru care $4^m\ast (n+1)=\left(2^{2m}-1\right)\ast n$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}9& 6\\ 4& -1\end{array}\right)$ și $B(x)=\left(\begin{array}{cc}x+2& 3\\ 2& x-2\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $\det \left(B(4)\right)=6$.

2. (5 puncte) Arătați că $2B(3)+B(6)=3B(4)$.

3. (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $B(-2)\cdot B(5)=aB(0)$.

4. (5 puncte) Determinați numărul întreg $m$ pentru care $\det \left(2B(m)-A\right)<0$.

5. (5 puncte) Determinați perechile $(n,p)$ de numere naturale pentru care $B(n)\cdot B(-n)=2p{I}_2$, unde $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

6. (5 puncte) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $B(4)\cdot X=2A$.

Barem și răspunsuri

Cele 18 cerințe aduc împreună 90 de puncte, iar oficiul de 10 puncte face totalul 100. Cifra îngroșată dintr-o paranteză este numărul de puncte din 5 pe care îl dă etapa încheiată acolo; etapele merg în ordinea foii oficiale.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu radicali.

Produsul se desface: $\sqrt{6}\cdot 2+\sqrt{6}\cdot 3\sqrt{6}=2\sqrt{6}+18$. Mai departe, $\sqrt{36}=6$, iar $\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6}$, deci $$\sqrt{6}\left(2+3\sqrt{6}\right)-\sqrt{36}-\sqrt{24}=2\sqrt{6}+18-6-2\sqrt{6}\text{(3 p)}.$$ Radicalii $2\sqrt{6}$ și $-2\sqrt{6}$ dispar împreună; ce rămâne este $18-6=12$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — intersecția cu axa $Ox$.

Punctele de pe axa $Ox$ au ordonata $0$, deci abscisa căutată verifică $f(x)=0$, adică $$4x+16=0\text{(3 p)}.$$ Rezultă $4x=-16$ și $\mathbf{x}=-4$ (2 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Se ridică la pătrat fiecare membru: $x^2+3x-15=x^2$, iar după reducerea lui $x^2$ rămâne $$3x-15=0\text{(3 p)}.$$ Soluția este $x=5$. Se verifică: sub radical stă $25+15-15=25\ge 0$, iar $\sqrt{25}=5=x$, deci $\mathbf{x}=5$ convine (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — o probabilitate.

Mulțimea $A$ conține zece numere, de la $0$ până la $9$, și fiecare poate fi ales: există $10$ cazuri posibile (2 p). Cuburile sunt $0,1,8,27,64,125,216,343,512,729$; dintre ele, doar $27=3^3$ și $64=4^3$ au două cifre. Cazurile favorabile sunt $n=3$ și $n=4$, adică $2$, iar probabilitatea este $\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$ (3 p).

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment și distanța dintre puncte.

Originea fiind $O(0,0)$, punctul $M$, mijlocul lui $OA$, are coordonatele $\frac{0+2}{2}=1$ și $\frac{0+4}{2}=2$: $M(1,2)$ (3 p). $B(5,2)$ și $M(1,2)$ stau pe aceeași orizontală, deci $BM=\sqrt{(5-1{)}^2+(2-2{)}^2}=\sqrt{16}=4$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — valori de sinus și cosinus.

Se știu $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (3 p). Expresia devine $\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}+1-\frac{\sqrt{3}}{2}=1$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — legea de compoziție: valoarea pe o pereche.

Se înlocuiește $x=1$ și $y=4$ în $\frac{xy}{4}+8-x-y$: $$1\ast 4=\frac{1\cdot 4}{4}+8-1-4\text{(3 p)}.$$ Primul termen este $1$, iar $1+8-1-4=1+3=4$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — legea de compoziție: ecuație liniară.

Cu $y=5$: $x\ast 5=\frac{5x}{4}+8-x-5$. Termenii cu $x$ dau $\frac{5x}{4}-x=\frac{x}{4}$, iar $8-5=3$: $$x\ast 5=\frac{x}{4}+3\text{(3 p)}.$$ Ecuația $\frac{x}{4}+3=6$ dă $\frac{x}{4}=3$, deci $\mathbf{x}=12$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — legea de compoziție: forma factorizată.

Din $\frac{xy}{4}+8-x-y$ se scoate factorul $\frac{1}{4}$ la termenii cu $x$ și $y$; cum $\frac{1}{4}\cdot 16=4$, iar $8-4=4$, avem $$x\ast y=\frac{1}{4}\left(xy-4x-4y+16\right)+4\text{(2 p)}.$$ Gruparea $xy-4x-4y+16=x(y-4)-4(y-4)=(x-4)(y-4)$ arată că $x\ast y=\frac{1}{4}(\mathbf{x}-4)(\mathbf{y}-4)+4$, pentru orice $x$ și $y$ reale (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — legea de compoziție: o condiție între $x$ și $y$.

Cu forma factorizată din cerința II.3, $x\ast (y+1)=\frac{1}{4}(x-4)(y-3)+4$ și $(x-1)\ast y=\frac{1}{4}(x-5)(y-4)+4$ (2 p). Egalând cele două expresii și renunțând la $\frac{1}{4}$ și la $4$, se ajunge la $(x-4)(y-3)=(x-5)(y-4)$. Desfăcute parantezele: $xy-3x-4y+12=xy-4x-5y+20$. Cum $xy$ apare în ambii membri, el dispare, iar rămâne $\mathbf{x}+\mathbf{y}=8$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — legea de compoziție: un interval ca parte stabilă.

Din $x\ge 4$ și $y\ge 4$ rezultă $x-4\ge 0$ și $y-4\ge 0$. Doi factori ce nu sunt negativi dau un produs care nu e negativ: $$(x-4)(y-4)\ge 0\text{(3 p)}.$$ Cu forma factorizată, $x\ast y=\frac{1}{4}(x-4)(y-4)+4\ge 0+4=4$, deci $\mathbf{x}\ast \mathbf{y}\in [4,+\infty )$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — legea de compoziție: ecuație cu puteri ale lui $4$.

Numărul $2^{2m}$ este chiar $4^m$; cu notația $u=4^m$, condiția devine $u\ast (n+1)=(u-1)\ast n$. Forma factorizată dă $\frac{1}{4}(u-4)(n-3)+4=\frac{1}{4}(u-5)(n-4)+4$, deci $(u-4)(n-3)=(u-5)(n-4)$. Desfăcând, $un-3u-4n+12=un-4u-5n+20$ și rămâne $$4^m+n=8\text{(3 p)}.$$ Puterile naturale ale lui $4$ sunt $1,4,16,\dots$, iar $4^m\le 8$ doar pentru $m=0$ și $m=1$. Cu $m=0$ avem $n=7$; cu $m=1$ avem $n=4$. Perechile sunt $(0,7)$ și $(1,4)$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinant de ordinul doi.

Pentru $B(4)$, elementele sunt $4+2=6$, $3$, $2$ și $4-2=2$. Atunci $$\det \left(B(4)\right)=6\cdot 2-3\cdot 2\text{(3 p)}.$$ Rezultă $12-6=6$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — o egalitate între matrice.

La $B(3)$ rândurile sunt $(5,3)$ și $(2,1)$, la $B(6)$ sunt $(8,3)$ și $(2,4)$: $$2B(3)+B(6)=\left(\begin{array}{cc}10& 6\\ 4& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}8& 3\\ 2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}18& 9\\ 6& 6\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Fiecare element se împarte la $3$: $\left(\begin{array}{cc}18& 9\\ 6& 6\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{cc}6& 3\\ 2& 2\end{array}\right)=3B(4)$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — produsul a două matrice comparat cu $B(0)$.

Cu $B(-2)=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 2& -4\end{array}\right)$ și $B(5)=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 2& 3\end{array}\right)$, produsul linie cu coloană este $$B(-2)\cdot B(5)=\left(\begin{array}{cc}6& 9\\ 6& -6\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 2& -2\end{array}\right)=3B(0)\text{(3 p)}.$$ Din $aB(0)=3B(0)$, cu $B(0)$ nenulă, rezultă $\mathbf{a}=3$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — inecuație cu determinant, în numere întregi.

Pentru $2B(m)-A$, elementele sunt $2m+4-9$, $6-6$, $4-4$ și $2m-4+1$, adică $$2B(m)-A=\left(\begin{array}{cc}2m-5& 0\\ 0& 2m-3\end{array}\right),\det \left(2B(m)-A\right)=(2m-5)(2m-3)\text{(2 p)}.$$ Un produs de doi factori este negativ numai când unul e pozitiv și celălalt negativ, ceea ce înseamnă $\frac{3}{2}<m<\frac{5}{2}$. Singurul număr întreg din acest interval este $\mathbf{m}=2$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — o egalitate cu $2p{I}_2$.

Cu $B(-n)=\left(\begin{array}{cc}2-n& 3\\ 2& -n-2\end{array}\right)$, elementele produsului sunt $(n+2)(2-n)+6=10-n^2$, $3(n+2)+3(-n-2)=0$, $2(2-n)+2(n-2)=0$ și $6+(n-2)(-n-2)=10-n^2$: $$B(n)\cdot B(-n)=\left(\begin{array}{cc}10-n^2& 0\\ 0& 10-n^2\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Egalitatea cu $2p{I}_2$ cere $10-n^2=2p$. Cum $10$ și $2p$ sunt pare, $n^2$ trebuie să fie par, deci $n$ este par. Cu $n=0$ se obține $p=5$, cu $n=2$ se obține $p=3$, iar $n=4$ ar da $p=-3$, care nu este natural; pentru $n\ge 4$ numărul $10-n^2$ este negativ, deci nu mai există alte perechi. Perechile sunt $(0,5)$ și $(2,3)$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — ecuație matriceală.

Cum determinantul lui $B(4)$ este $6\ne 0$, matricea are inversă; ambii membri ai ecuației se înmulțesc la stânga cu ea: $$X={\left(B(4)\right)}^{-1}\cdot 2A\text{(2 p)}.$$ Se știe că ${\left(B(4)\right)}^{-1}=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -2& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{3}& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{3}& 1\end{array}\right)$, iar $2A=\left(\begin{array}{cc}18& 12\\ 8& -2\end{array}\right)$. Linie cu coloană, elementele lui $X$ sunt $\frac{1}{3}\cdot 18-\frac{1}{2}\cdot 8=2$, $\frac{1}{3}\cdot 12-\frac{1}{2}\cdot (-2)=5$, $-\frac{1}{3}\cdot 18+1\cdot 8=2$ și $-\frac{1}{3}\cdot 12+1\cdot (-2)=-6$, deci $X=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 2& -6\end{array}\right)$ (3 p).

Pentru părinți și profesori

Pe scurt. Pagina conține rezolvarea completă a variantei 7 din setul de rezervă al sesiunii iunie–iulie 2026, la proba E. c) de matematică M_pedagogic. Enunțurile sunt cele oficiale; soluțiile sunt scrise de Matepolis și își împart punctele pe aceleași etape ca foaia oficială de evaluare.

Cât valorează lucrarea? Trei subiecte, șase cerințe în fiecare, 5 puncte pentru fiecare cerință: 90 de puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu. Pentru lucru sunt trei ore.

Ce conține varianta? În primul subiect apar o expresie cu radicali, abscisa unei intersecții cu $Ox$, o ecuație cu radical, o probabilitate, o distanță în reper și o expresie trigonometrică. În al doilea subiect, legea $x\ast y=\frac{xy}{4}+8-x-y$ este adusă la forma $\frac{1}{4}(x-4)(y-4)+4$ și folosită pentru o condiție între $x$ și $y$, pentru un interval și pentru o ecuație cu puteri ale lui $4$. Al treilea subiect lucrează cu $A$ și $B(x)$, până la o inecuație în numere întregi, o egalitate cu $2p{I}_2$ și o ecuație matriceală.

Ce se reia din programă? Programa de examen M_pedagogic (OMEN 4430/2014) așază astfel materia: funcția afină la clasa a IX-a; radicalii, ecuațiile cu radicali, probabilitățile și reperul cartezian la clasa a X-a; legile de compoziție la clasa a XI-a; matricele la clasa a XII-a. Pentru probabilitate: Probabilitatea la tehnologic: controlul calității.

Unde apar greșelile?

• Exercițiul 3: dacă membrul drept ar rămâne neridicat la pătrat, s-ar ajunge la o ecuație pătratică ale cărei soluții sunt $3$ și $-5$; însă $\sqrt{3^2+3\cdot 3-15}=\sqrt{3}$, nu $3$.
• Exercițiul 4: mulțimea $\{0,1,2,\dots ,9\}$ are $10$ elemente, nu $9$; cu $9$ cazuri posibile s-ar obține $\frac{2}{9}$ în loc de $\frac{1}{5}$.
• Exercițiul 5: pentru mijlocul segmentului $AB$, adică $\left(\frac{7}{2},3\right)$, distanța până la $B$ ar fi $\frac{\sqrt{13}}{2}$, nu $4$.
• Exercițiul 6: cu $\cos 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ expresia ar fi $\sqrt{3}$, nu $1$; valoarea $\frac{\sqrt{3}}{2}$ este a lui $\sin 60^{\circ }$.
• Cerința II.1: în lege se împarte la $4$ doar $xy$; dacă toată suma ar fi împărțită la $4$, pentru $1\ast 4$ s-ar obține $\frac{7}{4}$, nu $4$.
• Cerința II.5: dacă $x=y=3$, nenegativitatea produsului $(x-4)(y-4)$ rămâne adevărată, iar $3\ast 3=\frac{17}{4}$; ipoteza $x,y\ge 4$ nu este singura cale spre $[4,+\infty )$, dar este cea cerută aici.
• Cerința III.4: pentru $m=1$ și $m=3$, produsul $(2m-5)(2m-3)$ este $3$, deci pozitiv; singurul întreg cu produs negativ este $m=2$.
• Cerința III.6: ordinea contează; $2A\cdot {\left(B(4)\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ \frac{10}{3}& -6\end{array}\right)$, în timp ce $X={\left(B(4)\right)}^{-1}\cdot 2A$ are alte elemente.