Subiect Bac matematică pedagogic, simulare 2024 — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2024 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră progresia aritmetică $(a_{n})_{n \geq 1}$ cu $a_{1} = 6$ și $a_{2} = 8$ . Calculați $a_{3}$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 4 x - 9$ . Determinați numărul real $m$ pentru care punctul $A (m, 3)$ aparține graficului funcției $f$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^{x} = 2^{3 x - 2}$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

La o competiție sportivă $40%$ dintre concurenți sunt fete. Determinați numărul total de concurenți, știind că la competiție au participat $80$ de fete.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (3, 1)$ , $B (1, 3)$ și $C (a, a)$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care segmentele $A B$ și $O C$ au același mijloc.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , cu $A B = 83$ și $B C = 16$ . Demonstrați că triunghiul $A M C$ este echilateral, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $B C$ .

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = 3 (x y - 2 x - 2 y) + 14$ .

1. (5 puncte) Arătați că $3 \circ 3 = 1 \circ 1$ .

2. (5 puncte) Demonstrați că $x \circ 2 = 2$ , pentru orice număr real $x$ .

3. (5 puncte) Arătați că $e = \frac{7}{3}$ este elementul neutru al legii de compoziție „ $\circ$ ”.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x \circ x = 5$ .

5. (5 puncte) Arătați că $x \circ y \geq 2$ , pentru orice numere reale $x \geq 2$ și $y \geq 2$ .

6. (5 puncte) Demonstrați că, dacă $m$ și $n$ sunt numere naturale nenule și $m \circ n = 8$ , atunci $m + n = 7$ .

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $I_{2} = (1001)$ , $A = (3 - 1 6 - 2)$ și $X (a) = I_{2} + a A$ , unde $a$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $det A = 0$ .

2. (5 puncte) Arătați că $A \cdot A = A$ .

3. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $det (X (a)) = 2 a^{2}$ .

4. (5 puncte) Demonstrați că $A \cdot X (a) = (a + 1) A$ , pentru orice număr real $a$ .

5. (5 puncte) Demonstrați că $X (m) \cdot X (n) = X (m + n + mn)$ , pentru orice numere reale $m$ și $n$ .

6. (5 puncte) Demonstrați că, dacă $a$ și $b$ sunt numere reale distincte pentru care $X (a) \cdot X (a) = X (b) \cdot X (b)$ , atunci $a + b + 2 = 0$ .

Barem și răspunsuri

Mai jos, fiecare cerință are două rânduri punctate, în ordinea din foaia de evaluare; cifra îngroșată din paranteză spune câte puncte din 5 primește rândul la capătul căruia stă. Oficiul de 10 puncte nu intră în rezolvări.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Termenii unei progresii aritmetice cresc, la fiecare pas, cu aceeași valoare, numită rație: $r = a_{2} - a_{1} = 8 - 6 = 2$ (2 p). Pasul de la $a_{2}$ la $a_{3}$ adaugă din nou rația, deci $a_{3} = a_{2} + r = 8 + 2 = 10$ (3 p).

Exercițiul 2. (5 p) — punct pe graficul unei funcții.

Un punct aparține graficului când ordonata lui rezultă din formula funcției aplicată abscisei; pentru $A (m, 3)$ asta înseamnă $f (m) = 3$ , adică $4 m - 9 = 3$ (3 p). Din $4 m - 9 = 3$ urmează $4 m = 3 + 9 = 12$ , deci $m = 3$ (2 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Pentru ca ambii membri să aibă baza $2$ , numărul $4$ se scrie $2^{2}$ ; atunci $(2^{2})^{x}$ este $2^{2 x}$ , iar ecuația devine $2^{2 x} = 2^{3 x - 2}$ . Puterile lui $2$ cu același rezultat au același exponent: $2 x = 3 x - 2 (3 p) .$ Din $2 = 3 x - 2 x$ rezultă $x = 2$ (2 p). Verificare: $4^{2} = 16$ , iar $2^{3 \cdot 2 - 2} = 2^{4} = 16$ .

Exercițiul 4. (5 p) — procent și număr total.

Fie $x$ numărul total de concurenți. Fetele sunt $40%$ din total și sunt $80$ : $\frac{40}{100} \cdot x = 80 (3 p) .$ Se înmulțește cu $\frac{100}{40}$ , adică cu $\frac{5}{2}$ : $x = 80 \cdot \frac{5}{2} = 200$ de concurenți (2 p).

Exercițiul 5. (5 p) — mijloacele a două segmente.

Mijlocul segmentului $A B$ are coordonatele $\frac{3 + 1}{2} = 2$ și $\frac{1 + 3}{2} = 2$ , deci este punctul $M (2, 2)$ (2 p). Segmentul $O C$ are capetele $O (0, 0)$ și $C (a, a)$ , deci mijlocul lui este $(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + a}{2})$ . Mijlocul trebuie să fie același punct $M (2, 2)$ , iar cele două coordonate dau aceeași ecuație, $\frac{0 + a}{2} = 2$ ; de aici $a = 4$ (3 p).

Exercițiul 6. (5 p) — triunghi echilateral într-un triunghi dreptunghic.

Latura $B C$ este ipotenuza, fiind cea opusă unghiului drept $A$ . Cum $A B^{2} = (83)^{2} = 64 \cdot 3 = 192$ , teorema lui Pitagora dă $A C^{2} = B C^{2} - A B^{2} = 256 - 192 = 64$ , deci $A C = 8$ (2 p). Punctul $M$ este mijlocul ipotenuzei, deci $C M = \frac{B C}{2} = 8$ . În orice triunghi dreptunghic, segmentul care leagă vârful unghiului drept de mijlocul ipotenuzei măsoară cât jumătatea ipotenuzei, așa că $A M = \frac{B C}{2} = 8$ . Laturile triunghiului $A M C$ sunt $A C = C M = A M = 8$ , toate egale: triunghiul este echilateral (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — legea de compoziție: două valori egale.

Se pun întâi $x = y = 3$ în definiția legii: $3 \circ 3 = 3 (3 \cdot 3 - 2 \cdot 3 - 2 \cdot 3) + 14 = 3 (9 - 6 - 6) + 14 = 3 \cdot (- 3) + 14 = 5 (2 p) .$ Apoi $x = y = 1$ : $1 \circ 1 = 3 (1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 2 \cdot 1) + 14 = 3 (1 - 2 - 2) + 14 = 3 \cdot (- 3) + 14 = 5$ . Ambele valori sunt $5$ , deci $3 \circ 3 = 1 \circ 1$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — legea de compoziție: rezultat constant.

Se pune $y = 2$ în definiția legii: $x \circ 2 = 3 (x \cdot 2 - 2 \cdot x - 2 \cdot 2) + 14 (3 p) .$ Termenii $2 x$ și $- 2 x$ se anulează și rămâne $3 \cdot (- 4) + 14 = - 12 + 14 = 2$ , rezultatul nu conține pe $x$ , deci egalitatea se verifică oricare ar fi $x$ real (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — legea de compoziție: elementul neutru.

Elementul neutru $e$ trebuie să dea $x \circ e = x$ și $e \circ x = x$ pentru orice $x$ real. Pentru $e = \frac{7}{3}$ , prima egalitate este $x \circ \frac{7}{3} = 3 (x \cdot \frac{7}{3} - 2 x - 2 \cdot \frac{7}{3}) + 14 = 7 x - 6 x - 14 + 14 = x (2 p) .$ A doua egalitate, $\frac{7}{3} \circ x = 3 (\frac{7}{3} \cdot x - 2 \cdot \frac{7}{3} - 2 x) + 14 = 7 x - 14 - 6 x + 14 = x$ , se verifică la fel, oricare ar fi $x$ . Cum rezultatul este $x$ în ambele ordini, $e = \frac{7}{3}$ satisface definiția elementului neutru (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — legea de compoziție: ecuație cu necunoscuta la pătrat.

Pentru $y = x$ , cei doi termeni $- 2 x$ se adună în $- 4 x$ , iar înmulțirea cu $3$ dă $x \circ x = 3 x^{2} - 12 x + 14$ (2 p). Ecuația $x \circ x = 5$ este $3 x^{2} - 12 x + 14 = 5$ . Se scade $5$ din ambii membri și se împarte la $3$ , iar rezultă $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ , ecuație al cărei membru stâng se descompune în factorii $x - 1$ și $x - 3$ . Soluțiile sunt $x = 1$ și $x = 3$ (3 p); ele se potrivesc cu cerința II.1, unde $1 \circ 1 = 3 \circ 3 = 5$ .

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — legea de compoziție: o inegalitate.

Dacă $x \geq 2$ și $y \geq 2$ , atunci $x - 2 \geq 0$ și $y - 2 \geq 0$ ; doi factori care nu sunt negativi au un produs care nu este negativ: $(x - 2) (y - 2) \geq 0$ (2 p). Legea se rescrie prin completarea unui produs: $x y - 2 x - 2 y = (x - 2) (y - 2) - 4$ , deci $x \circ y = 3 ((x - 2) (y - 2) - 4) + 14 = 3 (x - 2) (y - 2) + 2$ . Primul termen este nenegativ, iar la el se adaugă $2$ , prin urmare $x \circ y \geq 2$ , pentru orice $x \geq 2$ și $y \geq 2$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — legea de compoziție: numere naturale nenule.

Cu forma din cerința precedentă, $m \circ n = 3 (m - 2) (n - 2) + 2$ , deci egalitatea $m \circ n = 8$ este $3 (m - 2) (n - 2) + 2 = 8 (3 p) .$ Se scade $2$ și se împarte la $3$ : $(m - 2) (n - 2) = 2$ . Factorii $m - 2$ și $n - 2$ sunt numere întregi al căror produs este $2$ , deci perechea $(m - 2, n - 2)$ este una dintre $(1, 2)$ , $(2, 1)$ , $(- 1, - 2)$ , $(- 2, - 1)$ . Perechea $(- 1, - 2)$ ar corespunde lui $m$ egal cu $1$ și lui $n$ egal cu $0$ , iar $(- 2, - 1)$ lui $m$ egal cu $0$ și lui $n$ egal cu $1$ ; ambele sunt excluse, fiindcă $m$ și $n$ sunt nenule. Rămân $(m, n) = (3, 4)$ și $(m, n) = (4, 3)$ , iar în ambele cazuri $m + n = 7$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinant de ordinul doi.

Pentru $A = (3 - 1 6 - 2)$ determinantul conține produsul $3 \cdot (- 2)$ al elementelor $3$ și $- 2$ și, cu semn schimbat, produsul $6 \cdot (- 1)$ al elementelor $6$ și $- 1$ : $det A = 3 \cdot (- 2) - 6 \cdot (- 1) (3 p) .$ Rezultă $- 6 + 6 = 0$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — pătratul unei matrice.

Elementele produsului $A \cdot A$ , linie cu coloană, sunt $3 \cdot 3 + 6 \cdot (- 1) = 3$ , $3 \cdot 6 + 6 \cdot (- 2) = 6$ , $(- 1) \cdot 3 + (- 2) \cdot (- 1) = - 1$ și $(- 1) \cdot 6 + (- 2) \cdot (- 2) = - 2$ (3 p). Așadar $A \cdot A = (3 - 1 6 - 2)$ , adică $A \cdot A = A$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — determinantul ca funcție de parametru.

$X (a) = I_{2} + a A = (1 + 3 a - a 6 a 1 - 2 a)$ , iar $det (X (a)) = (1 + 3 a) (1 - 2 a) - 6 a \cdot (- a) = 1 - 2 a + 3 a - 6 a^{2} + 6 a^{2} = 1 + a (3 p) .$ Prin mutarea termenilor în partea dreaptă, ecuația $1 + a = 2 a^{2}$ devine $2 a^{2} - a - 1 = 0$ , cu $Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 9$ și rădăcinile $a = \frac{1 \pm 3}{4}$ , adică $a = 1$ și $a = - \frac{1}{2}$ (2 p). Verificare: $det (X (1)) = 2 = 2 \cdot 1^{2}$ și $det (X (- \frac{1}{2})) = \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{4}$ .

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — produs cu o matrice de forma $I_{2} + a A$ .

Se înlocuiește $X (a) = I_{2} + a A$ și se distribuie: $A \cdot X (a) = A \cdot (I_{2} + a A) = A \cdot I_{2} + a \cdot A \cdot A$ . Cum $A \cdot I_{2} = A$ și $A \cdot A = A$ (cerința III.2), rezultă $A \cdot X (a) = A + a A (3 p) .$ Scoțând factorul comun $A$ , $A + a A = (1 + a) A$ , deci $A \cdot X (a) = (a + 1) A$ , pentru orice $a$ real (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — produsul a două matrice $X (m)$ și $X (n)$ .

Produsul $(I_{2} + m A) (I_{2} + n A)$ are patru termeni după desfacerea parantezelor: $I_{2}$ , $n A$ , $m A$ și $mn \cdot A \cdot A$ . Cum $A \cdot A = A$ (cerința III.2), ultimul termen este $mn A$ : $X (m) \cdot X (n) = I_{2} + m A + n A + mn A (3 p) .$ Termenii care conțin pe $A$ au factorul comun $A$ : $I_{2} + (m + n + mn) A$ , iar aceasta este $X (m + n + mn)$ , pentru orice numere reale $m$ și $n$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — egalitate de matrice și condiție pe parametri.

Din cerința III.5, cu $m = n = a$ , se obține $X (a) \cdot X (a) = X (2 a + a^{2})$ , iar la fel $X (b) \cdot X (b) = X (2 b + b^{2})$ . Pentru orice numere reale $s$ și $t$ , diferența $X (s) - X (t) = (s - t) A$ este nulă doar dacă $s = t$ , pentru că $A$ nu este matricea nulă (are elementul $3$ ). Egalitatea dată, $X (2 a + a^{2}) = X (2 b + b^{2})$ , este deci echivalentă cu $2 a + a^{2} = 2 b + b^{2} (2 p) .$ Se trec toți termenii în același membru și se grupează: $a^{2} - b^{2} + 2 a - 2 b = (a - b) (a + b) + 2 (a - b) = (a - b) (a + b + 2) = 0$ . Cum $a$ și $b$ sunt distincte, $a - b \neq = 0$ , deci $a + b + 2 = 0$ (3 p).

Pentru părinți și profesori

Pagina rezolvă foaia „Simulare” din arhiva oficială a simulării pentru clasa a XII-a (2024), proba E. c) de matematică M_pedagogic: 18 cerințe de câte 5 puncte, adică 90 de puncte, la care se adaugă oficiul. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru este de trei ore. Textele cerințelor sunt cele din foaie, iar soluțiile, ale Matepolis, merg pe rândurile punctate ale baremului.

Ce conține simularea. Primele șase cerințe sunt independente: un termen al unei progresii aritmetice, un punct de pe graficul unei funcții de gradul întâi, o ecuație exponențială, un procent, două segmente cu același mijloc și un triunghi echilateral construit într-un triunghi dreptunghic. A doua parte a lucrării formează o problemă cu legea $x \circ y = 3 (x y - 2 x - 2 y) + 14$ pe mulțimea $R$ ; a treia parte, o problemă cu matricele $A$ și $X (a) = I_{2} + a A$ , pentru care $A \cdot A = A$ .

Temele paginii, după programă. Programa de examen M_pedagogic (OMEN 4430/2014) împarte temele de aici astfel: progresia aritmetică, funcția de gradul întâi și triunghiul dreptunghic la clasa a IX-a; ecuațiile exponențiale, procentele și mijlocul unui segment la clasa a X-a; legile de compoziție la clasa a XI-a; matricele și determinantul la clasa a XII-a. Pentru determinant se poate reciti Determinantul 2×2 pentru tehnologic: calcul rapid.

Capcane, cu dovada lor.

Exercițiul 1: între $a_{1}$ și $a_{3}$ sunt două salturi, nu trei, deci $a_{3}$ se obține adăugând rația de două ori la $6$ ; adăugată de trei ori, rația ar duce la $6 + 3 \cdot 2 = 12$ , care este termenul $a_{4}$ .
Exercițiul 3: exponentul se dublează, nu se împătrește; pentru $x = 1$ avem $4^{1} = 4 = 2^{2 \cdot 1}$ , iar o putere a lui $2$ cu exponentul $4$ ar valora $2^{4} = 16$ .
Exercițiul 4: procentul se aplică totalului, nu celor $80$ de fete; calculul $\frac{40}{100} \cdot 80 = 32$ ar da un număr fără rost aici. Băieții sunt restul: $200 - 80 = 120$ , adică $60%$ din $200$ .
Exercițiul 5: dacă s-ar alege $a = 2$ , segmentul $O C$ ar avea mijlocul $(1, 1)$ , nu $(2, 2)$ .
Exercițiul 6: $A B = 83$ nu este latura triunghiului $A M C$ ; pătratul lui este $(83)^{2} = 192$ , iar laturile $A C$ , $C M$ și $A M$ valorează câte $8$ .
Cerința II.1: înmulțirea cu $3$ se face înaintea adunării lui $14$ : $3 \cdot (- 3) + 14 = 5$ , pe când $3 \cdot (- 3 + 14) = 33$ .
Cerința II.2: egalitatea $x \circ 2 = 2$ arată că $2$ este element absorbant, nu neutru; la element neutru rezultatul ar fi $x$ .
Cerința II.3: o verificare pe un singur $x$ nu dovedește neutralitatea: la $x = 0$ se obține $0 \circ \frac{7}{3} = 3 (0 - 0 - \frac{14}{3}) + 14 = 0$ , însă un element neutru trebuie să lase pe fiecare $x$ neschimbat, indiferent de partea pe care stă.
Cerința II.4: numărul $2$ nu este soluție, cu toate că este abscisa vârfului parabolei: $2 \circ 2 = 3 (4 - 4 - 4) + 14 = 2$ , iar $2$ este diferit de $5$ .
Cerința II.5: ipoteza $x \geq 2$ și $y \geq 2$ contează; pentru $x = 0$ și $y = 3$ se obține $0 \circ 3 = - 4$ , număr mai mic decât $2$ .
Cerința II.6: perechile $(m - 2, n - 2) = (- 1, - 2)$ și $(- 2, - 1)$ dau produsul $2$ , dar duc la $n = 0$ , respectiv $m = 0$ , valori excluse de cuvântul „nenule”.
Cerința III.2: ridicarea la pătrat a fiecărui element al lui $A$ dă o matrice cu elementele $9$ , $36$ , $1$ și $4$ , care nu este produsul $A \cdot A$ .
Cerința III.5: $X (1) \cdot X (1) = X (3)$ , nu $X (2)$ ; termenul $mn$ din $m + n + mn$ nu se pierde.
Cerința III.6: pentru $a = b = 3$ egalitatea $X (a) \cdot X (a) = X (b) \cdot X (b)$ este adevărată, dar $a + b + 2 = 8$ ; de aceea contează ipoteza că $a$ și $b$ sunt distincte.

Despre litere. La itemul 2, $m$ este abscisa punctului de pe grafic; la itemul 4, $x$ este numărul total de concurenți; la itemul 5, $a$ este coordonata comună a punctului $C (a, a)$ . În problema cu legea, $x$ din cerințele II.2 și II.3 și perechea $x$ , $y$ din cerința II.5 sunt numere reale arbitrare, $x$ din cerința II.4 este necunoscuta, iar $m$ și $n$ din cerința II.6 sunt naturale nenule. În problema cu matrice, $a$ este necunoscută la cerința III.3 și parametru liber la cerința III.4; $m$ și $n$ din cerința III.5 sunt numere reale arbitrare; $a$ și $b$ din cerința III.6 sunt numere reale distincte, iar $s$ și $t$ din rezolvarea lui sunt numere reale arbitrare.